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LibreTexts Español

1.5: Área entre curvas

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Antes de continuar nuestra exploración de diferentes métodos para integrar funciones, ahora tenemos herramientas suficientes para examinar algunas aplicaciones simples de integrales definidas. Una de las motivaciones para nuestra definición de “integral” fue el problema de encontrar el área entre alguna curva y elx eje parax correr entre dos valores especificados. Más precisamente

\ comenzar {reunir*}\ int_a^b f (x)\, d {x}\ fin {reunir*}

es igual al área señalizada entre la curvay=f(x), elx eje -y las líneas verticalesx=a yx=b.

Encontramos el área de esta región aproximándola por la unión de rectángulos altos y delgados, y luego encontramos el área exacta tomando el límite ya que el ancho de los rectángulos aproximados fue a cero. Podemos usar la misma estrategia para encontrar áreas de regiones más complicadas en elxy plano.

Como adelanto del material por venir, vamosf(x)>g(x)>0a<b y supongamos que nos interesa la zona de la región

\ begin {reunir*} S_1=\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ a\ le x\ le b\,,, g (x)\ le y\ le f (x)\\ big\}\ end {reunir*}

que se esboza en la figura de la izquierda a continuación.

Ya sabemos quebaf(x)dx es la zona de la región

\ begin {reunir*} S_2=\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ a\ le x\ le b\,,, 0\ le y\ le f (x)\\ big\}\ end {reunir*}

esbozado en la figura media arriba y esabag(x)dx es la zona de la región

\ comenzar {reunir*} S_3=\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ a\ le x\ le b\,,, 0\ le y\ le g (x)\\ grande\}\ fin {reunir*}

esbozado en la figura de la derecha arriba. Ahora la regiónS1 de la figura de la izquierda se puede construir tomando la regiónS2 de la figura central y quitando de ella la regiónS3 de la figura de la mano derecha. Entonces el área deS1 es exactamente

\ begin {align*}\ int_a^b f (x)\,\, d {x} -\ int_a^b g (x)\,\, d {x} &=\ int_a^b\ grande (f (x) -g (x)\ grande)\,\, d {x}\ end {align*}

Este cálculo dependía del supuesto de quef(x)>g(x) y, en particular, de que las curvasy=g(x) yy=f(x) no cruzaban. Si lo hacen cruzar, como en esta figura

entonces tenemos que ser mucho más cuidadosos. La idea es separar el dominio de la integración dependiendo de dónde se firmenf(x)g(x) los cambios, es decir, dónde se cruzan las curvas. Esto lo ilustraremos en el Ejemplo 1.5.5 a continuación.

Empecemos con un ejemplo que hace bastante explícito el vínculo con las sumas de Riemann y las integrales definidas.

Ejemplo: 1.5.1 El área entrey=4x2 and y=x

Encuentra el área delimitada por las curvasy=4x2,y=x,x=1 yx=1.

Solución

  • Antes de hacer cualquier cálculo, es una muy buena idea hacer un boceto del área en cuestión. Las curvasy=x,x=1 yx=1 son todas líneas rectas, mientras que la curvay=4x2 es una parábola cuyo ápice está en(0,4) y luego se curva hacia abajo (debido al signo menos adentrox2) conx -intercepciones en(±2,0). Poner estos juntos da

    Observe que las curvasy=4x2 y sey=x cruzan cuando4x2=x, es decir, cuandox=12(1±17)1.56,2.56. Por lo tanto, la curvay=4x2 se encuentray=x por encima de la línea1x1.

  • Estamos para encontrar la zona de la región sombreada. Cada punto(x,y) en esta región sombreada tiene1x1 yxy4x2. Cuando estábamos definiendo la integral (camino de regreso en la Definición 1.1.9) usamosa yb para denotar los valores permitidos más pequeños y mayores dex; hagámoslo aquí también. También usemosB(x) para denotar la curva inferior (es decir, para denotar el valor permitido más pequeño dey para un dadox) y usarT(x) para denotar la curva superior (es decir, para denotar el mayor valor permitido dey para un dadox). Entonces en este ejemplo

    \ begin {align*} a=-1&& b=1&& B (x) =x&& T (x) =4-x^2\ end {align*}

    y la región sombreada es

    \ comenzar {reunir*}\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ a\ le x\ le b,\ B (x)\ le y\ le T (x)\\ grande\}\ fin {reunir*}

  • Utilizamos la misma estrategia que usamos al definir la integral en la Sección 1.1.4:
    • Elige un número naturaln (que luego enviaremos al infinito), luego
    • subdividir la región en cortesn estrechos, cada uno de anchoΔx=ban.
    • Por cadai=1,2,,n, corte el númeroi va dex=xi1 ax=xi, y aproximamos su área por el área de un rectángulo. Escogemos un númeroxi entrexi1 yxi y aproximamos la rebanada por un rectángulo cuya parte superior está eny=T(xi) y cuya parte inferior está eny=B(xi).
    • Así, el área de rebanadai es aproximadamente[T(xi)B(xi)]Δx (como se muestra en la siguiente figura).
  • Entonces la aproximación de la suma de Riemann del área es

    \ begin {alinear*}\ texto {Área} &\ approx\ suma_ {i=1} ^n\ grande [T (x_i^*) -B (x_i^*)\ grande]\ Delta x\ final {alinear*}

  • Al tomar el límite comon (es decir, tomando el límite como el ancho de los rectángulos va a cero), convertimos la suma de Riemann en una integral definida (ver Definición 1.1.9) y al mismo tiempo nuestra aproximación del área se convierte en el área exacta:

    \ begin {alinear*}\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ suma_ {i=1} ^n\ grande [T (x_i^*) -B (x_i^*)\ grande]\ Delta x &=\ int_a^b\ grande [T (x) -B (x)\ grande]\, d {x}\ &\ hskip1in\ texto {Riemann suma $\ a$ integral}\\ &=\ int_ {-1} ^1\ grande [(4-x^2) -x\ grande]\, d {x}\\ &=\ int_ {-1} ^1\ grande [4-x-x^2\ grande]\, d {x}\\ &=\ bigg [4x -\ frac {x^2} {2} -\ frac { x^3} {3}\ bigg] _ {-1} ^1\\ &=\ izquierda (4 -\ frac {1} {2} -\ frac {1} {3}\ derecha) -\ izquierda (-4-\ frac {1} {2} +\ frac {1} {3}\ derecha)\\ &=\ frac {24-3-2} {6} -\ frac {-24-3+2} {6}\\ &=\ frac {19} {6} +\ frac {25} {6}\\ &=\ frac {44} {6} =\ frac {22} {3}. \ end {alinear*}

¡Oof! Agradecidamente generalmente no necesitamos pasar por los pasos de la suma de Riemann para llegar a la respuesta. Por lo general, siempre que tengamos cuidado de verificar dónde se cruzan las curvas y qué curva se encuentra por encima de la cual, podemos simplemente saltar directamente a la integral

Area=ba[T(x)B(x)]dx.

Entonces volvamos a hacer el ejemplo anterior.

Ejemplo 1.5.2 Ejemplo 1.5.1 revisitado

Encuentra el área delimitada por las curvasy=4x2,y=x,x=1 yx=1.

Solución

  • Primero dibujamos la región

    y verificar 1 quey=T(x)=4x2 se encuentre por encima de la curvay=B(x)=x en la región1x1.

  • El área entre las curvas es entonces

    \ begin {align*}\ text {Área} &=\ int_a^b\ grande [T (x) -B (x)\ grande]\, d {x}\\ &=\ int_ {-1} ^1\ grande [4-x-x^2\ grande]\, d {x}\\ &=\ bigg [4x -\ frac {x^2} {2} -\ frac {x^3} {3}\ bigg] _ {-1} ^1\\ &=\ frac {19} {6} +\ frac {25} {6} =\ frac {44} {6} =\ frac {22} {3}. \ end {alinear*}

Ejemplo 1.5.3 El área entrey=x2 and y=6x2x2

Encuentra el área de la región finita delimitada pory=x2 yy=6x2x2.

Solución

Esto es un poco diferente de la pregunta anterior, ya que no se nos dan líneas delimitadorasx=a yx=b —en cambio tenemos que determinar los valores mínimos y máximos permitidos dex determinando dónde se cruzan las curvas. De ahí que nuestra primera tarea sea hacernos una buena idea de cómo es la región dibujándola.

  • Comience dibujando la región:
    • La curvay=x2 es una parábola. El punto en esta parábola con lay coordenada más pequeña es(0,0). A medida que|x| aumenta,y aumenta por lo que la parábola se abre hacia arriba.
    • La curvay=6x2x2=2(x23x)=2(x32)2+92 es también una parábola. El punto sobre esta parábola con mayor valor dey hasx=32 (para que el término negativo en2(x32)2+92 sea cero). Entonces el punto con mayor valor dey es es(32,92). Asx se aleja de32, ya sea a la derecha o a la izquierda,y disminuye. Entonces la parábola se abre hacia abajo. La parábola cruza elx eje cuando Es0=6x2x2=2x(3x). decir, cuándox=0 yx=3.
    • Las dos parábolas se cruzan cuandox2=6x2x2, o

      \ begin {align*} 3x^2-6x&=0\\ 3x (x-2) &=0\ end {alinear*}

      Entonces hay dos puntos de intersección, uno siendox=0,y=02=0 y el otrox=2,y=22=4.
    • La región finita entre las curvas se encuentra entre estos dos puntos de intersección.

    Esto nos lleva al boceto

  • Entonces en esta región tenemos0x2, la curva superior esT(x)=6xx2 y la curva inferior esB(x)=x2. De ahí que el área viene dada por

    \ begin {align*}\ text {Área} &=\ int_a^b\ grande [T (x) -B (x)\ grande]\, d {x}\\ &=\ int_0^2\ grande [(6x-2x^2) - (x^2)\ grande]\, d {x}\\ &=\ int_0^2\ grande [6x-3x^2\ grande]\, d {x}\\ &=\ bigg [6\ frac {x^2} {2} -3\ frac {x^3} {3}\ bigg] _0^2\ &=3 (2) ^2-2^3 =4\ end {align*}

Ejemplo 1.5.4 El área entrey2=2x+6 and y=x1

Encuentra el área de la región finita delimitada pory2=2x+6 yy=x1.

Solución

Mostramos dos soluciones diferentes a este problema. El primero toma el enfoque que tenemos en el Ejemplo 1.5.3 pero conduce a álgebra desordenada. El segundo requiere un poco de pensamiento al principio pero luego es bastante sencillo. Antes de llegar a eso debemos comenzar por bosquejar la región.

  • La curvay2=2x+6, o equivalentementex=12y23 es una parábola. El punto en esta parábola con lax coordenada más pequeña tieney=0 (para que el término positivo en12y23 sea cero). Entonces el punto en esta parábola con lax coordenada más pequeña es(3,0). A medida que|y| aumenta,x aumenta por lo que la parábola se abre hacia la derecha.
  • La curvay=x1 es una línea recta de pendiente1 que pasax=1,y=0.
  • Las dos curvas se cruzan cuandoy223=y+1, o

    \ begin {alinear*} y^2-6 &= 2y+2\\ y^2-2y-8 &= 0\\ (y+2) (y-4) &= 0\ end {align*}

    Entonces hay dos puntos de intersección, uno siendoy=4,x=4+1=5 y el otroy=2,x=2+1=1.
  • Poner todo esto junto nos da el boceto

Como se señaló anteriormente, podemos encontrar el área de esta región aproximándola por una unión de rectángulos verticales estrechos, como hicimos en el Ejemplo 1.5.3 —aunque es un poco más difícil. La manera fácil es aproximarlo mediante una unión de rectángulos horizontales estrechos. Solo para la práctica, aquí está la solución difícil. La solución fácil es después de ella.

Solución más dura:

  • Como hemos hecho anteriormente, aproximamos la región mediante una unión de rectángulos verticales estrechos, cada uno de anchoΔx. Dos de esos rectángulos se ilustran en el boceto
  • En esta región,x va dea=3 ab=5. La curva en la parte superior de la región es

    \ begin {align*} y&=T\ big (x) =\ sqrt {2x+6}\ end {align*}

    La curva en la parte inferior de la región es más complicada. A la izquierda de(1,2) la mitad inferior de la parábola da el fondo de la región mientras que a la derecha de(1,2) la línea recta da el fondo de la región. Entonces

    \ begin {align*} B (x) &=\ begin {cases} -\ sqrt {2x+6} &\ text {if} -3\ le x\ le -1\ x-1 &\ text {if} -1\ le x\ le 5\ end {cases}\ end {cases}\ end {align*}

  • Al igual que antes, el área sigue dada por la fórmulaba[T(x)B(x)]dx, pero para dar cabida a nuestraB(x), tenemos que dividir el dominio de la integración cuando evaluamos la integral.

    \ begin {alinear*} &\ int_a^b\ grande [T (x) -B (x)\ grande]\, d {x}\\ &=\ int_ {-3} ^ {-1}\ grande [T (x) -B (x)\ grande]\, d {x} +\ int_ {-1} ^5\ grande [T (x) -B (x)\ grande]\, d {x}\\ &=\ int_ {-3} ^ {-1}\ grande [\ sqrt {2x+6} - (-\ sqrt {2x+6})\ grande]\, d {x} +\ int_ {-1} ^5\ grande [\ sqrt {2x+6} - (x-1)\ grande]\, d {x}\\ &= 2\ int_ {-3} {-1}\ sqrt {2x+6}\, d {x} +\ int_ {-1} ^5\ sqrt {2x+6} -\ int_ {-1} ^5 (x-1)\, d {x}\ final {alinear*}

  • La tercera integral es sencilla, mientras que evaluamos las dos primeras a través de la regla de sustitución. En particular, estableceru=2x+6 y reemplazardx12du. Tambiénu(3)=0,u(1)=4,u(5)=16. Por lo tanto

    \ begin {align*}\ text {Área} &= 2\ int_0^4\ sqrt {u}\\ frac {\, d {u}} {2} +\ int_4^ {16}\ sqrt {u}\\ frac {\, d {u}} {2} -\ int_ {-1} ^5 (x-1)\, d {x}\ &= 2\ bigg [\ frac {u^ {\ frac {3} {2}}} {\ frac {3} {2}}\ frac {1} {2}\ bigg] _0^4 +\ bigg [\ frac {u^ {\ frac {3} {2}}} {\ frac {3} {2}}\ frac {1} {2}\ bigg] _4^ {16} -\ bigg [\ frac {x^2} {2} -x\ bigg] _ {-1} ^5\\ & =\ frac {2} {3}\ grande [8-0] +\ frac {1} {3} [64-8] -\ Grande [\ Grande (\ frac {25} {2} -5\ Grande) -\ Grande (\ frac {1} {2} +1\ Grande)\ Grande]\\ & =\ frac {72} {3} -\ frac {24} {2} +6\\ &=18\ end {alinear*}

    ¡Oof!

Solución más fácil: La manera fácil de determinar el área de nuestra región es aproximarse por rectángulos horizontales estrechos, en lugar de rectángulos verticales estrechos. (Realmente solo estamos intercambiando los roles dex yy en este problema)

  • Mire nuestro boceto de la región nuevamente: cada punto(x,y) en nuestra región tiene2y4 y12(y26)xy+1.
  • Vamos a usar
    • cpara denotar el valor más pequeño permitido dey,
    • dpara denotar el mayor valor permitido dey
    • L(y)(“L” significa “izquierda”) para denotar el valor más pequeño permitido dex, cuando lay coordenada esy, y
    • R(y)(“R” significa “derecha”) para denotar el mayor valor permitido dex, cuando lay coordenada esy.

    Entonces, en este ejemplo,

    \ begin {align*} c=-2&& d=4 && L (y) =\ frac {1} {2} (y^2-6) && R (y) =y+1\ end {alinear*}

    y la región sombreada es

    \ comenzar {reunir*}\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ c\ le y\ le d,\ L (y)\ le x\ le R (y)\\ grande\}\ fin {reunir*}

  • Nuestra estrategia es ahora casi la misma que la utilizada en el Ejemplo 1.5.1:
    • Elige un número naturaln (que luego enviaremos al infinito), luego
    • subdividir el intervalocyd en subintervalosn estrechos, cada uno de anchoΔy=dcn. Cada subintervalo corta un corte horizontal delgado de la región (ver la figura a continuación).
    • Aproximamos el área del número de rebanadai por el área de un rectángulo horizontal delgado (indicado por el rectángulo oscuro en la figura a continuación). En esta porción, lay coordenada -corre sobre un rango muy estrecho. Escogemos un número enyi, algún lugar de ese rango. Aproximamosi el corte por un rectángulo cuyo lado izquierdo está enx=L(yi) y cuyo lado derecho está enx=R(yi).
    • Por lo tanto, el área de rebanadai es aproximadamente[R(xi)L(xi)]Δy.
  • El área deseada es

    \ begin {align*} &\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ suma_ {i=1} ^n\ grande [R (y_i^*) -L (y_i^*)\ grande]\ Delta y =\ int_c^d\ grande [R (y) -L (y)\ grande]\, d {y}\\ &\ hskip2in\ texto {emann suma $\ fila derecha$ integral}\\ &\ hskip1in=\ int_ {-2} ^4\ grande [(y+1) -\ tfrac {1} {2}\ grande (y^2-6\ grande)\ grande]\, d {y}\\ &=\ int_ {-2} ^4\ grande [-\ tfrac {1} {2} y^2+y+ 4\ grande]\, d {y}\\ &=\ grande [-\ tfrac {1} {6} y^3+\ tfrac {1} {2} y^2+4y\ Grande] _ {-2} ^4\\ &=-\ tfrac {1} {6}\ grande (64- (-8)\ grande) +\ tfrac {1} {2} (4) +4 (4+2)\\ &=-12+6+24\\ &=18\ end {alinear*}

Un último ejemplo.

Ejemplo 1.5.5 Otra área

Encuentra el área entre las curvasy=12 yy=sin(x) conx correr de0 aπ2.

Solución:

Esta es un poco más complicada ya que (como veremos) la región está dividida en dos piezas y necesitamos tratarlas por separado.

  • Nuevamente comenzamos por bosquejar la región.

    Queremos el área sombreada.

  • A diferencia de nuestros ejemplos anteriores, las curvasy=12 delimitadoras yy=sin(x) cruzan en el centro de la región de interés. Cruzan cuandoy=12 ysin(x)=y=12, es decir, cuandox=π4. So
    • a la izquierdax=π4, del límite superior es parte de la línea rectay=12 y el límite inferior es parte de la curvay=sin(x)
    • mientras que a la derechax=π4, del límite superior es parte de la curvay=sin(x) y el límite inferior es parte de la línea rectay=12.
  • Así, las fórmulas para los límites superior e inferior son

    \ begin {align*} T (x) & =\ left. \ begin {cases}\ frac {1} {\ sqrt {2}} &\ text {si $0\ le x\ le\ frac {\ pi} {4} $}\\\ sin (x) &\ text {si $\ frac {\ pi} {4}\ le x\ le\ frac {\ pi} {2} $}\ end {casos}\ derecho\}\ B (x) & =\ izquierda. \ begin {cases}\ sin (x) &\ text {si $0\ le x\ le\ frac {\ pi} {4} $}\\ frac {1} {\ sqrt {2}} &\ text {si $\ frac {\ pi} {4}\ le x\ le\ frac {\ pi} {2} $}\ end {cases}\ right\}\ end {alinear*}

    Podemos calcular el área de interés usando nuestra fórmula enlatada

    \ comenzar {reunir*}\ texto {Área} =\ int_a^b\ grande [T (x) -B (x)\ grande]\, d {x}\ fin {reunir*}

    pero como las fórmulas paraT(x) yB(x) cambian en el puntox=π4, debemos dividir el dominio de la integral en dos en ese punto 2.

  • Nuestra integral sobre el dominio0xπ2 se divide en una integral sobre0xπ4 y una sobreπ4xπ2:

    \ begin {alinear*}\ texto {Área} &=\ int_0^ {\ frac {\ pi} {2}}\ grande [T (x) -B (x)\ grande]\, d {x}\ &=\ int_0^ {\ frac {\ pi} {4}}\ grande [T (x) -B (x)\ grande]\, d {x} +\ int_ {\ frac {\ pi} {4}} ^ {\ frac {\ pi} {2}}\ grande [T (x) -B (x)\ grande]\, d {x}\ &=\ int_0^ {\ frac {\ pi} {4}}\ grande [\ frac {1} {\ sqrt {2}} -\ sin (x)\ Grande]\, d {x} +\ int_ {\ frac {\ pi} {4}} ^ {\ frac { \ pi} {2}}\ Grande [\ sin (x) -\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ Grande]\, d {x}\\ &=\ grande [\ frac {x} {\ sqrt {2}} +\ cos (x)\ Grande] _0^ {\ frac {\ pi} {4}} +\ Grande [-\ cos (x) -\ frac {x} {\ sqrt {2}}\ Grande] _ {\ frac {\ pi} {4}} ^ {\ frac {\ pi} {2}}\\ &=\ grande [\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ frac {\ pi} {4} +\ frac {1} {\ sqrt {2}} -1\ grande] +\ Grande [\ frac {1} {\ sqrt {2}} -\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ frac {\ pi} {4}\ Grande]\\ &=\ frac {2} {\ sqrt {2}} -1\\ &=\ sqrt {2} -1\ end {align*}

Ejercicios

Etapa 1
1

Queremos aproximar el área entre las gráficas dey=cosx yy=sinx dex=0 ax=π usando una suma de Riemann izquierda conn=4 rectángulos.

  1. En la gráfica de abajo, esboza los cuatro rectángulos.
  2. Calcular la aproximación de Riemann.
2

Queremos aproximar el área delimitada entre las curvasy=arcsin(2xπ) yy=πx2 usandon=5 rectángulos.

  1. Dibuja los cinco rectángulos (verticales) de la imagen de abajo correspondientes a una suma de Riemann derecha.
  2. Dibuja cinco rectángulos en la imagen de abajo que podríamos usar si estuviéramos usando rectángulos horizontales.
3 (✳)

Anote una integral definida que represente el área finita delimitada por las curvasy=x3x yy=x parax0. No evaluar la integral explícitamente.

4 (✳)

Anote una integral definida que represente el área de la región delimitada por la líneay=x2 y la parábolay2=65x4. No evaluar la integral explícitamente.

5 (✳)

Anote una integral definida que represente el área de la región del plano finito delimitada pory2=4ax yx2=4ay, dondea>0 es una constante. No evaluar la integral explícitamente.

6 (✳)

Anote una integral definida que represente el área de la región delimitada entre la líneax+12y+5=0 y la curvax=4y2. No evalúe la integral explícitamente.

Etapa 2
7 (✳)

Encuentra el área de la región delimitada por la gráfica def(x)=1(2x4)2 y elx eje —entrex=0 yx=1.

8 (✳)

Encuentra el área entre las curvasy=x yy=3xx2, primero identificando los puntos de intersección y luego integrando.

9 (✳)

Calcular el área de la región encerrada pory=2x yy=x+1.

10 (✳)

Encuentra el área de la región finita delimitada entre las dos curvasy=2cos(πx/4) yy=|x|.

11 (✳)

Encuentra el área de la región finita que está delimitada por las gráficas def(x)=x2x3+1 yg(x)=3x2.

12

Encuentra el área a la izquierda dely eje —y a la derecha de la curvax=y2+y.

13 (✳)

Encuentre el área de la región finita debajoy=9x2 y por encima de ambosy=|x| yy=1x2.

Etapa 3
14 (✳)

La gráfica a continuación muestra la región entrey=4+πsinx yy=4+2π2x.

Encuentra la zona de esta región.

15 (✳)

Calcular el área de la región finita delimitada por las curvasx=0, x=3, y=x+2 and y=x2.

16 (✳)

Find the total area between the curves y=x25x2 and y=3x, on the interval 0x4.

17

Find the area of the finite region below y=9x2 and y=x, and above y=1(x1)2.

18

Find the area of the finite region bounded by the curve y=x(x24) and the line y=x2.

  1. We should do this by checking where the curves intersect; that is by solving T(x)=B(x) and seeing if any of the solutions lie in the range 1x1.
  2. We are effectively computing the area of the region by computing the area of the two disjoint pieces separately. Alternatively, if we set f(x)=sin(x) and g(x)=12, we can rewrite the integral ba[T(x)B(x)]dx as ba|f(x)g(x)|dx. To see that the two integrals are the same, split the domain of integration where f(x)g(x) changes sign.

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