11.7: Transformaciones lineales fraccionarias

Definición: Transformaciones lineales fraccionarias

Una transformación lineal fraccionaria es una función de la forma

\[T(z) = \dfrac{az + b}{cz + d}\]

donde\(a\),\(b\),\(c\), y\(d\) son constantes complejas y con\(ad - bc \ne 0\).

A estas también se les llama transformaciones de Möbius o transformaciones bilineales. Abreviaremos la transformación lineal fraccionaria como FLT.

Punto Simple

Si\(ad - bc = 0\) entonces\(T(z)\) es una función constante.

Prueba

La prueba completa requiere que nos ocupemos de todos los casos en los que algunos de los coeficientes son 0. Te daremos la prueba asumiendo\(c \ne 0\) y te dejaremos el caso\(c = 0\) a ti. Asumiendo\(c \ne 0\), la condición\(ad - bc = 0\) implica

\[\dfrac{a}{c} (c, d) = (a, b).\]

Entonces,

\[T(z) = \dfrac{(a/c) (cz + d)}{cz + d} = \dfrac{a}{c}.\]

Es decir,\(T(z)\) es constante.

Extensión a\(\infty\). Será conveniente considerar las transformaciones lineales que se definirán en el plano complejo extendido\(C \cup \{ \infty \}\) definiendo

\[\begin{array} {rcl} {T(\infty)} & = & {\begin{cases} a/c & \text{ if } c \ne 0 \\ \infty & \text{ if } c = 0 \end{cases}} \\ {T(-d/c)} & = & {\infty \ \ \ \ \ \ \text{ if } c \ne 0.} \end{array}\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Scale and Rotate

Vamos\(T(z) = az\). Si\(a = r\) es real esto escala el avión. Si\(a = e^{i \theta}\) gira el plano. Si\(a = re^{i \theta}\) hace ambas cosas a la vez.

Figura\(\PageIndex{1}\): Multiplicación por\(a = re^{i \theta}\) escalas por\(r\) y gira por\(\theta\). (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Tenga en cuenta que\(T\) es la transformación lineal fraccionaria con coeficientes

\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \nonumber\]

(¡A continuación veremos el beneficio de presentar los coeficientes en forma de matriz!)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Scale and Rotate and Translate

Vamos\(T(z) = az + b\). Al agregar el\(b\) término se introduce una traducción al ejemplo anterior.

Figura\(\PageIndex{2}\): El mapa\(w = az + b\) escala, gira y desplaza el cuadrado. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Tenga en cuenta que\(T\) es la transformación lineal fraccionaria con coeficientes

\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Inversion

Vamos\(T(z) = 1/z\). A esto se le llama inversión. Gira el círculo de la unidad de adentro hacia afuera. Tenga en cuenta que\(T(0) = \infty\) y\(T(\infty) = 0\). En la figura de abajo el círculo que está fuera del círculo unitario en el\(z\) plano está dentro del círculo unitario en el\(w\) plano y viceversa. Tenga en cuenta que las flechas en las curvas están invertidas.

Figura\(\PageIndex{3}\): El mapa\(w = 1/z\) invierte el plano. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Tenga en cuenta que\(T\) es la transformación lineal fraccionaria con coeficientes

\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}. \nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Let

\[T(z) = \dfrac{z - i}{z + i}. \nonumber\]

Afirmamos que esto mapea el\(x\) eje -al círculo unitario y el medio plano superior al disco unitario.

Solución

Primero toma\(x\) real, luego

\[|T(x)| = \dfrac{|x - i|}{|x + i|} = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}} = 1. \nonumber\]

Entonces,\(T\) mapea el\(x\) eje -al círculo unitario.

Siguiente toma\(z = x + iy\) con\(y > 0\), es decir,\(z\) en el medio plano superior. Claramente

\[|y + 1| > |y - 1|, \nonumber\]

por lo

\[|z + i| = |x + i(y + 1)| > |x + i(y - 1)| = |z - i|, \nonumber\]

lo que implica que

\[|T(z)| = \dfrac{|z - i|}{|z + i|} < 1. \nonumber\]

Entonces,\(T\) mapea el medio plano superior al disco de la unidad.

Utilizaremos este mapa con frecuencia, por lo que para que conste notamos que

\(T(i) = 0\),\(T(\infty) = 1\),\(T(-1) = i\),\(T(0) = -1\),\(T(1) = -i\).

Estos cálculos muestran que el eje real se mapea en sentido antihorario alrededor del círculo unitario comenzando en 1 y volviendo a 1.

Figura\(\PageIndex{4}\): El mapa\(w = \dfrac{z - i}{z + i}\) mapea el plano de la mitad superior al disco de la unidad. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Líneas y círculos

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Una transformación fraccionaria lineal asigna líneas y círculos a líneas y círculos.

Antes de probar esto, tenga en cuenta que no dice que las líneas se mapean a líneas y los círculos a los círculos. Por ejemplo, en el Ejemplo 11.7.4 el eje real se mapea el círculo unitario. También puedes comprobar que la inversión\(w = 1/z\) mapea la línea\(z = 1 + iy\) al círculo\(|z - 1/2| = 1/2\).

Prueba

Comenzamos mostrando que la inversión mapea líneas y círculos a líneas y círculos. Dado\(z\) y\(w = 1/z\) definimos\(x, y, u\) y\(v\) por

\[z = x + iy \ \ \text{ and } \ \ w = \dfrac{1}{z} = \dfrac{x - iy}{x^2 + y^2} = u + iv \nonumber\]

Entonces,

\[u = \dfrac{x}{x^2 + y^2} \ \ \text{ and } \ \ v = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}. \nonumber\]

Ahora, cada círculo o línea puede ser descrito por la ecuación

\[Ax + By + C(x^2 + y^2) = D \nonumber\]

(Si\(C = 0\) descifra una línea, de lo contrario un círculo.) Convertimos esto en una ecuación de la\(u, v\) siguiente manera.

\[\begin{array} {cll} {} & \ & {Ax + By + C(x^2 + y^2) = D} \\ {\Leftrightarrow} & \ & {\dfrac{Ax}{x^2 + y^2} + \dfrac{By}{x^2 + y^2} + C = \dfrac{D}{x^2 + y^2}} \\ {\Leftrightarrow} & \ & {Au - Bv + C = D(u^2 + v^2).} \end{array} \nonumber\]

En el último paso utilizamos el hecho de que

\[u^2 + v^2 = |w|^2 = 1/|z|^2 = 1/(x^2 + y^2). \nonumber\]

Hemos demostrado que una línea o círculo en\(x, y\) se transforma en una línea o círculo en\(u, v\). Esto demuestra que la inversión mapea líneas y círculos a líneas y círculos.

Tomamos nota de eso para la inversión\(w = 1/z\).

1. Cualquier línea que no pase por el origen se mapea a un círculo a través del origen.
2. Cualquier línea a través del origen se mapea a una línea a través del origen.
3. Cualquier círculo que no pase por el origen se mapea a un círculo, no a través del origen.
4. Cualquier círculo a través del origen se mapea a una línea, no a través del origen.

Ahora bien, para probar que una transformación lineal fraccionaria arbitraria mapea líneas y círculos a líneas y círculos, la facetamos en una secuencia de transformaciones más simples.

Primero supongamos eso\(c = 0\). Entonces,

\[T(z) = (az + b)/d.\]

Dado que esto es solo traducción, escalado y rotación, es claro que mapea círculos a círculos y líneas a líneas.

Ahora supongamos eso\(c \ne 0\). Entonces,

\[T(z) = \dfrac{az + b}{cz + d} = \dfrac{\dfrac{a}{c} (cz + d) + b - \dfrac{ad}{c}}{cz + d} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{b - ad/c}{cz + d} \nonumber\]

Entonces, se\(w = T(z)\) puede computar como una composición de transformaciones

\[z \ \ \mapsto \ \ w_1 = cz + d \ \ \mapsto \ \ w_2 = 1/w_1 \ \ \mapsto \ \ w = \dfrac{a}{c} + (b - ad/c) w_2 \nonumber\]

Sabemos que cada una de las transformaciones en esta secuencia mapea líneas y círculos a líneas y círculos. Por lo tanto, toda la secuencia también lo hace.

Mapeo\(z_j\) a\(w_j\)

Resulta que para dos conjuntos de tres puntos\(z_1, z_2, z_3\) y\(w_1, w_2, w_3\) hay una transformación lineal fraccionaria que lleva\(z_j\) a\(w_j\). Podemos construir este mapa de la siguiente manera.

Let

\[T_1 (z) = \dfrac{(z - z_1)(z_2 - z_3)}{(z - z_3)(z_2 - z_1)}.\]

Observe que

\(T_1(z_1) = 0\),\(T_1 (z_1) = 1\),\(T_1 (z_3) = \infty\).

Del mismo modo dejar

\[T_2(w) = \dfrac{(w - w_1) (w_2 - w_3)}{(w - w_3)(w_2 - w_1)}.\]

Observe que

\(T_2(w_1) = 0\),\(T_2(w_2) = 1\),\(T_2 (w_3) = \infty\).

Ahora\(T(z) = T_{2}^{-1} \circ T_1 (z)\) es el mapa requerido.

Correspondencia con Matrices

Podemos identificar la transformación

\[T(z) = \dfrac{az + b}{cz + d}\]

con la matriz

\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}.\]

Esta identificación es útil debido a los siguientes hechos algebraicos.

1. Si\(r \ne 0\) entonces\(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) y\(r \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) corresponden al mismo FLT.
   \(Proof\). Esto se desprende de la evidente igualdad
   \[\dfrac{az + b}{cz + d} = \dfrac{raz + rb}{rcz + rd}.\]
2. Si\(T(z)\) corresponde\(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) y\(S(z)\) corresponde\(B = \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}\) entonces la composición\(T \circ S(z)\) corresponde a la multiplicación matricial\(AB\).
   \(Proof\). La prueba es sólo un poco de álgebra.
   \[\begin{array} {rcl} {T \circ S(z)} & = & {T(\dfrac{ez + f}{gz + h}) = \dfrac{a((ez + f)/(gz + h)) + b}{c((ez + f)/(gz + h)) + d} = \dfrac{(ae + bg)z + af + bh}{(ce + dg) z + cf + dh}} \\ {AB} & = & {\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{bmatrix}} \end{array}\]
   La correspondencia reclamada queda clara a partir de las últimas entradas de las dos líneas anteriores.
3. Si\(T(z)\) corresponde a\(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) entonces\(T\) tiene una inversa y\(T^{-1} (w)\) corresponde a\(A^{-1}\) y también a\(\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\), es decir, a\(A^{-1}\) sin el factor de\(1/\text{det}(A)\).
   \(Proof\). Ya\(A A^{-1} = I\) que queda claro del hecho anterior que\(T^{-1}\) corresponde a\(A^{-1}\). Desde
   \[A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]

El hecho 1 implica\(A^{-1}\) y\(\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\) ambos corresponden al mismo FLT, es decir, a\(T^{-1}\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

1. La matriz\(\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) corresponde a\(T(z) = az + b\).
2. La matriz\(\begin{bmatrix} e^{i \alpha} & 0 \\ 0 & e^{-i \alpha} \end{bmatrix}\) corresponde a la rotación por\(2\alpha\).
3. La matriz\(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) corresponde a la inversión\(w = 1/z\).