11.6: Ejemplos de mapas conformes y ejercicios

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Como hemos visto, una vez que tenemos flujos o funciones armónicas en una región, podemos usar mapas conformes para mapearlos a otras regiones. En esta sección ofreceremos una serie de mapas conformes entre diversas regiones. Al encadenarlos junto con el escalado, rotación y desplazamiento, podemos construir una gran biblioteca de mapas conformes. Por supuesto que hay muchos otros muchos que no vamos a tocar.

Para mayor comodidad, en esta sección dejaremos

\[T_0 (z) = \dfrac{z - i}{z + i}.\]

Este es nuestro mapa estándar de tomar el medio plano superior al disco de la unidad.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(H_{\alpha}\) ser el medio plano por encima de la línea

\[y = \tan (\alpha) x, \nonumber\]

es decir,\(\{(x, y) : y > \tan (\alpha) x\}\). Encuentre un FLT desde\(H_{\alpha}\) el disco de la unidad.

Solución

Esto lo hacemos en dos pasos. Primero usa la rotación

\[T_{-\alpha} (a) = e^{-i \alpha} z \nonumber\]

para mapear\(H_{\alpha}\) al medio plano superior. Sigue esto con el mapa\(T_0\). Entonces nuestro mapa es\(T_0 \circ T_{-\alpha} (z)\).

(Usted suministra la imagen)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(A\) ser el canal\(0 \le y \le \pi\) en el\(xy\) -plano. Encuentra un mapa conforme desde\(A\) hasta el medio plano superior.

Solución

El mapa\(f(z) = e^z\) hace el truco. (Ver las notas del Tema 1!)

(Se suministra la imagen: las líneas horizontales se mapean a los rayos desde el origen y los segmentos verticales en el canal se mapean a semicírculos.)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Dejar\(B\) ser la mitad superior del disco de la unidad. Mostrar que\(T_{0}^{-1}\) mapea\(B\) al segundo cuadrante.

Solución

Suministras el argumento y la figura.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Dejar\(B\) ser la mitad superior del disco de la unidad. Encuentra un mapa conforme desde\(B\) hasta el medio plano superior.

Solución

El mapa\(T_{0}^{-1} (z)\) mapea\(B\) al segundo cuadrante. Después multiplicando por\(-i\) mapas esto al primer cuadrante. Después, la cuadratura mapea esto al medio plano superior. Al final tenemos

\[f(z) = (-i (\dfrac{iz + i}{-z + 1}))^2. \nonumber\]

Suministras la secuencia de imágenes.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

\(A\)Déjese ser el pozo infinito\(\{(x, y) : x \le 0, 0 \le y \le \pi \}\). Encuentra un mapa confomal desde\(A\) hasta el medio plano superior.

003 - (Ejemplo 11.6.5) .svg — Figura\(\PageIndex{1}\): Función pozo infinito. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Solución

El mapa se\(f(z) = e^z\) mapea\(A\) a la mitad superior del disco de la unidad. Entonces podemos usar el mapa de Ejemplo\(\PageIndex{4}\) para mapear el medio disco al medio plano superior.

Suministras la secuencia de imágenes.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Demostrar que la función

\[f(z) = z + 1/z \nonumber\]

mapea la región mostrada en la Figura\(\PageIndex{2}\) al medio plano superior.

004 - (Ejemplo 11.6.6) .svg — Figura\(\PageIndex{2}\): (CC BY-NC; Ümit Kaya)