7.4: Propiedades de Integrales
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Si\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) y\(g: D \rightarrow \mathbb{R},\) entonces
\[\sup \{f(x)+g(x): x \in D\} \leq \sup \{f(x): x \in D\}+\sup \{g(x): x \in D\}\]
y
\[\inf \{f(x)+g(x): x \in D\} \geq \inf \{f(x): x \in D\}+\inf \{g(x): x \in D\}\]
Demostrar la proposición anterior.
Encuentra ejemplos para los que las desigualdades en la proposición anterior son estrictas.
Supongamos\(f\) y ambos\(g\) son integrables en\([a, b] .\) Entonces\(f+g\) es integrable en\([a, b]\) y
\[\int_{a}^{b}(f+g)=\int_{a}^{b} f+\int_{a}^{b} g.\]
- Prueba
-
Dado\(\epsilon>0,\) dejar\(P_{1}\) y\(P_{2}\) ser particiones de\([a, b]\) con
\[U\left(f, P_{1}\right)-L\left(f, P_{1}\right)<\frac{\epsilon}{2}\]
y
\[U\left(g, P_{2}\right)-L\left(g, P_{2}\right)<\frac{\epsilon}{2}.\]
Dejemos\(P=P_{1} \cup P_{2} .\) Por la proposición anterior,
\[U(f+g, P) \leq U(f, P)+U(g, P)\]
y
\[L(f+g, P) \geq L(f, P)+L(g, P).\]
De ahí
\[\begin{aligned} U(f+g, P)-L(f+g, P) & \leq(U(f, P)+U(g, P))-(L(f, P)+L(g, P)) \\ &=(U(f, P)-L(f, P))+(U(g, P)-L(g, P)) \\ & \leq\left(U\left(f, P_{1}\right)-L\left(f, P_{1}\right)\right)+\left(U\left(g, P_{2}\right)-L(g, 2 P)\right) \\ &<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon . \end{aligned}\]
De ahí\(f+g\) que sea integrable en\([a, b]\).
Por otra parte,
\[\begin{aligned} \int_{a}^{b}(f+g) & \leq U(f+g, P) \\ & \leq U(f, P)+U(g, P) \\ & \leq\left(\int_{a}^{b} f+\frac{\epsilon}{2}\right)+\left(\int_{a}^{b} g+\frac{\epsilon}{2}\right) \\ &=\int_{a}^{b} f+\int_{a}^{b} g+\epsilon \end{aligned}\]
y
\[\begin{aligned} \int_{a}^{b}(f+g) & \geq L(f+g, P) \\ & \geq L(f, P)+L(g, P) \\ & \geq\left(\int_{a}^{b} f-\frac{\epsilon}{2}\right)+\left(\int_{a}^{b} g-\frac{\epsilon}{2}\right) \\ &=\int_{a}^{b} f+\int_{a}^{b} g-\epsilon . \end{aligned}\]
Dado que\(\epsilon>0\) fue arbitrario, se deduce que
\[\int_{a}^{b}(f+g)=\int_{a}^{b} f+\int_{a}^{b} g.\]
Q.E.D.
Supongamos\(a<b\)\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) y y\(g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) están ambos acotados. Demostrar que
\[\overline{\int_{a}^{b}}(f+g) \leq \overline{\int_{a}^{b}} f+\overline{\int_{a}^{b}} g.\]
Encuentra un ejemplo para el que la desigualdad sea estricta.
Encuentra un ejemplo para mostrar que\(f+g\) puede ser integrable\([a, b]\) aunque\(f\) ni\(g\) sea integrable en\([a, b]\).
Si\(f\) es integrable encendido\([a, b]\) y\(\alpha \in \mathbb{R},\) luego\(\alpha f\) es integrable en\([a, b]\) y
\[\int_{a}^{b} \alpha f=\alpha \int_{a}^{b} f.\]
Demostrar la proposición anterior.
Supongamos que\(a<b, f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) está acotado, y\(c \in(a, b)\). Entonces\(f\) es integrable en\([a, b]\) si y solo si\(f\) es integrable en ambos\([a, c]\) y\([c, b] .\)
- Prueba
-
Supongamos que\(f\) es integrable en\([a, b] .\) Given\(\epsilon>0,\) deja\(Q\) ser una partición de\([a, b]\) tal manera que
\[U(f, Q)-L(f, Q)<\epsilon .\]
Deja\(P=Q \cup\{c\}, P_{1}=P \cap[a, c],\) y\(P_{2}=P \cap[c, b] .\) luego
\[\begin{aligned}\left(U\left(f, P_{1}\right)-L\left(f, P_{1}\right)\right)+\left(U\left(f, P_{2}\right)-L\left(f, P_{2}\right)\right) &=\left(U\left(f, P_{1}\right)+U\left(f, P_{2}\right)\right) \\ &-\left(L\left(f, P_{1}\right)+L\left(f, P_{2}\right)\right) \\ &=U(f, P)-L(f, P) \\ & \leq U(f, Q)-L(f, Q) \\ &<\epsilon . \end{aligned}\]
Por lo tanto debemos tener ambos
\[U\left(f, P_{1}\right)-L\left(f, P_{1}\right)<\epsilon\]
y
\[U\left(f, P_{2}\right)-L\left(f, P_{2}\right)<\epsilon.\]
De ahí\(f\) que sea integrable en ambos\([a, c]\) y\([c, b]\).
Ahora supongamos que\(f\) es integrable en ambos\([a, c]\) y\([c, b] .\) dado\(\epsilon>0,\) let\(P_{1}\) y\(P_{2}\) ser particiones de\([a, c]\) y\([c, b],\) respectivamente, tal que
\[U\left(f, P_{1}\right)-L\left(f, P_{1}\right)<\frac{\epsilon}{2}\]
y
\[U\left(f, P_{2}\right)-L\left(f, P_{2}\right)<\frac{\epsilon}{2}.\]
Vamos\(P=P_{1} \cup P_{2}\). Entonces\(P\) es una partición de\([a, b]\) y
\[\begin{aligned} U(f, P)-L(f, P) &=\left(U\left(f, P_{1}\right)+U\left(f, P_{2}\right)\right)-\left(L\left(f, P_{1}\right)+L\left(f, P_{2}\right)\right) \\ &=\left(U\left(f, P_{1}\right)-L\left(f, P_{1}\right)\right)+\left(U\left(f, P_{2}\right)-L\left(f, P_{2}\right)\right) \\ &<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} \\ &=\epsilon . \end{aligned}\]
Así\(f\) es integrable en\([a, b]\). \(\quad\)Q.E.D.
Supongamos que\(f\) es integrable en\([a, b]\) y\(c \in(a, b) .\) Entonces
\[\int_{a}^{b} f=\int_{a}^{c} f+\int_{c}^{b} f.\]
- Prueba
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Si\(P\) y\(Q\) son particiones de\([a, c]\) y\([c, b],\) respectivamente, entonces
\[U(f, P)+U(f, Q)=U(f, P \cup Q) \geq \int_{a}^{b} f.\]
Así
\[U(f, P) \geq \int_{a}^{b} f-U(f, Q),\]
por lo
\[\int_{a}^{c} f= \overline{\int_{a}^{c}} f \geq \int_{a}^{b} f-U(f, Q) .\]
De ahí
\[U(f, Q) \geq \int_{a}^{b} f-\int_{a}^{c} f,\]
por lo
\[\int_{c}^{b} f= \overline{\int_{c}^{b}} f \geq \int_{a}^{b} f-\int_{a}^{c} f.\]
Así
\[\int_{a}^{c} f+\int_{c}^{b} f \geq \int_{a}^{b} f.\]
Del mismo modo, si\(P\) y\(Q\) son particiones de\([a, c]\) y\([c, b],\) respectivamente, entonces
\[L(f, P)+L(f, Q)=L(f, P \cup Q) \leq \int_{a}^{b} f.\]
Así
\[L(f, P) \leq \int_{a}^{b} f-L(f, Q),\]
por lo
\[\int_{a}^{c} f= \underline{\int_{a}^{c}} f \leq \int_{a}^{b} f-L(f, Q).\]
De ahí
\[L(f, Q) \leq \int_{a}^{b} f-\int_{a}^{c} f,\]
por lo
\[\int_{c}^{b} f= \underline{\int_{c}^{b}} f \leq \int_{a}^{b} f-\int_{a}^{c} f.\]
Así
\[\int_{a}^{c} f+\int_{c}^{b} f \leq \int_{a}^{b} f.\]
De ahí
\[\int_{a}^{c} f+\int_{c}^{b} f=\int_{a}^{b} f.\]
Q.E.D.
Supongamos que\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\)\(B\) está acotado y es un subconjunto finito de\((a, b) .\) Show que si\(f\) es continuo en\([a, b] \backslash B,\) entonces\(f\) es integrable en\([a, b]\).
Si\(f\) es integrable\([a, b]\) con\(f(x) \geq 0\) para todos\(x \in[a, b]\), entonces
\[\int_{a}^{b} f \geq 0.\]
- Prueba
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El resultado se desprende del hecho de que\(L(f, P) \geq 0\) para cualquier partición\(P\) de\([a, b]\). \(\quad\)Q.E.D.
Supongamos\(f\) y ambos\(g\) son integrables en\([a, b] .\) Si, para todos\(x \in[a, b], f(x) \leq g(x),\) entonces
\[\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g.\]
- Prueba
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Ya que\(g(x)-f(x) \geq 0\) para todo\(x \in[a, b],\) lo que tenemos, usando las Proposiciones 7.4.2, 7.4.3 y 7.4.6
\[\int_{a}^{b} g-\int_{a}^{b} f=\int_{a}^{b}(g-f) \geq 0.\]
Q.E.D.
Supongamos que\(f\) es integrable en\([a, b], m \in \mathbb{R}, M \in \mathbb{R},\) y\(m \leq f(x) \leq M\) para todos\(x \in[a, b] .\) Entonces
\[m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M(b-a).\]
- Prueba
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De la proposición anterior se desprende que
\[m(b-a)=\int_{a}^{b} m d x \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq \int_{a}^{b} M d x=M(b-a).\]
Q.E.D.
Demostrar que
\[1 \leq \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x \leq 2.\]
Supongamos que\(f\) es continuo en\([0,1],\) diferenciable en\((0,1)\),\(f(0)=0,\) y\(\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1\) para todos\(x \in(0,1) .\) Mostrar eso
\[-\frac{1}{2} \leq \int_{0}^{1} f \leq \frac{1}{2}.\]
Supongamos que\(f\) es integrable\([a, b]\) y definido\(F:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}\) por
\[F(x)=\int_{a}^{x} f.\]
Demostrar que existe\(\alpha \in \mathbb{R}\) tal que para cualquiera\(x, y \in(a, b)\) con\(x<y\),
\[|F(y)-F(x)| \leq \alpha(y-x).\]
Supongamos que\(g\) es integrable\([a, b], g([a, b]) \subset[c, d],\) y\(f:[c, d] \rightarrow \mathbb{R}\) es continuo. Si\(h=f \circ g,\) entonces\(h\) es integrable en\([a, b]\).
- Prueba
-
Dejemos\(\epsilon>0\) que se den. Let
\[K>\sup \{f(x): x \in[c, d]\}-\inf \{f(x): x \in[c, d]\}\]
y elegir\(\delta>0\) para que\(\delta<\epsilon\) y
\[|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2(b-a)}\]
siempre\(|x-y|<\delta .\) que\(P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}\) sea una partición de\([a, b]\) tal manera que
\[U(g, P)-L(g, P)<\frac{\delta^{2}}{2 K}.\]
Para\(i=1,2, \dots, n,\) dejar
\[m_{i}=\inf \left\{g(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\},\]
\[M_{i}=\sup \left\{g(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\},\]
\[w_{i}=\inf \left\{h(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\},\]
y
\[W_{i}=\sup \left\{h(x): x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\}.\]
Por último, vamos
\[I=\left\{i: i \in \mathbb{Z}, 1 \leq i \leq n, M_{i}-m_{i}<\delta\right\}\]
y
\[J=\left\{i: i \in \mathbb{Z}, 1 \leq i \leq n, M_{i}-m_{i} \geq \delta\right\}.\]
Tenga en cuenta que
\[\begin{aligned} \delta \sum_{i \in J}\left(x_{i}-x_{i-1}\right) & \leq \sum_{i \in J}\left(M_{i}-m_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ & \leq \sum_{i=1}^{n}\left(M_{i}-m_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &<\frac{\delta^{2}}{2 K}, \end{aligned}\]
de lo que se deduce que
\[\sum_{i \in J}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)<\frac{\delta}{2 K}.\]
Entonces
\[\begin{aligned} U(h, P)-L(h, P) &=\sum_{i \in I}\left(W_{i}-w_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right)+\sum_{i \in J}\left(W_{i}-w_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &<\frac{\epsilon}{2(b-a)} \sum_{i \in I}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)+K \sum_{i \in J}\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\delta}{2} \\ &<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} \\ &=\epsilon . \end{aligned}\]
Así\(h\) es integrable en\([a, b]\). \(\quad\)Q.E.D.
Supongamos\(f\) y ambos\(g\) son integrables en\([a, b] .\) Entonces\(f g\) es integrable en\([a, b]\).
- Prueba
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Ya que\(f\) y\(g\) son ambos integrables, ambos\(f+g\) y\(f-g\) son integrables. De ahí que, por la proposición anterior, ambos\((f+g)^{2}\) y\((f-g)^{2}\) sean integrables. Así
\[\left.\frac{1}{4}\left((f+g)^{2}-(f-g)^{2}\right)\right)=f g\]
es integrable en\([a, b]\). \(\quad\)Q.E.D.
Supongamos que\(f\) es integrable en\([a, b] .\) Entonces\(|f|\) es integrable en\([a, b]\) y
\[\left|\int_{a}^{b} f\right| \leq \int_{a}^{b}|f|.\]
- Prueba
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La integrabilidad de\(|f|\) se desprende de la integrabilidad de\(f,\) la continuidad de\(g(x)=|x|,\) y Proposición\(7.4 .9 .\) Para la desigualdad, señalar que
\[-|f(x)| \leq f(x) \leq|f(x)|\]
para todos\(x \in[a, b] .\) Por lo tanto
\[-\int_{a}^{b}|f| \leq \int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b}|f|, \]
de la que se desprende el resultado. \(\quad\)Q.E.D.
O prueba la siguiente declaración o muestra que es falsa encontrando un contraejemplo: Si\(f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) está limitado y\(f^{2}\) es integrable on\([0,1],\) entonces\(f\) es integrable en\([0,1] .\)
7.4.1 Definiciones ampliadas
Si es\(f\) integrable\([a, b],\) entonces definimos
\[\int_{b}^{a} f=-\int_{a}^{b} f.\]
Además, si\(f\) es una función definida en un punto\(a \in \mathbb{R},\) definimos
\[\int_{a}^{a} f=0.\]
Supongamos que\(f\) es integrable en un intervalo cerrado que contiene el
puntos\(a, b,\) y\(c .\) Demostrar que
\[\int_{a}^{b} f=\int_{a}^{c} f+\int_{c}^{b} f.\]