10.1: Integrales de funciones que decaen
- Page ID
- 109937
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Los teoremas de esta sección nos guiarán en la elección del contorno cerrado\(C\) descrito en la introducción.
El primer teorema es para funciones que decaen más rápido que\(1/z\).
(a) Supongamos que\(f(z)\) se define en el medio plano superior. Si hay una\(a > 1\) y\(M > 0\) tal que
\[|f(z)| < \dfrac{M}{|z|^a}\]
para\(|z|\) grandes entonces
\[\lim_{R \to \infty} \int_{C_R} f(z)\ dz = 0,\]
donde\(C_R\) está el semicírculo que se muestra a continuación a la izquierda.
.svg)
b) Si\(f(z)\) se define en el semiplano inferior y
\[|f(z)| < \dfrac{M}{|z|^a},\]
donde\(a > 1\) entonces
\[\lim_{R \to \infty} \int_{C_R} f(z)\ dz = 0,\]
donde\(C_R\) está el semicírculo que se muestra arriba a la derecha.
- Prueba
-
Demostramos que (a), (b) es esencialmente lo mismo. Utilizamos la desigualdad triangular para integrales y la estimación dada en la hipótesis. Para\(R\) grandes
\[|\int_{C_R} f(z)\ dz| \le \int_{C_R} |f(z)|\ |dz| \le \int_{C_R} \dfrac{M}{|z|^a} |dz| = \int_{0}^{\pi} \dfrac{M}{R^a} R \ d\theta = \dfrac{M \pi}{R^{a - 1}}.\]
Ya que\(a > 1\) esto claramente va a 0 como\(R \to \infty\). \(\text{QED}\)
El siguiente teorema es para funciones que decaen como\(1/z\). Se requiere un poco más de cuidado para afirmar y probar.
(a) Supongamos que\(f(z)\) se define en el medio plano superior. Si hay\(M > 0\) tal que
\[|f(z)| < \dfrac{M}{|z|}\]
para\(|z|\) grande y luego para\(a > 0\)
\[\lim_{x_1 \to \infty, x_2 \to \infty} \int_{C_1 + C_2 + C_3} f(z) e^{iaz}\ dz = 0,\]
donde\(C_1 + C_2 + C_3\) está el camino rectangular que se muestra a continuación a la izquierda.
.svg)
b) Del mismo modo, si\(a < 0\) entonces
\[\lim_{x_1 \to \infty, x_2 \to \infty} \int_{C_1 + C_2 + C_3} f(z) e^{iaz}\ dz = 0,\]
donde\(C_1 + C_2 + C_3\) está el camino rectangular que se muestra arriba a la derecha.
Nota: En contraste con el Teorema 10.2.1 este teorema necesita incluir el factor\(e^{iaz}\).
- Prueba
-
(a) Empezamos por parametrizar\(C_1, C_2, C_3\).
\(C_1: \gamma_1 (t) = x_1 + it\),\(t\) de 0 a\(x_1 + x_2\)
\(C_2: \gamma_2 (t) = t + i(x_1 + x_2)\),\(t\) de\(x_1\) a\(-x_2\)
\(C_3: \gamma_3 (t) = -x_2 + it\),\(t\) de\(x_1 + x_2\) a 0.
A continuación nos fijamos en cada integral a su vez. Asumimos\(x_1\) y\(x_2\) somos lo suficientemente grandes como para
\[|f(z)| < \dfrac{M}{|z|}\]
en cada una de las curvas\(C_j\).
\[\begin{array} {rcl} {|\int_{C_1} f(z) e^{iaz}\ dz|} & \le & {\int_{C_1} |f(z) e^{iaz}|\ |dz| \le \int_{C_1} \dfrac{M}{|z|} |e^{iaz}|\ |dz|} \\ {} & = & {\int_{0}^{x_1 + x_2} \dfrac{M}{\sqrt{x_1^2 + t^2}} |e^{iax_1 - at}|\ dt} \\ {} & \le & {\dfrac{M}{x_1} \int_{0}^{x_1 + x_2} e^{-at}\ dt} \\ {} & = & {\dfrac{M}{x_1} (1 - e^{-a(x_1 + x_2)})/a.} \end{array}\]
Ya que\(a > 0\), es claro que esta última expresión va a 0 as\(x_1\) e\(x_2\) ir a\(\infty\).
\[\begin{array} {rcl} {|\int_{C_2} f(z) e^{iaz}\ dz|} & \le & {\int_{C_2} |f(z) e^{iaz}|\ |dz| \le \int_{C_2} \dfrac{M}{|z|} |e^{iaz}|\ |dz|} \\ {} & = & {\int_{-x_2}^{x_1} \dfrac{M}{\sqrt{t^2 + (x_1 + x_2)^2}} |e^{iat - a(x_1 + x_2)}|\ dt} \\ {} & \le & {\dfrac{Me^{-a(x_1 + x_2)}}{x_1 + x_2} \int_{0}^{x_1 + x_2} \ dt} \\ {} & \le & {Me^{-a(x_1 + x_2)}} \end{array}\]
Nuevamente, claramente esta última expresión va a 0 as\(x_1\) e\(x_2\) ir a\(\infty\).
El argumento a favor\(C_3\) es esencialmente el mismo que para\(C_1\), así que se lo dejamos al lector.
La prueba para la parte b) es la misma. Es necesario realizar un seguimiento del letrero en los exponenciales y asegurarse de que sea negativo.
Consulte el Ejemplo 10.8.1 a continuación para ver un ejemplo usando el Teorema 10.2.2.