8: Serie Taylor y Laurent
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Originalmente definimos una función analítica como aquella en la que existía la derivada, definida como límite de proporciones. Pasamos a probar el teorema de Cauchy y la fórmula integral de Cauchy. Estos revelaron algunas propiedades profundas de las funciones analíticas, por ejemplo, la existencia de derivados de todos los órdenes. Nuestro objetivo en este tema es expresar funciones analíticas como series de potencia infinita. Esto nos llevará a la serie Taylor. Cuando una función compleja tiene una singularidad aislada en un punto reemplazaremos la serie Taylor por la serie Laurent. No es sorprendente que derivemos estas series de la fórmula integral de Cauchy. Aunque llegamos a las representaciones de series de potencia después de explorar otras propiedades de las funciones analíticas, serán una de nuestras principales herramientas en la comprensión y computación con funciones analíticas.
- 8.1: Serie Geométrica
- Tener una comprensión detallada de las series geométricas nos permitirá utilizar la fórmula integral de Cauchy para comprender las representaciones de series de potencia de las funciones analíticas. Comenzamos con la definición:
- 8.2: Convergencia de la serie de potencia
- Cuando incluimos potencias de la variable z en la serie la llamaremos serie de potencias. En esta sección vamos a exponer el teorema principal que necesitamos sobre la convergencia de las series de poder. Los detalles técnicos serán empujados al apéndice para el lector interesado.
- 8.3: Serie Taylor
- El apartado anterior mostró que una serie de potencias converge a una función analítica dentro de su disco de convergencia. El teorema de Taylor completa la historia dando lo contrario: alrededor de cada punto de la analítica, una función analítica equivale a una serie de potencias convergentes.
- 8.4: Ejemplos de la serie Taylor
- La singularidad de la serie Taylor junto con el hecho de que convergen en cualquier disco alrededor de z0 donde la función sea analítica nos permite utilizar muchos trucos computacionales para encontrar la serie y estar seguros de que converge.
- 8.5: Singularidades
- Una función f (z) es singular en un punto z0 si no es analítica en z0
- 8.7: Serie Laurent
- La serie Laurent de una función compleja f (z) es una representación de esa función como una serie de potencias que incluye términos de grado negativo. Se puede utilizar para expresar funciones complejas en los casos en que no se pueda aplicar una expansión de la serie Taylor.
- 8.9: Polos
- Los polos se refieren a singularidades aisladas.
Miniaturas: Se define una serie Laurent con respecto a un punto particular\(c\) y una trayectoria de integración\(γ\). El camino de integración debe estar en un anillo, indicado aquí por el color rojo, dentro del cual f (z) es holomórfico (analítico). (Dominio público; Pko vía Wikipedia)