8.1: La función Arcangente
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Para cualquiera\(x \in \mathbb{R},\) que llamemos
\[\arctan (x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^{2}} d t\]
el arcoangente de\(x .\)
La función arcangente es diferenciable en cada\(x \in \mathbb{R} .\)
Además, si\(f(x)=\arctan (x),\) entonces
\[f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.\]
- Prueba
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El resultado se desprende inmediatamente del Teorema\(7.5 .4 .\)\(\quad\) Q.E.D.
El arcoangente va en aumento en\(\mathbb{R}\).
- Prueba
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El resultado se desprende inmediatamente de la proposición anterior y del hecho de que
\[\frac{1}{1+x^{2}}>0\]
para cada\(x \in \mathbb{R}\). \(\quad\)Q.E.D.
\(\pi=2 \lim _{x \rightarrow+\infty} \arctan (x)=2 \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+t^{2}} d t\)
Tenga en cuenta que\(0<\pi<4\) por ejemplo\(7.7 .1 .\)
La siguiente proposición dice que la función arcoangente es una función impar.
Para cualquier\(x \in \mathbb{R},\) arctan\((x)=-\arctan (-x)\).
- Prueba
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Usando la sustitución\(t=-u,\) que tenemos
\[\begin{aligned} \arctan (x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^{2}} d t=-\int_{0}^{-x} \frac{1}{1+u^{2}} d u=-\arctan (-x). & \end{aligned}\]
Q.E.D.
Ahora se deduce que
\[\lim _{x \rightarrow-\infty} \arctan (x)=-\lim _{x \rightarrow-\infty} \arctan (-x)=-\frac{\pi}{2}.\]
De ahí que el rango de la función arcangente sea\(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\).
Si\(x>0,\) entonces
\[\arctan (x)+\arctan \left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}.\]
- Prueba
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Usando la sustitución\(t=\frac{1}{u},\) que tenemos
\[\begin{aligned} \arctan \left(\frac{1}{x}\right) &=\int_{0}^{\frac{1}{x}} \frac{1}{1+t^{2}} d t \\ &=\int_{+\infty}^{x} \frac{1}{1+\frac{1}{u^{2}}}\left(-\frac{1}{u^{2}}\right) d u \\ &=-\int_{+\infty}^{x} \frac{1}{1+u^{2}} d u \\ &=\int_{x}^{+\infty} \frac{1}{1+u^{2}} d u \\ &=\frac{\pi}{2}-\int_{0}^{x} \frac{1}{1+u^{2}} d u \\ &=\frac{\pi}{2}-\arctan (x). \end{aligned}\]
Q.E.D.
Si\(x<0\), entonces
\[\arctan (x)+\arctan \left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{\pi}{2}.\]
- Prueba
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El resultado se desprende inmediatamente de la proposición anterior y del hecho de que arcoangente es una función impar.
Demuestre que arctan\((1)=\frac{\pi}{4}\) y\(\arctan (-1)=-\frac{\pi}{4}\).