1.6: Volúmenes

Otra simple aplicación ¹ de integración es la computación de volúmenes. Usamos la misma estrategia que usamos para expresar áreas de regiones en dos dimensiones como integrales: aproximar la región mediante una unión de piezas pequeñas y simples cuyo volumen podemos calcular y luego tomar el límite ya que el “tamaño de la pieza” tiende a cero.

En muchos casos esto conducirá a “integrales multivariables” que están más allá de nuestro alcance actual ². Pero hay algunos casos especiales en los que esto lleva a integrales que podemos manejar. Aquí hay algunos ejemplos.

Ejemplo 1.6.1 Cono

Encuentra el volumen del cono circular de altura\(h\) y radio\(r\text{.}\)

Solución

Aquí hay un boceto del cono.

Hemos llamado al eje vertical\(x\text{,}\) solo para que terminemos con una “\(\, d{x}\)” integral.

• En lo que sigue vamos a cortar el cono en finos “panqueques” horizontales. Para aproximar el volumen de esas rebanadas, necesitamos conocer el radio del cono a una altura\(x\) por encima de su punto. Considera las secciones transversales que se muestran en la siguiente figura.

  

  A plena altura\(h\text{,}\) el cono tiene radio\(r\text{.}\) Si cortamos el cono a la altura\(x\text{,}\) entonces por triángulos similares (ver la figura a la derecha) el radio será\(\frac{x}{h}\cdot r\text{.}\)

• Ahora piensa en cortar el cono en\(n\) finos “panqueques” horizontales. Cada uno de esos panqueques es aproximadamente un cilindro en cuclillas de altura\(\Delta x=\frac{h}{n}\text{.}\) Esto es muy similar a cómo aproximamos el área bajo una curva por rectángulos\(n\) altos y delgados. Así como aproximamos el área bajo la curva sumando estos rectángulos, podemos aproximar el volumen del cono sumando los volúmenes de estos cilindros. Aquí hay una vista lateral del cono y uno de los cilindros.

  

• Seguimos el método que usamos en el Ejemplo 1.5.1, excepto que nuestras rebanadas son ahora panqueques en lugar de rectángulos.
  • Escoge un número natural\(n\) (que luego enviaremos al infinito), luego
  • subdividir el cono en panqueques\(n\) delgados, cada uno de ancho\(\Delta x=\frac{h}{n}\text{.}\)
  • Por cada número de\(i=1,2,\cdots,n\text{,}\) panqueques\(i\) va de\(x=x_{i-1}=(i-1)\cdot\Delta x\) a\(x=x_i=i\cdot\Delta x\text{,}\) y aproximamos su volumen por el volumen de un cono en cuclillas. Escogemos un número\(x_i^*\) entre\(x_{i-1}\) y\(x_i\) y aproximamos el panqueque por un cilindro de altura\(\Delta x\) y radio\(\frac{x_i^*}{h}r\text{.}\)
  • Así el volumen de\(i\) panqueque es aproximadamente\(\pi \left( \frac{x_i^*}{h}r\right)^2 \Delta x\) (como se muestra en la figura anterior).
• Entonces la aproximación de la suma de Riemann del volumen es

  \ begin {align*}\ text {Área} &\ approx\ suma_ {i=1} ^n\ pi\ izquierda (\ frac {x_i^*} {h} r\ derecha) ^2\ Delta x\ final {alinear*}

• Al tomar el límite como\(n \to \infty\) (es decir, tomando el límite a medida que el grosor de los panqueques va a cero), convertimos la suma de Riemann en una integral definida (ver Definición 1.1.9) y al mismo tiempo nuestra aproximación del volumen se convierte en el volumen exacto:

  \ begin {reunir*}\ int_0^h\ pi\ Grande (\ frac {x} {h} r\ Grande) ^2\, d {x}\ end {reunir*}

Nuestra vida ³ sería más fácil si pudiéramos evitar todo este trabajo formal con Riemann suma cada vez que nos encontramos con un nuevo volumen. Entonces, antes de calcular la integral anterior, rehagamos el cálculo anterior de una manera menos formal.

• Empezar de nuevo desde la imagen del cono

  

  y piensa en cortarlo en panqueques finos, cada uno de ancho\(\, d{x}\text{.}\)

• El panqueque a altura\(x\) por encima del punto del cono (que es la fracción\(\frac{x}{h}\) de la altura total del cono) tiene

  A medida\(0\) que\(x\) va desde\(h\text{,}\) el volumen total es

  \ begin {align*}\ int_0^h\ pi\ Grande (\ frac {x} {h} r\ Grande) ^2\, d {x} &=\ frac {\ pi r^2} {h^2}\ int_0^h x^2\, d {x}\\ &=\ frac {\ pi r^2} {h^2}\ bigg [\ frac {x^3} {3}\ bigg] _0^h\\ &=\ frac {1} {3}\ pi r^2 h\ end {alinear*}

  • radio\(\frac{x}{h}\cdot r\) (la fracción\(\frac{x}{h}\) del radio completo,\(r\)) y así
  • área de sección transversal\(\pi \big(\frac{x}{h}r\big)^2\text{,}\)
  • espesor\(\, d{x}\) — hemos hecho algo un poco astuto aquí, vea la discusión a continuación.
  • volumen\(\pi \big(\frac{x}{h}r\big)^2\, d{x}\)

En este segundo cómputo estamos usando un truco para ahorrar tiempo. Como vimos en el cómputo formal anterior, lo que realmente tenemos que hacer es escoger un número natural\(n\text{,}\) rebanar el cono en\(n\) panqueques cada uno de espesor\(\Delta x = \frac{h}{n}\) y luego tomar el límite como\(n \to \infty\text{.}\) Esto llevó a la suma de Riemann

\ begin {align*}\ sum_ {i=1} ^n\ pi\ left (\ frac {x_i^*} {h} r\ derecha) ^2\ Delta x &&\ text {que se convierte en}\ int_0^h\ pi\ izquierda (\ frac {x} {h} r\ derecha) ^2\, d {x}\ end {align*}

Entonces sabiendo que vamos a sustituir

\ begin {alinear*}\ suma_ {i=1} ^n &\ largoderrow\ int_0^h\\ x_i^* &\ largoderrow x\\ delta x &\ largoderrow\, d {x}\ end {alinear*}

cuando tomamos el límite, acabamos de saltarnos los pasos intermedios. Si bien esto no es del todo riguroso, se puede hacer así, y sí nos ahorra mucho álgebra.

Ejemplo 1.6.2 Esfera

Encuentra el volumen de la esfera de radio\(r\text{.}\)

Solución

Encontraremos el volumen de la parte de la esfera en el primer octante ⁴, esbozado a continuación. Entonces vamos a multiplicar por\(8\text{.}\)

• Para calcular el volumen,

  

  lo cortamos en finos “panqueques” verticales (tal como hicimos en el ejemplo anterior).

• Cada panqueque es una cuarta parte de un disco circular delgado. El panqueque a una\(x\) distancia del\(yz\) plano se muestra en el boceto anterior. El radio de ese panqueque es la distancia desde el punto mostrado en la figura hasta el\(x\) eje -eje, es decir, la\(y\) coordenada -del punto. Para obtener las coordenadas del punto, observe que
  • yace el\(xy\) -plano, y así tiene\(z\) -coordenada cero, y eso
  • también se encuentra en la esfera, para que sus coordenadas obedezcan\(x^2+y^2+z^2=r^2\text{.}\) Desde\(z=0\) y\(y \gt 0\text{,}\)\(y=\sqrt{r^2-x^2}\text{.}\)
• Así que el panqueque a\(x\) distancia del\(yz\) -avión tiene
  • espesor ⁵\(dx\) y
  • radio\(\sqrt{r^2-x^2}\)
  • área transversal\(\frac{1}{4}\pi \big(\sqrt{r^2-x^2}\,\big)^2\) y por lo tanto
  • volumen\(\frac{\pi}{4} \big(r^2-x^2\big)\, d{x}\)
• Como\(x\) va desde\(0\)\(r\text{,}\) el volumen total de la parte de la esfera en el primer octante es

  \ begin {reunir*}\ int_0^r\ frac {\ pi} {4}\ grande (r^2-x^2\ grande)\, d {x} =\ frac {\ pi} {4}\ bigg [r^2x-\ frac {x^3} {3}\ bigg] _0^r =\ frac {1} {6}\ pi r^3\ fin {reunir*}

  y el volumen total de toda la esfera es ocho veces mayor que eso, que es\(\frac{4}{3}\pi r^3\text{,}\) como se esperaba.

Ejemplo 1.6.3 Girar una región

La región entre las líneas\(y=3\text{,}\)\(y=5\text{,}\)\(x=0\) y\(x=4\) se gira alrededor de la línea\(y=2\text{.}\) Encuentra el volumen de la región barrida.

Solución

Al igual que con la mayoría de estos problemas, debemos comenzar por esbozar el problema.

• Considera la región y córtala en finas tiras verticales de ancho\(\, d{x}\text{.}\)
• Ahora estamos para rotar esta región alrededor de la línea\(y=2\text{.}\) Imagínese mirando recto hacia abajo el eje de rotación,\(y=2\text{,}\) terminar en. El símbolo en la figura de arriba justo a la derecha del final\(y=2\) se supone que la línea representa tu ojo ⁶. Esto es lo que ves a medida que se lleva a cabo la rotación.

  

• Al girar alrededor de la línea,\(y=2\) nuestra tira barre una “arandela”
  • cuya sección transversal es un disco de radio\(5-2=3\) del que se\(3-2=1\) ha quitado un disco de radio para que tenga un
  • área de sección transversal de\(\pi 3^2 -\pi 1^2 = 8\pi\) y a
  • espesor\(\, d{x}\) y por lo tanto un
  • volumen\(8\pi\,\, d{x}\text{.}\)
• Como nuestra tira más a la izquierda está en\(x=0\) y nuestra tira más a la derecha está en\(x=4\text{,}\) el total

  \ begin {align*}\ text {Volumen} &=\ int _0^4 8\ pi\,\, d {x} = (8\ pi) (4) =32\ pi\ end {align*}

Observe que también podríamos llegar a esta respuesta escribiendo el volumen como la diferencia de dos cilindros.

• El cilindro exterior tiene radio\((5-2)\) y longitud 4. Esto tiene volumen

  \ begin {align*} V_ {exterior} &=\ pi r^2\ ell =\ pi\ cdot 3^2\ cdot 4 = 36\ pi. \ end {alinear*}

• El cilindro interior tiene radio\((3-2)\) y longitud 4. Esto tiene volumen

  \ begin {alinear*} V_ {interior} &=\ pi r^2\ ell =\ pi\ cdot 1^2\ cdot 4 = 4\ pi. \ end {alinear*}

• El volumen que queremos es la diferencia de estos dos, a saber

  \ begin {alinear*} V &= V_ {exterior} - V_ {interior} = 32\ pi. \ end {alinear*}

Vamos a subir un poco la dificultad en este último ejemplo.

Ejemplo 1.6.4 Volviendo de nuevo

La región entre la curva\(y=\sqrt{x}\text{,}\) y las líneas\(y=0\text{,}\)\(x=0\) y\(x=4\) se gira alrededor de la línea\(y=0\text{.}\) Encuentra el volumen de la región barrida.

Solución

Podemos abordar esto de la misma manera que en el ejemplo anterior.

• Considera la región y córtala en finas tiras verticales de ancho\(\, d{x}\text{.}\)

  

• Cuando giramos la región alrededor de la línea,\(y=0\text{,}\) cada tira barre un panqueque delgado
  • cuya sección transversal es un disco de radio\(\sqrt{x}\) con un
  • área de sección transversal de\(\pi (\sqrt{x})^2 = \pi x\) y a
  • espesor\(\, d{x}\) y por lo tanto un
  • volumen\(\pi x \, d{x}\text{.}\)
• Como nuestra tira más a la izquierda está en\(x=0\) y nuestra tira más a la derecha está en\(x=4\text{,}\) el total

  \ begin {align*}\ text {Volumen} &=\ int _0^4\ pi x\, d {x} =\ left [\ frac {\ pi} {2} x^2\ derecha] _0^4 =8\ pi\ end {align*}

En el último ejemplo se consideró rotar una región alrededor del\(x\) eje -eje. Hagamos lo mismo pero rotando alrededor del\(y\) eje.

Ejemplo 1.6.5 Girando una vez más

La región entre la curva\(y=\sqrt{x}\text{,}\) y las líneas\(y=0\text{,}\)\(x=0\) y\(x=4\) se gira alrededor de la línea\(x=0\text{.}\) Encuentra el volumen de la región barrida.

Solución:

• Cortaremos la región en rodajas horizontales, por lo que debemos escribir\(x\) en función de Es\(y\text{.}\) decir, la región está delimitada por\(x=y^2\text{,}\)\(x=4\text{,}\)\(y=0\) y\(y=2\text{.}\)
• Ahora corta la región en finas tiras horizontales de ancho\(\, d{y}\text{.}\)

  

• Cuando giramos la región alrededor de la línea,\(x=0\text{,}\) cada tira barre una arandela delgada
  • cuyo radio interno es\(y^2\) y el radio exterior es\(4\text{,}\) y
  • espesor es\(\, d{y}\) y por lo tanto
  • tiene volumen\(\pi(r_{out}^2 - r_{in}^2)\, d{y} = \pi(16-y^4)\, d{y}\text{.}\)
• Como nuestra tira más inferior está en\(y=0\) y nuestra tira superior está en\(y=2\text{,}\) el total

  \ begin {align*}\ text {Volumen} &=\ int _0^2\ pi (16-y^4)\, d {y} =\ left [16\ pi y -\ frac {\ pi} {5} y^5\ derecha] _0^2 = 32\ pi -\ frac {32\ pi} {5} =\ frac {128\ pi} {5}. \ end {alinear*}

Hay otra forma ⁷ de hacer ésta la cual mostramos al final de esta sección.

Ejemplo 1.6.6 Pirámide

Encuentra el volumen de la pirámide que tiene altura\(h\) y cuya base es un cuadrado de lado\(b\text{.}\)

Solución

Aquí hay un boceto de la parte de la pirámide que se encuentra en el primer octante; mostramos solo esta porción para simplificar los diagramas.

Tenga en cuenta que este diagrama muestra solo 1 cuarto de toda la pirámide.

• Para calcular su volumen, lo cortamos en finos “panqueques cuadrados” horizontales. Un panqueque típico también aparece en el boceto anterior.
  • El panqueque en altura\(z\) es la fracción\(\frac{h-z}{h}\) de la distancia desde el pico de la pirámide hasta su base.
  • Entonces el panqueque completo ⁸ a la altura\(z\) es un cuadrado de lado\(\frac{h-z}{h}b\text{.}\) Como cheque, tenga en cuenta que cuando\(z=h\) el panqueque tiene lado\(\frac{h-h}{h}b=0\text{,}\) y cuando\(z=0\) el panqueque tiene lado\(\frac{h-0}{h}b=b\text{.}\)
  • Entonces el panqueque tiene área de sección transversal\(\big(\frac{h-z}{h}b\big)^2\) y grosor ⁹\(\, d{z}\) y por lo tanto
  • volumen\(\big(\frac{h-z}{h}b\big)^2\, d{z}\text{.}\)
• El volumen de toda la pirámide (no solo la parte de la pirámide en el primer octante) es\[\begin{align*} \int_0^h \Big(\frac{h-z}{h}b\Big)^2\, d{z} &=\frac{b^2}{h^2} \int_0^h (h-z)^2\, d{z}\\ \end{align*}\]

  Ahora usa la regla de sustitución con\(t=(h-z), \, d{z}\to-\, d{t}\)

  \ begin {align*} &=\ frac {b^2} {h^2}\ int_h^0 -t^2\, d {t}\\ &=-\ frac {b^2} {h^2}\ bigg [\ frac {t^3} {3}\ bigg] _h^0\ &=-\ frac {b^2} {h^2} 2}\ bigg [-\ frac {h^3} {3}\ bigg]\\ &=\ frac {1} {3} b^2h\ end {align*}

Vamos a aumentar un poco la dificultad.

Ejemplo 1.6.7 Servilletero

Supongamos que haces dos servilleteros ¹⁰ perforando agujeros con diferentes diámetros a través de dos bolas de madera. Una bola tiene radio\(r\) y la otra radio\(R\) con\(r \lt R\text{.}\) Usted elige el diámetro de los agujeros para que ambos servilleteros tengan la misma altura,\(2h\text{.}\) Ver la figura a continuación.

¿Cuál anillo ¹¹ tiene más madera en él?

Solución

Calcularemos el volumen del servilletero con radio\(R\text{.}\) Podemos entonces obtener el volumen del servilletero de radio\(r\text{,}\) simplemente reemplazando\(R \mapsto r\) en el resultado.

• Para calcular el volumen del anillo de servilleta de radio lo\(R\text{,}\) cortamos en finos “panqueques” horizontales. Aquí un boceto de la parte del servilletero en el primer octante mostrando un panqueque típico.

  

• Las coordenadas de los dos puntos marcados en el\(yz\) plano de esa figura se encuentran recordando que
  • la ecuación de la esfera es\(x^2+y^2+z^2=R^2\text{.}\)
  • Los dos puntos tienen\(y \gt 0\) y están en el\(yz\) -plano, así que\(x=0\) para ellos. Entonces\(y=\sqrt{R^2-z^2}\text{.}\)
  • En particular, en la parte superior del anillo de servilleta\(z=h\text{,}\) para que\(y=\sqrt{R^2-h^2}\text{.}\)
• El panqueque a la altura que\(z\text{,}\) se muestra en el boceto, es una “arandela” — un disco circular con un agujero circular cortado en su centro.
  • El radio exterior de la arandela es\(\sqrt{R^2-z^2}\) y
  • el radio interior de la arandela es\(\sqrt{R^2-h^2}\text{.}\) Así que el
  • área de la sección transversal de la arandela es

    \ comenzar {reunir*}\ pi\ grande (\ sqrt {r^2-z^2}\,\ grande) ^2-\ pi\ grande (\ sqrt {r^2-h^2}\,\ grande) ^2 =\ pi (h^2-z^2)\ end {reunir*}

• El panqueque a la altura\(z\)
  • tiene espesor\(dz\) y
  • área transversal\(\pi(h^2-z^2)\) y por lo tanto
  • volumen\(\pi(h^2-z^2)\, d{z}\text{.}\)
• Dado que\(z\) va desde\(-h\) hasta\(+h\text{,}\) el volumen total de madera en el anillo de servilleta de radio\(R\) es

  \ begin {alinear*}\ int_ {-h} ^h\ pi (h^2-z^2)\, d {z} &=\ pi\ Grande [h^2z-\ frac {z^3} {3}\ Grande] _ {-h} ^h\\ &=\ pi\ Grande [\ Grande (h^3-\ frac {h^3} {3}\ Grande) -\ Grande ((-h) ^3-\ frac {(-h) ^3} {3}\ Grande)\ Grande]\\ &=\ pi\ Grande [\ frac {2} {3} h^3-\ frac {2} {3}\ grande (-h\ grande) ^3\ Grande]\\ &=\ frac {4\ pi} {3} h^3\ end {align*}

Este volumen es independiente de\(R\text{.}\) Por lo tanto, el anillo de servilleta de radio\(r\) contiene precisamente el mismo volumen de madera que el anillo de servilleta de radio\(R\text{!}\)

Ejemplo 1.6.8 Notch

Se corta una\(45^\circ\) muesca al centro de un tronco cilíndrico que tiene radio\(20\) cm. Una cara plana de la muesca es perpendicular al eje del tronco. Vea el boceto a continuación. ¿Qué volumen de madera se eliminó?

Solución

Mostramos dos soluciones a este problema que son de dificultad comparable. La diferencia radica en la forma de los panqueques que usamos para cortar el volumen. En solución 1 cortamos panqueques rectangulares paralelos al\(yz\) plano -y en solución 2 cortamos panqueques triangulares paralelos al\(xz\) plano.

Solución 1:

• Concéntrate en la muesca. Gírela para que la cara del plano quede en el\(xy\) plano.
• Luego, corte la muesca en rectángulos verticales (paralelos al\(yz\) plano) como en la figura de abajo a la izquierda.

• El tronco cilíndrico tenía radio\(20\) cm. Entonces la parte circular del límite de la base de la muesca tiene ecuación\(x^2+y^2=20^2\text{.}\) (Estamos poniendo el origen del\(xy\) plano -en el centro del círculo.) Si nuestro sistema de coordenadas es tal que\(x\) es constante en cada rebanada, entonces
  • la base de la rebanada es el segmento de línea desde\((x,+y,0)\) donde\((x,-y,0)\) para\(y=\sqrt{20^2-x^2}\) que
  • la rebanada tiene ancho\(2y=2\sqrt{20^2-x^2}\) y
  • altura\(x\) (ya que la cara superior de la muesca está en\(45^\circ\) la base — vea la vista lateral esbozada en la figura de arriba a la derecha).
  • Entonces la rebanada tiene área de sección transversal\(2x\sqrt{20^2-x^2}\text{.}\)
• En la base de la muesca\(x\) corre de\(0\) a\(20\) por lo que el volumen de la muesca es\[\begin{align*} V&=\int_0^{20}2x\sqrt{20^2-x^2}\, d{x}\\ \end{align*}\]

  Hacer el cambio de variables\(u=20^2-x^2\) (no olvides cambiar\(\, d{x} \rightarrow -\frac{1}{2x}\, d{u}\)):

  \ begin {alinear*} V&=\ int_ {20^2} ^ {0} -\ sqrt {u}\,\, d {u}\\ &=\ izquierda [-\ frac {u^ {3/2}} {3/2}\ derecha] _ {20^2} ^0\ &=\ frac {2} {3} 20^3=\ frac {16,000} {3}\ final {alinear*}

Solución 2:

• Concentrado de la muesca. Gírela para que su base quede en el\(xy\) plano con el borde flaco a lo largo del\(y\) eje.
• Corta la muesca en triángulos paralelos al\(xz\) plano como en la figura de abajo a la izquierda. En la siguiente figura, el triángulo pasa a estar en un plano donde\(y\) es negativo.

• El tronco cilíndrico tenía radio\(20\) cm. Entonces la parte circular del límite de la base de la muesca tiene ecuación\(x^2+y^2=20^2\text{.}\) Nuestro sistema de coordenadas es tal que\(y\) es constante en cada rebanada, de manera que
  • la base del triángulo es el segmento de línea desde\((x,y,0)\) donde\((0,y,0)\) para\(x=\sqrt{20^2-y^2}\) que
  • el triángulo tiene base\(x=\sqrt{20^2-y^2}\) y
  • altura\(x=\sqrt{20^2-y^2}\) (ya que la cara superior de la muesca está en\(45^\circ\) la base — vea la vista lateral esbozada en la figura de arriba a la derecha).
  • Entonces la rebanada tiene área de sección transversal\(\frac{1}{2}\big(\sqrt{20^2-y^2}\big)^2\text{.}\)
• En la base de la muesca\(y\) corre de\(-20\) a\(20\text{,}\) por lo que el volumen de la muesca es

  \ begin {alinear*} V&=\ frac {1} {2}\ int_ {-20} ^ {20} (20^2-y^2)\, d {y}\\ &=\ int_0^ {20} (20^2-y^2)\, d {y}\\ &=\ Grande [20^2y-\ frac {y^3} {3}\ Grande] _0^ {20}\\ &=\ frac {2} {3} 20^3=\ frac {16,000} {3}\ end {align*}

Opcional: carcasas cilíndricas

Volvamos al Ejemplo 1.6.5 en el que giramos una región alrededor del\(y\) eje -eje. Aquí mostramos otra solución a este problema la cual se obtiene cortando la región en tiras verticales. Cuando se gira alrededor del\(y\) eje, cada una de esas tiras barre una delgada carcasa cilíndrica. De ahí el nombre de este enfoque (y de esta subsección).

Ejemplo 1.6.9 Girando una vez más

La región entre la curva\(y=\sqrt{x}\text{,}\) y las líneas\(y=0\text{,}\)\(x=0\) y\(x=4\) se gira alrededor de la línea\(x=0\text{.}\) Encuentra el volumen de la región barrida.

Solución

• Considera la región y córtala en finas tiras verticales de ancho\(\, d{x}\text{.}\)

  

• Cuando giramos la región alrededor de la línea,\(y=0\text{,}\) cada tira barre una delgada carcasa cilíndrica
  • cuyo radio es\(x\text{,}\)
  • la altura es\(\sqrt{x}\text{,}\) y
  • espesor es\(\, d{x}\) y por lo tanto
  • tiene volumen\(2 \pi \times \text{radius} \times \text{height} \times \text{thickness} = 2 \pi x^{3/2} \, d{x}\text{.}\)
• Como nuestra tira más a la izquierda está en\(x=0\) y nuestra tira más a la derecha está en\(x=4\text{,}\) el total

  \ begin {align*}\ text {Volumen} &=\ int _0^4 2\ pi x^ {3/2}\, d {x} =\ left [\ frac {4\ pi} {5} x^ {5/2}\ derecha] _0^4 =\ frac {4\ pi} {5}\ cdot 32 =\ frac {128\ pi} {5}\ end align{ *}

  que (por suerte) concuerda con nuestro cómputo anterior.

Ejercicios

Etapa 1

1

Considera un cono circular derecho.

¿Qué forma son las secciones transversales horizontales? ¿Las secciones transversales verticales son iguales?

2

Dos alfareros comienzan con un bloque de\(h\) unidades de arcilla de altura y cortadores de galletas cuadrados idénticos. Forman columnas empujando el cortador de galletas cuadrado recto hacia abajo sobre la arcilla, de modo que su sección transversal sea la misma cuadrada que el cortador de galletas. Potter A empuja su cortador de galletas hacia abajo mientras su bloque de arcilla está sentado inmóvil sobre una mesa; Potter B empuja su cortador de galletas hacia abajo mientras su bloque de arcilla gira sobre una rueda de alfarero, por lo que su columna se ve retorcida. ¿Qué columna tiene mayor volumen?

3

Dejar\(R\) ser la región delimitada arriba por la gráfica de que\(y=f(x)\) se muestra a continuación y delimitada a continuación por el\(x\) eje -eje, de\(x=0\) a\(x=6\text{.}\) Esbozar las arandelas que se forman girando\(R\) alrededor del\(y\) eje -eje. En su boceto, etiquete todos los radios en términos de\(y\text{,}\) y etiquete el grosor.

4 (✳)

Anote integrales definitivas que representen las siguientes cantidades. No evaluar las integrales explícitamente.

1. El volumen del sólido obtenido al girar alrededor del\(x\) eje —la región entre el\(x\) eje y\(y=\sqrt{x}\, e^{x^2}\) para\(0\le x\le 3\text{.}\)
2. El volumen del sólido obtenido al girar la región delimitada por las curvas\(y=x^2\) y\(y=x+2\) alrededor de la línea\(x=3\text{.}\)

5 (✳)

Anote integrales definitivas que representen las siguientes cantidades. No evaluar las integrales explícitamente.

1. El volumen del sólido obtenido rotando la región del plano finito delimitada por las curvas\(y=1-x^2\) y\(y=4-4x^2\) alrededor de la línea\(y=-1\text{.}\)
2. El volumen del sólido obtenido al rotar la región del plano finito delimitada por la curva\(y=x^2-1\) y la línea\(y=0\) alrededor de la línea\(x=5\text{.}\)

6 (✳)

Anote una integral definida que represente el volumen del sólido obtenido rotando alrededor de\(y=-1\) la línea la región entre las curvas\(y=x^2\) y\(y=8-x^2\text{.}\) No evalúe las integrales explícitamente.

7

Un tetraedro es una forma tridimensional con cuatro caras, cada una de las cuales es un triángulo equilátero. (Es posible que hayas visto esta forma como un dado de 4 lados; piensa en una pirámide con una base triangular). Usando los métodos de esta sección, calcule el volumen de un tetraedro con longitud lateral\(\ell\text{.}\) Puede asumir sin pruebas que la altura de un tetraedro con longitud lateral\(\ell\) es\(\sqrt{\frac{2}{3}}\ell\text{.}\)

Etapa 2

8 (✳)

Que\(a \gt 0\) sea una constante. Dejar\(R\) ser la región finita delimitada por la gráfica de\(y=1+\sqrt{x}e^{x^2}\text{,}\) la línea\(y=1\text{,}\) y la línea\(x=a\text{.}\) Usando cortes verticales, encontrar el volumen generado cuando\(R\) se gira alrededor de la línea\(y=1\text{.}\)

9 (✳)

Encuentra el volumen del sólido generado por la rotación de la región finita delimitada por\(y = 1/x\) y\(3x + 3y = 10\) alrededor del\(x\) eje —.

10 (✳)

Dejar\(R\) ser la región dentro del círculo\(x^2 + (y-2)^2=1\text{.}\) Dejar\(S\) ser el sólido obtenido rotando\(R\) alrededor del\(x\) eje -eje.

1. Anote una integral que represente el volumen de\(S\text{.}\)
2. Evalúa la integral que escribiste en la parte (a).

11 (✳)

La región\(R\) es la porción del primer cuadrante que está debajo de la parábola\(y^2=8x\) y por encima de la hipérbola\(y^2-x^2=15\text{.}\)

1. Esbozar la región\(R\text{.}\)
2. Encuentra el volumen del sólido obtenido al girar\(R\) alrededor del\(x\) eje.

12 (✳)

La región\(R\) está delimitada por\(y=\log x\text{,}\)\(y=0\text{,}\)\(x=1\) y\(x=2\text{.}\) (Recordemos que estamos usando\(\log x\) para denotar el logaritmo de\(x\) con base\(e\text{.}\) En otros cursos a menudo se denota\(\ln x\text{.}\))

1. Esbozar la región\(R\text{.}\)
2. Encuentra el volumen del sólido obtenido al girar esta región alrededor del\(y\) eje.

13 (✳)

La región finita entre las curvas\(y = \cos(\frac x2)\) y\(y = x^2 - \pi^2\) se gira alrededor de la línea\(y=-{\pi^2}\text{.}\) Usando cortes verticales (discos y/o arandelas), encuentra el volumen del sólido resultante.

14 (✳)

El sólido\(V\) tiene 2 metros de altura y tiene secciones transversales horizontales cuadradas. La longitud del lado de la sección transversal cuadrada a\(x\) metros de altura por encima de la base es\(\frac{2}{1+x}\) m. Encuentra el volumen de este sólido.

15 (✳)

Considere un sólido cuya base es la porción finita del\(xy\) plano —delimitado por las curvas\(y=x^2\) y\(y=8-x^2\text{.}\) Las secciones transversales perpendiculares al\(x\) eje —son cuadrados con un lado en el\(xy\) plano —. Compute el volumen de este sólido.

16 (✳)

Un frustro de un cono circular derecho (como se muestra a continuación) tiene altura\(h\text{.}\) Su base es un disco circular con radio\(4\) y su parte superior es un disco circular con radio\(2\text{.}\) Calcula el volumen del frustro.

Etapa 3

17

La forma de la tierra suele ser aproximada por un esferoide oblato, más que por una esfera. Un esferoide oblato se forma girando una elipse alrededor de su eje menor (su diámetro más corto).

1. Encuentra el volumen del esferoide oblato obtenido girando la mitad superior (positiva) de la elipse\((ax)^2+(by)^2=1\) alrededor del\(x\) eje -eje, donde\(a\) y\(b\) son constantes positivas con\(a \geq b\text{.}\)
2. Supongamos ¹² la tierra tiene radio en el ecuador de 6378.137 km, y radio en los polos de 6356.752 km. Si modelamos la tierra como un esferoide oblato formado girando la mitad superior de la elipse\((ax)^2+(by)^2=1\) alrededor del\(x\) eje -eje, ¿qué son\(a\) y\(b\text{?}\)
3. ¿Cuál es el volumen de este modelo de la tierra? (Usa una calculadora.)
4. Supongamos que habíamos calculado el volumen de la tierra modelizándola como una esfera con radio\(6378.137\) km. ¿Cuáles serían nuestros errores absolutos y relativos, comparados con nuestro cálculo de esferoides oblatos?

18 (✳)

Dejar\(R\) ser la región delimitada que se encuentra entre la curva\(y = 4 - (x - 1)^2\) y la línea\(y = x + 1\text{.}\)

1. Esbozar\(R\) y encontrar su área.
2. Anote una integral definida dando el volumen de la región obtenido al rotar\(R\) alrededor de la línea\(y = 5\text{.}\) No evaluar esta integral.

19 (✳)

Let\(\cR=\big\{(x,y)\ :\ (x-1)^2+y^2\le 1\text{ and } x^2+(y-1)^2\le 1\ \big\}\text{.}\)

1. Esbozar\(\cR\) y encontrar su área.
2. Si\(\cR\) gira alrededor del\(y\) eje —, ¿qué volumen se genera?

20 (✳)

Dejar\(\cR\) ser la región plana delimitada por\(x=0,\ x=1,\ y=0\) y\(y=c\sqrt{1+x^2}\text{,}\) donde\(c\) es una constante positiva.

1. Encuentra el volumen\(V_1\) del sólido obtenido al girar\(\cR\) alrededor del\(x\) eje —eje.
2. Encuentra el volumen\(V_2\) del sólido obtenido al girar\(\cR\) alrededor del\(y\) eje —eje.
3. Si\(V_1=V_2\text{,}\) cuál es el valor de\(c\text{?}\)

21 (✳)

La gráfica a continuación muestra la región entre\(y = 4 + \pi \sin x\) y\(y = 4 + 2\pi - 2x\text{.}\)

La región se gira alrededor de la línea\(y = -1\text{.}\) Express en términos de integrales definidas el volumen del sólido resultante. No evaluar las integrales.

22

En un planeta ¹³ particular, altamente homogéneo, observamos que la densidad de la atmósfera\(h\) kilómetros por encima de la superficie viene dada por la ecuación\(\rho(h) = c2^{-h/6}\quad \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}\text{,}\) donde\(c\) está la densidad en la superficie del planeta.

1. ¿Cuál es la masa de la atmósfera contenida en una columna vertical con radio de un metro, sesenta kilómetros de altura?
2. ¿Qué altura debe tener una columna para contener\(\dfrac{3000c\pi}{\log 2}\) kilogramos de aire?

1. Bueno, podría decirse que la idea no es demasiado complicada y es una continuación de la idea utilizada para computar áreas en la sección anterior. En la práctica esto puede ser bastante complicado como veremos.
2. Por lo general, tales integrales (y más) están cubiertas en un tercer curso de cálculo.
3. Al menos los bits de la misma que involucran integrales.
4. El primer octante es el conjunto de todos los puntos\((x,y,z)\) with \(x\ge 0\text{,}\) \(y\ge 0\) and \(z\ge 0\text{.}\)
5. Una vez más lo que realmente hacemos es elegir un número natural\(n\text{,}\) slice the octant of the sphere into \(n\) pancakes each of thickness \(\Delta x=\frac{r}{n}\) and then take the limit \(n\rightarrow\infty\text{.}\) In the integral \(\Delta x\) is replaced by \(dx\text{.}\) Knowing that this is what is going to happen, we again just skip a few steps.
6. Bien bien... Nos perdimos al alumno. Estoy seguro de que hay un juego de palabras ahí en alguna parte.
7. El método no es una parte central del curso y debe considerarse opcional.
8. Tenga en cuenta que este es el panqueque completo, no solo la parte en el primer octante.
9. Nuevamente estamos usando nuestro truco de evitar suma de Riemann.
10. Cosas prácticas para tener (cuando se combina con servilletas de tela) si tus padres vienen a cenar y quieres convencerlos de que estás “cuidándote”.
11. Una buena pregunta para distraer a tus padres del hecho de que estás sirviendo burritos congelados.
12. Earth Fact Sheet, NASA, consultado el 2 de julio de 2017
13. Este es claramente un modelo simplificado: la densidad del aire cambia todo el tiempo y depende de muchos factores complicados aparte de la altitud. Sin embargo, la ecuación que estamos usando no está tan alejada de un modelo idealizado de la atmósfera terrestre, tomado de la presión y las leyes del gas por H.P. Schmid, consultado el 3 de julio de 2017.