9.6: Residuo a ∞
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El residuo en\(\infty\) es un dispositivo inteligente que a veces puede permitirnos reemplazar el cálculo de muchos residuos con el cálculo de un solo residuo.
Supongamos que\(f\) es analítico en\(C\) excepción de un número finito de singularidades. \(C\)Sea una curva orientada positivamente que sea lo suficientemente grande como para contener todas las singularidades.
Definimos el residuo de\(f\) al infinito por
\[\text{Res} (f, \infty) = -\dfrac{1}{2\pi i} \int_C f(z)\ dz.\]
Primero debemos explicar la idea aquí. El interior de una simple curva cerrada es todo a la izquierda mientras recorres la curva. La curva\(C\) está orientada en sentido antihorario, por lo que su interior contiene todos los polos de\(f\). El teorema de residuos dice que la integral sobre\(C\) está determinada por los residuos de estos polos.
Por otro lado, el interior de la curva lo\(-C\) es todo fuera de\(C\). No hay polos de\(f\) en esa región. Si queremos que el teorema del residuo se mantenga (lo cual hacemos —es así de importante) entonces la única opción es tener un residuo en\(\infty\) y definirlo como lo hicimos nosotros.
La definición del residuo en el infinito supone que todos los polos de\(f\) están dentro\(C\). Por lo tanto el teorema del residuo implica
\[\text{Res} (f, \infty) = -\sum \text{ the residues of } f.\]
Para que esto sea útil necesitamos una forma de calcular el residuo directamente. Esto viene dado por el siguiente teorema.
Si\(f\) es analítico en\(C\) excepto por un número finito de singularidades entonces
\[\text{Res} (f, \infty) = -\text{Res} \left(\dfrac{1}{w^2} f(1/w), 0\right).\]
- Prueba
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La prueba es solo un cambio de variables:\(w = 1/z\).
Figura\(\PageIndex{1}\): Variables cambiantes. (CC BY-NC; Ümit Kaya) Cambio de variable:\(w = 1/z\)
Primero tenga en cuenta que\(z = 1/w\) y
\[dz = -(1/w^2)\ dw.\]
A continuación, tenga en cuenta que el mapa\(w = 1/z\) lleva el\(z\) círculo de radio orientado positivamente\(R\) al\(w\) círculo de radio orientado negativamente\(1/R\). (Para ver la orientación, siga los puntos en círculo 1, 2, 3, 4\(C\) en el\(z\) plano a medida que se mapean a puntos\(\tilde{C}\) en el\(w\) plano.) Así,
\[\text{Res} (f, \infty) = -\dfrac{1}{2\pi i} \int_C f(z)\ dz = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{\tilde{C}} f(1/w) \dfrac{1}{w^2}\ dw\]
Por último, tenga en cuenta que\(z = 1/w\) mapea todos los polos dentro del círculo\(C\) a puntos fuera del círculo\(\tilde{C}\). Así que el único polo posible de\((1/w^2) f(1/w)\) eso está dentro\(\tilde{C}\) es en\(w = 0\). Ahora bien, ya que\(\tilde{C}\) está orientado en sentido horario, el teorema del residuo dice
\[\dfrac{1}{2\pi i} \int_{\tilde{C}} f(1/w) \dfrac{1}{w^2}\ dw = -\text{Res}(\dfrac{1}{w^2} f(1/w), 0)\]
Comparando esto con la ecuación justo arriba termina la prueba.
Vamos
\[f(z) = \dfrac{5z - 2}{z(z - 1)}. \nonumber\]
Anteriormente calculamos
\[\int_{|z| = 2} f(z)\ dz = 10 \pi i \nonumber\]
calculando residuos en\(z = 0\) y\(z = 1\). Recalcular esta integral calculando un solo residuo en el infinito.
Solución
\[\dfrac{1}{w^2} f(1/w) = \dfrac{1}{w^2} \dfrac{5/w - 2}{(1/w)(1/w - 1)} = \dfrac{5 - 2w}{w(1 - w)}. \nonumber\]
Lo calculamos fácilmente
\[\text{Res} (f, \infty) = -\text{Res} (\dfrac{1}{w^2} f(1/w), 0) = -5. \nonumber\]
Ya que\(|z| = 2\) contiene todas las singularidades de\(f\) tenemos
\[\int_{|z| = 2} f(z)\ dz = -2\pi i \text{Res} (f, \infty) = 10 \pi i. \nonumber\]
¡Esta es la misma respuesta que obtuvimos antes!