1.5: Área entre curvas
- Page ID
- 119210
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Antes de continuar nuestra exploración de diferentes métodos para integrar funciones, ahora tenemos herramientas suficientes para examinar algunas aplicaciones simples de integrales definidas. Una de las motivaciones para nuestra definición de “integral” fue el problema de encontrar el área entre alguna curva y el\(x\) eje para\(x\) correr entre dos valores especificados. Más precisamente
\ comenzar {reunir*}\ int_a^b f (x)\, d {x}\ fin {reunir*}
es igual al área señalizada entre la curva\(y=f(x)\text{,}\) el\(x\) eje -y las líneas verticales\(x=a\) y\(x=b\text{.}\)
Encontramos el área de esta región aproximándola por la unión de rectángulos altos y delgados, y luego encontramos el área exacta tomando el límite ya que el ancho de los rectángulos aproximados fue a cero. Podemos usar la misma estrategia para encontrar áreas de regiones más complicadas en el\(xy\) plano.
Como adelanto del material por venir, vamos\(f(x) \gt g(x) \gt 0\)\(a \lt b\) y supongamos que nos interesa la zona de la región
\ begin {reunir*} S_1=\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ a\ le x\ le b\,,, g (x)\ le y\ le f (x)\\ big\}\ end {reunir*}
que se esboza en la figura de la izquierda a continuación.
Ya sabemos que\(\int_a^b f(x)\,\, d{x}\) es la zona de la región
\ begin {reunir*} S_2=\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ a\ le x\ le b\,,, 0\ le y\ le f (x)\\ big\}\ end {reunir*}
esbozado en la figura media arriba y esa\(\int_a^b g(x)\,\, d{x}\) es la zona de la región
\ comenzar {reunir*} S_3=\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ a\ le x\ le b\,,, 0\ le y\ le g (x)\\ grande\}\ fin {reunir*}
esbozado en la figura de la derecha arriba. Ahora la región\(S_1\) de la figura de la izquierda se puede construir tomando la región\(S_2\) de la figura central y quitando de ella la región\(S_3\) de la figura de la mano derecha. Entonces el área de\(S_1\) es exactamente
\ begin {align*}\ int_a^b f (x)\,\, d {x} -\ int_a^b g (x)\,\, d {x} &=\ int_a^b\ grande (f (x) -g (x)\ grande)\,\, d {x}\ end {align*}
Este cálculo dependía del supuesto de que\(f(x) \gt g(x)\) y, en particular, de que las curvas\(y=g(x)\) y\(y=f(x)\) no cruzaban. Si lo hacen cruzar, como en esta figura
entonces tenemos que ser mucho más cuidadosos. La idea es separar el dominio de la integración dependiendo de dónde se firmen\(f(x) - g(x)\) los cambios, es decir, dónde se cruzan las curvas. Esto lo ilustraremos en el Ejemplo 1.5.5 a continuación.
Empecemos con un ejemplo que hace bastante explícito el vínculo con las sumas de Riemann y las integrales definidas.
Encuentra el área delimitada por las curvas\(y=4-x^2\text{,}\)\(y=x\text{,}\)\(x=-1\) y\(x=1\text{.}\)
Solución
- Antes de hacer cualquier cálculo, es una muy buena idea hacer un boceto del área en cuestión. Las curvas\(y=x\text{,}\)\(x=-1\) y\(x=1\) son todas líneas rectas, mientras que la curva\(y=4-x^2\) es una parábola cuyo ápice está en\((0,4)\) y luego se curva hacia abajo (debido al signo menos adentro\(-x^2\)) con\(x\) -intercepciones en\((\pm2,0)\text{.}\) Poner estos juntos da
Observe que las curvas\(y=4-x^2\) y se\(y=x\) cruzan cuando\(4-x^2=x\text{,}\) es decir, cuando\(x= \frac{1}{2}\left(-1\pm\sqrt{17}\right) \approx 1.56,-2.56\text{.}\) Por lo tanto, la curva\(y=4-x^2\) se encuentra\(y=x\) por encima de la línea\(-1\le x\le 1\text{.}\)
- Estamos para encontrar la zona de la región sombreada. Cada punto\((x,y)\) en esta región sombreada tiene\(-1\le x\le 1\) y\(x \le y \le 4-x^2\text{.}\) Cuando estábamos definiendo la integral (camino de regreso en la Definición 1.1.9) usamos\(a\) y\(b\) para denotar los valores permitidos más pequeños y mayores de\(x\text{;}\) hagámoslo aquí también. También usemos\(B(x)\) para denotar la curva inferior (es decir, para denotar el valor permitido más pequeño de\(y\) para un dado\(x\)) y usar\(T(x)\) para denotar la curva superior (es decir, para denotar el mayor valor permitido de\(y\) para un dado\(x\)). Entonces en este ejemplo
\ begin {align*} a=-1&& b=1&& B (x) =x&& T (x) =4-x^2\ end {align*}
y la región sombreada es\ comenzar {reunir*}\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ a\ le x\ le b,\ B (x)\ le y\ le T (x)\\ grande\}\ fin {reunir*}
- Utilizamos la misma estrategia que usamos al definir la integral en la Sección 1.1.4:
- Elige un número natural\(n\) (que luego enviaremos al infinito), luego
- subdividir la región en cortes\(n\) estrechos, cada uno de ancho\(\Delta x=\frac{b-a}{n}\text{.}\)
- Por cada\(i=1,2,\cdots,n\text{,}\) corte el número\(i\) va de\(x=x_{i-1}\) a\(x=x_i\text{,}\) y aproximamos su área por el área de un rectángulo. Escogemos un número\(x_i^*\) entre\(x_{i-1}\) y\(x_i\) y aproximamos la rebanada por un rectángulo cuya parte superior está en\(y=T(x_i^*)\) y cuya parte inferior está en\(y=B(x_i^*)\text{.}\)
- Así, el área de rebanada\(i\) es aproximadamente\(\big[T(x_i^*)-B(x_i^*)\big]\Delta x\) (como se muestra en la siguiente figura).
- Entonces la aproximación de la suma de Riemann del área es
\ begin {alinear*}\ texto {Área} &\ approx\ suma_ {i=1} ^n\ grande [T (x_i^*) -B (x_i^*)\ grande]\ Delta x\ final {alinear*}
- Al tomar el límite como\(n \to \infty\) (es decir, tomando el límite como el ancho de los rectángulos va a cero), convertimos la suma de Riemann en una integral definida (ver Definición 1.1.9) y al mismo tiempo nuestra aproximación del área se convierte en el área exacta:
\ begin {alinear*}\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ suma_ {i=1} ^n\ grande [T (x_i^*) -B (x_i^*)\ grande]\ Delta x &=\ int_a^b\ grande [T (x) -B (x)\ grande]\, d {x}\ &\ hskip1in\ texto {Riemann suma $\ a$ integral}\\ &=\ int_ {-1} ^1\ grande [(4-x^2) -x\ grande]\, d {x}\\ &=\ int_ {-1} ^1\ grande [4-x-x^2\ grande]\, d {x}\\ &=\ bigg [4x -\ frac {x^2} {2} -\ frac { x^3} {3}\ bigg] _ {-1} ^1\\ &=\ izquierda (4 -\ frac {1} {2} -\ frac {1} {3}\ derecha) -\ izquierda (-4-\ frac {1} {2} +\ frac {1} {3}\ derecha)\\ &=\ frac {24-3-2} {6} -\ frac {-24-3+2} {6}\\ &=\ frac {19} {6} +\ frac {25} {6}\\ &=\ frac {44} {6} =\ frac {22} {3}. \ end {alinear*}
¡Oof! Agradecidamente generalmente no necesitamos pasar por los pasos de la suma de Riemann para llegar a la respuesta. Por lo general, siempre que tengamos cuidado de verificar dónde se cruzan las curvas y qué curva se encuentra por encima de la cual, podemos simplemente saltar directamente a la integral
\[ \text{Area} = \int_a^b \big[T(x)-B(x)\big]\, d{x}. \nonumber \]
Entonces volvamos a hacer el ejemplo anterior.
Encuentra el área delimitada por las curvas\(y=4-x^2\text{,}\)\(y=x\text{,}\)\(x=-1\) y\(x=1\text{.}\)
Solución
- Primero dibujamos la región
y verificar 1 que\(y=T(x)=4-x^2\) se encuentre por encima de la curva\(y=B(x)=x\) en la región\(-1\leq x\leq 1\text{.}\)
- El área entre las curvas es entonces
\ begin {align*}\ text {Área} &=\ int_a^b\ grande [T (x) -B (x)\ grande]\, d {x}\\ &=\ int_ {-1} ^1\ grande [4-x-x^2\ grande]\, d {x}\\ &=\ bigg [4x -\ frac {x^2} {2} -\ frac {x^3} {3}\ bigg] _ {-1} ^1\\ &=\ frac {19} {6} +\ frac {25} {6} =\ frac {44} {6} =\ frac {22} {3}. \ end {alinear*}
Encuentra el área de la región finita delimitada por\(y=x^2\) y\(y=6x-2x^2\text{.}\)
Solución
Esto es un poco diferente de la pregunta anterior, ya que no se nos dan líneas delimitadoras\(x=a\) y\(x=b\) —en cambio tenemos que determinar los valores mínimos y máximos permitidos de\(x\) determinando dónde se cruzan las curvas. De ahí que nuestra primera tarea sea hacernos una buena idea de cómo es la región dibujándola.
- Comience dibujando la región:
- La curva\(y=x^2\) es una parábola. El punto en esta parábola con la\(y\) coordenada más pequeña es\((0,0)\text{.}\) A medida que\(|x|\) aumenta,\(y\) aumenta por lo que la parábola se abre hacia arriba.
- La curva\(y=6x-2x^2 =-2(x^2-3x) =-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}\) es también una parábola. El punto sobre esta parábola con mayor valor de\(y\) has\(x=\frac{3}{2}\) (para que el término negativo en\(-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}\) sea cero). Entonces el punto con mayor valor de\(y\) es es\((\frac{3}{2},\frac{9}{2})\text{.}\) As\(x\) se aleja de\(\frac{3}{2}\text{,}\) ya sea a la derecha o a la izquierda,\(y\) disminuye. Entonces la parábola se abre hacia abajo. La parábola cruza el\(x\) eje cuando Es\(0=6x-2x^2=2x(3-x)\text{.}\) decir, cuándo\(x=0\) y\(x=3\text{.}\)
- Las dos parábolas se cruzan cuando\(x^2= 6x-2x^2\text{,}\) o
\ begin {align*} 3x^2-6x&=0\\ 3x (x-2) &=0\ end {alinear*}
Entonces hay dos puntos de intersección, uno siendo\(x=0\text{,}\)\(y=0^2=0\) y el otro\(x=2\text{,}\)\(y=2^2=4\text{.}\) - La región finita entre las curvas se encuentra entre estos dos puntos de intersección.
Esto nos lleva al boceto
- Entonces en esta región tenemos\(0\leq x\leq 2\text{,}\) la curva superior es\(T(x)=6x-x^2\) y la curva inferior es\(B(x)=x^2\text{.}\) De ahí que el área viene dada por
\ begin {align*}\ text {Área} &=\ int_a^b\ grande [T (x) -B (x)\ grande]\, d {x}\\ &=\ int_0^2\ grande [(6x-2x^2) - (x^2)\ grande]\, d {x}\\ &=\ int_0^2\ grande [6x-3x^2\ grande]\, d {x}\\ &=\ bigg [6\ frac {x^2} {2} -3\ frac {x^3} {3}\ bigg] _0^2\ &=3 (2) ^2-2^3 =4\ end {align*}
Encuentra el área de la región finita delimitada por\(y^2=2x+6\) y\(y=x-1\text{.}\)
Solución
Mostramos dos soluciones diferentes a este problema. El primero toma el enfoque que tenemos en el Ejemplo 1.5.3 pero conduce a álgebra desordenada. El segundo requiere un poco de pensamiento al principio pero luego es bastante sencillo. Antes de llegar a eso debemos comenzar por bosquejar la región.
- La curva\(y^2=2x+6\text{,}\) o equivalentemente\(x=\frac{1}{2} y^2-3\) es una parábola. El punto en esta parábola con la\(x\) coordenada más pequeña tiene\(y=0\) (para que el término positivo en\(\frac{1}{2} y^2-3\) sea cero). Entonces el punto en esta parábola con la\(x\) coordenada más pequeña es\((-3,0)\text{.}\) A medida que\(|y|\) aumenta,\(x\) aumenta por lo que la parábola se abre hacia la derecha.
- La curva\(y=x-1\) es una línea recta de pendiente\(1\) que pasa\(x=1\text{,}\)\(y=0\text{.}\)
- Las dos curvas se cruzan cuando\(\frac{y^2}{2}-3=y+1\text{,}\) o
\ begin {alinear*} y^2-6 &= 2y+2\\ y^2-2y-8 &= 0\\ (y+2) (y-4) &= 0\ end {align*}
Entonces hay dos puntos de intersección, uno siendo\(y=4\text{,}\)\(x=4+1=5\) y el otro\(y=-2\text{,}\)\(x=-2+1=-1\text{.}\) - Poner todo esto junto nos da el boceto
Como se señaló anteriormente, podemos encontrar el área de esta región aproximándola por una unión de rectángulos verticales estrechos, como hicimos en el Ejemplo 1.5.3 —aunque es un poco más difícil. La manera fácil es aproximarlo mediante una unión de rectángulos horizontales estrechos. Solo para la práctica, aquí está la solución difícil. La solución fácil es después de ella.
Solución más dura:
- Como hemos hecho anteriormente, aproximamos la región mediante una unión de rectángulos verticales estrechos, cada uno de ancho\(\Delta x\text{.}\) Dos de esos rectángulos se ilustran en el boceto
- En esta región,\(x\) va de\(a=-3\) a\(b=5\text{.}\) La curva en la parte superior de la región es
\ begin {align*} y&=T\ big (x) =\ sqrt {2x+6}\ end {align*}
La curva en la parte inferior de la región es más complicada. A la izquierda de\((-1,-2)\) la mitad inferior de la parábola da el fondo de la región mientras que a la derecha de\((-1,-2)\) la línea recta da el fondo de la región. Entonces\ begin {align*} B (x) &=\ begin {cases} -\ sqrt {2x+6} &\ text {if} -3\ le x\ le -1\ x-1 &\ text {if} -1\ le x\ le 5\ end {cases}\ end {cases}\ end {align*}
- Al igual que antes, el área sigue dada por la fórmula\(\int_a^b \big[T(x)-B(x)\big]\, d{x}\text{,}\) pero para dar cabida a nuestra\(B(x)\text{,}\) tenemos que dividir el dominio de la integración cuando evaluamos la integral.
\ begin {alinear*} &\ int_a^b\ grande [T (x) -B (x)\ grande]\, d {x}\\ &=\ int_ {-3} ^ {-1}\ grande [T (x) -B (x)\ grande]\, d {x} +\ int_ {-1} ^5\ grande [T (x) -B (x)\ grande]\, d {x}\\ &=\ int_ {-3} ^ {-1}\ grande [\ sqrt {2x+6} - (-\ sqrt {2x+6})\ grande]\, d {x} +\ int_ {-1} ^5\ grande [\ sqrt {2x+6} - (x-1)\ grande]\, d {x}\\ &= 2\ int_ {-3} {-1}\ sqrt {2x+6}\, d {x} +\ int_ {-1} ^5\ sqrt {2x+6} -\ int_ {-1} ^5 (x-1)\, d {x}\ final {alinear*}
- La tercera integral es sencilla, mientras que evaluamos las dos primeras a través de la regla de sustitución. En particular, establecer\(u=2x+6\) y reemplazar\(\, d{x} \rightarrow \frac{1}{2}\, d{u}\text{.}\) También\(u(-3)=0, u(-1)=4, u(5)=16\text{.}\) Por lo tanto
\ begin {align*}\ text {Área} &= 2\ int_0^4\ sqrt {u}\\ frac {\, d {u}} {2} +\ int_4^ {16}\ sqrt {u}\\ frac {\, d {u}} {2} -\ int_ {-1} ^5 (x-1)\, d {x}\ &= 2\ bigg [\ frac {u^ {\ frac {3} {2}}} {\ frac {3} {2}}\ frac {1} {2}\ bigg] _0^4 +\ bigg [\ frac {u^ {\ frac {3} {2}}} {\ frac {3} {2}}\ frac {1} {2}\ bigg] _4^ {16} -\ bigg [\ frac {x^2} {2} -x\ bigg] _ {-1} ^5\\ & =\ frac {2} {3}\ grande [8-0] +\ frac {1} {3} [64-8] -\ Grande [\ Grande (\ frac {25} {2} -5\ Grande) -\ Grande (\ frac {1} {2} +1\ Grande)\ Grande]\\ & =\ frac {72} {3} -\ frac {24} {2} +6\\ &=18\ end {alinear*}
¡Oof!
Solución más fácil: La manera fácil de determinar el área de nuestra región es aproximarse por rectángulos horizontales estrechos, en lugar de rectángulos verticales estrechos. (Realmente solo estamos intercambiando los roles de\(x\) y\(y\) en este problema)
- Mire nuestro boceto de la región nuevamente: cada punto\((x,y)\) en nuestra región tiene\(-2\le y\le 4\) y\(\frac{1}{2}(y^2-6)\le x \le y+1\text{.}\)
- Vamos a usar
- \(c\)para denotar el valor más pequeño permitido de\(y\text{,}\)
- \(d\)para denotar el mayor valor permitido de\(y\)
- \(L(y)\)(“\(L\)” significa “izquierda”) para denotar el valor más pequeño permitido de\(x\text{,}\) cuando la\(y\) coordenada es\(y\text{,}\) y
- \(R(y)\)(“\(R\)” significa “derecha”) para denotar el mayor valor permitido de\(x\text{,}\) cuando la\(y\) coordenada es\(y\text{.}\)
Entonces, en este ejemplo,
\ begin {align*} c=-2&& d=4 && L (y) =\ frac {1} {2} (y^2-6) && R (y) =y+1\ end {alinear*}
y la región sombreada es
\ comenzar {reunir*}\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ c\ le y\ le d,\ L (y)\ le x\ le R (y)\\ grande\}\ fin {reunir*}
- Nuestra estrategia es ahora casi la misma que la utilizada en el Ejemplo 1.5.1:
- Elige un número natural\(n\) (que luego enviaremos al infinito), luego
- subdividir el intervalo\(c\le y\le d\) en subintervalos\(n\) estrechos, cada uno de ancho\(\Delta y=\frac{d-c}{n}\text{.}\) Cada subintervalo corta un corte horizontal delgado de la región (ver la figura a continuación).
- Aproximamos el área del número de rebanada\(i\) por el área de un rectángulo horizontal delgado (indicado por el rectángulo oscuro en la figura a continuación). En esta porción, la\(y\) coordenada -corre sobre un rango muy estrecho. Escogemos un número en\(y_i^*\text{,}\) algún lugar de ese rango. Aproximamos\(i\) el corte por un rectángulo cuyo lado izquierdo está en\(x=L(y_i^*)\) y cuyo lado derecho está en\(x=R(y_i^*)\text{.}\)
- Por lo tanto, el área de rebanada\(i\) es aproximadamente\(\big[R(x_i^*)-L(x_i^*)\big]\Delta y\text{.}\)
- El área deseada es
\ begin {align*} &\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ suma_ {i=1} ^n\ grande [R (y_i^*) -L (y_i^*)\ grande]\ Delta y =\ int_c^d\ grande [R (y) -L (y)\ grande]\, d {y}\\ &\ hskip2in\ texto {emann suma $\ fila derecha$ integral}\\ &\ hskip1in=\ int_ {-2} ^4\ grande [(y+1) -\ tfrac {1} {2}\ grande (y^2-6\ grande)\ grande]\, d {y}\\ &=\ int_ {-2} ^4\ grande [-\ tfrac {1} {2} y^2+y+ 4\ grande]\, d {y}\\ &=\ grande [-\ tfrac {1} {6} y^3+\ tfrac {1} {2} y^2+4y\ Grande] _ {-2} ^4\\ &=-\ tfrac {1} {6}\ grande (64- (-8)\ grande) +\ tfrac {1} {2} (4) +4 (4+2)\\ &=-12+6+24\\ &=18\ end {alinear*}
Un último ejemplo.
Encuentra el área entre las curvas\(y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) y\(y=\sin(x)\) con\(x\) correr de\(0\) a\(\frac{\pi}{2}\text{.}\)
Solución:
Esta es un poco más complicada ya que (como veremos) la región está dividida en dos piezas y necesitamos tratarlas por separado.
- Nuevamente comenzamos por bosquejar la región.
Queremos el área sombreada.
- A diferencia de nuestros ejemplos anteriores, las curvas\(y=\frac{1}{\sqrt{2}}\) delimitadoras y\(y=\sin(x)\) cruzan en el centro de la región de interés. Cruzan cuando\(y=\frac{1}{\sqrt{2}}\) y\(\sin(x)=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{,}\) es decir, cuando\(x=\frac{\pi}{4}\text{.}\) So
- a la izquierda\(x=\frac{\pi}{4}\text{,}\) del límite superior es parte de la línea recta\(y=\frac{1}{\sqrt{2}}\) y el límite inferior es parte de la curva\(y=\sin(x)\)
- mientras que a la derecha\(x=\frac{\pi}{4}\text{,}\) del límite superior es parte de la curva\(y=\sin(x)\) y el límite inferior es parte de la línea recta\(y=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{.}\)
- Así, las fórmulas para los límites superior e inferior son
\ begin {align*} T (x) & =\ left. \ begin {cases}\ frac {1} {\ sqrt {2}} &\ text {si $0\ le x\ le\ frac {\ pi} {4} $}\\\ sin (x) &\ text {si $\ frac {\ pi} {4}\ le x\ le\ frac {\ pi} {2} $}\ end {casos}\ derecho\}\ B (x) & =\ izquierda. \ begin {cases}\ sin (x) &\ text {si $0\ le x\ le\ frac {\ pi} {4} $}\\ frac {1} {\ sqrt {2}} &\ text {si $\ frac {\ pi} {4}\ le x\ le\ frac {\ pi} {2} $}\ end {cases}\ right\}\ end {alinear*}
Podemos calcular el área de interés usando nuestra fórmula enlatada
\ comenzar {reunir*}\ texto {Área} =\ int_a^b\ grande [T (x) -B (x)\ grande]\, d {x}\ fin {reunir*}
pero como las fórmulas para\(T(x)\) y\(B(x)\) cambian en el punto\(x=\frac{\pi}{4}\text{,}\) debemos dividir el dominio de la integral en dos en ese punto 2.
- Nuestra integral sobre el dominio\(0\leq x \leq \frac{\pi}{2}\) se divide en una integral sobre\(0\le x\le \frac{\pi}{4}\) y una sobre\(\frac{\pi}{4}\le x\le \frac{\pi}{2}\text{:}\)
\ begin {alinear*}\ texto {Área} &=\ int_0^ {\ frac {\ pi} {2}}\ grande [T (x) -B (x)\ grande]\, d {x}\ &=\ int_0^ {\ frac {\ pi} {4}}\ grande [T (x) -B (x)\ grande]\, d {x} +\ int_ {\ frac {\ pi} {4}} ^ {\ frac {\ pi} {2}}\ grande [T (x) -B (x)\ grande]\, d {x}\ &=\ int_0^ {\ frac {\ pi} {4}}\ grande [\ frac {1} {\ sqrt {2}} -\ sin (x)\ Grande]\, d {x} +\ int_ {\ frac {\ pi} {4}} ^ {\ frac { \ pi} {2}}\ Grande [\ sin (x) -\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ Grande]\, d {x}\\ &=\ grande [\ frac {x} {\ sqrt {2}} +\ cos (x)\ Grande] _0^ {\ frac {\ pi} {4}} +\ Grande [-\ cos (x) -\ frac {x} {\ sqrt {2}}\ Grande] _ {\ frac {\ pi} {4}} ^ {\ frac {\ pi} {2}}\\ &=\ grande [\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ frac {\ pi} {4} +\ frac {1} {\ sqrt {2}} -1\ grande] +\ Grande [\ frac {1} {\ sqrt {2}} -\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ frac {\ pi} {4}\ Grande]\\ &=\ frac {2} {\ sqrt {2}} -1\\ &=\ sqrt {2} -1\ end {align*}
Ejercicios
Etapa 1
Queremos aproximar el área entre las gráficas de\(y=\cos x\) y\(y=\sin x\) de\(x=0\) a\(x=\pi\) usando una suma de Riemann izquierda con\(n=4\) rectángulos.
- En la gráfica de abajo, esboza los cuatro rectángulos.
- Calcular la aproximación de Riemann.
Queremos aproximar el área delimitada entre las curvas\(y=\arcsin\left(\dfrac{2x}{\pi}\right)\) y\(y=\sqrt{\dfrac{\pi x}{2}}\) usando\(n=5\) rectángulos.
- Dibuja los cinco rectángulos (verticales) de la imagen de abajo correspondientes a una suma de Riemann derecha.
- Dibuja cinco rectángulos en la imagen de abajo que podríamos usar si estuviéramos usando rectángulos horizontales.
Anote una integral definida que represente el área finita delimitada por las curvas\(y=x^3-x\) y\(y=x\) para\(x\ge 0\text{.}\) No evaluar la integral explícitamente.
Anote una integral definida que represente el área de la región delimitada por la línea\(y=-\dfrac{x}{2}\) y la parábola\(y^2=6-\dfrac{5x}{4}\text{.}\) No evaluar la integral explícitamente.
Anote una integral definida que represente el área de la región del plano finito delimitada por\(y^2=4ax\) y\(x^2=4ay\text{,}\) donde\(a \gt 0\) es una constante. No evaluar la integral explícitamente.
Anote una integral definida que represente el área de la región delimitada entre la línea\(x+12y+5=0\) y la curva\(x=4y^2\text{.}\) No evalúe la integral explícitamente.
Etapa 2
Encuentra el área de la región delimitada por la gráfica de\(f (x) = \dfrac{1}{(2x-4)^2}\) y el\(x\) eje —entre\(x = 0\) y\(x = 1\text{.}\)
Encuentra el área entre las curvas\(y=x\) y\(y=3x-x^2\text{,}\) primero identificando los puntos de intersección y luego integrando.
Calcular el área de la región encerrada por\(y = 2^x\) y\(y = \sqrt x+1\text{.}\)
Encuentra el área de la región finita delimitada entre las dos curvas\(y = \sqrt{2} \cos(\pi x/4)\) y\(y = |x|\text{.}\)
Encuentra el área de la región finita que está delimitada por las gráficas de\(f(x) = x^2\sqrt{x^3+1}\) y\(g(x) = 3x^2\text{.}\)
Encuentra el área a la izquierda del\(y\) eje —y a la derecha de la curva\(x=y^2+y\text{.}\)
Encuentre el área de la región finita debajo\(y=\sqrt{9-x^2}\) y por encima de ambos\(y=|x|\) y\(y=\sqrt{1-x^2}\text{.}\)
Etapa 3
La gráfica a continuación muestra la región entre\(y = 4 + \pi \sin x\) y\(y = 4 + 2\pi - 2x\text{.}\)
Encuentra la zona de esta región. 
Calcular el área de la región finita delimitada por las curvas\(x=0\text{,}\) \(x=3\text{,}\) \(y=x+2\) and \(y=x^2\text{.}\)
Find the total area between the curves \(y = x \sqrt{25-x^2}\) and \(y=3x\text{,}\) on the interval \(0\le x\le 4\text{.}\)
Find the area of the finite region below \(y=\sqrt{9-x^2}\) and \(y=x\text{,}\) and above \(y=\sqrt{1-(x-1)^2}\text{.}\)
Find the area of the finite region bounded by the curve \(y=x(x^2-4)\) and the line \(y=x-2\text{.}\)
- We should do this by checking where the curves intersect; that is by solving \(T(x)=B(x)\) and seeing if any of the solutions lie in the range \(-1\leq x \leq 1\text{.}\)
- We are effectively computing the area of the region by computing the area of the two disjoint pieces separately. Alternatively, if we set \(f(x) = \sin(x)\) and \(g(x) =\frac{1}{\sqrt{2}}\text{,}\) we can rewrite the integral \(\int_a^b \big[T(x) - B(x)\big]\,\, d{x}\) as \(\int_a^b \big|f(x) - g(x)\big|\,\, d{x}\text{.}\) To see that the two integrals are the same, split the domain of integration where \(f(x)-g(x)\) changes sign.