8.2: La función tangente
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Let
\[A=\left\{\frac{\pi}{2}+n \pi: n \in \mathbb{Z}\right\}\]
y\(D=\mathbb{R} \backslash A\). Let
\[t:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}\]
ser la inversa de la función arcotangente. Tenga en cuenta que\(t\) es creciente y diferenciable en\(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) .\) Podemos extender\(t\) a una función de la\(D\) siguiente manera: Para cualquier\(x \in D,\) let
\[g(x)=\sup \left\{n: n \in \mathbb{Z},-\frac{\pi}{2}+n \pi<x\right\}\]
y definir\(T(x)=t(x-g(x) \pi)\).
Con la notación de la discusión anterior, para cualquiera\(x \in D,\) llamamos al valor\(T(x)\) la tangente de la\(x,\) que denotamos\(\tan (x) .\)
La función tangente tiene dominio\(D\) (como se definió anteriormente), rango\(\mathbb{R},\) y es diferenciable en cada punto\(x \in D .\) Además, la función tangente está aumentando en cada intervalo de la forma
\[\left(-\frac{\pi}{2}+n \pi, \frac{\pi}{2}+n \pi\right),\]
\(n \in \mathbb{Z},\)con
\[\tan \left(\left(\frac{\pi}{2}+n \pi\right)+\right)=-\infty\]
y
\[\tan \left(\left(\frac{\pi}{2}+n \pi\right)-\right)=+\infty .\]
- Prueba
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Estos resultados se derivan inmediatamente de nuestras definiciones. \(\quad\)Q.E.D.
Vamos\(E \subset \mathbb{R}\). Decimos que una función\(f: E \rightarrow \mathbb{R}\) es periódica si existe un número real\(p>0\) tal que, para cada uno\(x \in E, x+p \in E\) y\(f(x+p)=f(x) .\) decimos\(p\) es el periodo de una función periódica\(f\) si\(p\) es el número positivo más pequeño para el cual\(f(x+p)=f(x)\) para todos\(x \in E .\)
La función tangente tiene punto\(\pi .\)
- Prueba
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El resultado se desprende inmediatamente de nuestras definiciones. \(\quad\)Q.E.D.
(Fórmula de adición para tangente)
Para cualquiera\(x, y \in D\) con\(x+y \in D\),
\[\tan (x+y)=\frac{\tan (x)+\tan (y)}{1-\tan (x) \tan (y)}.\]
- Prueba
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\(y_{1}+y_{2} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) .\)Supongamos\(y_{1}, y_{2} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) con Let\(x_{1}=\tan \left(y_{1}\right)\) y\(x_{2}=\tan \left(y_{2}\right) .\) Note que si\(x_{1}>0,\) entonces\(x_{1} x_{2} \geq 1\) implicaría que
\[x_{2} \geq \frac{1}{x_{1}},\]
lo que a su vez implica que
\[\begin{aligned} y_{1}+y_{2} &=\arctan \left(x_{1}\right)+\arctan \left(x_{2}\right) \\ & \geq \arctan \left(x_{1}\right)+\arctan \left(\frac{1}{x_{1}}\right) \\ &=\frac{\pi}{2}, \end{aligned}\]
contrario a nuestras suposiciones. Del mismo modo, si\(x_{1}<0,\) entonces\(x_{1} x_{2} \geq 1\) implicaría que
\[x_{2} \leq \frac{1}{x_{1}},\]
lo que a su vez implica que
\[\begin{aligned} y_{1}+y_{2} &=\arctan \left(x_{1}\right)+\arctan \left(x_{2}\right) \\ & \leq \arctan \left(x_{1}\right)+\arctan \left(\frac{1}{x_{1}}\right) \\ &=-\frac{\pi}{2}, \end{aligned}\]
contrario a nuestras suposiciones. Así debemos tener Por\(x_{1} x_{2}<1 .\) otra parte, supongamos que\(u\) es un número entre\(-x_{1}\) y\(x_{2} .\) Si\(x_{1}>0,\) entonces
\[x_{2}<\frac{1}{x_{1}},\]
y así
\[u<\frac{1}{x_{1}}.\]
Si\(x_{1}<0,\) entonces
\[x_{2}>\frac{1}{x_{1}},\]
y así
\[u>\frac{1}{x_{1}}.\]
Ahora vamos
\[x=\frac{x_{1}+x_{2}}{1-x_{1} x_{2}}.\]
Queremos demostrar que
\[\arctan (x)=\arctan \left(x_{1}\right)+\arctan \left(x_{2}\right),\]
lo que implicará que
\[\frac{\tan \left(y_{1}\right)+\tan \left(y_{2}\right)}{1-\tan \left(y_{1}\right) \tan \left(y_{2}\right)}=\tan \left(y_{1}+y_{2}\right).\]
Tenemos que computar
\[\arctan (x)=\arctan \left(\frac{x_{1}+x_{2}}{1-x_{1} x_{2}}\right)=\int_{0}^{\frac{x_{1}+x_{2}}{1-x_{1} x_{2}}} \frac{1}{1+t^{2}} d t.\]
Let
\[t=\varphi(u)=\frac{x_{1}+u}{1-x_{1} u},\]
donde\(u\) varía entre\(-x_{1},\) dónde\(t=0,\) y\(x_{2},\) dónde\(t=x .\) Ahora
\[\varphi^{\prime}(u)=\frac{\left(1-x_{1} u\right)-\left(x_{1}+u\right)\left(-x_{1}\right)}{\left(1-x_{1} u\right)^{2}}=\frac{1+x_{1}^{2}}{\left(1-x_{1} u\right)^{2}},\]
lo que siempre es positivo, demostrando así que\(\varphi\) es una función cada vez mayor, y
\[\begin{aligned} \frac{1}{1+t^{2}} &=\frac{1}{1+\left(\frac{x_{1}+u}{1-x_{1} u}\right)^{2}} \\ &=\frac{\left(1-x_{1} u\right)^{2}}{\left(1-x_{1} u\right)^{2}+\left(x_{1}+u\right)^{2}} \\ &=\frac{\left(1-x_{1} u\right)^{2}}{\left(1+x_{1}^{2}\right)\left(1+u^{2}\right)}. \end{aligned}\]
De ahí
\[\begin{aligned} \arctan (x) &=\int_{-x_{1}}^{x_{2}} \frac{1}{1+u^{2}} d u \\ &=\int_{-x_{1}}^{0} \frac{1}{1+u^{2}} d u+\int_{0}^{x_{2}} \frac{1}{1+u^{2}} d u \\ &=-\int_{0}^{-x_{1}} \frac{1}{1+u^{2}} d u+\arctan \left(x_{2}\right) \\ &=-\arctan \left(-x_{1}\right)+\arctan \left(x_{2}\right) \\ &=\arctan \left(x_{1}\right)+\arctan \left(x_{2}\right). \end{aligned}\]
Ahora supongamos\(y_{1}, y_{2} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) con\(y_{1}+y_{2}>\frac{\pi}{2} .\) Entonces\(y_{1}+y_{2} \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\),\(x_{1}>0, x_{2}>0,\) y
\[x_{2}>\frac{1}{x_{1}}.\]
Con\(u\) y\(x\) como arriba, tenga en cuenta entonces que a medida que\(u\)\(\frac{1}{x_{1}}, t\) aumenta de\(-x_{1}\) a aumenta de 0 a\(+\infty,\) y como\(u\) aumenta de\(\frac{1}{x_{1}}\) a\(x_{2}, t\) aumenta de\(-\infty\) a\(x .\)
De ahí que tengamos
\[\begin{aligned} \arctan (x)+\pi &=\int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^{2}} d t+\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1+t^{2}} d t+\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+t^{2}} d t \\ &=\int_{-\infty}^{x} \frac{1}{1+t^{2}} d t+\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+t^{2}} d t \\ &=\int_{\frac{1}{x_{1}}}^{x_{2}} \frac{1}{1+u^{2}} d u+\int_{-x_{1}}^{\frac{1}{x_{1}}} \frac{1}{1+u^{2}} d u \\ &=\int_{-x_{1}}^{x_{2}} \frac{1}{1+u^{2}} d u \\ &=\arctan \left(x_{2}\right)-\arctan \left(-x_{1}\right) \\ &=\arctan \left(x_{2}\right)+\arctan \left(x_{1}\right). \end{aligned}\]
De ahí
\[\begin{aligned} \tan \left(y_{1}+y_{2}\right) &=\tan \left(y_{1}+y_{2}-\pi\right) \\ &=\tan (\arctan (x)) \\ &=\frac{x_{1}+x_{2}}{1-x_{1} x_{2}} \\ &=\frac{\tan \left(y_{1}\right)+\tan \left(y_{2}\right)}{1-\tan \left(y_{1}\right) \tan \left(y_{2}\right)}. \end{aligned}\]
El caso cuando se\(x_{1}<0\) puede manejar de manera similar; entonces se deduce que la fórmula de adición se mantiene para todos\(y_{1}, y_{2} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) .\) El caso para arbitrario\(y_{1}, y_{2} \in D\) con\(y_{1}+y_{2} \in D\) luego se desprende de la periodicidad de la función tangente. \(\quad\)Q.E.D.