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1.2: Encontrar área descomponiendo y reordenando

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    Lección

    Vamos a crear formas y encontrar sus áreas.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\): What is Area?

    Tal vez recuerde que el término área nos dice algo sobre el número de cuadrados dentro de una forma bidimensional.

    1. Aquí hay cuatro dibujos que muestran cada uno cuadrados dentro de una forma. Seleccione todos los dibujos cuyos cuadrados podrían usarse para encontrar el área de la forma. Esté preparado para explicar su razonamiento.
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    Figura\(\PageIndex{1}\): Cuatro dibujos que muestran cada uno cuadrados dentro de una forma. La Forma A se divide en cuadrados grandes, la Forma B se divide en una combinación de cuadrados grandes y pequeños, la Forma C se divide en una combinación de cuadrados grandes y espacios en blanco, y la Forma D se divide en cuadrados pequeños.
    1. Escribe una definición de área que incluya toda la información que creas importante.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Composing Shapes

    Este applet tiene un cuadrado y algunos triángulos rectos pequeños, medianos y grandes. El área de la plaza es de 1 unidad cuadrada.

    Da click en una forma y arrastra para moverla. Agarra el punto en el vértice y arrastra para girarlo.

    1. Observe que puede armar dos pequeños triángulos para hacer un cuadrado. ¿Cuál es el área de la plaza compuesta por dos pequeños triángulos? Esté preparado para explicar su razonamiento.
    2. Usa tus formas para crear una nueva forma con un área de 1 unidad cuadrada que no sea cuadrada. Dibuja tu forma en papel y etiquétela con su área.
    3. Usa tus formas para crear una nueva forma con un área de 2 unidades cuadradas. Dibuja tu forma y etiquégala con su área.
    4. Usa tus formas para crear una forma diferente con un área de 2 unidades cuadradas. Dibuja tu forma y etiquégala con su área.
    5. Usa tus formas para crear una nueva forma con un área de 4 unidades cuadradas. Dibuja tu forma y etiquégala con su área.

    ¿Estás listo para más?

    Encuentra una manera de usar todas tus piezas para componer un solo cuadrado grande. ¿Cuál es el área de esta gran plaza?

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Tangram Triangles

    Recordemos que el área de la plaza que viste antes es de 1 unidad cuadrada. Completa cada enunciado y explica tu razonamiento.

    1. El área del triángulo pequeño es ____________ unidades cuadradas. Esto lo sé porque...
    2. El área del triángulo mediano es ____________ unidades cuadradas. Esto lo sé porque...
    3. El área del triángulo grande es ____________ unidades cuadradas. Esto lo sé porque...

    Resumen

    Aquí hay dos principios importantes para encontrar área:

    1. Si se pueden colocar dos figuras una encima de la otra para que coincidan exactamente, entonces tienen la misma área.
    2. Podemos descomponer una figura (romper una figura en pedazos) y reorganizar las piezas (mover las piezas alrededor) para encontrar su área.

    Aquí hay ilustraciones de los dos principios.

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    Figura\(\PageIndex{2}\): Imagen de dos cuadrados, que luego se descomponen en cuatro triángulos, los cuales luego se reordenan en un triángulo grande. Otra imagen de un triángulo grande que se descompone en cuatro triángulos más pequeños, y luego se reordena en dos cuadrados.
    • Cada cuadrado de la izquierda se puede descomponer en 2 triángulos. Estos triángulos se pueden reorganizar en un triángulo grande. Entonces el triángulo grande tiene la misma área que los 2 cuadrados.
    • De igual manera, el triángulo grande de la derecha se puede descomponer en 4 triángulos iguales. Los triángulos se pueden reorganizar para formar 2 cuadrados. Si cada cuadrado tiene un área de 1 unidad cuadrada, entonces el área del triángulo grande es de 2 unidades cuadradas. También podemos decir que cada triángulo pequeño tiene un área de unidad\(\frac{1}{2}\) cuadrada.

    Entradas en el glosario

    Definición: Área

    Área es el número de unidades cuadradas que cubren una región bidimensional, sin huecos ni superposiciones.

    Por ejemplo, el área de la región A es de 8 unidades cuadradas. El área de la región sombreada de B es unidad\(\frac{1}{2}\) cuadrada.

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    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Definición: Componer

    Componer significa “armar”. Usamos la palabra componer para describir juntar más de una figura para hacer una nueva forma.

    clipboard_e060fd4363aa4aa23d04ae03f0f2766d5.png
    Figura\(\PageIndex{4}\)

    Definición: Descomponer

    Descomponer significa “desarmar”. Usamos la palabra descomponer para describir desarmar una figura para hacer más de una nueva forma.

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    Figura\(\PageIndex{5}\)

    Definición: Región

    Una región es el espacio dentro de una forma. Algunos ejemplos de regiones bidimensionales están dentro de un círculo o dentro de un polígono. Algunos ejemplos de regiones tridimensionales son el interior de un cubo o el interior de una esfera.

    Practica

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Se muestra la diagonal de un rectángulo.

    clipboard_e836cfb81dfb84b43f2a91356ecc186a8.png
    Figura\(\PageIndex{6}\)
    1. Descomponer el rectángulo a lo largo de la diagonal, y recomponer las dos piezas para hacer una forma diferente.
    2. ¿Cómo se compara el área de esta nueva forma con el área del rectángulo original? Explica cómo sabes.

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Priya descompuso un cuadrado en 16 cuadrados más pequeños, de igual tamaño y luego cortó 4 de los cuadrados pequeños y los sujetó alrededor del exterior del cuadrado original para hacer una nueva figura.

    ¿Cómo se compara el área de su nueva figura con la del cuadrado original?

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    Figura\(\PageIndex{7}\)
    1. El área de la nueva figura es mayor.
    2. Las dos figuras tienen la misma superficie.
    3. El área del cuadrado original es mayor.
    4. No lo sabemos porque no se conoce ni la longitud lateral ni el área del cuadrado original.

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    El área de la plaza es de 1 unidad cuadrada. Se pueden juntar dos triángulos pequeños para hacer un cuadrado o para hacer un triángulo mediano.

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    Figura\(\PageIndex{8}\)

    ¿Qué cifra también tiene una superficie de unidades\(1\frac{1}{2}\) cuadradas? Seleccione todas las que correspondan.

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    La figura A está compuesta por tres triángulos pequeños, la figura B está compuesta por tres triángulos pequeños en una disposición diferente, la figura C está compuesta por un triángulo mediano y un triángulo pequeño, y la figura D está compuesta por dos triángulos pequeños y un cuadrado.
    1. Figura A
    2. Figura B
    3. Figura C
    4. Figura D

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    El área de un patio rectangular es de 78 metros cuadrados. Si la longitud del patio de recreo es de 13 metros, ¿cuál es su ancho?

    (De la Unidad 1.1.1)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Un estudiante dijo: “No podemos encontrar el área de la región sombreada porque la forma tiene muchas medidas diferentes, en lugar de solo una longitud y una anchura que podríamos multiplicar”.

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    Figura\(\PageIndex{10}\): Una figura de múltiples lados. Los lados en la parte superior miden 10 unidades, 35 unidades y 15 unidades. Dos de los tres lados de la izquierda miden 10 unidades. Uno de los dos lados de la derecha mide 10 unidades. Uno de los dos lados en la parte inferior mide 15 unidades. El ancho total de la figura es de 60 unidades, y la altura total es de 30 unidades. Todos los ángulos son ángulos rectos.

    Explique por qué la declaración del alumno sobre el área es incorrecta.

    (De la Unidad 1.1.1)

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