8.7: Serie Laurent
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Supongamos que\(f(z)\) es analítico en el anillo
\[A: r_1 < |z - z_0| < r_2.\]
Entonces\(f(z)\) se puede expresar como una serie
\[f(z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{b_n}{(z - z_0)^n} + \sum_{n = 0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n.\]
Los coeficientes tienen la fórmula
\[\begin{array} {l} {a_n = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \dfrac{f(w)}{(w - z_0)^{n + 1}}\ dw} \\ {b_n = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} f(w) (w - z_0)^{n - 1}\ dw} \end{array}\]
donde\(\gamma\) hay algún círculo\(|w - z_0| = r\) dentro del anillo, i.e\(r_1 < r < r_2\).
Además
- La serie\(\sum_{n = 0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n\) converge a una función analítica para\(|z - z_0| < r_2\).
- La serie\(\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{b_n}{(z - z_0)^n}\) converge a una función analítica para\(|z - z_0| > r_1\).
- Juntas, ambas series convergen en el anillo\(A\) donde\(f\) es analítica.
A continuación se da la prueba. Primero definimos algunos términos.
Toda la serie se llama la serie Laurent por\(f\) alrededor\(z_0\). La serie
\[\sum_{n = 0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n\]
se llama la parte analítica o regular de la serie Laurent. La serie
\[\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{b_n}{(z - z_0)^n}\]
se llama la parte singular o principal de la serie Laurent.
Dado que\(f(z)\) puede no ser analítico (o incluso definido) en no\(z_0\) tenemos ninguna fórmula para los coeficientes usando derivados.
- Prueba
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(serie Laurent). Elija un punto\(z\) en\(A\). Ahora establece círculos\(C_1\) y lo suficientemente\(C_3\) cerca del límite que\(z\) está dentro\(C_1 + C_2 - C_3 - C_2\) como se muestra. Dado que esta curva y su interior están contenidos en\(A\), la fórmula integral de Cauchy dice
\[f(z) = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{C_1 + C_2 - C_3 - C_2} \dfrac{f(w)}{w - z}\ dw\]
Figura\(\PageIndex{1}\): El contorno utilizado para probar las fórmulas para la serie Laurent. (CC BY-NC; Ümit Kaya) Las integrales sobre\(C_2\) cancelan, así que tenemos
\[f(z) = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{C_1 - C_3} \dfrac{f(w)}{w - z}\ dw.\]
A continuación, dividimos esto en dos piezas y usamos nuestro truco de convertirlo a una serie geométrica. Los cálculos son como la prueba del teorema de Taylor. En\(C_1\) tenemos
\[\dfrac{|z - z_0|}{|w - z_0|} < 1,\]
entonces
\[\begin{cases} {rcl} {\dfrac{1}{2\pi i} \int_{C_1} \dfrac{f(w)}{w - z}\ dw} & = & {\dfrac{1}{2\pi i} \int_{C_1} \dfrac{f(w)}{w - z_0} \cdot \dfrac{1}{(1 - \dfrac{z - z_0}{w - z_0})} \ dw} \\ {} & = & {\dfrac{1}{2\pi i} \int_{C_1} \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{f(w)}{(w - z_0)^{n + 1}} (z - z_0)^n \ dw} \\ {} & = & {\sum_{n = 0}^{\infty} (\dfrac{1}{2\pi i} \int_{C_1} \dfrac{f(w)}{(w - z_0)^{n + 1}} \ dw) (z - z_0)^n} \\ {} & = & {\sum_{n = 0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n.} \end{cases}\]
Aquí\(a_n\) se define por la fórmula integral dada en el enunciado del teorema. Al examinar el argumento anterior vemos que el único requisito sobre\(z\) es ese\(|z - z_0| < r_2\). Entonces, esta serie converge para todos esos\(z\).
Del mismo modo en\(C_3\) tenemos
\[\dfrac{|w - z_0|}{|z - z_0|} = 1.\]
entonces
\[\begin{array} {rcl} {\dfrac{1}{2\pi i} \int_{C_3} \dfrac{f(w)}{w - z} dw} & = & {\dfrac{1}{2\pi i} \int_{C_3} -\dfrac{f(w)}{z - z_0} \cdot \dfrac{1}{(1 - \dfrac{w - z_0}{z - z_0})} \ dw} \\ {} & = & {-\dfrac{1}{2\pi i} \int_{C_3} \sum_{n = 0}^{\infty} f(w) \dfrac{(w - z_0)^n}{(z - z_0)^{n + 1}} \ dw} \\ {} & = & {-\dfrac{1}{2\pi i} \sum_{n = 0}^{\infty} (\int_{C_1} f(w) (w - z_0)^n \ dw) (z - z_0)^{-n - 1}} \\ {} & = & {-\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{b_n}{(z - z_0)^n}.} \end{array}\]
En la última igualdad cambiamos la indexación para que coincida con la indexación en el enunciado del teorema. Aquí\(b_n\) se define por la fórmula integral dada en el enunciado del teorema. Al examinar el argumento anterior vemos que el único requisito sobre\(z\) es ese\(|z - z_0| > r_1\). Entonces, esta serie converge para todos esos\(z\).
Combinando estas dos fórmulas tenemos
\[f(z) = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{C_1 - C_3} \dfrac{f(w)}{w - z}\ dw = \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{b_n}{(z - z_0)^n} + \sum_{n = 0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n\]
Lo último a tener en cuenta es que las integrales definen\(a_n\) y\(b_n\) no dependen del radio exacto del círculo de integración. Cualquier círculo dentro\(A\) producirá los mismos valores. Hemos probado todas las afirmaciones en el teorema sobre la serie Laurent. QED
Ejemplos de la serie Laurent
En general, las fórmulas integrales no son una forma práctica de calcular los coeficientes de Laurent. En su lugar utilizamos varios trucos algebraicos. Aún mejor, como veremos, es el hecho de que muchas veces realmente no necesitamos todos los coeficientes y vamos a desarrollar más técnicas para computar los que sí necesitamos.
Encuentra la serie Laurent para
\[f(z) = \dfrac{z + 1}{z} \nonumber\]
alrededor\(z_0 = 0\). Dar la región donde sea válida.
Solución
La respuesta es simplemente
\[f(z) = 1 + \dfrac{1}{z}. \nonumber\]
Se trata de una serie Laurent, válida en la región infinita\(0 < |z| < \infty\).
Encuentra la serie Laurent para
\[f(z) = \dfrac{z}{z^2 + 1} \nonumber\]
alrededor\(z_0 = i\). Dar la región donde su respuesta es válida. Identificar la parte singular (principal).
Solución
Usando fracciones parciales tenemos
\[f(z) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{z - i} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{z + i}. \nonumber\]
Ya que\(\dfrac{1}{z + i}\) es analítico en\(z = i\) que tiene una expansión de la serie Taylor. Lo encontramos usando series geométricas.
\[\dfrac{1}{z + i} = \dfrac{1}{2i} \cdot \dfrac{1}{1 + (z - i)/(2i)} = \dfrac{1}{2i} \sum_{n = 0}^{\infty} (-\dfrac{z - i}{2i})^n \nonumber\]
Entonces la serie Laurent es
\[f(z) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{z - i} + \dfrac{1}{4i} \sum_{n = 0}^{\infty} (-\dfrac{z -i}{2i})^n \nonumber\]
La parte singular (principal) viene dada por el primer término. La región de convergencia es\(0 < |z - i| < 2\).
Podríamos haber mirado\(f(z)\) en la región\(2< |z - i|< \infty\). Esto habría producido una serie Laurent diferente. Discutimos esto más a fondo en un próximo ejemplo.
Compute la serie Laurent para
\[f(z) = \dfrac{z + 1}{z^3 (z^2 + 1)} \nonumber\]
en la región\(A\):\(0 < |z| < 1\) centrado en\(z = 0\).
Solución
Esta función tiene singularidades aisladas en\(z = 0, \pm i\). Por lo tanto, es analítico sobre la región\(A\).
En\(z = 0\) tenemos
\[f(z) = \dfrac{1}{z^3} (1 + z)(1 - z^2 + z^4 - z^6 +\ ...). \nonumber\]
Multiplicando esto obtenemos
\[f(z) = \dfrac{1}{z^3} + \dfrac{1}{z^2} - \dfrac{1}{z} - 1 + z + z^2 - z^3 -\ ... \nonumber\]
El siguiente ejemplo muestra que la serie Laurent depende de la región en consideración.
Encuentra la serie Laurent alrededor de\(z = 0\) para\(f(z) = \dfrac{1}{z(z - 1)}\) en cada una de las siguientes regiones:
\[\begin{array} {rl} {\text{(i)}} & {\text{the region } A_1: 0 < |z| < 1} \\ {\text{(ii)}} & {\text{the region } A_2: 1 < |z| < \infty.} \end{array} \nonumber\]
Solución
Para\(\text{(i)}\)
\[f(z) = -\dfrac{1}{z} \cdot \dfrac{1}{1 - z} = -\dfrac{1}{z} (1 + z + z^2 +\ ...) = -\dfrac{1}{z} - 1 - z - z^2 - \ ... \nonumber\]
Para\(\text{(ii)}\): Dado que la serie geométrica habitual para\(1/(1 - z)\) no converge en\(A_2\) nosotros necesitamos una forma diferente,
\[f(z) = \dfrac{1}{z} \cdot \dfrac{1}{z (1 - 1/z)} = \dfrac{1}{z^2} (1 + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{z^2} +\ ...) \nonumber\]
Ya que\(|1/z| < 1\) en\(A_2\) nuestro uso de la serie geométrica se justifica.
Una lección de este ejemplo es que la serie Laurent depende de la región así como de la fórmula para la función.