11.6: Ejemplos de mapas conformes y ejercicios
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\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Como hemos visto, una vez que tenemos flujos o funciones armónicas en una región, podemos usar mapas conformes para mapearlos a otras regiones. En esta sección ofreceremos una serie de mapas conformes entre diversas regiones. Al encadenarlos junto con el escalado, rotación y desplazamiento, podemos construir una gran biblioteca de mapas conformes. Por supuesto que hay muchos otros muchos que no vamos a tocar.
Para mayor comodidad, en esta sección dejaremos
\[T_0 (z) = \dfrac{z - i}{z + i}.\]
Este es nuestro mapa estándar de tomar el medio plano superior al disco de la unidad.
Dejar\(H_{\alpha}\) ser el medio plano por encima de la línea
\[y = \tan (\alpha) x, \nonumber\]
es decir,\(\{(x, y) : y > \tan (\alpha) x\}\). Encuentre un FLT desde\(H_{\alpha}\) el disco de la unidad.
Solución
Esto lo hacemos en dos pasos. Primero usa la rotación
\[T_{-\alpha} (a) = e^{-i \alpha} z \nonumber\]
para mapear\(H_{\alpha}\) al medio plano superior. Sigue esto con el mapa\(T_0\). Entonces nuestro mapa es\(T_0 \circ T_{-\alpha} (z)\).
(Usted suministra la imagen)
Dejar\(A\) ser el canal\(0 \le y \le \pi\) en el\(xy\) -plano. Encuentra un mapa conforme desde\(A\) hasta el medio plano superior.
Solución
El mapa\(f(z) = e^z\) hace el truco. (Ver las notas del Tema 1!)
(Se suministra la imagen: las líneas horizontales se mapean a los rayos desde el origen y los segmentos verticales en el canal se mapean a semicírculos.)
Dejar\(B\) ser la mitad superior del disco de la unidad. Mostrar que\(T_{0}^{-1}\) mapea\(B\) al segundo cuadrante.
Solución
Suministras el argumento y la figura.
Dejar\(B\) ser la mitad superior del disco de la unidad. Encuentra un mapa conforme desde\(B\) hasta el medio plano superior.
Solución
El mapa\(T_{0}^{-1} (z)\) mapea\(B\) al segundo cuadrante. Después multiplicando por\(-i\) mapas esto al primer cuadrante. Después, la cuadratura mapea esto al medio plano superior. Al final tenemos
\[f(z) = (-i (\dfrac{iz + i}{-z + 1}))^2. \nonumber\]
Suministras la secuencia de imágenes.
\(A\)Déjese ser el pozo infinito\(\{(x, y) : x \le 0, 0 \le y \le \pi \}\). Encuentra un mapa confomal desde\(A\) hasta el medio plano superior.
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Solución
El mapa se\(f(z) = e^z\) mapea\(A\) a la mitad superior del disco de la unidad. Entonces podemos usar el mapa de Ejemplo\(\PageIndex{4}\) para mapear el medio disco al medio plano superior.
Suministras la secuencia de imágenes.
Demostrar que la función
\[f(z) = z + 1/z \nonumber\]
mapea la región mostrada en la Figura\(\PageIndex{2}\) al medio plano superior.
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