11.7: Transformaciones lineales fraccionarias
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Una transformación lineal fraccionaria es una función de la forma
\[T(z) = \dfrac{az + b}{cz + d}\]
donde\(a\),\(b\),\(c\), y\(d\) son constantes complejas y con\(ad - bc \ne 0\).
A estas también se les llama transformaciones de Möbius o transformaciones bilineales. Abreviaremos la transformación lineal fraccionaria como FLT.
Si\(ad - bc = 0\) entonces\(T(z)\) es una función constante.
- Prueba
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La prueba completa requiere que nos ocupemos de todos los casos en los que algunos de los coeficientes son 0. Te daremos la prueba asumiendo\(c \ne 0\) y te dejaremos el caso\(c = 0\) a ti. Asumiendo\(c \ne 0\), la condición\(ad - bc = 0\) implica
\[\dfrac{a}{c} (c, d) = (a, b).\]
Entonces,
\[T(z) = \dfrac{(a/c) (cz + d)}{cz + d} = \dfrac{a}{c}.\]
Es decir,\(T(z)\) es constante.
Extensión a\(\infty\). Será conveniente considerar las transformaciones lineales que se definirán en el plano complejo extendido\(C \cup \{ \infty \}\) definiendo
\[\begin{array} {rcl} {T(\infty)} & = & {\begin{cases} a/c & \text{ if } c \ne 0 \\ \infty & \text{ if } c = 0 \end{cases}} \\ {T(-d/c)} & = & {\infty \ \ \ \ \ \ \text{ if } c \ne 0.} \end{array}\]
Vamos\(T(z) = az\). Si\(a = r\) es real esto escala el avión. Si\(a = e^{i \theta}\) gira el plano. Si\(a = re^{i \theta}\) hace ambas cosas a la vez.
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Tenga en cuenta que\(T\) es la transformación lineal fraccionaria con coeficientes
\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \nonumber\]
(¡A continuación veremos el beneficio de presentar los coeficientes en forma de matriz!)
Vamos\(T(z) = az + b\). Al agregar el\(b\) término se introduce una traducción al ejemplo anterior.
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Tenga en cuenta que\(T\) es la transformación lineal fraccionaria con coeficientes
\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \nonumber\]
Vamos\(T(z) = 1/z\). A esto se le llama inversión. Gira el círculo de la unidad de adentro hacia afuera. Tenga en cuenta que\(T(0) = \infty\) y\(T(\infty) = 0\). En la figura de abajo el círculo que está fuera del círculo unitario en el\(z\) plano está dentro del círculo unitario en el\(w\) plano y viceversa. Tenga en cuenta que las flechas en las curvas están invertidas.
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Tenga en cuenta que\(T\) es la transformación lineal fraccionaria con coeficientes
\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}. \nonumber\]
Let
\[T(z) = \dfrac{z - i}{z + i}. \nonumber\]
Afirmamos que esto mapea el\(x\) eje -al círculo unitario y el medio plano superior al disco unitario.
Solución
Primero toma\(x\) real, luego
\[|T(x)| = \dfrac{|x - i|}{|x + i|} = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}} = 1. \nonumber\]
Entonces,\(T\) mapea el\(x\) eje -al círculo unitario.
Siguiente toma\(z = x + iy\) con\(y > 0\), es decir,\(z\) en el medio plano superior. Claramente
\[|y + 1| > |y - 1|, \nonumber\]
por lo
\[|z + i| = |x + i(y + 1)| > |x + i(y - 1)| = |z - i|, \nonumber\]
lo que implica que
\[|T(z)| = \dfrac{|z - i|}{|z + i|} < 1. \nonumber\]
Entonces,\(T\) mapea el medio plano superior al disco de la unidad.
Utilizaremos este mapa con frecuencia, por lo que para que conste notamos que
\(T(i) = 0\),\(T(\infty) = 1\),\(T(-1) = i\),\(T(0) = -1\),\(T(1) = -i\).
Estos cálculos muestran que el eje real se mapea en sentido antihorario alrededor del círculo unitario comenzando en 1 y volviendo a 1.
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Líneas y círculos
Una transformación fraccionaria lineal asigna líneas y círculos a líneas y círculos.
Antes de probar esto, tenga en cuenta que no dice que las líneas se mapean a líneas y los círculos a los círculos. Por ejemplo, en el Ejemplo 11.7.4 el eje real se mapea el círculo unitario. También puedes comprobar que la inversión\(w = 1/z\) mapea la línea\(z = 1 + iy\) al círculo\(|z - 1/2| = 1/2\).
- Prueba
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Comenzamos mostrando que la inversión mapea líneas y círculos a líneas y círculos. Dado\(z\) y\(w = 1/z\) definimos\(x, y, u\) y\(v\) por
\[z = x + iy \ \ \text{ and } \ \ w = \dfrac{1}{z} = \dfrac{x - iy}{x^2 + y^2} = u + iv \nonumber\]
Entonces,
\[u = \dfrac{x}{x^2 + y^2} \ \ \text{ and } \ \ v = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}. \nonumber\]
Ahora, cada círculo o línea puede ser descrito por la ecuación
\[Ax + By + C(x^2 + y^2) = D \nonumber\]
(Si\(C = 0\) descifra una línea, de lo contrario un círculo.) Convertimos esto en una ecuación de la\(u, v\) siguiente manera.
\[\begin{array} {cll} {} & \ & {Ax + By + C(x^2 + y^2) = D} \\ {\Leftrightarrow} & \ & {\dfrac{Ax}{x^2 + y^2} + \dfrac{By}{x^2 + y^2} + C = \dfrac{D}{x^2 + y^2}} \\ {\Leftrightarrow} & \ & {Au - Bv + C = D(u^2 + v^2).} \end{array} \nonumber\]
En el último paso utilizamos el hecho de que
\[u^2 + v^2 = |w|^2 = 1/|z|^2 = 1/(x^2 + y^2). \nonumber\]
Hemos demostrado que una línea o círculo en\(x, y\) se transforma en una línea o círculo en\(u, v\). Esto demuestra que la inversión mapea líneas y círculos a líneas y círculos.
Tomamos nota de eso para la inversión\(w = 1/z\).
- Cualquier línea que no pase por el origen se mapea a un círculo a través del origen.
- Cualquier línea a través del origen se mapea a una línea a través del origen.
- Cualquier círculo que no pase por el origen se mapea a un círculo, no a través del origen.
- Cualquier círculo a través del origen se mapea a una línea, no a través del origen.
Ahora bien, para probar que una transformación lineal fraccionaria arbitraria mapea líneas y círculos a líneas y círculos, la facetamos en una secuencia de transformaciones más simples.
Primero supongamos eso\(c = 0\). Entonces,
\[T(z) = (az + b)/d.\]
Dado que esto es solo traducción, escalado y rotación, es claro que mapea círculos a círculos y líneas a líneas.
Ahora supongamos eso\(c \ne 0\). Entonces,
\[T(z) = \dfrac{az + b}{cz + d} = \dfrac{\dfrac{a}{c} (cz + d) + b - \dfrac{ad}{c}}{cz + d} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{b - ad/c}{cz + d} \nonumber\]
Entonces, se\(w = T(z)\) puede computar como una composición de transformaciones
\[z \ \ \mapsto \ \ w_1 = cz + d \ \ \mapsto \ \ w_2 = 1/w_1 \ \ \mapsto \ \ w = \dfrac{a}{c} + (b - ad/c) w_2 \nonumber\]
Sabemos que cada una de las transformaciones en esta secuencia mapea líneas y círculos a líneas y círculos. Por lo tanto, toda la secuencia también lo hace.
Mapeo\(z_j\) a\(w_j\)
Resulta que para dos conjuntos de tres puntos\(z_1, z_2, z_3\) y\(w_1, w_2, w_3\) hay una transformación lineal fraccionaria que lleva\(z_j\) a\(w_j\). Podemos construir este mapa de la siguiente manera.
Let
\[T_1 (z) = \dfrac{(z - z_1)(z_2 - z_3)}{(z - z_3)(z_2 - z_1)}.\]
Observe que
\(T_1(z_1) = 0\),\(T_1 (z_1) = 1\),\(T_1 (z_3) = \infty\).
Del mismo modo dejar
\[T_2(w) = \dfrac{(w - w_1) (w_2 - w_3)}{(w - w_3)(w_2 - w_1)}.\]
Observe que
\(T_2(w_1) = 0\),\(T_2(w_2) = 1\),\(T_2 (w_3) = \infty\).
Ahora\(T(z) = T_{2}^{-1} \circ T_1 (z)\) es el mapa requerido.
Correspondencia con Matrices
Podemos identificar la transformación
\[T(z) = \dfrac{az + b}{cz + d}\]
con la matriz
\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}.\]
Esta identificación es útil debido a los siguientes hechos algebraicos.
- Si\(r \ne 0\) entonces\(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) y\(r \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) corresponden al mismo FLT.
\(Proof\). Esto se desprende de la evidente igualdad
\[\dfrac{az + b}{cz + d} = \dfrac{raz + rb}{rcz + rd}.\] - Si\(T(z)\) corresponde\(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) y\(S(z)\) corresponde\(B = \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}\) entonces la composición\(T \circ S(z)\) corresponde a la multiplicación matricial\(AB\).
\(Proof\). La prueba es sólo un poco de álgebra.
\[\begin{array} {rcl} {T \circ S(z)} & = & {T(\dfrac{ez + f}{gz + h}) = \dfrac{a((ez + f)/(gz + h)) + b}{c((ez + f)/(gz + h)) + d} = \dfrac{(ae + bg)z + af + bh}{(ce + dg) z + cf + dh}} \\ {AB} & = & {\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{bmatrix}} \end{array}\]
La correspondencia reclamada queda clara a partir de las últimas entradas de las dos líneas anteriores. - Si\(T(z)\) corresponde a\(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) entonces\(T\) tiene una inversa y\(T^{-1} (w)\) corresponde a\(A^{-1}\) y también a\(\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\), es decir, a\(A^{-1}\) sin el factor de\(1/\text{det}(A)\).
\(Proof\). Ya\(A A^{-1} = I\) que queda claro del hecho anterior que\(T^{-1}\) corresponde a\(A^{-1}\). Desde
\[A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]
El hecho 1 implica\(A^{-1}\) y\(\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\) ambos corresponden al mismo FLT, es decir, a\(T^{-1}\).
- La matriz\(\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) corresponde a\(T(z) = az + b\).
- La matriz\(\begin{bmatrix} e^{i \alpha} & 0 \\ 0 & e^{-i \alpha} \end{bmatrix}\) corresponde a la rotación por\(2\alpha\).
- La matriz\(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) corresponde a la inversión\(w = 1/z\).