5.4: Funciones continuas
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5.4.1 Continuidad en un Punto
\(a \in D .\)Supongamos\(D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) y decimos\(f\) es continuo en\(a\) si o bien\(a\) es un punto aislado de\(D\) o\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a) .\) Si no\(f\) es continuo en\(a,\) decimos\(f\) es discontinuo en\(a,\) o que\(f\) tiene una discontinuidad en\(a .\)
Definir\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) por
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {\text { if } x \text { is rational, }} \\ {0,} & {\text { if } x \text { is irrational. }}\end{array}\right.\]
Entonces, por Ejemplo\(5.1 .5, f\) es discontinuo en cada\(x \in \mathbb{R}\).
Definir\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) por
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x,} & {\text { if } x \text { is rational, }} \\ {0,} & {\text { if } x \text { is irrational. }}\end{array}\right.\]
Luego, por el Ejemplo 5.1 .6 y el ejercicio\(5.1 .10, f\) es continuo en\(0,\) pero discontinuo en cada\(x \neq 0 .\)
Si\(D \subset \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) y\(g: D \rightarrow \mathbb{R},\) luego definimos\(\alpha f: D \rightarrow \mathbb{R}\) por
\[(\alpha f)(x)=\alpha f(x),\]
\(f+g: D \rightarrow \mathbb{R} \mathrm{by}\)
\[(f+g)(x)=f(x)+g(x),\]
y\(f g: D \rightarrow \mathbb{R}\) por
\[(f g)(x)=f(x) g(x).\]
Además, si\(g(x) \neq 0\) por todos\(x \in D,\) definimos\(\frac{f}{g}: D \rightarrow \mathbb{R}\) por
\[\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.\]
Supongamos\(D \subset \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},\)\(f\) y\(g: D \rightarrow \mathbb{R} .\) Si y\(g\) son continuos en\(a,\) entonces\(\alpha f, f+g,\) y\(f g\) son todos continuos en\(a .\) Además, si\(g(x) \neq 0\) para todos\(x \in D,\) entonces\(\frac{f}{g}\) es continuo en\(a .\)
Demostrar la proposición anterior.
Supongamos que\(D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R}, f(x) \geq 0\) para todos\(x \in D,\) y\(f\) es continuo en\(a \in D .\) Si\(g: D \rightarrow \mathbb{R}\) se define por\(g(x)=\sqrt{f(x)},\) entonces\(g\) es continuo en\(a .\)
Demostrar la proposición anterior.
Supongamos\(D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) y\(a \in D .\) Entonces\(f\) es continuo en\(a\) si y solo si por cada\(\epsilon>0\) existe\(\delta>0\) tal que
\[|f(x)-f(a)|<\epsilon \text { whenever } x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D.\]
- Prueba
-
Supongamos que\(f\) es continuo en\(a\). Si\(a\) es un punto aislado de\(D,\) entonces existe\(\delta>0\) tal que
\[(a-\delta, a+\delta) \cap D=\{a\}.\]
Entonces para cualquiera\(\epsilon>0,\) si\(x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D,\) entonces\(x=a,\) y así
\[|f(x)-f(a)|=|f(a)-f(a)|=0<\epsilon.\]
Si\(a\) es un punto límite de\(D,\) entonces\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a)\) implica que para cualquiera\(\epsilon>0\) existe\(\delta>0\) tal que
\[|f(x)-f(a)|<\epsilon \text { whenever } x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D.\]
Ahora supongamos que por cada\(\epsilon>0\) existe\(\delta>0\) tal que
\[|f(x)-f(a)|<\epsilon \text { whenever } x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D.\]
Si\(a\) es un punto aislado, entonces\(f\) es continuo en\(a\). Si\(a\) es un punto límite, entonces esta condición implica\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a),\) y así\(f\) es continua en\(a .\)\(\quad\) Q.E.D.
De lo anterior, debe quedar claro que una función\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) es continua en un punto\(a\) de\(D\) si y sólo si por cada secuencia\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I}\) con\(x_{n} \in D\) para cada\(n \in I\) y\(\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=f(a)\).
Demostrar que si\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) es continuo en\(a \in D\) y\(f(a)>0\), entonces existe un intervalo abierto\(I\) tal que\(a \in I\) y\(f(x)>0\) para cada\(x \in I \cap D .\)
Supongamos\(D \subset \mathbb{R}, E \subset \mathbb{R}, g: D \rightarrow \mathbb{R}, f: E \rightarrow \mathbb{R}, g(D) \subset E\) y\(a \in D .\) Si\(g\) es continuo en\(a\) y\(f\) es continuo en\(g(a),\) entonces\(f \circ g\) es continuo en\(a .\)
- Prueba
-
Dejar\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I}\) ser una secuencia con\(x_{n} \in D\) para cada\(n \in I\) y\(\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a\). Entonces, ya que\(g\) es continuo en\(a,\left\{g\left(x_{n}\right)\right\}_{n \in I}\) es una secuencia con\(g\left(x_{n}\right) \in E\) para cada\(n \in I\) y\(\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_{n}\right)=g(a) .\) por lo tanto, ya que\(f\) es continuo en\(g(a),\)\(\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(g\left(x_{n}\right)\right)=f(g(a))\). Es decir,
\[\lim _{n \rightarrow \infty}(f \circ g)\left(x_{n}\right)=(f \circ g)(a).\]
De ahí\(f \circ g\) que sea continuo en\(a\).
Dejar\(D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) y\(a \in D .\) si no\(f\) es continuo en\(a\) sino en ambos\(f(a-)\) y\(f(a+)\) existir, entonces decimos que\(f\) tiene una discontinuidad simple en\(a .\)
Supongamos que\(f\) es monotónico en el intervalo\((a, b) .\) Entonces cada discontinuidad de\(f\) in\((a, b)\) es una simple discontinuidad. Además, si\(E\) es el conjunto de puntos\((a, b)\) en el que\(f\) es discontinuo, entonces o bien\(E=\emptyset, E\) es finito, o\(E\) es contable.
- Prueba
-
El primer enunciado se desprende inmediatamente de la Proposición 5.2.1. Para la segunda sentencia, supongamos\(f\) es no decreciente y supongamos que no\(E\) está vacío. Del Ejercicio 2.1 .26 y de la prueba de Proposición\(5.2 .1,\) se deduce que para cada\(x \in(a, b)\),
\[f(x-) \leq f(x) \leq f(x+).\]
De ahí\(x \in E\) si y solo si\(f(x-)<f(x+) .\) Por lo tanto para cada\(x \in E,\) podemos elegir un número racional\(r_{x}\) tal que\(f(x-)<r_{x}<f(x+) .\) Ahora si\(x, y \in E\) con\(x<y,\) entonces, por Proposición\(5.2 .2,\)
\[r_{x}<f(x+) \leq f(y-)<r_{y},\]
así\(r_{x} \neq r_{y}\). Por lo tanto, tenemos una correspondencia uno a uno entre\(E\) y un subconjunto de\(\mathbb{Q},\) y así\(E\) es finita o contable. Un argumento similar se mantiene si no\(f\) es creciente. \(\quad\)Q.E.D.
Definir\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) por
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{1}{q},} & {\text { if } x \text { is rational and } x=\frac{p}{q},} \\ {0,} & {\text { if } x \text { is irrational. }}\end{array}\right.\]
donde\(p\) y\(q\) se toman como números enteros relativamente primos con\(q>0,\) y tomamos\(q=1\) cuando\(x=0 .\) Show eso\(f\) es continuo en cada número irracional y tiene una discontinuidad simple en cada número racional.
5.4.2 Continuidad en un Set
Supongamos\(D \subset \mathbb{R}\) y\(f: D \rightarrow \mathbb{R} .\) Nosotros decimos\(f\) es continuo en\(D\) si\(f\) es continuo en cada punto\(a \in D\).
Si\(f\) es un polinomio, entonces\(f\) es continuo en\(\mathbb{R}\).
Si\(D \subset \mathbb{R}\) y\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) es una función racional, entonces\(f\) es continuo\(D .\)
Explique por qué la función\(f(x)=\sqrt{1-x^{2}}\) es continua\([-1,1]\).
Discutir la continuidad de la función
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x+1,} & {\text { if } x<0,} \\ {4,} & {\text { if } x=0,} \\ {x^{2},} & {\text { if } x>0.}\end{array}\right.\]
Si\(D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) y\(E \subset \mathbb{R},\) dejamos
\[f^{-1}(E)=\{x: f(x) \in E\}.\]
Supongamos\(D \subset \mathbb{R}\) y\(f: D \rightarrow \mathbb{R} .\) Entonces\(f\) es continuo en\(D\) si y solo si por cada conjunto abierto\(V \subset \mathbb{R}, f^{-1}(V)=U \cap D\) para algún conjunto abierto\(U \subset \mathbb{R} .\)
- Prueba
-
Supongamos que\(f\) es continuo\(D\) y\(V \subset \mathbb{R}\) es un conjunto abierto. Si\(V \cap f(D)=\emptyset\), entonces\(f^{-1}(V)=\emptyset,\) que está abierto. Entonces supongamos\(V \cap f(D) \neq \emptyset\) y vamos\(a \in f^{-1}(V)\). Ya que\(V\) está abierto y\(f(a) \in V,\) existe\(\epsilon_{a}>0\) tal que
\[\left(f(a)-\epsilon_{a}, f(a)+\epsilon_{a}\right) \subset V.\]
Dado que\(f\) es continuo, existe\(\delta_{a}>0\) tal que
\[f\left(\left(a-\delta_{a}, a+\delta_{a}\right) \cap D\right) \subset\left(f(a)-\epsilon_{a}, f(a)+\epsilon_{a}\right) \subset V.\]
Es decir,\(\left(a-\delta_{a}, a+\delta_{a}\right) \cap D \subset f^{-1}(V) .\) vamos
\[U=\bigcup_{a \in f^{-1}(V)}\left(a-\delta_{a}, a+\delta_{a}\right).\]
Entonces\(U\) está abierto y\(f^{-1}(V)=U \cap D\).
Ahora supongamos que por cada conjunto abierto\(V \subset \mathbb{R}, f^{-1}(V)=U \cap D\) para algún conjunto abierto\(U \subset \mathbb{R} .\) Let\(a \in D\) y let\(\epsilon>0\) ser dado. Ya que\((f(a)-\epsilon, f(a)+\epsilon)\) está abierto, existe un conjunto abierto\(U\) tal que
\[U \cap D=f^{-1}((f(a)-\epsilon, f(a)+\epsilon)).\]
Ya que\(U\) está abierto y\(a \in U,\) existe\(\delta>0\) tal que\((a-\delta, a+\delta) \subset U .\) Pero entonces
\[f((a-\delta, a+\delta) \cap D) \subset(f(a)-\epsilon, f(a)+\epsilon).\]
Es decir, si\(x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D,\) entonces\(|f(x)-f(a)|<\epsilon .\) Por lo tanto\(f\) es continuo en\(a .\)\(\quad\) Q.E.D.
Vamos\(D \subset \mathbb{R}\) y\(f: D \rightarrow \mathbb{R} .\) Para que cualquier\(E \subset \mathbb{R},\) demuestre eso\(f^{-1}(\mathbb{R} \backslash E)=\left(\mathbb{R} \backslash f^{-1}(E)\right) \cap D\).
Dejar\(A\) ser un conjunto y, para cada\(\alpha \in A,\) let\(U_{\alpha} \subset \mathbb{R} .\) Given\(D \subset \mathbb{R}\) y una función\(f: D \rightarrow \mathbb{R},\) muestran que
\[\bigcup_{\alpha \in A} f^{-1}\left(U_{\alpha}\right)=f^{-1}\left(\bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha}\right)\]
y
\[\bigcap_{\alpha \in A} f^{-1}\left(U_{\alpha}\right)=f^{-1}\left(\bigcap_{\alpha \in A} U_{\alpha}\right).\]
Supongamos\(D \subset \mathbb{R}\) y\(f: D \rightarrow \mathbb{R} .\) Mostrar que\(f\) es continuo en\(D\) si y solo si por cada conjunto cerrado\(C \subset \mathbb{R}, f^{-1}(C)=F \cap D\) para algún conjunto cerrado\(F \subset \mathbb{R} .\)
\(D \subset \mathbb{R} .\)Digamos que una función\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) es Lipschitz si existe\(\alpha \in \mathbb{R}, \alpha>0,\) tal que\(|f(x)-f(y)| \leq \alpha|x-y|\) para todos\(x, y \in D .\) Mostrar que si\(f\) es Lipschitz, entonces\(f\) es continuo.
5.4.3 Teorema del Valor Intermedio
(Teorema del Valor Intermedio).
Supongamos\(a, b \in \mathbb{R}, a<b,\) y\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} .\) Si\(f\)\(s \in \mathbb{R}\) es continuo y es tal que cualquiera\(f(a) \leq s \leq f(b)\) o\(f(b) \leq s \leq f(a),\) entonces existe\(c \in[a, b]\) tal que\(f(c)=s\).
- Prueba
-
Supongamos\(f(a)<f(b)\) y\(f(a)<s<f(b) .\) Let
\[c=\sup \{x: x \in[a, b], f(x) \leq s\}.\]
Supongamos\(f(c)<s .\) Entonces\(c<b\) y, ya que\(f\) es continuo en\(c,\) existe\(\delta>0\) tal que\(f(x)<s\) para todos\(x \in(c, c+\delta) .\) Pero entonces\(f\left(c+\frac{\delta}{2}\right)<s\), contradiciendo la definición de\(c .\) Similarmente, si\(f(c)>s,\) entonces\(c>a\) y existe\(\delta>0\) tal que \(f(x)>s\)para todos de\(x \in(c-\delta, c),\) nuevo contradiciendo la definición de\(c .\) Por lo tanto debemos tener\(f(c)=s .\)\(\quad\) Q.E.D.
Supongamos\(a \in \mathbb{R}, a>0,\) y consideremos\(f(x)=x^{n}-a\) dónde\(n \in \mathbb{Z}, n>1 .\) Entonces\(f(0)=-a<0\) y
\[\begin{aligned} f(1+a) &=(1+a)^{n}-a \\ &=1+n a+\sum_{i=2}^{n}\left(\begin{array}{c}{n} \\ {i}\end{array}\right) a^{i}-a \\ &=1+(n-1) a+\sum_{i=2}^{n}\left(\begin{array}{c}{n} \\ {i}\end{array}\right) a^{i}>0, \end{aligned}\]
donde\(\left(\begin{array}{l}{n} \\ {i}\end{array}\right)\) está el coeficiente binomial
\[\left(\begin{array}{l}{n} \\ {i}\end{array}\right)=\frac{n !}{i !(n-i) !}.\]
De ahí que por el Teorema del Valor Intermedio, exista un número real\(\gamma>0\) tal que\(\gamma^{n}=a .\) Por otra parte, sólo hay uno de esos\(\gamma\) ya que\(f\) está aumentando en\((0,+\infty) .\)
Llamamos a\(\gamma\) la raíz\(n\) th de\(a,\) y escribimos
\[\gamma=\sqrt[n]{a}\]
o
\[\gamma=a^{\frac{1}{n}}.\]
Además, si\(a \in \mathbb{R}, a<0, n \in Z^{+}\) es impar, y\(\gamma\) es la enésima raíz de\(-a,\) entonces
\[(-\gamma)^{n}=(-1)^{n}(\gamma)^{n}=(-1)(-a)=a.\]
Es decir,\(-\gamma\) es la raíz\(n\) th de\(a\).
Si\(n=\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}\) con\(q \in \mathbb{Z}^{+},\) entonces definimos
\[x^{n}=(\sqrt[q]{x})^{p}\]
para todos los reales\(x \geq 0\).
Explique por qué la ecuación\(x^{5}+4 x^{2}-16=0\) tiene una solución en el intervalo\((0,2)\).
Dé un ejemplo de un intervalo cerrado\([a, b] \subset \mathbb{R}\) y una función\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) que no satisfagan la conclusión del Teorema del Valor Intermedio.
Mostrar que si\(I \subset \mathbb{R}\) es un intervalo y\(f: I \rightarrow \mathbb{R}\) es continuo, entonces\(f(I)\) es un intervalo.
Supongamos que\(f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}\) es continuo y estrictamente monótono. Let\((c, d)=f((a, b)) .\) Show que\(f^{-1}:(c, d) \rightarrow(a, b)\) es estrictamente monótona y continua.
Vamos\(n \in \mathbb{Z}^{+} .\) Mostrar que la función\(f(x)=\sqrt[n]{x}\) es continua en\((0,+\infty)\).
Utilizar el método de bisección para dar otra prueba del Teorema del Valor Intermedio.
5.4.4 Teorema del Valor Extremo
Supongamos que\(D \subset \mathbb{R}\) es compacto y\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) es continuo. Entonces\(f(D)\) es compacto.
- Prueba
-
Dada una secuencia\(\left\{y_{n}\right\}_{n \in I}\) en\(f(D),\) elegir una secuencia\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I}\) tal que\(f\left(x_{n}\right)=y_{n} .\) Since\(D\) es compacta,\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I}\) tiene una subsecuencia convergente\(\left\{x_{n_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty}\) con
\[\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_{k}}=x \in D.\]
Vamos\(y=f(x) .\) Entonces\(y \in f(D)\) y, ya que\(f\) es continuo,
\[y=\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{n_{k}}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} y_{n_{k}}.\]
De ahí\(f(D)\) que sea compacto.
Demostrar el teorema anterior usando la definición de cubierta abierta de un conjunto compacto.
(Teorema del Valor Extremo).
Supongamos que\(D \subset \mathbb{R}\) es compacto y\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) es continuo. Entonces existe\(a \in D\) tal que\(f(a) \geq f(x)\) para todos\(x \in D\) y existe\(b \in D\) tal que\(f(b) \leq f(x)\) para todos\(x \in D .\)\(\quad\) Q.E.D.
Como consecuencia del Teorema del Valor Extremo, una función continua en un intervalo delimitado cerrado alcanza tanto un valor máximo como un mínimo.
Encuentre un ejemplo de un intervalo delimitado cerrado\([a, b]\) y una función\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) tal\(f\) que no alcance ni un valor máximo ni mínimo en\([a, b] .\)
Encuentre un ejemplo de un intervalo delimitado\(I\) y una función\(f: I \rightarrow \mathbb{R}\) que sea continua en\(I\) tal\(f\) que no alcance ni un valor máximo ni mínimo en\(I .\)
Supongamos que\(K \subset \mathbb{R}\) es compacto y\(a \notin K .\) Demostrar que existe\(b \in K\) tal que\(|b-a| \leq|x-a|\) para todos\(x \in K\).
Supongamos que\(D \subset \mathbb{R}\)\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) es compacto, es continuo y uno a uno, y\(E=f(D) .\) Entonces\(f^{-1}: E \rightarrow D\) es continuo.
- Prueba
-
Dejar\(V \subset \mathbb{R}\) ser un conjunto abierto. Tenemos que demostrar eso\(f(V \cap D)=U \cap E\) para algún set abierto\(U \subset \mathbb{R}\). Let\(C=D \cap(\mathbb{R} \backslash V) .\) Entonces\(C\) es un subconjunto cerrado de\(D,\) y así es compacto. De ahí\(f(C)\) que sea un subconjunto compacto de\(E .\) Así\(f(C)\) está cerrado, y así\(U=\mathbb{R} \backslash f(C)\) está abierto. Por otra parte,\(U \cap E=E \backslash f(C)=f(V \cap D) .\) Así\(f^{-1}\) es continuo.
Supongamos\(f:[0,1] \cup(2,3] \rightarrow[0,2]\) por
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x,} & {\text { if } 0 \leq x \leq 1,} \\ {x-1,} & {\text { if } 2<x \leq 3.}\end{array}\right.\]
Demostrar que\(f\) es continuo, uno a uno, y hacia, pero eso no\(f^{-1}\) es continuo.
5.4.5 Continuidad Uniforme
Supongamos\(D \subset \mathbb{R}\) y\(f: D \rightarrow \mathbb{R} .\) Nosotros decimos\(f\) es uniformemente continuo en\(D\) si por cada\(\epsilon>0\) existe\(\delta>0\) tal que para alguno\(x, y \in D\),
\[|f(x)-f(y)|<\epsilon \text { whenever }|x-y|<\delta .\]
Supongamos\(D \subset \mathbb{R}\) y\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) es Lipschitz (ver Ejercicio\(5.4 .10) .\) Mostrar que\(f\) es uniformemente continuo en\(D .\)
Claramente, si\(f\) es uniformemente continuo\(D\) entonces\(f\) es continuo en\(D .\) Sin embargo, una función continua no necesita ser uniformemente continua.
Definir\(f:(0,+\infty)\) por\(f(x)=\frac{1}{x},\) Dado cualquier\(\delta>0,\) elegir\(n \in \mathbb{Z}^{+}\) tal que\(\frac{1}{n(n+1)}<\delta .\) Let\(x=\frac{1}{n}\) y\(y=\frac{1}{n+1} .\) Entonces
\[|x-y|=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}<\delta .\]
Sin embargo,
\[|f(x)-f(y)|=|n-(n+1)|=1.\]
De ahí que, por ejemplo, no exista\(\delta>0\) tal que
\[|f(x)-f(y)|<\frac{1}{2}\]
siempre que\(|x-y|<\delta .\) así no\(f\) sea uniformemente continuo encendido\((0,+\infty),\) aunque\(f\) sea continuo encendido\((0,+\infty)\).
Definir\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) por\(f(x)=2 x .\) Let\(\epsilon>0\) be given. Si\(\delta=\frac{\varepsilon}{2}\), entonces
\[|f(x)-f(y)|=2|x-y|<\epsilon\]
siempre que\(|x-y|<\delta .\) Por lo tanto\(f\) es uniformemente continuo en\(\mathbb{R}\).
Vamos\(f(x)=x^{2} .\) Mostrar que no\(f\) es uniformemente continuo en\((-\infty,+\infty)\).
Supongamos que\(D \subset \mathbb{R}\) es compacto y\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) es continuo. Luego\(f\) es uniformemente continuo en\(D .\)
- Prueba
-
Dejemos\(\epsilon>0\) que se den. Por cada\(x \in D,\) elegir de\(\delta_{x}\) tal manera que
\[|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}\]
cuando\(y \in D\) y\(|x-y|<\delta_{x} .\) Let
\[J_{x}=\left(x-\frac{\delta_{x}}{2}, x+\frac{\delta_{x}}{2}\right).\]
Entonces\(\left\{J_{x}: x \in D\right\}\) es una cubierta abierta de\(D\). Ya que\(D\) es compacto, debe existir\(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, n \in Z^{+},\) tal que\(J_{x_{1}}, J_{x_{2}}, \ldots, J_{x_{n}}\) sea una cubierta abierta de\(D .\) Let\(\delta\) be the minimum of
\[\frac{\delta_{x_{1}}}{2}, \frac{\delta_{x_{2}}}{2}, \ldots, \frac{\delta_{x_{n}}}{2}.\]
Ahora vamos\(x, y \in D\) con\(|x-y|<\delta .\) Entonces para algún número entero es\(k, 1 \leq k \leq n, x \in J_{x_{k}},\) decir,
\[\left|x-x_{k}\right|<\frac{\delta_{x_{k}}}{2}.\]
Por otra parte,
\[\left|y-x_{k}\right| \leq|y-x|+\left|x-x_{k}\right|<\delta+\frac{\delta_{x_{k}}}{2} \leq \delta_{x_{k}}.\]
De ahí
\[|f(x)-f(y)| \leq\left|f(x)-f\left(x_{k}\right)\right|+\left|f\left(x_{k}\right)-f(y)\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon .\]
Q.E.D.
Supongamos\(D \subset \mathbb{R}\) y\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) es uniformemente continuo. Mostrar que si\(\left\{x_{n}\right\}_{n \in I}\) es una secuencia de Cauchy en\(D,\) entonces\(\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n \in I}\) es una secuencia de Cauchy en\(f(D) .\)
Supongamos que\(f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}\) es uniformemente continuo. Demostrar que\(f(0+)\) existe.
Supongamos que\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) es continuo\(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=0\) y y\(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 .\) Mostrar que\(f\) es uniformemente continuo.