8.3: Las funciones de seno y coseno
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Comenzamos definiendo funciones\[s:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}\]
y
\[c:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}\]
por
\[s(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{\tan (x)}{\sqrt{1+\tan ^{2}(x)}},} & {\text { if } x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)}, \\ {1,} & {\text { if } x=\frac{\pi}{2}}\end{array}\right.\]
y
\[c(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{1}{\sqrt{1+\tan ^{2}(x)}},} & {\text { if } x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)}, \\ {0,} & {\text { if } x=\frac{\pi}{2}}.\end{array}\right.\]
Tenga en cuenta que
\[\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}-\pi^{-}} s(x)=\lim _{y \rightarrow+\infty} \frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}=\lim _{y \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{y^{2}}}}=1\]
y
\[\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}-} c(x)=\lim _{y \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}=\lim _{y \rightarrow+\infty} \frac{\frac{1}{y}}{\sqrt{1+\frac{1}{y^{2}}}}=0,\]
lo que demuestra que ambos\(s\) y\(c\) son funciones continuas.
A continuación, ampliamos las definiciones de\(s\) y\(c\) a las funciones
\[S:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}\]
y
\[C:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}\]
definiendo
\[S(x)=\left\{\begin{array}{ll}{s(x),} & {\text { if } x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]}, \\ {-s(x-\pi),} & {\text { if } x \in\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]}\end{array}\right.\]
y
\[C(x)=\left\{\begin{array}{ll}{c(x),} & {\text { if } x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]}, \\ {-c(x-\pi),} & {\text { if } x \in\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]}.\end{array}\right.\]
Tenga en cuenta que
\[\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}+} S(x)=\lim _{x \rightarrow-\frac{\pi}{2}+}-s(x)=-\lim _{y \rightarrow-\infty} \frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}=-\lim _{y \rightarrow-\infty} \frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{y^{2}}}}=1\]
y
\[\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}+} C(x)=\lim _{x \rightarrow-\frac{\pi}{2}+}-c(x)=-\lim _{y \rightarrow-\infty} \frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}=-\lim _{y \rightarrow-\infty} \frac{\frac{1}{y}}{-\sqrt{1+\frac{1}{y^{2}}}}=0,\]
lo que demuestra que ambos\(S\) y\(C\) son continuos en\(\frac{\pi}{2} .\) Así ambos\(S\) y\(C\) son continuos.
Por último, para cualquier\(x \in \mathbb{R},\) let
\[g(x)=\sup \left\{n: n \in \mathbb{Z},-\frac{\pi}{2}+2 n \pi<x\right\}\]
y definir
\[\sin (x)=S(x-2 \pi g(x))\]
y
\[\cos (x)=C(x-2 \pi g(x)).\]
Con la notación como arriba, para cualquiera\(x \in \mathbb{R},\) llamamos\(\sin (x)\) y\(\cos (x)\) el seno y coseno de\(x,\) respectivamente.
Las funciones seno y coseno son continuas\(\mathbb{R}\).
- Prueba
-
A partir de las definiciones, basta con verificar la continuidad en\(\frac{3 \pi}{2} .\) Ahora
\[\lim _{x \rightarrow \frac{3 \pi}{2}-} \sin (x)=\lim _{x \rightarrow \frac{3 \pi}{2}-} S(x)=S\left(\frac{3 \pi}{2}\right)=-s\left(\frac{\pi}{2}\right)=-1\]
y
\[\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \frac{3 \pi}{2}+} \sin (x) &=\lim _{x \rightarrow \frac{3\pi}{2}+} S(x-2 \pi) \\ &=\lim _{x \rightarrow-\frac{\pi}{2}+} s(x) \\ &=\lim _{y \rightarrow-\infty} \frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}} \\ &=\lim _{y \rightarrow-\infty} \frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{y^{2}}}} \\ &=-1, \end{aligned}\]
y así el seno es continuo en\(\frac{3 \pi}{2}\). Del mismo modo,
\[\lim _{x \rightarrow \frac{3 \pi}{2}-} \cos (x)=\lim _{x \rightarrow \frac{3 \pi}{2}-} C(x)=C\left(\frac{3 \pi}{2}\right)=-c\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\]
y
\[\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \frac{3 \pi}{2}+} \cos (x) &=\lim _{x \rightarrow \frac{3 \pi}{2}+} C(x-2 \pi) \\ &=\lim _{x \rightarrow-\frac{\pi}{2}+} c(x) \\ &=\lim _{y \rightarrow-\infty} \frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}} \\ &=\lim _{y \rightarrow-\infty} \frac{\frac{1}{y}}{-\sqrt{1+\frac{1}{y^{2}}}} \\ &=0, \end{aligned}\]
y así el coseno es continuo en\(\frac{3 \pi}{2}\). \(\quad\)Q.E.D.
8.3.1 Propiedades de seno y coseno
Las funciones seno y coseno son periódicas con punto\(2\pi\).
- Prueba
-
El resultado se desprende inmediatamente de las definiciones. \(\quad\)Q.E.D.
Para cualquier\(x \in \mathbb{R}, \sin (-x)=-\sin (x)\) y\(\cos (-x)=\cos (x) .\)
- Prueba
-
El resultado se desprende inmediatamente de las definiciones. \(\quad\)Q.E.D.
Para cualquier\(x \in \mathbb{R}, \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1\).
- Prueba
-
El resultado se desprende inmediatamente de la definición de\(s\) y\(c .\)\(\quad\) Q.E.D.
El rango de las funciones sinusoidal y coseno es\([-1,1] .\)
- Prueba
-
El resultado se desprende inmediatamente de las definiciones junto con los hechos que
\[\sqrt{1+y^{2}} \geq \sqrt{y^{2}}=|y|\]
y
\[\sqrt{1+y^{2}} \geq 1\]
para cualquier\(y \in \mathbb{R} . \quad \) Q.E.D
Para cualquiera\(x\) en el dominio de la función tangente,
\[\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}.\]
- Prueba
-
El resultado se desprende inmediatamente de las definiciones. \(\quad\)Q.E.D.
Para cualquiera\(x\) en el dominio de la función tangente,
\[\sin ^{2}(x)=\frac{\tan ^{2}(x)}{1+\tan ^{2}(x)}\]
y
\[\cos ^{2}(x)=\frac{1}{1+\tan ^{2}(x)}.\]
- Prueba
-
El resultado se desprende inmediatamente de las definiciones. \(\quad\)Q.E.D.
Para cualquier\(x, y \in \mathbb{R}\),
\[\cos (x+y)=\cos (x) \cos (y)-\sin (x) \sin (y).\]
- Prueba
-
Primero supongamos\(x, y,\) y\(x+y\) están en el dominio de la función tangente.
Entonces
\[\begin{aligned} \cos^{2}(x+y) &= \frac{1}{1+\tan^{2}(x+y)} \\ &= \frac{1}{1+\left(\frac{\tan(x) + \tan(y)}{1 - \tan(x)\tan(y)} \right)^{2}} \\ &= \frac{(1 - \tan(x)\tan(y))^{2}}{1 - \tan(x)\tan(y))^{2} + (\tan(x) + \tan(y))^{2}} \\ &= \frac{(1 - \tan(x)\tan(y))^{2}}{(1+\tan^{2}(x))(1+\tan^{2}(y))} \\ &= \left(\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}(x)} \sqrt{1+\tan^{2}(y)}} - \frac{\tan(x)\tan(y)}{\sqrt{1+\tan^{2}(x)}\sqrt{1+\tan^{2}(y)}}\right)^{2} \\ &= (\cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y))^{2} . \end{aligned}\]
De ahí
\[\cos (x+y)=\pm(\cos (x) \cos (y)-\sin (x) \sin (y)).\]
Considera un valor fijo de\(x\). Tenga en cuenta que el signo positivo debe elegirse cuando\(y=0 .\) Además, aumentando\(y\) por\(\pi\) cambios el signo en ambos lados, por lo que se debe elegir el signo positivo cuando\(y\) sea cualquier múltiplo de\(\pi\). Dado que el seno y el coseno son funciones continuas, la elección del signo podría cambiar sólo en los puntos en los que se encuentran ambos lados\(0,\) pero estos puntos están separados por una distancia de por\(\pi,\) lo que siempre debemos elegir el signo positivo. De ahí que tengamos
\[\cos (x+y)=\cos (x) \cos (y)-\sin (x) \sin (y)\]
para todos\(x, y \in \mathbb{R}\) para los cuales\(x, y,\) y\(x+y\) están en el dominio de la función tangente. La identidad para los otros valores de\(x\) y\(y\) ahora se desprende de la continuidad de las funciones seno y coseno. \(\quad\)Q.E.D.
Para cualquier\(x, y \in \mathbb{R}\),
\[\sin (x+y)=\sin (x) \cos (y)+\sin (y) \cos (x).\]
Demostrar la proposición anterior.
Demostrar que para cualquier\(x \in \mathbb{R}\),
\[\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos (x)\]
y
\[\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin (x).\]
Demostrar que para cualquier\(x \in \mathbb{R}\),
\[\sin (2 x)=2 \sin (x) \cos (x)\]
y
\[\cos (2 x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x).\]
Demostrar que para cualquier\(x \in \mathbb{R}\),
\[\sin ^{2}(x)=\frac{1-\cos (2 x)}{2}\]
y
\[\cos ^{2}(x)=\frac{1+\cos (2 x)}{2}.\]
Demostrar que
\[\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}},\]
\[\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2},\]
y
\[\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.\]
8.3.2 El cálculo de las funciones trigonométricas
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan (x)}{x}=1\).
- Prueba
-
Usando la regla de L'hôpital,
\[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan (x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1+x^{2}}}{1}=1.\]
Q.E.D
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (x)}{x}=1\).
- Prueba
-
Dejando\(x=\arctan (u),\) que tengamos
\[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (x)}{x}=\lim _{u \rightarrow 0} \frac{u}{\arctan (u)}=1.\]
Q.E.D
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x)}{x}=1\).
- Prueba
-
Tenemos
\[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (x)}{x} \cos (x)=1.\]
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x}=0 .\)
- Prueba
-
Tenemos
\[\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x} &=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos (x)}{x}\right)\left(\frac{1+\cos (x)}{1+\cos (x)}\right) \\ &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos ^{2}(x)}{x(1+\cos (x))} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin (x)}{x}\right)\left(\frac{\sin (x)}{1+\cos (x)}\right) \\ &=(1)(0) \\ &=0. \end{aligned}\]
Q.E.D
Si\(f(x)=\sin (x),\) entonces\(f^{\prime}(x)=\cos (x) .\)
- Prueba
-
Tenemos
\[\begin{aligned} f^{\prime}(x) &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin (x+h)-\sin (x)}{h} \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin (x) \cos (h)+\sin (h) \cos (x)-\sin (x)}{h} \\ &=\sin (x) \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\cos (h)-1}{h}+\cos (x) \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin (h)}{h} \\ &=\cos (x). \end{aligned}\]
Q.E.D
Si\(f(x)=\cos (x),\) entonces\(f^{\prime}(x)=-\sin (x)\).
Demostrar la proposición anterior.
Para\(x \in \mathbb{R},\) lo apropiado llamamos
\[\cot (x)=\frac{\cos x}{\sin (x)},\]
\[\sec (x)=\frac{1}{\cos (x)},\]
y
\[\csc (x)=\frac{1}{\sin (x)}\]
la cotangente, la secante y la cosecante de\(x,\) respectivamente.
Si\(f(x)=\tan (x)\) y\(g(x)=\cot (x),\) mostrar que
\[f^{\prime}(x)=\sec ^{2}(x)\]
y
\[g^{\prime}(x)=-\csc ^{2}(x).\]
Si\(f(x)=\sec (x)\) y\(g(x)=\csc (x),\) mostrar que
\[f^{\prime}(x)=\sec (x) \tan (x),\]
y
\[g^{\prime}(x)=-\csc (x) \cot (x).\]
2\(\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x=\pi\).
- Prueba
-
Vamos\(x=\sin (u)\). Entonces como\(u\) varía de\(-\frac{\pi}{2}\) a\(\frac{\pi}{2}, x\) varía de\(-1\) a\(1 .\) Y, para estos valores, tenemos
\[\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\sin ^{2}(u)}=\sqrt{\cos ^{2}(u)}=|\cos (u)|=\cos (u).\]
De ahí
\[\begin{aligned} \int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2}(u) d u \\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1+\cos (2 u)}{2} d u \\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} d u+\frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos (2 u) d u \\ &=\frac{\pi}{2}+\frac{1}{4}(\sin (\pi)-\sin (-\pi)) \\ &=\frac{\pi}{2}. \end{aligned}\]
Q.E.D.
Encuentra el polinomio de Taylor\(P_{9}\) de orden 9 para\(f(x)=\sin (x)\) en\(0 .\) Tenga en cuenta que esto es igual al polinomio de Taylor de orden 10 para\(f\) en\(0 .\) Es\(P_{9}\left(\frac{1}{2}\right)\) una sobreestimación o una subestimación para el pecado\(\left(\frac{1}{2}\right) ?\) Encuentra un límite superior para el error en esta aproximación.