3.3: Fórmula para el Área de un Triángulo

Lección

Escribamos y usemos una fórmula para encontrar el área de un triángulo.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Bases and Heights of a Triangle

Estudiar los ejemplos y no ejemplos de bases y alturas en un triángulo.

• Ejemplos: Estos segmentos punteados representan las alturas del triángulo.

Figura\(\PageIndex{1}\)

• No-ejemplos: Estos segmentos discontinuos no representan las alturas del triángulo.

Figura\(\PageIndex{2}\)

Selecciona todas las afirmaciones que sean verdaderas sobre bases y alturas en un triángulo.

1. Cualquier lado de un triángulo puede ser una base.
2. Sólo hay una altura posible.
3. Una altura es siempre uno de los lados de un triángulo.
4. Una altura que corresponda a una base debe dibujarse en un ángulo agudo con respecto a la base.
5. Una altura que corresponda a una base debe dibujarse en ángulo recto con respecto a la base.
6. Una vez que elegimos una base, solo hay un segmento que representa la altura correspondiente.
7. Un segmento que represente una altura debe pasar por un vértice.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Finding a Formula for Area of a Triangle

Para cada triángulo:

• Identificar una base y una altura correspondiente, y registrar sus longitudes en la tabla.
• Encuentra el área del triángulo y gránzala en la última columna de la tabla.

Figura\(\PageIndex{3}\)

Mesa\(\PageIndex{1}\)

triángulo	base (unidades)	altura (unidades)	área (unidades cuadradas)
A
B
C
D
cualquier triángulo	\(b\)	\(h\)

En la última fila, escribe una expresión para el área de cualquier triángulo, usando\(b\) y\(h\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Applying the Formula for Area of Triangles

Para cada triángulo, circule una medida base que pueda usar para encontrar el área del triángulo. Después, encuentra el área de tres triángulos cualesquiera. Muestra tu razonamiento.

Figura\(\PageIndex{4}\)

Resumen

• Podemos elegir cualquiera de los tres lados de un triángulo para llamar a la base. El término “base” se refiere tanto al lado como a su longitud (la medida).
• La altura correspondiente es la longitud de un segmento perpendicular desde la base hasta el vértice opuesto al mismo. El vértice opuesto es el vértice que no es un punto final de la base.

Aquí hay tres pares de bases y alturas para el mismo triángulo. Los segmentos discontinuas en los diagramas representan alturas.

Figura\(\PageIndex{5}\)

Un segmento que muestre una altura debe dibujarse en ángulo recto con la base, pero se puede dibujar en más de un lugar. No tiene que pasar por el vértice opuesto, siempre y cuando conecte la base y una línea que sea paralela a la base y pase por el vértice opuesto, como se muestra aquí.

Figura\(\PageIndex{6}\)

Los pares base-altura en un triángulo están estrechamente relacionados con los de un paralelogramo. Recordemos que dos copias de un triángulo se pueden componer en uno o más paralelogramos. Cada paralelogramo comparte al menos una base con el triángulo.

Figura\(\PageIndex{7}\): Dos triángulos idénticos, cada uno con una copia que compone el triángulo en dos paralelogramos diferentes. En cada paralelogramo tiene la parte inferior etiquetada base y líneas discontinuas en ángulo recto con la base indicando la altura del paralelogramo.

Para cualquier base que compartan, también se comparte la altura correspondiente, tal y como muestran los segmentos discontinuos.

Podemos utilizar las medidas de altura base y nuestro conocimiento de paralelogramos para encontrar el área de cualquier triángulo.

• La fórmula para el área de un paralelogramo con base\(b\) y altura\(h\) es\(b\cdot h\).
• Un triángulo ocupa la mitad del área de un paralelogramo con la misma base y altura. Por lo tanto, podemos expresar el área\(A\) de un triángulo como:\(A=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h\)

Figura\(\PageIndex{8}\)

• El área del Triángulo A es de 15 unidades cuadradas porque\(\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6=15\).
• El área del Triángulo B es de 4.5 unidades cuadradas porque\(\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3=4.5\).
• El área del Triángulo C es de 24 unidades cuadradas porque\(\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 4=24\).

En cada caso, un lado del triángulo es la base pero ninguno de los otros lados es la altura. Esto se debe a que el ángulo entre ellos no es un ángulo recto.

En triángulos rectos, sin embargo, los dos lados que son perpendiculares pueden ser una base y una altura.

El área de este triángulo es de 18 unidades cuadradas ya sea que utilicemos 4 unidades o 9 unidades para la base.

Figura\(\PageIndex{9}\)

Entradas en el glosario

Definición: Vértice opuesto

Por cada lado de un triángulo, hay un vértice que no está en ese lado. Este es el vértice opuesto.

Por ejemplo, punto\(A\) es el vértice opuesto a lado\(BC\).

Figura\(\PageIndex{10}\)

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Seleccione todos los dibujos en los que se identifique correctamente una altura correspondiente\(h\) para\(b\) una base determinada.

Figura\(\PageIndex{11}\): Seis imágenes del mismo triángulo, etiquetadas A, B, C, D, E y F. El triángulo A, lado superior está etiquetado, b, y una línea discontinua etiquetada, h, se extiende recto hacia abajo desde el vértice derecho. Triángulo B, lado superior se etiqueta b y una línea discontinua etiquetada, h, se extiende desde el centro de la parte superior hasta el vértice opuesto. Triángulo C, el lado derecho está etiquetado, b, y una línea discontinua se extiende desde el vértice superior izquierdo recto hacia abajo hasta el nivel del vértice inferior etiquetado, h. Triángulo D el lado izquierdo está etiquetado, b, y una línea perpendicular etiquetada, h, se extiende al vértice opuesto. Triángulo E, el lado izquierdo está etiquetado, b, y una línea discontinua etiquetada, h, se extiende desde el vértice inferior en ángulo recto hacia el lado derecho. Triángulo F, el lado derecho está etiquetado, b, y una línea discontinua perpendicular etiquetada, h, se extiende desde el lado etiquetado, b, hasta el vértice opuesto.

1. A
2. B
3. C
4. D
5. E
6. F

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Para cada triángulo, se etiquetan una base y su altura correspondiente.

Figura\(\PageIndex{12}\): 3 triángulos en una cuadrícula etiquetada A, B, C. A, base = 4, altura = 6. B, base = 8, altura = 4. C, base = 6, altura = 4.

1. Encuentra el área de cada triángulo.
2. ¿Cómo se relaciona el área con la base y su altura correspondiente?

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Aquí hay un triángulo rectángulo. Nombra una altura correspondiente para cada base.

Figura\(\PageIndex{13}\)

1. Lateral\(d\)
2. Lateral\(e\)
3. Lateral\(f\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Encuentra el área del triángulo sombreado. Muestra tu razonamiento.

Figura\(\PageIndex{14}\): Un cuadrado con un triángulo sombreado contenido en su interior. Los lados izquierdo e inferior del cuadrado están etiquetados con 6, y el lado derecho está etiquetado con 2 por encima del punto donde el vértice del triángulo sombreado se encuentra con el lado, y 4 debajo del punto donde el vértice se encuentra con el lado.

(De la Unidad 1.3.2)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Andre trazó una línea que conectaba dos esquinas opuestas de un paralelogramo. Selecciona todas las afirmaciones verdaderas sobre los triángulos creados por la línea que dibujó Andre.

Figura\(\PageIndex{15}\)

1. Cada triángulo tiene dos lados que son de 3 unidades de largo.
2. Cada triángulo tiene un lado que tiene la misma longitud que la línea diagonal.
3. Cada triángulo tiene un lado que tiene 3 unidades de largo.
4. Cuando se coloca un triángulo encima del otro y sus lados están alineados, veremos que un triángulo es más grande que el otro.
5. Los dos triángulos tienen la misma área entre sí.

(De la Unidad 1.3.1)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Aquí hay un octágono. (Nota: Los lados diagonales del octágono no tienen 4 pulgadas de largo).

Figura\(\PageIndex{16}\)

1. Al estimar el área del octágono, Lin razonó que debe ser inferior a 100 pulgadas cuadradas. ¿Estás de acuerdo? Explica tu razonamiento.
2. Encuentra el área exacta del octágono. Muestra tu razonamiento.

(De la Unidad 1.1.3)