2.3: Centro de Masa y Torsión
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Centro de Masa
Si apoyas un cuerpo en su centro de masa (en un campo gravitacional uniforme) se equilibra perfectamente. Esa es la definición del centro de masa del cuerpo.
Si el cuerpo consiste en un número finito de masas\(m_1\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(m_n\) unidas a una varilla infinitamente fuerte e ingrávida (idealizada) con número de masa\(i\) unido en posición,\(x_i\text{,}\) entonces el centro de masa está en el valor promedio (ponderado) de\(x\text{:}\)
\[ \bar x =\frac{\sum_{i=1}^n m_ix_i}{\sum_{i=1}^n m_i} \nonumber \]
El denominador\(m=\sum_{i=1}^n m_i\) es la masa total del cuerpo.
Esta fórmula para el centro de masa se deriva en la siguiente sección (opcional). Ver ecuación (2.3.14).
Para muchos (pero ciertamente no para todos) un cuerpo (rígido extendido) actúa como una partícula puntual ubicada en su centro de masa. Por ejemplo es muy común tratar a la Tierra como una partícula puntual. Aquí hay un ejemplo más detallado en el que pensamos que un cuerpo está formado por varias partes componentes y calculamos el centro de masa del cuerpo como un todo utilizando el centro de masas de las partes componentes. Supongamos que tenemos una mancuerna que consiste en
- un extremo izquierdo formado por partículas de masas\(m_{l,1}\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(m_{l,3}\) localizadas en\(x_{l,1}\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(x_{l,3}\) y
- un extremo derecho compuesto por partículas de masas\(m_{r,1}\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(m_{r,4}\) localizadas en\(x_{r,1}\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(x_{r,4}\) y
- una varilla infinitamente fuerte e ingrávida (idealizada) que une todas las partículas.
Entonces la masa y el centro de masa del extremo izquierdo son
\[ M_l=m_{l,1}+\cdots +m_{l,3}\qquad \bar X_l = \frac{m_{l,1}x_{l,1}+\cdots +m_{l,3}x_{l,3}}{M_l} \nonumber \]
y la masa y el centro de masa del extremo derecho son
\[ M_r=m_{r,1}+\cdots +m_{r,4}\qquad \bar X_r = \frac{m_{r,1}x_{r,1}+\cdots +m_{r,4}x_{r,4}}{M_r} \nonumber \]
La masa y el centro de masa de toda la mancuerna son
\ begin {alinear*} M&= m_ {l,1} +\ cdots +m_ {l,3}\ +\ m_ {r,1} +\ cdots +m_ {r,4}\\ &= m_L+m_r\\ bar x &=\ frac {m_ {l,1} x_ {l,1} +\ cdots +m_ {l,3} x_ {l,3}\ +\ m_ {r,1} x_ {r,1} +\ cdots +m_ {r,4} x_ {r,4}} {M}\\ &=\ frac {m_L\ bar x_l + m_R\ bar x_r} {m_r+m_L}\ end {align*}
Así podemos calcular el centro de masa de toda la mancuerna tratándola como compuesta por dos partículas puntuales, una de masa\(M_l\) ubicada en el centro de masa del extremo izquierdo, y otra de masa\(M_r\) ubicada en el centro de masa del extremo derecho.
Aquí hay otro ejemplo en el que un cuerpo extendido actúa como una partícula puntual ubicada en su centro de masa. Imagine que hay un número finito de masas\(m_1,\cdots,m_n\) dispuestas a lo largo de un\(z\) eje (vertical) con número de masa\(i\) unido a la altura\(z_i\text{.}\) Tenga en cuenta que la masa total de la matriz es\(M=\sum_{i=1}^n m_i\) y que el centro de masa de la matriz está a la altura
\ comenzar {reunir*}\ bar z =\ frac {\ suma_ {i=1} ^n m_iz_i} {\ suma_ {i=1} ^n m_i} =\ frac {1} {M}\ suma_ {i=1} ^n m_iz_i\ final {reunir*}
Ahora supongamos que levantamos todas las masas, contra la gravedad, a la altura\(Z\text{.}\) Así que después del levantamiento hay una masa total\(M\) ubicada a\(Z\text{.}\) la altura La\(i^{\rm th}\) masa está sujeta a una fuerza gravitacional descendente de\(m_i g\text{.}\) Así que para levantar la\(i^{\rm th}\) masa necesitamos aplicar una compensación fuerza ascendente de\(m_ig\) a través de una distancia de\(Z-z_i\text{.}\) Esto lleva trabajo\(m_i g (Z-z_i)\text{.}\) Así que el trabajo total requerido para levantar todas\(n\) las masas es
\ begin {align*}\ text {Trabajo} &=\ suma_ {i=1} ^n m_i g (z-z_i)\\ &= g Z\ suma_ {i=1} ^n m_i -g\ suma_ {i=1} ^n m_i z_i\\ &= g Z M - g M\ bar z\ & =Mg (Z-\ bar z)\ end {align*}
Entonces el trabajo requerido para levantar la matriz de\(n\) partículas es idéntico al trabajo requerido para levantar una sola partícula, cuya masa,\(M\text{,}\) es la masa total de la matriz, desde la altura\(\bar z\text{,}\) el centro de masa de la matriz, hasta la altura\(Z\text{.}\)
Imagínese, como en el Ejemplo 2.3.2, que hay un número finito de masas\(m_1,\cdots,m_n\) dispuestas a lo largo de un\(z\) eje (vertical) con número de masa\(i\) unido a la altura\(z_i\text{.}\) Nuevamente, la masa total y el centro de masa de la matriz son
\[ M=\sum_{i=1}^n m_i \qquad \bar z =\frac{\sum_{i=1}^n m_iz_i}{\sum_{i=1}^n m_i} =\frac{1}{M} \sum_{i=1}^n m_iz_i \nonumber \]
Ahora supongamos que levantamos, por cada número de\(1\le i\le n\text{,}\) masa\(i\text{,}\) contra la gravedad, desde su altura inicial\(z_i\) hasta una altura final\(Z_i\text{.}\) Así que después del levantamiento tenemos una nueva matriz de masas con masa total y centro de masa
\[ M=\sum_{i=1}^n m_i \qquad \bar Z =\frac{\sum_{i=1}^n m_iZ_i}{\sum_{i=1}^n m_i} =\frac{1}{M} \sum_{i=1}^n m_iZ_i \nonumber \]
Para levantar la\(i^{\rm th}\) masa tomó trabajo\(m_i g (Z_i-z_i)\text{.}\) Así que el trabajo total requerido para levantar todas\(n\) las masas fue
\ begin {align*}\ text {Trabajo} &=\ suma_ {i=1} ^n m_i g (z_i-z_i)\\ &= g\ suma_ {i=1} ^n m_i z_i -g\ suma_ {i=1} ^n m_i z_i\\ &= g M\ bar Z - g M\ bar z =Mg (\ bar Z-\ bar)\ end {align*}
Por lo que el trabajo requerido para levantar la matriz de\(n\) partículas es idéntico al trabajo requerido para levantar una sola partícula, cuya masa,\(M\text{,}\) es la masa total de la matriz, desde\(\bar z\text{,}\) la altura del centro de masa inicial de la matriz, hasta\(\bar Z\text{,}\) la altura del centro de masa final de la matriz.
Ahora ampliaremos las ideas anteriores para abarcar clases más generales de cuerpos. Si el cuerpo consiste en masa distribuida continuamente a lo largo de una línea recta, digamos con densidad de masa\(\rho(x)\) kg/m y con\(x\) correr de\(a\) a\(b\text{,}\) en lugar de consistir en un número finito de masas puntuales, la fórmula para el centro de masa se convierte en
\[ \bar x = \frac{\int_a^b x\ \rho(x)\,\, d{x}}{\int_a^b \rho(x)\,\, d{x}} \nonumber \]
Piense en\(\rho(x)\,\, d{x}\) como la masa de la “partícula casi puntual” entre\(x\) y\(x+\, d{x}\text{.}\)
Si el cuerpo es un objeto bidimensional, como una placa de metal, que se encuentra en el\(xy\) plano, su centro de masa es un punto\((\bar x,\bar y)\) con\(\bar x\) ser el valor promedio (ponderado) de la\(x\) coordenada -sobre el cuerpo y\(\bar y\) siendo el valor promedio (ponderado) de la\(y\) coordenada - sobre el cuerpo. Para ser concreto, supongamos que el cuerpo llena la región
\[ \big\{\ (x,y)\ \big|\ a\le x\le b,\ B(x)\le y\le T(x)\ \big\} \nonumber \]
en el\(xy\) -avión. Por simplicidad, asumiremos que la densidad del cuerpo es una constante, digamos\(\rho\text{.}\) Cuando la densidad es constante, el centro de masa también se llama centroide y se piensa en él como el centro geométrico del cuerpo.
Para encontrar el centroide del cuerpo, utilizamos nuestra estrategia estándar de “rebanado”. Cortamos el cuerpo en finas tiras verticales, como se ilustra en la siguiente figura.
Aquí hay una descripción detallada de una tira genérica.
- La tira tiene ancho\(\, d{x}\text{.}\)
- Cada punto de la tira tiene esencialmente la misma\(x\) coordenada. Llámenlo\(x\text{.}\)
- La parte superior de la tira está en\(y=T(x)\) y la parte inferior de la tira está en\(y=B(x)\text{.}\)
- Así que la tira tiene
- altura\(T(x)-B(x)\)
- zona\([T(x)-B(x)]\,\, d{x}\)
- masa\(\rho[T(x)-B(x)]\,\, d{x}\)
- centroide, es decir, punto medio,\(\big(x\,,\,\frac{B(x)+T(x)}{2}\big)\text{.}\)
Al calcular el centroide de todo el cuerpo, podemos tratar cada tira como una sola partícula de masa\(\rho[T(x)-B(x)]\,\, d{x}\) ubicada en\(\big(x\,,\,\frac{B(x)+T(x)}{2}\big)\text{.}\) So:
La masa de todo el cuerpo delimitada por curvas\(T(x)\) arriba y\(B(x)\) abajo es
\[\begin{align*} M&= \rho\int_a^b [T(x)-B(x)]\,\, d{x} =\rho A \tag{a}\\ \end{align*}\]donde\(A=\int_a^b [T(x)-B(x)]\,\, d{x}\) se encuentra la zona de la región. Las coordenadas del centroide son
\ begin {alinear*}\ bar x &=\ frac {\ int_a^b x\\ overbrackets {\ rho [T (x) -B (x)]\,\, d {x}} ^ {\ mathrm {masa\ de\ rebanada}}} {M} &&=\ frac {\ int_a^b x [T (x) -B (x)]\,\, d {x}} {A}\ tag {b}\\ bar y &=\ frac {\ int_a^b\! \! \! \! \ overbrackets {\ tfrac {B (x) +T (x)} {2}} ^ {\ mathrm {promedio}\ y\\ mathrm {on\ slice}}\! \! \ overbrackets {\ rho [T (x) -B (x)]\,\, d {x}} ^ {\ mathrm {masa\ de\ rebanada}}} {M}\ &&=\ frac {\ int_a^b\, [T (x) ^2-B (x) ^2]\,\, d {x}} {2A}\ etiqueta {c}\ fin alinear*}
Por supuesto, también podemos cortar el cuerpo usando rebanadas horizontales.
Si el cuerpo tiene densidad constante\(\rho\) y llena la región
\[ \big\{\ (x,y)\ \big|\ L(y)\le x\le R(y),\ c\le y\le d\ \big\} \nonumber \]
entonces el mismo cálculo que el anterior da:
La masa de todo el cuerpo delimitada por curvas\(L(y)\) a la izquierda y\(R(y)\) a la derecha es
\[\begin{align*} M&= \rho\int_c^d [R(y)-L(y)]\,\, d{y} =\rho A \tag{a}\\ \end{align*}\]donde\(A=\int_c^d [R(y)-L(y)]\,\, d{y}\) está el área de la región, y da las coordenadas del centroide a ser
\ begin {alinear*}\ bar x &=\ frac {\ int_c^d\! \! \! \! \ overbrackets {\ tfrac {R (y) +L (y)} {2}} ^ {\ mathrm {promedio}\ x\\ mathrm {on\ slice}}\! \! \ overbrackets {\ rho [R (y) -L (y)]\,\, d {y}} ^ {\ mathrm {masa\ de\ rebanada}}} {M}\ &&=\ frac {\ int_c^d\, [R (y) ^2-L (y) ^2]\,\, d {y}} {2A}\ etiqueta {b}\\ bar y &=\ frac {\ int_c^d y\\ overbrackets {\ rho [R (y) -L (y)]\,\, d {y}} ^ {\ mathrm {masa\ de\ rebanada}}} {M} &&=\ frac {\ int_c^d y [R (y) -L (y)]\,\, d {y} {A}\ tag {c}\ end { alinear*}
Encuentra la\(x\) coordenada -del centroide (centro de gravedad) de la región plana\(R\) que se encuentra en el primer cuadrante\(x\ge 0, \ y\ge 0\) y dentro de la elipse\(4x^2+9y^2=36\text{.}\) (El área delimitada por la elipse\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) es unidades\(\pi ab\) cuadradas.)
Solución: En forma estándar\(4x^2+9y^2=36\) es\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\text{.}\) Así, en\(R\text{,}\)\(x\) corre de\(0\) a\(3\) y\(R\) tiene área\(A=\frac{1}{4}\pi\times 3\times 2=\frac{3}{2}\pi\text{.}\) Para cada fijo\(x\text{,}\) entre\(0\) y\(3\text{,}\)\(y\) corre de\(0\) a\(2\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}\text{.}\) Así, aplicando (2.3.5.b) con\(a=0\text{,}\)\(b=3\text{,}\)\(T(x)=2\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}\) y\(B(x)=0\text{,}\)
\[ \bar x =\frac{1}{A}\int_0^3 x\,T(x)\,\, d{x} =\frac{1}{A}\int_0^3 x\,2\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}\,\, d{x} =\frac{4}{3\pi}\int_0^3 x\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}\,\, d{x} \nonumber \]
Sub en\(u=1-\frac{x^2}{9}\text{,}\)\(du=-\frac{2}{9}x\,\, d{x}\text{.}\)
\[ \bar x =-\frac{9}{2}\frac{4}{3\pi}\int_1^0 \sqrt{u}\,du =-\frac{9}{2}\frac{4}{3\pi}\Big[\frac{u^{3/2}}{3/2}\Big]_1^0 =-\frac{9}{2}\frac{4}{3\pi}\Big[-\frac{2}{3}\Big] =\frac{4}{\pi} \nonumber \]
Encuentra el centroide del cuarto de disco circular\(x\ge 0\text{,}\)\(y\ge 0\text{,}\)\(x^2+y^2\le r^2\text{.}\)
Solución: Por simetría,\(\bar x=\bar y\text{.}\) El área del cuarto de disco es\(A=\frac{1}{4}\pi r^2\text{.}\) Por (2.3.5.b) con\(a=0\text{,}\)\(b=r\text{,}\)\(T(x)=\sqrt{r^2-x^2}\) y\(B(x)=0\text{,}\)
\[ \bar x = \frac{1}{A}\int_0^r x\sqrt{r^2-x^2}\,\, d{x} \nonumber \]
Evaluar la integral, sub\(u=r^2-x^2\text{,}\)\(du=-2x\,\, d{x}\text{.}\)
\[ \int_0^r x\sqrt{r^2-x^2}\,\, d{x} = \int_{r^2}^0 \sqrt{u}\,\frac{du}{-2} = -\frac{1}{2}\Big[\frac{u^{3/2}}{3/2}\Big]^0_{r^2} = \frac{r^3}{3} \tag{$*$} \nonumber \]
Entonces
\[ \bar x = \frac{4}{\pi r^2}\Big[\frac{r^3}{3}\Big] =\frac{4r}{3\pi} \nonumber \]
Como observamos anteriormente, deberíamos tener\(\bar x=\bar y\text{.}\) Pero, solo para la práctica, calculemos\(\bar y\) por la fórmula integral (2.3.5.c), nuevamente con\(a=0\text{,}\)\(b=r\text{,}\)\(T(x)=\sqrt{r^2-x^2}\) y\(B(x)=0\text{,}\)
\ begin {align*}\ bar y & =\ frac {1} {2A}\ int_0^r\ grande (\ sqrt {r^2-x^2}\ grande) ^2\,\, d {x}\ &&=\ frac {2} {\ pi r^2}\ int_0^r\ grande (r^2-x^2\ grande)\,\, d {x}\\\ &=\ frac {2} {\ pi r^2}\ Grande [r^2x-\ frac {x^3} {3}\ Grande] _0^r &&=\ frac {2} {\ pi r^2}\ frac {2r^3} {3}\ &=\ frac {4r} {3\ pi}\ end {align*}
como se esperaba.
Encuentra el centroide del disco medio circular\(y\ge 0\text{,}\)\(x^2+y^2\le r^2\text{.}\)
Solución: Una vez más, tenemos una simetría —- es decir, el medio disco es simétrico alrededor del\(y\) eje -eje. Entonces el centroide se encuentra en el\(y\) eje -y\(\bar x=0\text{.}\) El área del medio disco es\(A=\frac{1}{2}\pi r^2\text{.}\) By (2.3.5.c), con\(a=-r\text{,}\)\(b=r\text{,}\)\(T(x)=\sqrt{r^2-x^2}\) y\(B(x)=0\text{,}\)
\ begin {alinear*}\ bar y & =\ frac {1} {2A}\ int_ {-r} ^r\ grande (\ sqrt {r^2-x^2}\ grande) ^2\,\, d {x}\ &=\ frac {1} {\ pi r^2}\ int_ {-r} ^r\ grande (r^2-x^2\ grande)\,\, d {x}\\ &=\ frac {2} {\ pi r^2}\ int_0^r\ big (r^2-x^2\ big)\,\, d {x} &\ text {ya que el integrando es par}\\ &=\ frac {2} {\ pi r^2}\ grande [r^2x-\ frac {x^3} 3}\ Grande] _0 ^r\\ &=\ frac {4r} {3\ pi}\ final {alinear*}
Encuentra el centroide de la región\(R\) en el diagrama.
Solución: Por simetría,\(\bar x=\bar y\text{.}\) La región\(R\) es un\(2\times 2\) cuadrado con un cuarto de círculo de radio\(1\) eliminado y así tiene área\(2\times 2-\frac{1}{4}\pi=\frac{16-\pi}{4}\text{.}\) La parte superior de\(R\) es\(y=T(x)=2\text{.}\) La parte inferior es\(y=B(x)\) con\(B(x)\!=\!\sqrt{1-x^2}\) cuándo\(0\le x\le 1\) y\(B(x)\!=\!0\) cuándo \(1\le x\le 2\text{.}\)Entonces
\[\begin{align*} \bar y = \bar x &=\frac{1}{A}\bigg[\int_0^1x[2-\sqrt{1-x^2}]\,\, d{x} +\int_1^2x[2-0]\,\, d{x}\bigg]\cr &=\frac{4}{16-\pi}\bigg[x^2\big|_0^1 +x^2\big|_1^2-\int_0^1x\sqrt{1-x^2}\,\, d{x}\bigg]\\ \end{align*}\]Ahora podemos hacer uso de la ecuación estrellada en el Ejemplo 2.3.8 con\(r=1\) para obtener
\ begin {align*} &=\ frac {4} {16-\ pi}\ Grande [4-\ frac {1} {3}\ Grande]\\ &=\ frac {44} {48-3\ pi}\ end {alinear*}
Demostrar que el centroide de cualquier triángulo se encuentra en el punto de intersección de las medianas. Una mediana de un triángulo es un segmento de línea que une un vértice al punto medio del lado opuesto.
Solución: Elija un sistema de coordenadas para que los vértices del triángulo se localicen en\((a,0)\text{,}\)\((0,b)\) y\((c,0)\text{.}\) (En la siguiente figura,\(a\) es negativo.)
La línea que une\((a,0)\) y\((0,b)\) tiene ecuación\(bx+ay=ab\text{.}\) (Compruebe que\((a,0)\) y\((0,b)\) ambos realmente están en esta línea.) La línea que une\((c,0)\) y\((0,b)\) tiene ecuación\(bx+cy=bc\text{.}\) (Compruebe que\((c,0)\) y\((0,b)\) ambos realmente están en esta línea.) Por lo tanto, para cada fijo\(y\) entre\(0\) y\(b\text{,}\)\(x\) corre de\(a-\frac{a}{b}y\) a\(c-\frac{c}{b}y\text{.}\)
Usaremos tiras horizontales para calcular\(\bar x\) y solo\(\bar y\text{.}\) podríamos aplicar la ecuación (2.3.6) con\(c=0\text{,}\)\(d=b\text{,}\)\(R(y)= \frac{c}{b}(b-y)\) (que se obtiene resolviendo\(bx+cy=bc\) para\(x\)) y\(L(y)= \frac{a}{b}(b-y)\) (que se obtiene resolviendo\(bx+ay=ab\) para\(x\)).
Pero en lugar de memorizar o buscar esas fórmulas, las derivaremos para este ejemplo. Por lo tanto, considere una tira delgada a la altura\(y\) como se ilustra en la figura anterior.
- La tira tiene longitud
\[ \ell(y)=\Big[\frac{c}{b}(b-y)-\frac{a}{b}(b-y)\Big]=\frac{c-a}{b}(b-y) \nonumber \]
- La tira tiene ancho\(\, d{y}\text{.}\)
- En esta tira,\(y\) tiene valor promedio\(y\text{.}\)
- En esta tira,\(x\) tiene valor promedio\(\frac{1}{2}\big[\frac{a}{b}(b-y)+\frac{c}{b}(b-y)\big]=\frac{a+c}{2b}(b-y)\text{.}\)
Como el área del triángulo es\(A=\frac{1}{2} (c-a)b\text{,}\)
\ begin {alinear*}\ bar y&=\ frac {1} {A}\ int_0^b y\\ ell (y)\, d {y} =\ frac {2} {(c-a) b}\ int_0^b y\ frac {c-a} {b} (b-y)\, d {y}\\ &=\ frac {2} {b^2}\ int_0^b (por-y^2)\, d {y} =\ frac {2} {b^2}\ Grande (b\ frac {b^2} {2} -\ frac {b^3} {3}\ Grande)\\ &=\ frac {2} {b^2}\ frac {b^3} {6} =\ frac {b} {3}\\\ bar x&=\ frac {1} {A}\ int_0^b\ frac {a+c} {2b} (b -y)\\ ell (y)\, d {y}\\ & =\ frac {2} {(c-a) b}\ int_0^b\ frac {a+c} {2b} (b-y)\ frac {c-a} {b} (b-y)\, d {y}\\ & =\ frac {a+c} {b^3}\ int_0^b (y-b) ^2\, d {y}\\ &=\ frac {a+c} {b^3}\ Grande [\ frac {1} {3} (y-b) ^3\ Grande] _0^b =\ frac {a+c} {b^3}\ frac {b^3} {3} =\ frac {a+c} * {3}\ end {align*}
Hemos encontrado que el centroide del triángulo está en Ahora\((\bar x,\bar y)=\big(\frac{a+c}{3},\frac{b}{3}\big)\text{.}\) demostraremos que este punto se encuentra en las tres medianas.
- Un vértice está en\((a,0)\text{.}\) El lado opuesto va desde\((0,b)\)\((c,0)\) y así lo ha hecho punto medio\(\frac{1}{2}(c,b)\text{.}\) La línea de\((a,0)\) a\(\frac{1}{2}(c,b)\) tiene pendiente\(\frac{b/2}{c/2-a}=\frac{b}{c-2a}\) y así tiene ecuación\(y=\frac{b}{c-2a}(x-a)\text{.}\) Como\(\frac{b}{c-2a}(\bar x-a) =\frac{b}{c-2a}\big(\frac{a+c}{3}-a\big) =\frac{1}{3}\frac{b}{c-2a}(c+a-3a) =\frac{b}{3} =\bar y\text{,}\) el centroide sí se encuentra en esta mediana. En este cómputo hemos asumido implícitamente\(c\ne 2a\) que para que el denominador\(c-2a\ne 0\text{.}\) En el caso de que\(c=2a\text{,}\) la mediana vaya de\((a,0)\) a\(\big(a,\frac{b}{2}\big)\) y así tiene ecuación\(x=a\text{.}\) Cuando también\(c=2a\) tenemos\(\bar x=\frac{a+c}{3}=a\text{,}\) para que el centroide siga estando en la mediana.
- Otro vértice está en\((c,0)\text{.}\) El lado opuesto va desde\((a,0)\)\((0,b)\) y así lo ha hecho punto medio\(\frac{1}{2}(a,b)\text{.}\) La línea de\((c,0)\) a\(\frac{1}{2}(a,b)\) tiene pendiente\(\frac{b/2}{a/2-c}=\frac{b}{a-2c}\) y así tiene ecuación\(y=\frac{b}{a-2c}(x-c)\text{.}\) Como\(\frac{b}{a-2c}(\bar x-c) =\frac{b}{a-2c}\big(\frac{a+c}{3}-c\big) =\frac{1}{3}\frac{b}{a-2c}(a+c-3c) =\frac{b}{3} =\bar y\text{,}\) el centroide sí se encuentra en esta mediana. En este cómputo hemos asumido implícitamente\(a\ne 2c\) que para que el denominador\(a-2c\ne 0\text{.}\) En el caso de que\(a=2c\text{,}\) la mediana vaya de\((c,0)\) a\(\big(c,\frac{b}{2}\big)\) y así tiene ecuación\(x=c\text{.}\) Cuando también\(a=2c\) tenemos\(\bar x=\frac{a+c}{3}=c\text{,}\) para que el centroide siga estando en la mediana.
- El tercer vértice está en\((0,b)\text{.}\) El lado opuesto va desde\((a,0)\)\((c,0)\) y así lo ha hecho punto medio\(\big(\frac{a+c}{2},0\big)\text{.}\) La línea de\((0,b)\) a\(\big(\frac{a+c}{2},0\big)\) tiene pendiente\(\frac{-b}{(a+c)/2}=-\frac{2b}{a+c}\) y así tiene ecuación\(y=b-\frac{2b}{a+c}x\text{.}\) Como\(b-\frac{2b}{a+c}\bar x =b-\frac{2b}{a+c}\frac{a+c}{3} =\frac{b}{3} =\bar y\text{,}\) el centroide sí se encuentra en esta mediana. Esta vez, hemos asumido implícitamente que\(a+c\ne 0\text{.}\) En el caso de que\(a+c=0\text{,}\) la mediana vaya de\((0,b)\) a\((0,0)\) y así lo ha hecho la ecuación\(x=0\text{.}\) Cuando también\(a+c=0\) tenemos\(\bar x=\frac{a+c}{3}=0\text{,}\) para que el centroide siga estando en la mediana.
Opcional — Torque
La ley del movimiento de Newton dice que la posición\(x(t)\) de una sola partícula que se mueve bajo la influencia de una fuerza\(F\) obedece\(mx''(t)=F\text{.}\) De manera similar, las posiciones\(x_i(t)\text{,}\)\(1\le i\le n\text{,}\) de un conjunto de partículas que se mueven bajo la influencia de las fuerzas\(F_i\) obedecen\(mx_i''(t)=F_i\text{,}\)\(1\le i\le n\text{.}\) A menudo los sistemas de el interés consiste en un pequeño número de cuerpos rígidos. Supongamos que nos interesa el movimiento de un solo cuerpo rígido, digamos un trozo de madera. El trozo de madera está formado por una gran cantidad de átomos. Por lo que el sistema de ecuaciones que determina el movimiento de todos los átomos individuales en la pieza de madera es enorme. Por otro lado, debido a que la pieza de madera es rígida, su configuración está completamente determinada por la posición de, por ejemplo, su centro de masa y su orientación. (En lugar de adentrarse en lo que precisamente se entiende por “orientación”, digamos que ciertamente está determinado por, por ejemplo, las posiciones de algunas de las esquinas de la pieza de madera). Es posible extraer del enorme sistema de ecuaciones que determinan el movimiento de todos los átomos individuales, un pequeño sistema de ecuaciones que determinan el movimiento del centro de masa y la orientación. Podemos evitar algún análisis vectorial, que está más allá del alcance de este curso, asumiendo que nuestro cuerpo rígido se mueve en dos en lugar de tres dimensiones.
Entonces, imagina un trozo de madera moviéndose en el\(xy\) -plano.
Además, imagina que la pieza de madera consiste en una gran cantidad de partículas unidas por una gran cantidad de varillas de acero ingrávidas pero muy fuertes. La varilla de acero que une la partícula número uno a la partícula número dos solo representa una fuerza que actúa entre las partículas número uno y dos. Supongamos que
- hay\(n\) partículas, con número de partículas\(i\) que tienen masa\(m_i\)
- en el momento el número de\(t\text{,}\) partículas\(i\) tiene\(x\) -coordenada\(x_i(t)\) y\(y\) -coordenada\(y_i(t)\)
- en\(t\text{,}\) el momento la fuerza externa (gravedad y similares) que actúa sobre el número de partículas\(i\) tiene\(x\)\(y\) -coordenada\(H_i(t)\) y -coordenada\(V_i(t)\text{.}\) Aquí\(H\) significa horizontal y\(V\) significa vertical.
- en\(t\text{,}\) el momento la fuerza que actúa sobre el número de partículas\(i\text{,}\) debido a la varilla de acero que une el número de partícula\(i\) al número de partículas\(j\) tiene\(x\) -coordenada\(H_{i,j}(t)\) y\(y\) -coordenada\(V_{i,j}(t)\text{.}\) Si no hay varilla de acero uniendo número de partículas\(i\) y\(j\text{,}\) acaba de establecer\(H_{i,j}(t)=V_{i,j}(t)=0\text{.}\) En particular,\(H_{i,i}(t)=V_{i,i}(t)=0\text{.}\)
Los únicos supuestos que haremos sobre las fuerzas de varilla de acero son
- (A1)
-
para cada uno\(i\ne j\text{,}\)\(H_{i,j}(t)=-H_{j,i}(t)\) y\(V_{i,j}(t)=-V_{j,i}(t)\text{.}\) en palabras, la varilla de acero uniendo partículas\(i\) y\(j\) aplica fuerzas iguales y opuestas a las partículas\(i\) y\(j\text{.}\)
- (A2)
-
para cada uno\(i\ne j\text{,}\) hay una función\(M_{i,j}(t)\) tal que\(H_{i,j}(t)=M_{i,j}(t)\big[x_i(t)-x_j(t)\big]\) y\(V_{i,j}(t)=M_{i,j}(t)\big[y_i(t)-y_j(t)\big]\text{.}\) en palabras, la fuerza debida a la varilla uniendo partículas\(i\) y\(j\) actúa paralela a la línea uniendo partículas\(i\) y\(j\text{.}\) Para que (A1) sea verdad, necesitamos\(M_{i,j}(t)=M_{j,i}(t)\text{.}\)
La ley del movimiento de Newton, aplicada al número de partículas\(i\text{,}\) ahora nos dice que
\ begin {align*} m_i x"_i (t) &= H_i (t) +\ suma_ {j=1} ^n H_ {i, j} (t)\ tag {$x_i$}\\ m_i y"_i (t) &= v_i (t) +\ suma_ {j=1} ^n V_ {i, j} (t) etiqueta\ {$Y_i$}\ end {align*}
Sumando todas las ecuaciones\((X_i)\text{,}\) para\(i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n\) y sumando todas las ecuaciones\((Y_i)\text{,}\) para\(i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n\) da
\ begin {align*}\ suma_ {i=1} ^n m_i x"_i (t) &=\ suma_ {i=1} ^n h_i (t) +\ suma_ {1\ le i, j\ le n} H_ {i, j} (t)\ tag {$\ Sigma_ix_i$}\\ suma_ {i=1} ^n m_i y"_i (t) &=\ suma_ {i=1} ^n v_i (t) +\ suma_ {1\ le i, j\ le n} V_ {i, j} (t)\ tag {$\ sigma_iy_i$}\ end {align*}
La suma\(\sum_{1\le i,j\le n} H_{i,j}(t)\) contiene\(H_{1,2}(t)\) exactamente una vez y también contiene\(H_{2,1}(t)\) exactamente una vez y estos dos términos cancelan exactamente, por suposición (A1). De esta manera, todos los términos en\(\sum_{1\le i,j\le n} H_{i,j}(t)\) con\(i\ne j\) exactamente cancelan. Se supone que todos los términos con\(i=j\) son cero. Así\(\sum_{1\le i,j\le n} H_{i,j}(t)=0\text{.}\) mismo,\(\sum_{1\le i,j\le n} V_{i,j}(t)=0\text{,}\) por lo que las ecuaciones\((\Sigma_iX_i)\) y\((\Sigma_iY_i)\) simplificar a
\ begin {alinear*}\ suma_ {i=1} ^n m_i x"_i (t) &=\ suma_ {i=1} ^n h_i (t)\ tag {$\ sigma_ix_i$}\\ suma_ {i=1} ^n m_i y"_i (t) &=\ suma_ {i=1} ^n v_i (t) etiqueta\ {$\ sigma_iy_i$}\ end {align*}
Denotar por
\[ M=\sum\limits_{i=1}^n m_i \nonumber \]
la masa total del sistema, por
\[ X(t)=\frac{1}{M}\sum\limits_{i=1}^n m_ix_i(t)\qquad \text{and}\qquad Y(t)=\frac{1}{M}\sum\limits_{i=1}^n m_iy_i(t) \nonumber \]
las\(y\) coordenadas\(x\) - y -del centro de masa del sistema en el momento\(t\) y por
\[ H(t)=\sum\limits_{i=1}^n H_i(t) \qquad\text{ and }\qquad V(t)=\sum\limits_{i=1}^n V_i(t) \nonumber \]
las\(y\) coordenadas\(x\) - y -de la fuerza externa total que actúa sobre el sistema en el momento\(t\text{.}\) En esta notación, las ecuaciones\((\Sigma_iX_i)\) y\((\Sigma_iY_i)\) son
\[ MX''(t)=H(t)\qquad MY''(t)=V(t) \nonumber \]
Entonces el centro de masa del sistema se mueve igual que una sola partícula de masa\(M\) sujeta a la fuerza externa total.
Ahora multiplicar ecuación\((Y_i)\)\(x_i(t)\text{,}\) restando de ella ecuación\((X_i)\) multiplicada por\(y_i(t)\text{,}\) y suma sobre\(i\text{.}\) Esto da la ecuación\({\sum_i\big[x_i(t)\,(Y_i)-y_i(t)\,(X_i)\big]}\text{:}\)
\ begin {alinear*}\ suma_ {i=1} ^n m_i\ grande [x_i (t) y"_i (t) -y_i (t) x"_i (t)\ grande] & =\ suma_ {i=1} ^n\ grande [x_i (t) v_i (t) -y_i (t) h_i (t)\ grande]\ &\ qquad +\ suma_ {1\ le i, j\ le n}\ grande [x_i (t) V_ {i, j} (t) -y_i (t) H_ {i, j} (t)\ grande]\ final {alinear*}
Por el supuesto (A2)
\ begin {alinear*} x_1 (t) V_ {1,2} (t) -y_1 (t) H_ {1,2} (t) &=x_1 (t) M_ {1,2} (t)\ grande [y_1 (t) -y_2 (t)\ grande] -y_1 (t) M_ {1,2} (t)\ grande [x_1 (t) -x_2 (t)\ grande]\\ &=M_ {1,2} (t)\ grande [y_1 (t) x_2 (t) -x_1 (t) y_2 (t)\ grande]\ x_2 (t) V_ {2,1} (t) -y_2 (t) H_ {2,1} (t) &=x_2 (t) M_ {2,1} (t)\ grande [y_2 (t) -y_1 (t)\ grande] -y_2 (t) M_ {2,1} (t)\ grande [x_2 (t) -x_1 (t)\ grande]\\ &=M_ {2,1} (t)\ grande [-y_1 (t) x_2 (t) +x_1 (t) y_2 (t)\ grande]\\ &=M_ {1,2} (t)\ grande [-y_1 (t) x_2 (t) +x_1 (t) y_2 (t)\ grande]\ final {align*}
Entonces el\(i=1\text{,}\)\(j=2\) término en cancela\(\sum_{1\le i,j\le n} \big[x_i(t)V_{i,j}(t)-y_i(t)H_{i,j}(t)\big]\) exactamente el\(i=2\text{,}\)\(j=1\) término. De esta manera todos los términos en\(\sum_{1\le i,j\le n} \big[x_i(t)V_{i,j}(t)-y_i(t)H_{i,j}(t)\big]\) con\(i\ne j\) cancelar. Cada término con\(i=j\) es exactamente cero. Entonces\(\sum_{1\le i,j\le n} \big[x_i(t)V_{i,j}(t)-y_i(t)H_{i,j}(t)\big]=0\) y
\[ \sum_{i=1}^n m_i\big[x_i(t)y''_i(t)-y_i(t)x''_i(t)\big] = \sum_{i=1}^n \big[x_i(t)V_i(t)-y_i(t)H_i(t)\big] \nonumber \]
Definir
\ begin {alinear*} L (t) &=\ suma_ {i=1} ^n m_i\ grande [x_i (t) y'_i (t) -y_i (t) x'_i (t)\ grande]\ T (t) &=\ suma_ {i=1} ^n\ grande [x_i (t) V_i (t) -y_i (t) h_I (t)\ grande]\ final {alinear*}
En esta notación
\[ \dfrac{d}{dt} L(t)=T(t) \nonumber \]
- La ecuación (2.3.13) juega el papel de la ley del movimiento de Newton para el movimiento rotacional.
- \(T(t)\)se llama el par y desempeña el papel de “fuerza de rotación”.
- \(L(t)\)se llama el momento angular (sobre el origen) y es una medida de la velocidad a la que gira la pieza de madera.
- Por ejemplo, si una partícula de masa\(m\) viaja en un círculo de radio\(r\text{,}\) central en el origen, a\(\omega\) radianes por unidad de tiempo, entonces\(x(t)=r\cos(\omega t)\text{,}\)\(y(t)=r\sin(\omega t)\) y
\ begin {alinear*} m\ grande [x (t) y' (t) -y (t) x' (t)\ grande] &= m\ grande [r\ cos (\ omega t)\ r\ omega\ cos (\ omega t) -r\ sin (\ omega t)\ grande (-r\ omega\ sin (\ omega t)\ big)\ big]\\ &=m r^2\\ omega\ fin {alinear*}
es proporcional a\(\omega\text{,}\) lo que es la velocidad de rotación sobre el origen.
- Por ejemplo, si una partícula de masa\(m\) viaja en un círculo de radio\(r\text{,}\) central en el origen, a\(\omega\) radianes por unidad de tiempo, entonces\(x(t)=r\cos(\omega t)\text{,}\)\(y(t)=r\sin(\omega t)\) y
En todo caso, para que la pieza de madera permanezca estacionaria, es decir tener\(x_i(t)\) y\(y_i(t)\) ser constante para todo\(1\le i\le n\text{,}\) lo que necesitamos tener
\[ X''(y)=Y''(t)=L(t)=0 \nonumber \]
y luego las ecuaciones (2.3.12) y (2.3.13) fuerzan
\[ H(t)=V(t)=T(t)=0 \nonumber \]
Ahora supongamos que la pieza de madera es un balancín que es largo y delgado y está acostado sobre el\(x\) -eje, soportado sobre un fulcro en\(x=p\text{.}\) Entonces cada\(y_i=0\) y el par se simplifica a\(T(t)=\sum_{i=1}^n x_i(t)V_i(t)\text{.}\) Las fuerzas consisten en
- gravedad,\(m_ig\text{,}\) actuando hacia abajo sobre el número de partículas\(i\text{,}\) para cada uno\(1\le i\le n\) y
- fuerza\(F\) impuesta por el fulcro que está empujando hacia arriba sobre la partícula en\(x=p\text{.}\)
Entonces
- La fuerza vertical neta es\(V(t)=F-\sum\limits_{i=1}^n m_ig =F-Mg\text{.}\) Si el balancín va a permanecer estacionario, esto debe ser cero para que\(F=Mg\text{.}\)
- El par total (sobre el origen) es
\[ T=Fp-\sum_{i=1}^n m_ig x_i =Mgp-\sum_{i=1}^n m_ig x_i \nonumber \]
Si el balancín va a permanecer estacionario, éste también debe ser cero y el punto de apoyo debe colocarse en\[ p=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^n m_i x_i \nonumber \]
Ejercicios
Etapa 1
En las preguntas 8 a 10, derivará las fórmulas para el centro de masa de una varilla de densidad variable, y el centroide de una región bidimensional utilizando cortes verticales (Ecuaciones 2.3.4 y 2.3.5 en el texto). Conocer las ecuaciones de memoria te permitirá responder muchas preguntas en esta sección; entendiendo de dónde vinieron te permitirá generalizar sus ideas para responder aún más preguntas.
Usando simetría, encuentre el centroide de la región finita entre las curvas\(y=(x-1)^2\) y\(y=-x^2+2x+1\text{.}\)
Usando simetría, encuentra el centroide de la región dentro del círculo unitario, y fuera de un rectángulo central en el origen con ancho 1 y alto 0.5.
Una varilla larga, recta y delgada tiene una serie de pesos unidos a lo largo de ella. Verdadero o falso: si se equilibra en posición\(x\text{,}\) entonces la masa a la derecha de\(x\) es la misma que la masa a la izquierda de\(x\text{.}\)
Una varilla recta con una masa insignificante tiene los siguientes pesos unidos a ella:
- Un peso de masa 1 kg, 1m del extremo izquierdo,
- un peso de masa 2 kg, 3m del extremo izquierdo,
- un peso de masa 2 kg, 4m del extremo izquierdo, y
- un peso de masa 1 kg, 6m del extremo izquierdo.
¿Dónde está el centro de masa de la varilla ponderada?
Para cada imagen de abajo, determine si el centroide está a la izquierda, a la derecha de, o a lo largo de la línea\(x=a\text{,}\) o si no hay suficiente información para contar. El sombreado de una región indica densidad: el sombreado más oscuro corresponde a un área más densa.
\(A\)El tanque es esférico, de radio 1 metro, y lleno completamente de agua. El fondo del tanque\(A\) está a tres metros sobre el suelo, donde\(B\) se asienta el Tanque. \(B\)El tanque es alto y rectangular, con dimensiones de base de 2 metros por 1 metro, y vacío. Calcular el trabajo realizado por gravedad para drenar toda el agua de Tanque\(A\) a Tanque\(B\) modelando la situación como una masa puntual, de la misma masa que el agua, moviéndose desde la altura del centro de masa de\(A\) hasta la altura del centro de masa de\(B\text{.}\)
Puede usar\(1000\) kg/m\(^3\) para la densidad del agua, y\(g=9.8\) m/seg\(^2\) para la aceleración debida a la gravedad.
Dejar\(S\) ser la región delimitada por arriba\(y=\frac{1}{x}\) y por debajo por el\(x\) eje -eje,\(1 \le x \le 3\text{.}\) Let\(R\) Ser una varilla con densidad\(\rho(x)=\frac{1}{x}\) en posición\(x\text{,}\)\(1 \le x \le 3\text{.}\)
- Cuál es el área de una rebanada delgada de\(S\) en posición\(x\) con ancho\(\, d{x}\text{?}\)
- ¿Cuál es la masa de una pequeña pieza de\(R\) en posición\(x\) con longitud\(\, d{x}\text{?}\)
- Cuál es el área total de\(S\text{?}\)
- ¿Cuál es la masa total de\(R\text{?}\)
- ¿Cuál es la\(x\) coordenada del centroide de\(S\text{?}\)
- ¿Cuál es el centro de masa de\(R\text{?}\)
Supongamos que\(R\) es una varilla recta y delgada con densidad\(\rho(x)\) en una posición\(x\text{.}\) Deje que el punto final izquierdo de\(R\) mentira en\(x=a\text{,}\) y el extremo derecho se encuentre en\(x=b\text{.}\)
- Para aproximar el centro de masa de\(R\text{,}\) imagínese cortarlo en\(n\) trozos de igual longitud, y aproximar la masa de cada pieza utilizando la densidad en su punto medio. Da tu aproximación para el centro de masa en notación sigma.
- Toma el límite como\(n\) va al infinito de tu aproximación en la parte (a), y expresa el resultado usando una integral definida.
Supongamos que\(S\) es un objeto bidimensional y en la posición (horizontal)\(x\) su altura es\(T(x)-B(x)\text{.}\) Su punto más a la izquierda está en posición\(x=a\text{,}\) y su punto más a la derecha está en posición\(x=b\text{.}\)
Para aproximar la\(x\) coordenada del centroide de la\(S\text{,}\) imaginamos como una varilla recta y delgada\(R\text{,}\) donde la masa de\(R\) desde\(a \le x \le b\) es igual al área de\(S\) desde\(a \leq x \leq b\text{.}\)
- Si\(S\) es la hoja que se muestra a continuación, dibuje\(R\) como una varilla con la misma longitud horizontal, sombreada más oscura cuando\(R\) es más densa y más clara cuando\(R\) es menos densa.
- Si cortamos\(S\) en tiras de muy pequeño ancho\(\, d{x}\text{,}\) cuál es el área de la tira en posición\(x\text{?}\)
- Usando su respuesta de (b), cuál es la densidad\(\rho(x)\) de\(R\) en la posición\(x\text{?}\)
- Usando su resultado de la Pregunta 8 (b), dé la\(x\) -coordenada del centroide de\(S\text{.}\) Su respuesta será en términos de\(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(T(X)\text{,}\) y\(B(x)\text{.}\)
Supongamos que\(S\) es lámina plana con densidad uniforme, y en posición (horizontal)\(x\) su altura es\(T(x)-B(x)\text{.}\) Su punto más a la izquierda está en posición\(x=a\text{,}\) y su punto más a la derecha está en posición\(x=b\text{.}\)
Para aproximar la\(y\) coordenada -del centroide de lo\(S\text{,}\) imaginamos como una varilla recta, delgada y vertical\(R\text{.}\) Cortamos\(S\) en tiras delgadas y verticales, y modelarlas como pesos\(R\) con:
- posición\(y\) sobre\(R\text{,}\) dónde\(y\) está el centro de masa de la tira, y
- masa\(R\) igual al área de la tira en\(S\text{.}\)
- Si\(S\) es la hoja que se muestra a continuación, córtela en un número de piezas verticales de igual longitud, aproximadas por rectángulos. Por cada rectángulo, marque su centro de masa. Boceto\(R\) como una varilla con la misma altura vertical, con pesos correspondientes a las lonchas de las que hiciste\(S\text{.}\)
- Imagina una tira delgada de\(S\) en posición\(x\text{,}\) con grosor\(\, d{x}\text{.}\) ¿Cuál es el área de la tira? ¿Cuál es el\(y\) -valor de su centro de masa?
- Recordar el centro de masa de una varilla con\(n\) pesos de masa\(M_i\) en posición\(y_i\) viene dada por
\[ \frac{\sum\limits_{i=1}^n (M_i\times y_i) }{\sum\limits_{i=1}^n M_i} \nonumber \]
Considerando el límite de esta fórmula como\(n\) va al infinito, dar la\(y\) coordenada -del centro de masa de\(S\text{.}\)
Expresar la\(x\) coordenada -del centroide del triángulo con vértices\((-1,-{3})\text{,}\)\((-1,{3})\text{,}\) y\((0,0)\) en términos de una integral definida. No evaluar la integral.
Etapa 2
Utilice las Ecuaciones 2.3.4 y 2.3.5 para encontrar centroides y centros de masa en las Preguntas 12 a 23.
Un largo, varilla delgada se extiende de\(x=0\) a\(x=7\) metros, y su densidad en posición\(x\) viene dada por\(\rho(x) = x\) kg/m. ¿Dónde está el centro de masa de la varilla?
Un largo, varilla delgada se extiende de\(x=-3\) a\(x=10\) metros, y su densidad en posición\(x\) viene dada por\(\rho(x) = \frac{1}{1+x^2}\) kg/m. ¿Dónde está el centro de masa de la varilla?
Encuentra la\(y\) coordenada -del centroide de la región delimitada por las curvas\(y=1\text{,}\)\(y=-e^x\text{,}\)\(x=0\) y\(x=1\text{.}\) puedes usar el hecho de que el área de esta región es igual\(e\text{.}\)
Considerar la región delimitada por\(y=\frac{1}{\sqrt{16-x^2}}\text{,}\)\(y=0\text{,}\)\(x=0\) y\(x=2\text{.}\)
- Esbozar esta región.
- Encuentra la\(y\) coordenada -del centroide de esta región.
Encuentra el centroide de la región finita delimitada por\(y = \sin(x)\text{,}\)\(y = \cos(x)\text{,}\)\(x = 0\text{,}\) y\(x = \pi/4\text{.}\)
Dejar\(A\) denotar el área de la región plana delimitada por\(x=0\text{,}\)\(x=1\text{,}\)\(y=0\) y\(y=\dfrac{k}{\sqrt{1+x^2}}\text{,}\) donde\(k\) es una constante positiva.
- Encuentra las coordenadas del centroide de esta región en términos de\(k\) y\(A\text{.}\)
- Por qué valor de\(k\) es el centroide en la línea\(y=x\text{?}\)
La región\(R\) es la porción del plano que está por encima de la curva\(y=x^2-3x\) y por debajo de la curva\(y=x-x^2\text{.}\)
- Esbozar la región\(R\)
- Encuentra el área de\(R\text{.}\)
- Encuentra la\(x\) coordenada del centroide de\(R\text{.}\)
Dejar\(R\) ser la región donde\(0\le x\le 1\) y\(0\le y\le\frac{1}{1+x^2}\text{.}\) Encontrar la\(x\) -coordenada del centroide de\(R\text{.}\)
Encuentra el centroide de la región a continuación, que consiste en un semicírculo de radio\(3\) encima de un rectángulo de ancho\(6\) y alto\(2\text{.}\)
Dejar\(D\) ser la región debajo de la gráfica de la curva\(y=\sqrt{9-4x^2}\) y por encima del\(x\) eje -eje.
- Usando una integral adecuada, encuentre el área de la región\(D\text{;}\) simplifique su respuesta por completo.
- Encuentra el centro de masa de la región\(D\text{;}\) simplifica tu respuesta por completo. (Supongamos que tiene densidad constante\(\rho\text{.}\))
La región finita\(S\) está delimitada por las líneas\(y=\arcsin x\text{,}\)\(y=\arcsin(2-x)\text{,}\) y\(y=-\frac{\pi}{2}\text{.}\) Encuentra el centroide de\(S\text{.}\)
Calcular el centroide de la figura delimitada por las curvas\(y=e^x\text{,}\)\(y=3(x-1)\text{,}\)\(y=0\text{,}\)\(x=0\text{,}\) y\(x=2\text{.}\)
Etapa 3
Encuentre la \(y\)coordenada -del centro de masa de la región (infinita) que se encuentra a la derecha de la línea\(x=1\text{,}\) por encima del\(x\) eje -y debajo de la gráfica de\(y=8/x^3\text{.}\)
\(A\)Sea la región a la derecha del\(y\) eje -que está delimitada por las gráficas de\(y=x^2\) y\(y = 6-x\text{.}\)
- Encuentra el centroide de\(A\text{,}\) asumir que tiene densidad constante\(\rho=1\text{.}\) El área de\(A\) es\(\dfrac{22}{3}\) (no tienes que mostrar esto).
- Anote una expresión, usando cortes horizontales (discos), para el volumen obtenido cuando la región\(A\) se gira alrededor del\(y\) eje -eje. No evalúe ninguna integral; simplemente escriba una expresión para el volumen.
(a) Encontrar la\(y\) coordenada del centroide de la región delimitada por\(y = e^x\text{,}\)\(x = 0\text{,}\)\(x = 1\text{,}\) y\(y = -1\text{.}\)
(b) Calcular el volumen del sólido generado rotando la región desde la parte (a) alrededor de la línea\(y = -1\text{.}\)
Supongamos que un rectángulo tiene ancho 4 m, altura 3 m, y su densidad\(x\) metros desde su borde izquierdo es\(x^2\) kg/m\(^2\text{.}\) Encuentra el centro de masa del rectángulo.
Supongamos que un círculo de radio 3 m tiene densidad\((2+y)\) kg/m\(^2\) en cualquier punto\(y\) metros por encima de su fondo. Encuentra el centro de masa del círculo.
Un cono circular derecho de densidad uniforme tiene radio base\(r\) m y altura\(h\) m. Queremos encontrar su centro de masa. Por simetría, sabemos que el centro de masa ocurrirá en algún lugar a lo largo de la línea recta vertical a través de la punta del cono y el centro de su base. La única pregunta es la altura del centro de masa.
Modelaremos el cono como una varilla\(R\) con altura\(h\text{,}\) tal que la masa de la sección de la varilla de posición\(a\) a posición\(b\) sea la misma que el volumen del cono de altura\(a\) a altura\(b\text{.}\) (Te puedes imaginar que el cono es un paraguas, y lo hemos cerrado hasta parecerse a un bastón. 2)
- Usando este modelo, calcula qué tan alto por encima de la base del cono está su centro de masa.
- Si cortamos los\(h-k\) metros superiores del cono (dejando un objeto de altura\(k\)), ¿qué tan alto por encima de la base está el nuevo centro de masa?
Un reloj de arena tiene la forma de dos conos truncados idénticos unidos entre sí. Su radio base es de 5 cm, la altura de todo el reloj de arena es de 18 cm y el radio en el punto más delgado es\(.5\) cm. El reloj de arena contiene arena que llena el fondo 6 cm cuando se asienta, con\(600\) gramos de masa y densidad uniforme. Queremos conocer el trabajo realizado volteando el reloj de arena suavemente, así la arena se asienta en forma de cono truncado e invertido antes de que empiece a caerse.
Utilizar los métodos de la Sección 2.1 para calcular el trabajo realizado sería bastante tedioso. En cambio, modelaremos la arena como un punto de masa\(0.6\) kg, levantándose desde el centro de masa de su posición original hasta el centro de masa de su posición vuelta hacia arriba. Utilizando los resultados de la Pregunta 29, ¿cuánto trabajo se hizo en la arena?
Para simplificar tu cálculo, puedes suponer que la altura de la arena vuelta hacia arriba (es decir, la distancia desde la parte más delgada del reloj de arena hasta la parte superior de la arena) es de 8.8 cm. (En realidad, es\(\sqrt[3]{937}-1\approx 8.7854\) cm.) Entonces, la parte superior 0.2 cm del reloj de arena está vacía.
El tanque\(A\) tiene la forma de media esfera de radio 1 metro, con su cara plana descansando sobre el suelo, y está completamente lleno de agua. \(B\)El tanque está vacío y rectangular, con una base cuadrada de longitud lateral de 1 m y una altura de 3 m.
- Para bombear el agua de Tanque\(A\) a Tanque\(B\text{,}\) necesitamos bombear toda el agua desde Tanque\(A\) a una altura de 3 m. ¿Cuánto trabajo se realiza para bombear toda el agua desde Tanque\(A\) a una altura de 3 m? Puede modelar el agua como una masa puntual, originalmente situada en el centro de masa del Tanque lleno\(A\text{.}\)
- Supongamos que podríamos mover el agua de Tanque\(A\) directamente a su posición final en Tanque\(B\) sin pasar por encima de la parte superior del Tanque\(B\text{.}\) (Por ejemplo, tal vez el tanque\(A\) es elástico, y el Tanque\(B\) es solo Tanque\(A\) después de haber sido suavizado en una forma diferente). ¿Cuánto trabajo se realiza bombeando el agua? (Es decir, cuánto trabajo se realiza moviendo una masa puntual desde el centro de masa del Tanque\(A\) hasta el centro de masa del Tanque\(B\text{?}\))
- ¿Qué porcentaje de trabajo de la parte (a) se “desperdició” al bombear el agua sobre la parte superior del Tanque\(B\text{,}\) en lugar de moverla directamente a su posición final?
Se puede suponer que el único trabajo realizado es contra la aceleración por gravedad,\(g=9.8\) m/seg\(^2\text{,}\) y que la densidad del agua es de 1000 kg/m\(^3\text{.}\)
Observación: la respuesta de (b) es lo que podrías pensar como el trabajo neto que implica bombear el agua de Tanque\(A\) a Tanque\(B\text{.}\) Cuando el trabajo se “desperdicia”, la bomba hace algún trabajo bombeando agua hacia arriba, luego la gravedad hace trabajo igual y opuesto trayendo el agua de nuevo hacia abajo.
Dejar\(R\) ser la región delimitada arriba por\(y=2x\sin (x^2)\) y abajo por el\(x\) -eje,\(0 \le x \le \sqrt{\frac{\pi}{2}}\text{.}\) Dar una aproximación del\(x\) -valor del centroide de\(R\) con error no más de\(\frac{1}{100}\text{.}\)
Usted puede asumir sin pruebas que\(\left|\frac{d^{4}}{dx^{4}}\left\{2x^2\sin(x^2)\right\} \right| \leq 415\) en el intervalo\(\left[0,\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right]\text{.}\)