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3.2: Área de triángulos

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    120052

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    Lección

    Usemos lo que sabemos de paralelogramos para encontrar el área de triángulos.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Composing Parallelograms

    Aquí está el Triángulo M.

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    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Han hizo una copia del Triángulo M y compuso tres paralelogramos diferentes utilizando la M original y la copia, como se muestra aquí.

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    Figura\(\PageIndex{2}\): 3 paralelogramos diferentes en una cuadrícula compuesta por Triángulo M y una copia. Primer paralelogramo, Triángulo M y una copia a lo largo del lado inclinado del triángulo. Segundo paralelogramo, Triángulo M y una copia a lo largo del lado horizontal del triángulo. Tercer paralelogramo, Triángulo M y una copia a lo largo del lado vertical del triángulo.
    1. Por cada paralelogramo que haya compuesto, identifique una base y una altura correspondiente, y escriba las medidas en el dibujo.
    2. Encuentra el área de cada paralelogramo compuesto por Han. Muestra tu razonamiento.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\): More Triangles

    Encuentra las áreas de al menos dos de estos triángulos. Muestra tu razonamiento.

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    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Decomposing a Parallelogram

    1. Tu profesor te dará dos copias de un paralelogramo. Pegue o pegue una copia de su paralelogramo aquí y encuentre su área. Muestra tu razonamiento.
    2. Descompone la segunda copia de tu paralelogramo cortando a lo largo de las líneas punteadas. Toma solo el pequeño triángulo y el trapecio, y reordena estas dos piezas en un paralelogramo diferente. Pegue o pegue el paralelogramo recién compuesto en su papel.
    3. Encuentra el área del nuevo paralelogramo que compusiste. Muestra tu razonamiento.
    4. ¿Qué nota sobre la relación entre el área de este nuevo paralelogramo y el original?
    5. ¿Cómo crees que el área del triángulo grande se compara con la del nuevo paralelogramo? ¿Es más grande, igual o menor? ¿Por qué es eso?
    6. Pegue o pegue con cinta el triángulo grande restante a su papel. Utiliza cualquier parte de tu trabajo para ayudarte a encontrar su área. Muestra tu razonamiento.

    ¿Estás listo para más?

    ¿Se puede descomponer este triángulo y reorganizar sus partes para formar un rectángulo? Describa cómo se podría hacer.

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    Figura\(\PageIndex{4}\)

    Resumen

    Podemos razonar sobre el área de un triángulo usando lo que sabemos sobre los paralelogramos. Aquí hay tres formas generales de hacer esto:

    • Haz una copia del triángulo y une el original y la copia a lo largo de un borde para crear un paralelogramo. Debido a que los dos triángulos tienen la misma área, una copia del triángulo tiene la mitad del área de ese paralelogramo.
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    La figura C es otro triángulo, y la figura D es el mismo triángulo que la figura C, con una copia a lo largo del borde del original para crear paralelogramo. La base izquierda del paralelogramo está etiquetada con 4 unidades, y la altura está etiquetada con 6 unidades.

    El área del Paralelogramo B es de 16 unidades cuadradas debido a que la base es de 8 unidades y la altura 2 unidades. El área del Triángulo A es la mitad de esa, que es de 8 unidades cuadradas. El área del Paralelogramo D es de 24 unidades cuadradas debido a que la base es de 4 unidades y la altura de 6 unidades. El área del Triángulo C es la mitad de esa, que es de 12 unidades cuadradas.

    • Descomponer el triángulo en trozos más pequeños y componerlos en un paralelogramo.
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    Figura\(\PageIndex{6}\): Dos imágenes de un triángulo. La imagen a la derecha tiene una línea discontinua que corta la parte superior. La imagen de la izquierda tiene la porción cortada movida junto a la parte inferior del triángulo para crear un paralelogramo. Una flecha que indica que se movió la porción cortada de otra imagen.

    En el nuevo paralelogramo,\(b=6\),\(h=2\), y\(6\cdot 2=12\), así su área es de 12 unidades cuadradas. Debido a que el triángulo original y el paralelogramo están compuestos por las mismas partes, el área del triángulo original también es de 12 unidades cuadradas.

    • Dibuja un rectángulo alrededor del triángulo. A veces el triángulo tiene la mitad del área del rectángulo.
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    Figura\(\PageIndex{7}\)

    El rectángulo grande se puede descomponer en rectángulos más pequeños. El de la izquierda tiene área\(4\cdot 3\) o 12 unidades cuadradas; el de la derecha tiene área\(2\cdot 3\) o 6 unidades cuadradas. El triángulo grande también se descompone en dos triángulos rectos. Cada uno de los triángulos rectos es la mitad de un rectángulo más pequeño, por lo que sus áreas son 6 unidades cuadradas y 3 unidades cuadradas. El triángulo grande tiene área 9 unidades cuadradas.

    En ocasiones, el triángulo es la mitad de lo que queda del rectángulo después de eliminar dos copias de los triángulos derechos más pequeños.

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    Figura\(\PageIndex{8}\): Tres imágenes del mismo triángulo. La primera imagen es solo el triángulo. El segundo es el triángulo rodeado por un rectángulo. La tercera imagen es del triángulo ahora con una copia compuesta en un paralelogramo dentro del rectángulo, con flechas dibujando las partes restantes del rectángulo en un rectángulo más pequeño.

    Los triángulos rectos que se eliminan se pueden componer en un pequeño rectángulo con unidades\((2\cdot 3)\) cuadradas de área. Lo que queda es un paralelogramo con área\(5\cdot 3-2\cdot 3\), que es igual\(15-6\) o unidades\(9\) cuadradas. ¡Observe que podemos componer el mismo paralelogramo con dos copias del triángulo original! El triángulo original es la mitad del paralelogramo, por lo que su área es\(\frac{1}{2}\cdot 9\) o unidades\(4.5\) cuadradas.

    Practica

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Para encontrar el área de este triángulo rectángulo, Diego y Jada utilizaron diferentes estrategias. Diego trazó una línea a través de los puntos medios de los dos lados más largos, lo que descompone el triángulo en un trapecio y un triángulo más pequeño. Luego reorganizó las dos formas en un paralelogramo.

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    Figura\(\PageIndex{9}\): Un triángulo con un lado etiquetado 3 pies y otro lado etiquetado 8 pies. Una segunda imagen muestra el mismo triángulo con una línea discontinua que divide el triángulo de manera que el lado que estaba etiquetado 8 pies es ahora dos piezas, cada una etiquetada 4 pies. Una flecha indica que la porción menor resultante se gira para crear un paralelogramo con una base de 3 pies y una altura de 4 pies.

    Jada hizo una copia del triángulo, lo giró y lo alineó contra un lado del triángulo original para que los dos triángulos formaran un paralelogramo.

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    Figura\(\PageIndex{10}\)
    1. Explica cómo Diego podría usar su paralelogramo para encontrar el área del triángulo.
    2. Explica cómo Jada podría usar su paralelogramo para encontrar el área del triángulo.

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Encuentra el área del triángulo. Explica o muestra tu razonamiento.

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    Figura\(\PageIndex{11}\)
    clipboard_e51cc207318cbff7af8faca8aba737aca.png
    Figura\(\PageIndex{12}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    ¿Cuál de los tres triángulos tiene mayor área? Muestra tu razonamiento. Si te quedas atascado, intenta usar lo que sabes sobre el área de los paralelogramos.

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    Figura\(\PageIndex{13}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Dibuja una copia idéntica de cada triángulo de tal manera que las dos copias juntas formen un paralelogramo. Si te quedas atascado, considera usar papel de calco.

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    Figura\(\PageIndex{14}\)

    (De la Unidad 1.3.1)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    1. Un paralelogramo tiene una base de 3.5 unidades y una altura correspondiente de 2 unidades. ¿Cuál es su área?
    2. Un paralelogramo tiene una base de 3 unidades y un área de 1.8 unidades cuadradas. ¿Cuál es la altura correspondiente para esa base?
    3. Un paralelogramo tiene una superficie de 20.4 unidades cuadradas. Si la altura que corresponde a una base es de 4 unidades, ¿cuál es la base?

    (De la Unidad 1.2.3)

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