7.5: El teorema fundamental del cálculo

Teorema\(\PageIndex{1}\)

(Teorema Fundamental del Cálculo)

Supongamos que\(f\) es integrable en\([a, b] .\) Si\(F\) es continuo encendido\([a, b]\) y diferenciable en\((a, b)\) con\(F^{\prime}(x)=f(x)\) para todos\(x \in(a, b),\) entonces

\[\int_{a}^{b} f=F(b)-F(a).\]

Prueba

Dado\(\epsilon>0,\) dejar\(P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\}\) ser una partición de\([a, b]\) para la cual

\[U(f, P)-L(f, P)<\epsilon .\]

Por\(i=1,2, \ldots, n,\) let\(t_{i} \in\left(x_{i-1}, x_{i}\right)\) be puntos para los cuales

\[F\left(x_{i}\right)-F\left(x_{i-1}\right)=f\left(t_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right).\]

Entonces

\[\sum_{i=1}^{n} f\left(t_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(F\left(x_{i}\right)-F\left(x_{i-1}\right)\right)=F(b)-F(a).\]

Pero

\[L(f, P) \leq \sum_{i=1}^{n} f\left(t_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \leq U(f, P),\]

por lo

\[\left|F(b)-F(a)-\int_{a}^{b} f\right|<\epsilon .\]

Dado que\(\epsilon\) fue arbitrario, concluimos que

\[\int_{a}^{b} f=F(b)-F(a).\]

Q.E.D.

Proposición\(\PageIndex{2}\)

(Integración por partes)

Supongamos\(f\) y\(g\) son integrables

on\([a, b] .\) Si\(F\) y\(G\) son continuos\([a, b]\) y diferenciables\((a, b)\) con\(F^{\prime}(x)=f(x)\) y\(G^{\prime}(x)=g(x)\) para todos\(x \in(a, b),\) entonces

\[\int_{a}^{b} F(x) g(x) d x=F(b) G(b)-F(a) G(a)-\int_{a}^{b} f(x) G(x) d x.\]

Prueba

Por el Teorema Fundamental del Cálculo,

\[\int_{a}^{b}(F(x) g(x)+f(x) G(x)) d x=F(b) G(b)-F(a) G(a).\]

Q.E.D.

7.5.1 El otro Teorema Fundamental del Cálculo

Proposición\(\PageIndex{3}\)

Supongamos que\(f\) es integrable\([a, b]\) y\(F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) está definido por

\[F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t.\]

Luego\(F\) es uniformemente continuo en\([a, b] .\)

Prueba

\(\epsilon>0\)Sea dado y\(M>0\) sea tal que\(|f(x)| \leq M\) para todos\(x \in[a, b] .\) Entonces para cualquiera\(x, y \in[a, b]\) con\(x<y\) y\(y-x<\frac{e}{M}\),

\[|F(y)-F(x)|=\left|\int_{x}^{y} f(t) d t\right| \leq M(y-x)<\epsilon .\]

De ahí\(F\) que sea uniformemente continuo en\([a, b] . \quad\) Q.E.D.

El siguiente teorema a menudo se considera parte del Teorema Fundamental del Cálculo.

Teorema\(\PageIndex{4}\)

Supongamos que\(f\) es integrable\([a, b]\) y continuo en\(u \in(a, b) .\) Si\(F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) está definido por

\[F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t,\]

entonces\(F\) es diferenciable en\(u\) y\(F^{\prime}(u)=f(u)\).

Prueba

Dejemos\(\epsilon>0\) que se den y escojan\(\delta>0\) tal que\(|f(x)-f(u)|<\epsilon\) cada vez\(|x-u|<\delta .\) Entonces si\(0<h<\delta,\) tenemos

\[\begin{aligned}\left|\frac{F(u+h)-F(u)}{h}-f(u)\right| &=\left|\frac{1}{h} \int_{u}^{u+h} f(t) d t-f(u)\right| \\ &=\left|\frac{1}{h} \int_{u}^{u+h}(f(t)-f(u)) d t\right| \\ &<\epsilon . \end{aligned}\]

Si\(-\delta<h<0,\) entonces

\[\begin{aligned}\left|\frac{F(u+h)-F(u)}{h}-f(u)\right| &=\left|-\frac{1}{h} \int_{u+h}^{u} f(t) d t-f(u)\right| \\ &=\left|\frac{1}{h} \int_{u+h}^{u} f(t) d t+f(u)\right| \\ &=\left|\frac{1}{h} \int_{u+h}^{u} f(t) d t-\frac{1}{h} \int_{u+h}^{u} f(u) d t\right| \\ &=\left|\frac{1}{h} \int_{u+h}^{u}(f(t)-f(u)) d t\right| \\ &<\epsilon . \end{aligned}\]

De ahí

\[F^{\prime}(u)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{F(u+h)-F(u)}{h}=f(u) .\]

Q.E.D.

Proposición\(\PageIndex{5}\)

Si\(a<b\) y\(f\) es continuo\([a, b],\) entonces existe una función\(F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) que es continua\([a, b]\) con\(F^{\prime}(x)=f(x)\) para todos\(x \in(a, b) .\)

Prueba

Let

\[F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t .\]

Q.E.D.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Si

\[g(x)=\int_{0}^{x} \sqrt{1+t^{4}} d t,\]

entonces\(g^{\prime}(x)=\sqrt{1+x^{4}}\).

Proposición\(\PageIndex{6}\)

(Integración por sustitución)

Supongamos que\(I\) es un intervalo abierto,\(\varphi: I \rightarrow \mathbb{R}, a<b,[a, b] \subset I,\) y\(\varphi^{\prime}\) es continuo en\([a, b] .\) Si\(f: \varphi([a, b]) \rightarrow \mathbb{R}\) es continuo, entonces

\[\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u) d u=\int_{a}^{b} f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) d x.\]

Prueba

Si\(m\) y\(M\) son los valores mínimo y máximo, respectivamente, de\(\varphi\) on\([a, b],\) entonces\(\varphi([a, b])=[m, M] .\) Si\(m=M,\) entonces\(\varphi(x)=m\) para todos\(x \in[a, b],\) y ambos lados de\((7.5 .17)\) son\(0 .\) Así que podemos asumir\(m<M .\) Let\(F\) ser una función que es continua en \([m, M]\)con\(F^{\prime}(u)=f(u)\) por cada\(u \in(m, M) .\) Let\(g=F \circ \varphi .\) Entonces

\[g^{\prime}(x)=F^{\prime}(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x)=f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x).\]

Así que si\(\varphi(a) \leq \varphi(b)\),

\[\begin{aligned} \int_{a}^{b} f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) d x &=g(b)-g(a) \\ &=F(\varphi(b))-F(\varphi(a)) \\ &=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u) d u. \end{aligned}\]

Si\(\varphi(a)>\varphi(b),\) entonces

\[\begin{aligned} \int_{a}^{b} f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) d x &=g(b)-g(a) \\ &=F(\varphi(b))-F(\varphi(a)) \\ &=-(F(\varphi(a))-F(\varphi(b))) \\ &=-\int_{\varphi(b)}^{\varphi(a)} f(u) d u \\ &=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u) d u. \end{aligned}\]

Q.E.D.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Evaluar

\[\int_{0}^{1} u \sqrt{u+1} d u\]

utilizando (a) integración por partes y (b) sustitución.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que\(\varphi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) es diferenciable\(\mathbb{R}\) y periódico con periodo\(1(\text { that is, } \varphi(x+1)=\varphi(x) \text { for every } x \in \mathbb{R}) .\) Mostrar que para cualquier función continua\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\),

\[\int_{0}^{1} f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) d x=0.\]

Teorema\(\PageIndex{7}\)

(Teorema del Valor Medio Integral)

Si\(f\) es continuo\([a, b],\) entonces existe\(c \in[a, b]\) tal que

\[\int_{a}^{b} f=f(c)(b-a).\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demostrar el Teorema del Valor Medio Integral.

Teorema\(\PageIndex{8}\)

(Teorema del Valor Medio Integral Generalizado)

Si\(f\) y\(g\) son continuos en\([a, b]\) y\(g(x)>0\) para todos\(x \in[a, b],\) entonces existe\(c \in[a, b]\) tal que

\[\int_{a}^{b} f g=f(c) \int_{a}^{b} g.\]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Demostrar el Teorema del Valor Medio Integral Generalizado.