8.2: La función tangente

Let

\[A=\left\{\frac{\pi}{2}+n \pi: n \in \mathbb{Z}\right\}\]

y\(D=\mathbb{R} \backslash A\). Let

\[t:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}\]

ser la inversa de la función arcotangente. Tenga en cuenta que\(t\) es creciente y diferenciable en\(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) .\) Podemos extender\(t\) a una función de la\(D\) siguiente manera: Para cualquier\(x \in D,\) let

\[g(x)=\sup \left\{n: n \in \mathbb{Z},-\frac{\pi}{2}+n \pi<x\right\}\]

y definir\(T(x)=t(x-g(x) \pi)\).

Definición

Con la notación de la discusión anterior, para cualquiera\(x \in D,\) llamamos al valor\(T(x)\) la tangente de la\(x,\) que denotamos\(\tan (x) .\)

Proposición\(\PageIndex{1}\)

La función tangente tiene dominio\(D\) (como se definió anteriormente), rango\(\mathbb{R},\) y es diferenciable en cada punto\(x \in D .\) Además, la función tangente está aumentando en cada intervalo de la forma

\[\left(-\frac{\pi}{2}+n \pi, \frac{\pi}{2}+n \pi\right),\]

\(n \in \mathbb{Z},\)con

\[\tan \left(\left(\frac{\pi}{2}+n \pi\right)+\right)=-\infty\]

y

\[\tan \left(\left(\frac{\pi}{2}+n \pi\right)-\right)=+\infty .\]

Prueba

Estos resultados se derivan inmediatamente de nuestras definiciones. \(\quad\)Q.E.D.

Definición

Vamos\(E \subset \mathbb{R}\). Decimos que una función\(f: E \rightarrow \mathbb{R}\) es periódica si existe un número real\(p>0\) tal que, para cada uno\(x \in E, x+p \in E\) y\(f(x+p)=f(x) .\) decimos\(p\) es el periodo de una función periódica\(f\) si\(p\) es el número positivo más pequeño para el cual\(f(x+p)=f(x)\) para todos\(x \in E .\)

Proposición\(\PageIndex{2}\)

La función tangente tiene punto\(\pi .\)

Prueba

El resultado se desprende inmediatamente de nuestras definiciones. \(\quad\)Q.E.D.

Proposición\(\PageIndex{3}\)

(Fórmula de adición para tangente)

Para cualquiera\(x, y \in D\) con\(x+y \in D\),

\[\tan (x+y)=\frac{\tan (x)+\tan (y)}{1-\tan (x) \tan (y)}.\]

Prueba

\(y_{1}+y_{2} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) .\)Supongamos\(y_{1}, y_{2} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) con Let\(x_{1}=\tan \left(y_{1}\right)\) y\(x_{2}=\tan \left(y_{2}\right) .\) Note que si\(x_{1}>0,\) entonces\(x_{1} x_{2} \geq 1\) implicaría que

\[x_{2} \geq \frac{1}{x_{1}},\]

lo que a su vez implica que

\[\begin{aligned} y_{1}+y_{2} &=\arctan \left(x_{1}\right)+\arctan \left(x_{2}\right) \\ & \geq \arctan \left(x_{1}\right)+\arctan \left(\frac{1}{x_{1}}\right) \\ &=\frac{\pi}{2}, \end{aligned}\]

contrario a nuestras suposiciones. Del mismo modo, si\(x_{1}<0,\) entonces\(x_{1} x_{2} \geq 1\) implicaría que

\[x_{2} \leq \frac{1}{x_{1}},\]

lo que a su vez implica que

\[\begin{aligned} y_{1}+y_{2} &=\arctan \left(x_{1}\right)+\arctan \left(x_{2}\right) \\ & \leq \arctan \left(x_{1}\right)+\arctan \left(\frac{1}{x_{1}}\right) \\ &=-\frac{\pi}{2}, \end{aligned}\]

contrario a nuestras suposiciones. Así debemos tener Por\(x_{1} x_{2}<1 .\) otra parte, supongamos que\(u\) es un número entre\(-x_{1}\) y\(x_{2} .\) Si\(x_{1}>0,\) entonces

\[x_{2}<\frac{1}{x_{1}},\]

y así

\[u<\frac{1}{x_{1}}.\]

Si\(x_{1}<0,\) entonces

\[x_{2}>\frac{1}{x_{1}},\]

y así

\[u>\frac{1}{x_{1}}.\]

Ahora vamos

\[x=\frac{x_{1}+x_{2}}{1-x_{1} x_{2}}.\]

Queremos demostrar que

\[\arctan (x)=\arctan \left(x_{1}\right)+\arctan \left(x_{2}\right),\]

lo que implicará que

\[\frac{\tan \left(y_{1}\right)+\tan \left(y_{2}\right)}{1-\tan \left(y_{1}\right) \tan \left(y_{2}\right)}=\tan \left(y_{1}+y_{2}\right).\]

Tenemos que computar

\[\arctan (x)=\arctan \left(\frac{x_{1}+x_{2}}{1-x_{1} x_{2}}\right)=\int_{0}^{\frac{x_{1}+x_{2}}{1-x_{1} x_{2}}} \frac{1}{1+t^{2}} d t.\]

Let

\[t=\varphi(u)=\frac{x_{1}+u}{1-x_{1} u},\]

donde\(u\) varía entre\(-x_{1},\) dónde\(t=0,\) y\(x_{2},\) dónde\(t=x .\) Ahora

\[\varphi^{\prime}(u)=\frac{\left(1-x_{1} u\right)-\left(x_{1}+u\right)\left(-x_{1}\right)}{\left(1-x_{1} u\right)^{2}}=\frac{1+x_{1}^{2}}{\left(1-x_{1} u\right)^{2}},\]

lo que siempre es positivo, demostrando así que\(\varphi\) es una función cada vez mayor, y

\[\begin{aligned} \frac{1}{1+t^{2}} &=\frac{1}{1+\left(\frac{x_{1}+u}{1-x_{1} u}\right)^{2}} \\ &=\frac{\left(1-x_{1} u\right)^{2}}{\left(1-x_{1} u\right)^{2}+\left(x_{1}+u\right)^{2}} \\ &=\frac{\left(1-x_{1} u\right)^{2}}{\left(1+x_{1}^{2}\right)\left(1+u^{2}\right)}. \end{aligned}\]

De ahí

\[\begin{aligned} \arctan (x) &=\int_{-x_{1}}^{x_{2}} \frac{1}{1+u^{2}} d u \\ &=\int_{-x_{1}}^{0} \frac{1}{1+u^{2}} d u+\int_{0}^{x_{2}} \frac{1}{1+u^{2}} d u \\ &=-\int_{0}^{-x_{1}} \frac{1}{1+u^{2}} d u+\arctan \left(x_{2}\right) \\ &=-\arctan \left(-x_{1}\right)+\arctan \left(x_{2}\right) \\ &=\arctan \left(x_{1}\right)+\arctan \left(x_{2}\right). \end{aligned}\]

Ahora supongamos\(y_{1}, y_{2} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) con\(y_{1}+y_{2}>\frac{\pi}{2} .\) Entonces\(y_{1}+y_{2} \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\),\(x_{1}>0, x_{2}>0,\) y

\[x_{2}>\frac{1}{x_{1}}.\]

Con\(u\) y\(x\) como arriba, tenga en cuenta entonces que a medida que\(u\)\(\frac{1}{x_{1}}, t\) aumenta de\(-x_{1}\) a aumenta de 0 a\(+\infty,\) y como\(u\) aumenta de\(\frac{1}{x_{1}}\) a\(x_{2}, t\) aumenta de\(-\infty\) a\(x .\)

De ahí que tengamos

\[\begin{aligned} \arctan (x)+\pi &=\int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^{2}} d t+\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1+t^{2}} d t+\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+t^{2}} d t \\ &=\int_{-\infty}^{x} \frac{1}{1+t^{2}} d t+\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+t^{2}} d t \\ &=\int_{\frac{1}{x_{1}}}^{x_{2}} \frac{1}{1+u^{2}} d u+\int_{-x_{1}}^{\frac{1}{x_{1}}} \frac{1}{1+u^{2}} d u \\ &=\int_{-x_{1}}^{x_{2}} \frac{1}{1+u^{2}} d u \\ &=\arctan \left(x_{2}\right)-\arctan \left(-x_{1}\right) \\ &=\arctan \left(x_{2}\right)+\arctan \left(x_{1}\right). \end{aligned}\]

De ahí

\[\begin{aligned} \tan \left(y_{1}+y_{2}\right) &=\tan \left(y_{1}+y_{2}-\pi\right) \\ &=\tan (\arctan (x)) \\ &=\frac{x_{1}+x_{2}}{1-x_{1} x_{2}} \\ &=\frac{\tan \left(y_{1}\right)+\tan \left(y_{2}\right)}{1-\tan \left(y_{1}\right) \tan \left(y_{2}\right)}. \end{aligned}\]

El caso cuando se\(x_{1}<0\) puede manejar de manera similar; entonces se deduce que la fórmula de adición se mantiene para todos\(y_{1}, y_{2} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) .\) El caso para arbitrario\(y_{1}, y_{2} \in D\) con\(y_{1}+y_{2} \in D\) luego se desprende de la periodicidad de la función tangente. \(\quad\)Q.E.D.