10.1: Integrales de funciones que decaen
- Page ID
- 109937
Los teoremas de esta sección nos guiarán en la elección del contorno cerrado\(C\) descrito en la introducción.
El primer teorema es para funciones que decaen más rápido que\(1/z\).
(a) Supongamos que\(f(z)\) se define en el medio plano superior. Si hay una\(a > 1\) y\(M > 0\) tal que
\[|f(z)| < \dfrac{M}{|z|^a}\]
para\(|z|\) grandes entonces
\[\lim_{R \to \infty} \int_{C_R} f(z)\ dz = 0,\]
donde\(C_R\) está el semicírculo que se muestra a continuación a la izquierda.
.svg)
b) Si\(f(z)\) se define en el semiplano inferior y
\[|f(z)| < \dfrac{M}{|z|^a},\]
donde\(a > 1\) entonces
\[\lim_{R \to \infty} \int_{C_R} f(z)\ dz = 0,\]
donde\(C_R\) está el semicírculo que se muestra arriba a la derecha.
- Prueba
-
Demostramos que (a), (b) es esencialmente lo mismo. Utilizamos la desigualdad triangular para integrales y la estimación dada en la hipótesis. Para\(R\) grandes
\[|\int_{C_R} f(z)\ dz| \le \int_{C_R} |f(z)|\ |dz| \le \int_{C_R} \dfrac{M}{|z|^a} |dz| = \int_{0}^{\pi} \dfrac{M}{R^a} R \ d\theta = \dfrac{M \pi}{R^{a - 1}}.\]
Ya que\(a > 1\) esto claramente va a 0 como\(R \to \infty\). \(\text{QED}\)
El siguiente teorema es para funciones que decaen como\(1/z\). Se requiere un poco más de cuidado para afirmar y probar.
(a) Supongamos que\(f(z)\) se define en el medio plano superior. Si hay\(M > 0\) tal que
\[|f(z)| < \dfrac{M}{|z|}\]
para\(|z|\) grande y luego para\(a > 0\)
\[\lim_{x_1 \to \infty, x_2 \to \infty} \int_{C_1 + C_2 + C_3} f(z) e^{iaz}\ dz = 0,\]
donde\(C_1 + C_2 + C_3\) está el camino rectangular que se muestra a continuación a la izquierda.
.svg)
b) Del mismo modo, si\(a < 0\) entonces
\[\lim_{x_1 \to \infty, x_2 \to \infty} \int_{C_1 + C_2 + C_3} f(z) e^{iaz}\ dz = 0,\]
donde\(C_1 + C_2 + C_3\) está el camino rectangular que se muestra arriba a la derecha.
Nota: En contraste con el Teorema 10.2.1 este teorema necesita incluir el factor\(e^{iaz}\).
- Prueba
-
(a) Empezamos por parametrizar\(C_1, C_2, C_3\).
\(C_1: \gamma_1 (t) = x_1 + it\),\(t\) de 0 a\(x_1 + x_2\)
\(C_2: \gamma_2 (t) = t + i(x_1 + x_2)\),\(t\) de\(x_1\) a\(-x_2\)
\(C_3: \gamma_3 (t) = -x_2 + it\),\(t\) de\(x_1 + x_2\) a 0.
A continuación nos fijamos en cada integral a su vez. Asumimos\(x_1\) y\(x_2\) somos lo suficientemente grandes como para
\[|f(z)| < \dfrac{M}{|z|}\]
en cada una de las curvas\(C_j\).
\[\begin{array} {rcl} {|\int_{C_1} f(z) e^{iaz}\ dz|} & \le & {\int_{C_1} |f(z) e^{iaz}|\ |dz| \le \int_{C_1} \dfrac{M}{|z|} |e^{iaz}|\ |dz|} \\ {} & = & {\int_{0}^{x_1 + x_2} \dfrac{M}{\sqrt{x_1^2 + t^2}} |e^{iax_1 - at}|\ dt} \\ {} & \le & {\dfrac{M}{x_1} \int_{0}^{x_1 + x_2} e^{-at}\ dt} \\ {} & = & {\dfrac{M}{x_1} (1 - e^{-a(x_1 + x_2)})/a.} \end{array}\]
Ya que\(a > 0\), es claro que esta última expresión va a 0 as\(x_1\) e\(x_2\) ir a\(\infty\).
\[\begin{array} {rcl} {|\int_{C_2} f(z) e^{iaz}\ dz|} & \le & {\int_{C_2} |f(z) e^{iaz}|\ |dz| \le \int_{C_2} \dfrac{M}{|z|} |e^{iaz}|\ |dz|} \\ {} & = & {\int_{-x_2}^{x_1} \dfrac{M}{\sqrt{t^2 + (x_1 + x_2)^2}} |e^{iat - a(x_1 + x_2)}|\ dt} \\ {} & \le & {\dfrac{Me^{-a(x_1 + x_2)}}{x_1 + x_2} \int_{0}^{x_1 + x_2} \ dt} \\ {} & \le & {Me^{-a(x_1 + x_2)}} \end{array}\]
Nuevamente, claramente esta última expresión va a 0 as\(x_1\) e\(x_2\) ir a\(\infty\).
El argumento a favor\(C_3\) es esencialmente el mismo que para\(C_1\), así que se lo dejamos al lector.
La prueba para la parte b) es la misma. Es necesario realizar un seguimiento del letrero en los exponenciales y asegurarse de que sea negativo.
Consulte el Ejemplo 10.8.1 a continuación para ver un ejemplo usando el Teorema 10.2.2.