2: Funciones analíticas
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El objetivo principal de este tema es definir y dar algunas de las propiedades importantes de las funciones analíticas complejas. Una función\(f(z)\) es analítica si tiene una derivada compleja\(f'(z)\). En general, las reglas para calcular derivados le resultarán familiares a partir del cálculo de una sola variable. Sin embargo, se puede sacar un conjunto mucho más rico de conclusiones sobre una función analítica compleja de lo que generalmente es cierto sobre las funciones diferenciables reales.
- 2.1: La Derivada - Preliminares
- En cálculo definimos la derivada como un límite. En análisis complejos haremos lo mismo. Antes de darle toda nuestra atención al derivado vamos a tener que pasar algún tiempo explorando y entendiendo los límites.
- 2.6: Ecuaciones de Cauchy-Riemann
- Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son nuestra primera consecuencia del hecho de que el límite que define f (z) debe ser el mismo sin importar desde qué dirección te acerques a z. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann serán una de las herramientas más importantes de nuestra caja de herramientas.
- 2.8: Galería de Funciones
- En esta sección veremos muchas de las funciones que conoces y amas como funciones de z. Para cada uno tendremos que hacer cuatro cosas. (1) Definir cómo calcularlo. (2) Especificar una rama (si es necesario) dando su rango. (3) Especificar un dominio (con corte de rama si es necesario) donde sea analítico. (4) Calcular su derivada.
- 2.9: Cortes de rama y composición de funciones
- A menudo componemos funciones, es decir, f (g (z)). En general en este caso tenemos la regla de la cadena para calcular la derivada. Sin embargo, necesitamos especificar el dominio para z donde la función es analítica. Y cuando se trata de ramas y cortes de sucursales tenemos que cuidarnos.