5.3: Límites al Infinito y Límites Infinitos
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Dejar\(D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) y suponer\(a\) es un punto límite de\(D\). Decimos que\(f\) diverge a\(+\infty\) como\(x\) enfoques\(a\), denotado
\[\lim _{x \rightarrow a} f(x)=+\infty ,\]
si por cada número real\(M\) existe\(\delta>0\) tal que
\[f(x)>M \text { whenever } x \neq a \text { and } x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D.\]
De igual manera, decimos que eso\(f\) diverge a\(-\infty\) como\(x\) enfoques\(a,\) denotados
\[\lim _{x \rightarrow a} f(x)=-\infty ,\]
si por cada número real\(M\) existe\(\delta>0\) tal que
\[f(x)<M \text { whenever } x \neq a \text { and } x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D.\]
Proporcionar definiciones para
a.\(\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=+\infty\),
b.\(\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=+\infty\),
c.\(\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=-\infty\),
d\(\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=-\infty\).
Modele sus definiciones sobre las definiciones anteriores.
Demuestre eso\(\lim _{x \rightarrow 4^{+}} \frac{7}{4-x}=-\infty\) y\(\lim _{x \rightarrow 4^{-}} \frac{7}{4-x}=+\infty\).
Supongamos que\(D \subset \mathbb{R}\) no tiene un límite superior\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\),, y\(L \in \mathbb{R} .\) Nosotros decimos que el límite de\(f\) como\(+\infty\) se\(x\) acerca se\(L,\) denota
\[\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=L,\]
si por cada\(\epsilon>0\) existe un número real\(M\) tal que
\[|f(x)-L|<\epsilon \text { whenever } x \in(M,+\infty) \cap D.\]
Supongamos que\(D \subset \mathbb{R}\) no tiene un límite inferior\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\),, y\(L \in \mathbb{R} .\) Nosotros decimos que el límite de\(f\) como\(-\infty\) se\(x\) acerca se\(L,\) denota
\[\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=L,\]
si por cada\(\epsilon>0\) existe un número real\(M\) tal que
\[|f(x)-L|<\epsilon \text { whenever } x \in(-\infty, M) \cap D.\]
Verifica eso\(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+1}{x+2}=1\).
Proporcionar definiciones para
a.\(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty\),
b.\(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty\),
c.\(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty\),
d\(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty\).
Modele sus definiciones sobre las definiciones anteriores.
Supongamos
\[f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d,\]
donde\(a, b, c, d \in \mathbb{R}\) y\(a>0 .\) Demostrar que
\[\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty \text { and } \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty .\]