8.5: La función exponencial
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La función exponencial tiene dominio\(\mathrm{R}\) y rango\((0,+\infty)\). Además, la función exponencial es creciente y diferenciable en\(\mathbb{R}\). Si\(f(x)=\exp (x),\) entonces\(f^{\prime}(x)=\exp (x)\).
- Prueba
-
Sólo la declaración final de la proposición requiere prueba. Si dejamos\(g(x)=\log (x),\) entonces
\[f^{\prime}(x)=\frac{1}{g^{\prime}(\exp (x))}=\exp (x).\]
Q.E.D.
Para cualquier número real\(x\) y\(y\),
\[\exp (x+y)=\exp (x) \exp (y).\]
- Prueba
-
El resultado se desprende de
\[\log (\exp (x) \exp (y))=\log (\exp (x))+\log (\exp (y))=x+y.\]
Q.E.D.
Para cualquier número real\(x\),
\[\exp (-x)=\frac{1}{\exp (x)}.\]
- Prueba
-
El resultado se desprende de
\[\log \left(\frac{1}{\exp (x)}\right)=-\log (\exp (x))=-x.\]
Q.E.D.
Usa el teorema de Thylor para mostrar que
\[\exp (1)=e=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}.\]
Para cualquier número racional\(\alpha\),
\[\exp (\alpha)=e^{\alpha}.\]
- Prueba
-
Ya\(\log (e)=1,\) que tenemos
\[\log \left(e^{\alpha}\right)=\alpha \log (e)=\alpha.\]
Q.E.D.
Si\(\alpha\) es un número irracional, definimos
\[e^{\alpha}=\exp (\alpha).\]
Tenga en cuenta que para cualquier número real\(x\) y\(y\),
\[e^{x+y}=e^{x} e^{y}\]
y
\[e^{-x}=\frac{1}{e^{x}}.\]
Además,\(\log \left(e^{x}\right)=x\) y, si\(x>0, e^{\log (x)}=x\).
Si\(x\) y\(a\) son números reales con\(a>0,\) definimos
\[a^{x}=e^{x \log (a)}.\]
Definir\(f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) por\(f(x)=x^{a},\) dónde\(a \in \mathbb{R}, a \neq 0\). \(f^{\prime}(x)=a x^{a-1}\)Demuéstralo.
Supongamos que\(a\) es un número real positivo y\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) se define por\(f(x)=a^{x} .\) Mostrar eso\(f^{\prime}(x)=a^{x} \log (a)\).
Para cualquier número real\(\alpha>0\),
\[\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha} e^{-x}=0.\]
- Prueba
-
Sabemos que
\[\lim _{y \rightarrow+\infty} \frac{\log (y)}{y^{\frac{1}{2}}}=0.\]
De ahí
\[\lim _{y \rightarrow+\infty} \frac{(\log (y))^{\alpha}}{y}=0.\]
Dejando\(y=e^{x},\) que tengamos
\[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{\alpha}}{e^{x}}=0.\]
Q.E.D.
Para cualquier número real\(\alpha\),
\[\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{\alpha}{x}\right)^{x}=e^{\alpha}.\]
- Prueba
-
Primero tenga en cuenta que, dejando\(x=\frac{1}{h}\),
\[\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{\alpha}{x}\right)^{x}=\lim _{h \rightarrow 0+}(1+\alpha h)^{\frac{1}{k}}=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} e^{\frac{1}{h} \log (1+\alpha h)}.\]
Usando la regla de I'Hópital, tenemos
\[\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\log (1+\alpha h)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\alpha}{1+\alpha h}=\alpha,\]
y el resultado se desprende de la continuidad de la función exponencial. \(\quad\)Q.E.D.
Definimos las funciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico mediante
\[\sinh (x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\]
y
\[\cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\]
respectivamente.
Demostrar que para cualquier número real\(x\) y\(y\),
\[\sinh (x+y)=\sinh (x) \cosh (y)+\sinh (y) \cosh (x)\]
y
\[\cosh (x+y)=\cosh (x) \cosh (y)+\sinh (x) \sinh (y).\]
Demostrar que para cualquier número real\(x\),
\[\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1.\]
Si\(f(x)=\sinh (x)\) y\(g(x)=\cosh (x),\) mostrar que
\[f^{\prime}(x)=\cosh (x)\]
y
\[g^{\prime}(x)=\sinh (x).\]