1: Integración
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- Diferenciación — como vimos en el último término, la diferenciación nos permite calcular y estudiar la tasa instantánea de cambio de cantidades. En su forma más básica nos permite calcular líneas tangentes y velocidades, pero también nos llevó a aplicaciones bastante sofisticadas incluyendo aproximación de funciones a través de polinomios de Taylor y optimización de cantidades mediante el estudio de puntos críticos y singulares.
- La integración, en su forma más básica, nos permite analizar el área bajo una curva. Por supuesto, su aplicación e importancia se extienden mucho más allá de áreas y juega un papel central en la resolución de ecuaciones diferenciales.
No es inmediatamente obvio que estos dos temas estén relacionados entre sí. No obstante, como veremos, en efecto, están íntimamente vinculados.
- 1.1: Definición de la Integral
- Podría decirse que la forma más fácil de introducir la integración es considerando el área entre la gráfica de una función dada y el\(x\) eje -eje, entre dos líneas verticales específicas, tal como se muestra en la figura anterior. Seguiremos esta ruta comenzando con un ejemplo motivador.
- 1.2: Propiedades básicas de la integral definida
- Cuando estudiamos límites y derivados, desarrollamos métodos para tomar límites o derivados de “funciones complicadas”, como\(f(x)=x^2 + \sin(x)\) entender cómo los límites y las derivadas interactúan con operaciones aritméticas básicas como la suma y la resta.
- 1.3: El teorema fundamental del cálculo
- Hemos pasado bastantes páginas (y conferencias) hablando de integrales definidas, qué son (Definición 1.1.9), cuándo existen (Teorema 1.1.10), cómo calcular algunos casos especiales (Sección 1.1.5), algunas formas de manipularlos (Teorema 1.2.1 y 1.2.3) y cómo vincularlos (Teorema 1.2.13).
- 1.4: Sustitución
- En la sección anterior se exploró el teorema fundamental del cálculo y el vínculo que proporciona entre integrales definidas y antiderivados. En efecto, las integrales con integrands simples generalmente se evalúan a través de este enlace.
- 1.5: Área entre curvas
- Antes de continuar nuestra exploración de diferentes métodos para integrar funciones, ahora tenemos herramientas suficientes para examinar algunas aplicaciones simples de integrales definidas.
- 1.6: Volúmenes
- Otra sencilla aplicación de integración es la computación de volúmenes. Usamos la misma estrategia que usamos para expresar áreas de regiones en dos dimensiones como integrales: aproximar la región mediante una unión de piezas pequeñas y simples cuyo volumen podemos calcular y luego tomar el límite ya que el “tamaño de la pieza” tiende a cero.
- 1.7: Integración por partes
- El teorema fundamental del cálculo nos dice que es muy fácil integrar un derivado. En particular, sabemos que
- 1.8: Integrales trigonométricas
- Integrales de polinomios de las funciones trigonométricas\(\sin x\text{,}\)\(\cos x\text{,}\)\(\tan x\) y así sucesivamente, generalmente se evalúan mediante el uso de una combinación de sustituciones simples e identidades trigonométricas.
- 1.9: Sustitución trigonométrica
- En esta sección discutimos sustituciones que simplifican integrales que contienen raíces cuadradas de la forma
- 1.10: Fracciones Parciales
- Fracciones parciales es el nombre que se le da a una técnica de integración que puede ser utilizada para integrar cualquier función racional. Ya sabemos integrar algunas funciones racionales simples
- 1.11: Integración Numérica
- En esta sección nos dirigimos al problema de cómo encontrar valores numéricos (aproximados) para integrales, sin tener que evaluarlos algebraicamente. Para desarrollar estos métodos volvemos a las sumas de Riemann y nuestra interpretación geométrica de la integral definida como el área firmada.
- 1.12: Integrales inadecuadas
- A este punto solo hemos considerado integrales de buen comportamiento\(\int_a^b f(x)\, d{x}\text{.}\) Aunque el álgebra involucrada en algunos de nuestros ejemplos fue bastante difícil, todas las integrales tenían
- 1.13: Más ejemplos de integración
- Recordemos que estamos usando\(\log x\) para denotar el logaritmo de\(x\) con base\(e\text{.}\) En otros cursos a menudo se denota\(\ln x\text{.}\)