Variables complejas con aplicaciones (Orloff)
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El análisis complejo es un tema hermoso y estrechamente integrado. Gira en torno a funciones analíticas complejas. Estas son funciones que tienen una derivada compleja. A diferencia del cálculo que utiliza variables reales, la mera existencia de una derivada compleja tiene fuertes implicaciones para las propiedades de la función. El análisis complejo es una herramienta básica en muchas teorías matemáticas. Por sí mismo y a través de algunas de estas teorías también tiene muchas aplicaciones prácticas. Hay una pequeña cantidad de teoremas de largo alcance que exploraremos en la primera parte de la clase. En el camino, tocaremos algunas aplicaciones matemáticas y de ingeniería de estos teoremas. El último tercio de la clase estará dedicado a una mirada más profunda a las aplicaciones. Los teoremas principales son el teorema de Cauchy, la fórmula integral de Cauchy y la existencia de las series Taylor y Laurent. Entre las aplicaciones estarán funciones armónicas, flujo de fluido bidimensional, métodos fáciles para computar (aparentemente) integrales duras, transformadas de Laplace y transformadas de Fourier con aplicaciones a ingeniería y física.
- Materia Frontal
- 1: Álgebra Compleja y Plano Complejo
- 2: Funciones analíticas
- 3: Cálculo multivariable (Revisión)
- 4: Integrales de línea y teorema de Cauchy
- 5: Fórmula Integral de Cauchy
- 6: Funciones armónicas
- 7: Hidrodinámica bidimensional y potenciales complejos
- 8: Serie Taylor y Laurent
- 9: Teorema de Residuos
- 10: Integrales definidas usando el teorema de residuos
- 11: Transformaciones conformes
- 12: Principio de Argumento
- 13: Transformación de Laplace
- 14: Continuación analítica y la función gamma
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Miniatura: Ilustración de un número complejo que muestra la naturaleza multivalor de los argumentos. (CC BY-SA 3.0 Unported; Wolfkeeper vía Wikipedia)