6.3: Teorema del Valor Medio

Definición

Decimos que\(f\) es diferenciable en un intervalo abierto\(I\) si\(f\) es diferenciable en cada punto\(a \in I\).

Definición

\(f: D \rightarrow \mathbb{R} .\)Supongamos\(D \subset \mathbb{R}\) y Decimos\(f\) tiene un máximo local en un punto\(a \in D\) si existe\(\delta>0\) tal que\(f(a) \geq f(x)\) para todos\(x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D .\) Decimos\(f\) tiene un mínimo local en un punto\(a \in D\) si existe\(\delta>0\) tal que\(f(a) \leq f(x)\) para todos\(x \in(a-\delta, a+\delta) \cap D .\)

Proposición\(\PageIndex{1}\)

Supongamos\(D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) y\(a\) es un punto interior de\(D\) en el que\(f\) tiene ya sea un máximo local o un mínimo local. Si\(f\) es diferenciable en\(a,\) ese entonces\(f^{\prime}(a)=0\).

Prueba

Supongamos que\(f\) tiene un máximo local at\(a\) (un argumento similar funciona si\(f\) tiene un mínimo local at\(a\)). Elige\(\delta>0\) para que\((a-\delta, a+\delta) \subset D\) y\(f(a) \geq f(x)\) para todos\(x \in(a-\delta, a+\delta) .\) Entonces

\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \geq 0\]

para todos\(x \in(a-\delta, a)\) y

\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leq 0\]

para todos\(x \in(a, a+\delta) .\) Por lo tanto

\[\lim _{x \rightarrow a^{-}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \geq 0\]

y

\[\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leq 0.\]

De ahí

\[0 \leq \lim _{x \rightarrow a^{-}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leq 0,\]

así que debemos tener\(f^{\prime}(a)=0\). \(\quad\)Q.E.D.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

(Teorema de Rolle).

Dejar\(a, b \in \mathbb{R}\) y suponer\(f\) es continuo\([a, b]\) y diferenciable en\((a, b) .\) Si\(f(a)=f(b),\) entonces existe un punto\(c \in(a, b)\) en el que\(f^{\prime}(c)=0\).

Prueba

Por el Teorema del Valor Extremo, sabemos que\(f\) alcanza un valor máximo y un valor mínimo en\([a, b] .\) Let\(m\) ser el valor mínimo y\(M\) el valor máximo de\(f\) on\([a, b] .\) Si\(m=M=f(a)=f(b),\) entonces\(f(x)=m\) para todos\(x \in[a, b],\) y así\(f^{\prime}(x)=0\) para todos\(x \in(a, b) .\) De lo contrario, uno de \(m\)o\(M\) ocurre en un punto\(c\) en\((a, b) .\) Por lo tanto\(f\) tiene un máximo local o un mínimo local en\(c,\) y así\(f^{\prime}(c)=0 .\)\(\quad\) Q.E.D.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\(f\) es diferenciable en\((a, b)\) y\(f^{\prime}(x) \neq 0\) para todos\(x \in(a, b) .\) Demostrar eso para cualquier\(x, y \in(a, b), f(x) \neq f(y)\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Explique por qué la ecuación\(x^{5}+10 x=5\) tiene exactamente una solución.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Dejar\(f(x)\) ser un polinomio de tercer grado. Demostrar que la ecuación\(f(x)=0\) como al menos una, pero no más de tres, soluciones.

6.3.2 Teorema del Valor Medio

Teorema\(\PageIndex{3}\)

(Teorema del Valor Medio Generalizado).

Let\(a, b \in \mathbb{R} .\) Si\(f\) y\(g\) son continuos\([a, b]\) y diferenciables en\((a, b),\) entonces existe un punto\(c \in(a, b)\) en el que

\[(f(b)-f(a)) g^{\prime}(c)=(g(b)-g(a)) f^{\prime}(c).\]

Prueba

Vamos

\[h(t)=(f(b)-f(a)) g(t)-(g(b)-g(a)) f(t).\]

Entonces\(h\) es continuo\([a, b]\) y diferenciable en\((a, b) .\) Por otra parte,

\[\begin{aligned} h(a) &=f(b) g(a)-f(a) g(a)-f(a) g(b)+f(a) g(a) \\ &=f(b) g(a)-f(a) g(b) \end{aligned}\]

y

\[\begin{aligned} h(b) &=f(b) g(b)-f(a) g(b)-f(b) g(b)+f(b) g(a) \\ &=f(b) g(a)-f(a) g(b). \end{aligned}\]

De ahí que, por el teorema de Rolle, exista un punto\(c \in(a, b)\) en el que\(h^{\prime}(c)=0 .\) Pero entonces

\[0=h^{\prime}(c)=(f(b)-f(a)) g^{\prime}(c)-(g(b)-g(a)) f^{\prime}(c),\]

lo que implica que

\[(f(b)-f(a)) g^{\prime}(c)=(g(b)-g(a)) f^{\prime}(c).\]

Q.E.D.

Teorema\(\PageIndex{4}\)

(Teorema del Valor Medio).

Let\(a, b \in \mathbb{R} .\) Si\(f\) es continuo\([a, b]\) y diferenciable en\((a, b),\) entonces existe un punto\(c \in(a, b)\) en el que

\[f(b)-f(a)=(b-a) f^{\prime}(c).\]

Prueba

Aplicar el resultado anterior con\(g(x)=x\). \(\quad\)Q.E.D.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Demostrar el Teorema del Valor Medio usando el teorema de Rolle y la función

\[k(t)=f(t)-\left(\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)(t-a)+f(a)\right).\]

Dar una interpretación geométrica\(k\) y compararla con la función\(h\) utilizada en la prueba del teorema del valor medio generalizado.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Let\(a, b \in \mathbb{R} .\) Supongamos\(f\) es continuo en\([a, b],\) diferenciable en\((a, b),\) y\(\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M\) para todos\(x \in(a, b) .\) Mostrar eso

\[|f(b)-f(a)| \leq M|b-a|.\]

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Demostrar que para todos\(x>0\),

\[\sqrt{1+x}<1+\frac{x}{2}.\]

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Supongamos que\(I\) es un intervalo abierto,\(f: I \rightarrow \mathbb{R},\) y\(f^{\prime}(x)=0\) para todos\(x \in I .\) Mostrar que existe\(\alpha \in \mathbb{R}\) tal que\(f(x)=\alpha\) para todos\(x \in I\).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Supongamos que\(I\) es un intervalo abierto,\(f: I \rightarrow \mathbb{R}, g: I \rightarrow \mathbb{R},\) y\(f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)\) para todos\(x \in I .\) Mostrar que existe\(\alpha \in \mathbb{R}\) tal que

\[g(x)=f(x)+\alpha\]

para todos\(x \in I\).

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Let\(D=\mathbb{R} \backslash\{0\} .\) Definir\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) y\(g: D \rightarrow \mathbb{R}\) por\(f(x)=x^{2}\) y

\[g(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x^{2},} & {\text { if } x<0,} \\ {x^{2}+1,} & {\text { if } x>0.}\end{array}\right.\]

Demostrar que\(f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)\) para todos\(x \in D,\) pero no existe\(\alpha \in \mathbb{R}\) tal que\(g(x)=f(x)+\alpha\) para todos\(x \in D .\) ¿Por qué esto no contradice la conclusión del ejercicio anterior?

Proposición\(\PageIndex{5}\)

Si\(f\) es diferenciable sobre\((a, b)\) y\(f^{\prime}(x)>0\) para todos\(x \in(a, b)\), entonces\(f\) va aumentando en\((a, b)\).

Prueba

Que\(x, y \in(a, b)\) con\(x<y .\) Por el Teorema del Valor Medio, existe un punto\(c \in(x, y)\) tal que

\[f(y)-f(x)=(y-x) f^{\prime}(c).\]

Desde\(y-x>0\) y\(f^{\prime}(c)>0,\) tenemos\(f(y)>f(x),\) y así\(f\) está aumentando en\((a, b) .\)\(\quad\) Q.E.D.

Teorema\(\PageIndex{6}\)

Si\(f\) es diferenciable en\((a, b)\) y\(f^{\prime}(x)<0\) para todos\(x \in(a, b)\), entonces\(f\) está disminuyendo en\((a, b)\).

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Estabilizar y demostrar condiciones similares para funciones no crecientes y no decrecientes.