2.2: Promedios
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Otra aplicación frecuente de integración es la computación de promedios y otras cantidades estadísticas. No vamos a dedicar demasiado tiempo a este tema —es decir, es mejor dejar a un curso adecuado en estadística—, sin embargo, demostraremos la aplicación de la integración al problema de los promedios informáticos.
Empecemos con la definición 2
\ begin {align*}\ text {media aritmética} &=\ frac {1} {n}\ izquierda (y_1 + y_2 +\ cdots + y_n\ derecha)\\ texto {media geométrica} &=\ izquierda (y_1\ cdot y_2\ cdots y_n\ derecha) ^ {\ frac {1} {n}}\\ texto {media armónica} &= izquierda\ [\ frac {1} {n}\ izquierda (\ frac {1} {y_1} +\ frac {1} {y_2} +\ cdots\ frac {1} {y_n}\ derecha)\ derecha] ^ {-1}\ end { alinear*}
Todas estas cantidades, junto con la mediana y el modo, son formas de medir el valor típico de un conjunto de números. Todos ellos tienen ventajas y desventajas —otro tema interesante más allá del alcance de este curso, pero abundante forraje para el lector interesado y su buscador favorito. Pero dejemos de lado la pedantería (y más allá del alcance de la lectura del curso) y solo utilicemos los términos promedio y significan indistintamente para nuestros propósitos aquí. del promedio de un conjunto finito de números.
El promedio (media) de un conjunto den númerosy1,y2,⋯,yn es
\ begin {reunir*} y_ {\ text {ave}} =\ bar y =\ langle y\ rangle =\ frac {y_1+y_2+\ cdots+y_n} {n}\ end {reunir*}
Las notacionesyave,ˉy y⟨y⟩ son todas de uso común para representar el promedio.
Ahora supongamos que queremos tomar el promedio de una funciónf(x) conx correr continuamente dea ab. ¿Cómo definimos siquiera qué significa eso? Un enfoque natural es
- seleccionar, para cada número naturaln, una muestra de distribuciónn, más o menos uniforme, valores dex entrea yb,
- tomar el promedio de los valores def en los puntos seleccionados,
- y luego tomar el límite comon tiende al infinito.
Como era de esperar, este proceso se parece mucho a cómo calculamos áreas y volúmenes anteriormente. Entonces vamos a llegar a ello.
- Primero arregla cualquier número naturaln.
- Subdividir el intervaloa≤x≤b en subintervalosn iguales, cada uno de anchoΔx=b−an.
- El número de subintervaloi va dexi−1 axi conxi=a+ib−an.
- Seleccione, para cada1≤i≤n, uno valor dex desde el número de subintervaloi y llámalox∗i. Soxi−1≤x∗i≤xi.
- El valor promedio def en los puntos seleccionados es
\ begin {align*}\ frac {1} {n}\ sum_ {i=1} ^n f (x_i^*) =&\ frac {1} {b-a}\ sum_ {i=1} ^n f (x_i^*)\ Delta x &\ text {desde $\ Delta x=\ frac {b-a} {n} $}\ end {align*}
dándonos una suma de Riemann.
Ahora cuando tomamos el límiten→∞ obtenemos exactamente Por1b−a∫baf(x)dx. eso definimos
Dejarf(x) ser una función integrable definida en el intervaloa≤x≤b. El valor promedio def en ese intervalo es
\ begin {reunir*} f_ {\ text {ave}} =\ bar f=\ langle f\ rangle =\ frac {1} {b-a}\ int_a^b f (x)\, d {x}\ end {reunión*}
Considera el caso cuandof(x) es positivo. Luego reescribiendo la Definición 2.2.2 como
fave (b−a)=∫baf(x)dx
nos da un vínculo entre el valor promedio y el área bajo la curva. El lado derecho es el área de la región
\ comenzar {reunir*}\ grande\ {(x, y)\\ big|\ a\ le x\ le b,\ 0\ le y\ le f (x)\\ grande\}\ fin {reunir*}
mientras que el lado izquierdo puede verse como el área de un rectángulo de anchob−a y altofave. Dado que estas áreas deben ser las mismas, interpretamosfave como la altura del rectángulo que tiene el mismo ancho y la misma área que{(x,y) | a≤x≤b, 0≤y≤f(x) }.
Empecemos con un par de ejemplos simples y luego trabajemos nuestro camino hasta llegar a los más difíciles.
Dejarf(x)=xg(x)=x2 y calcular sus valores promedio sobre1≤x≤5.
Solución: Podemos simplemente enchufar las cosas en la definición.
\ begin {align*} f_ {\ text {ave}} &=\ frac {1} {5-1}\ int_1^5 x\, d {x}\\ &=\ frac {1} {4}\ bigg [\ frac {x^2} {2}\ bigg] _1^5\ &=\ frac {1} {8} (25-1) = frac {24} {8}\\ &= 3\ end {align*}
como cabría esperar. Y luego
\ begin {align*} g_ {\ text {ave}} &=\ frac {1} {5-1}\ int_1^5 x^2\, d {x}\\ &=\ frac {1} {4}\ bigg [\ frac {x^3} {3}\ bigg] _1^5\ &=\ frac {1} {12} (125-1) =\ frac {124} {12}\\ &=\ frac {31} {3}\ final {alinear*}
Algo un poco más trigonométrico
Encuentra el valor promedio desin(x) más0≤x≤π2.
Solución: Nuevamente, solo necesitamos la definición.
\ begin {align*}\ text {promedio} &=\ frac {1} {\ frac {\ pi} {2} - 0}\ int_0^ {\ frac {\ pi} {2}}\ sin (x)\, d {x}\\ &=\ frac {2} {\ pi}\ cdot\ bigg [-\ cos (x)\ bigg] _0^ {\ frac {\ pi} {2}}\\ &=\ frac {2} {\ pi} (-\ cos (\ frac {\ pi} {2}) +\ cos (0))\\ &=\ frac {2} {\ pi}. \ end {alinear*}
Podríamos seguir adelante... Pero mejor hacer algunos ejemplos más sustanciales.
Dejarx(t) ser la posición en el momentot de un carro que se mueve a lo largo delx eje. La velocidad del automóvil en el momentot es la derivadav(t)=x′(t). La velocidad promedio del automóvil en el intervalo de tiempoa≤t≤b es
\ begin {align*} v_ {\ text {ave}} &=\ frac {1} {b-a}\ int_a^b v (t)\, d {t}\\ &=\ frac {1} {b-a}\ int_a^b x' (t)\, d {t}\\ &=\ frac {x (b) -x (a)} b-{ a} &\ text {por el teorema fundamental del cálculo.} \ end {alinear*}
El numerador en esta fórmula es solo el desplazamiento (distancia neta recorrida — six′(t)≥0, es la distancia recorrida) entre el tiempoa y el tiempob y el denominador es justo el tiempo que tardó.
Observe que esta es exactamente la fórmula que usamos desde el inicio de su clase de cálculo diferencial para ayudar a introducir la idea de la derivada. Por supuesto que esta es una manera muy sinuosa de llegar a esta fórmula —pero es tranquilizador que obtengamos la misma respuesta.
Un ejemplo muy físico.
Cuando enchufas una bombilla a un enchufe 3 y la enciendes, se somete a un voltaje
\ begin {align*} V (t) &= V_0\ sin (\ omega t-\ delta)\ end {align*}
donde
- V0=170voltios,
- ω=2π×60(que corresponde a60 ciclos por segundo 4) y
- la constanteδ es una fase (sin importancia). Simplemente cambia el tiempo en el que el voltaje es cero
El voltajeV0 es el “voltaje pico” — el valor máximo que el voltaje toma con el tiempo. Más típicamente citamos el voltaje 5 de “raíz cuadrática media” (o voltaje RMS). En este ejemplo explicamos la diferencia, pero para simplificar los cálculos, simplifiquemos la función de voltaje y solo utilicemos
\ begin {align*} V (t) &= V_0\ sin (t)\ end {align*}
Dado que el voltaje es una función senoidal, toma valores tanto positivos como negativos. Si tomamos su promedio simple durante 1 periodo entonces obtenemos
\ begin {align*} V_ {\ text {ave}} &=\ frac {1} {2\ pi-0}\ int_0^ {2\ pi} V_0\ sin (t)\, d {t}\\ &=\ frac {V_0} {2\ pi}\ bigg [-\ cos (t)\ bigg] _0^ {2\ pi}\\ &=\ frac {V_0} {2\ pi}\ izquierda (-\ cos (2\ pi) +\ cos 0\ derecha) =\ frac {V_0} {2\ pi} (-1+1)\\ &= 0\ end {align*}
Esto claramente no es una buena indicación del voltaje típico.
Lo que realmente queremos aquí es una medida de lo lejos que está el voltaje de cero. Ahora podríamos hacer esto tomando el promedio de|V(t)|, pero es un poco más difícil trabajar con esto. En su lugar tomamos el promedio de la plaza 6
quadratic mean=√1n(y21+y22+⋯+y2n)
del voltaje (por lo que siempre es positivo) y luego tomar la raíz cuadrada al final. Eso es\ begin {align*} V_\ mathrm {rms} &=\ sqrt {\ frac {1} {2\ pi-0}\ int_0^ {2\ pi} V (t) ^2\, d {t}}\\ &=\ sqrt {\ frac {1} {2\ pi}\ int_0^ {2\ pi} V_0^2\ sin^2 (t)\, d {t}}\\ &=\ sqrt {\ frac {V_0^2} {2\ pi}\ int_0^ {2\ pi}\ sen ^2 (t)\, d {t}}\ end {alinear*}
A esto se le llama el voltaje de “raíz cuadrática media”.
Aunque sí sabemos integrar seno y coseno, no sabemos (todavía) integrar sus cuadrados. Un rápido vistazo a las fórmulas de doble ángulo 7 nos da una manera de eliminar el cuadrado:
\ begin {reunir*}\ cos (2\ theta) =1-2\ sin^2\ theta\ implica\ sin^2\ theta=\ frac {1-\ cos (2\ theta)} {2}\ end {reunir*}
Usando esto manipulamos nuestro integry un poco más:
\ begin {align*} V_\ mathrm {rms} &=\ sqrt {\ frac {V_0^2} {2\ pi}\ int_0^ {2\ pi}\ frac {1} {2} (1-\ cos (2t))\, d {t}}\\ &=\ sqrt {\ frac {V_0^2} {4\ pi}\ bigg [t -\ frac {1} {2}\ sin (2t)\ bigg] _0^ {2\ pi}}\\ &=\ sqrt {\ frac {V_0^2} {4\ pi}\ izquierda (2\ pi -\ frac {1} {2}\ sin (4\ pi) - 0 +\ frac {1} {2} sin (0)\ derecha)}\\ &=\ sqrt {\ frac {V_0^2} {4\ pi}\ cdot 2\ pi}\\ &=\ frac {V_0} {\ sqrt {2}}\ end {align*}
Entonces, si el voltaje pico es de 170 voltios, entonces el voltaje RMS es170√2≈120.2.
Continuando con este mismo ejemplo de física:
Tomemos nuestra misma bombilla con voltaje (después de enchufarlo) dado por
\ begin {align*} V (t) &= V_0\ sin (\ omega t-\ delta)\ end {align*}
donde
- V0es el voltaje pico,
- ω=2π×60,y
- la constanteδ es una fase (sin importancia).
Si la bombilla es de “100 vatios”, entonces ¿cuál es su resistencia?
Para responder a esta pregunta necesitamos los siguientes hechos de la física.
- Si la bombilla tiene resistenciaR ohmios, esto provoca, por ley de Ohm, una corriente de
\ begin {align*} I (t) &=\ frac {1} {R} V (t) &\ end {alinear*}
(amperios) para fluir a través de la bombilla. - La corrienteI es el número de unidades de carga que se mueven a través de la bombilla por unidad de tiempo.
- El voltaje es la energía requerida para mover una unidad de carga a través de la bombilla.
- La potencia es la energía que utiliza la bombilla por unidad de tiempo y se mide en vatios.
Entonces la potencia es el producto de la corriente multiplicada por el voltaje y, entonces
P(t)=I(t)V(t)=V(t)2R=V20Rsin2(ωt−δ)
La potencia promedio utilizada durante el intervalo de tiempoa≤t≤b es
\ begin {align*} P_ {\ text {ave}} &=\ frac {1} {b-a}\ int_a^b P (t)\, d {t} =\ frac {V_0^2} {R (b-a)}\ int_a^b\ sin^2 (\ omega t-\ delta)\, d {t}\ end {align*}
Observe que esta es casi exactamente la forma que teníamos en el ejemplo anterior al calcular el voltaje cuadrático medio.
Nuevamente simplificamos el integrando usando la identidad
cos(2θ)=1−2sin2θ⟹sin2θ=1−cos(2θ)2
Entonces
\ begin {align*} P_ {\ text {ave}} &=\ frac {1} {b-a}\ int_a^b P (t)\, d {t} =\ frac {V_0^2} {2R (b-a)}\ int_a^b\ grande [1-\ cos (2 omega\ t-2\ delta)\ grande]\, d {t}\\ &=\ frac {V_0^2} {2R (b-a)}\ bigg [t-\ frac {\ sin (2\ omega t-2\ delta)} {2\ omega}\ bigg] _a^b\\ &=\ frac {V_0^2} {2R (b-a)}\ bigg [b-a-\ frac {\ sin (2\ omega b-2\ delta)} {2\ omega} +\ frac {\ sin (2\ omega a-2\ delta)} {2\ omega}\ bigg]\\ &=\ frac {V_0^2} {2R} -\ frac {V_0^2} {4\ omega R (b-a)}\ grande [\ sin (2\ omega b-2\ delta) -\ sin (2\ omega a-2\ delta)\ big]\ final {alinear*}
En el límite como la duración del intervalo de tiempob−a tiende al infinito, esto converge aV202R. La resistenciaR de una “bombilla de 100 vatios” obedece
\ begin {align*}\ frac {V_0^2} {2R} &=100 &\ text {para que} && R &=\ frac {V_0^2} {200}. \ end {alinear*}
Terminamos este ejemplo con dos comentarios laterales.
- Si traducimos el voltaje pico al voltaje cuadrático medio usando
\ begin {align*} V_0 &= V_\ mathrm {rms}\ cdot\ sqrt {2}\ end {align*}
entonces tenemos\ begin {align*} P &=\ frac {V^2_ {\ mathrm {rms}}} {R}\ end {align*}
- Si estuviéramos usando voltaje directo en lugar de corriente alterna entonces el cálculo es mucho más simple. El voltaje y la corriente son constantes, entonces
\ begin {align*} P &= V\ cdot I &\ text {pero $I = V/R$ según la ley de Ohm}\\ &=\ frac {V^2} {R}\ end {align*}
Entonces, si tenemos una corriente continua dando voltaje igual al voltaje cuadrático medio raíz, entonces gastaríamos la misma potencia.
Opcional — Regresar al teorema del valor medio
Aquí hay otra aplicación de la Definición 2.2.2 del valor promedio de una función en un intervalo. El siguiente teorema puede pensarse como un análogo del teorema del valor medio (que fue cubierto en su clase de cálculo diferencial) pero para integrales. El teorema dice que una función continuaf(x) debe ser exactamente igual a su valor promediox. para algunos Por ejemplo, si fuiste a dar un paseo a lo largo delx eje -y estabas en elx(a) momentoa y en elx(b) momentob, entonces tu velocidadx′(t) tenía que ser exactamente tu velocidad promediox(b)−x(a)b−a en algún momentot entrea yb. En particular, si tu velocidad promedio era mayor que el límite de velocidad, definitivamente estabas acelerando en algún momento durante el viaje. Esto, por supuesto, no es una gran sorpresa 8.
Dejarf(x) ser una función continua en el intervaloa≤x≤b. Luego hay algunosc obedeciendo dea<c<b tal manera que
\ comenzar {reunir*}\ frac {1} {b-a}\ int_a^b f (x)\, d {x} =f (c)\ qquad\ texto {o}\ qquad\ int_a^b f (x)\, d {x} = f (c)\, (b-a)\ final {reunión*}
-
Aplicaremos el teorema del valor medio (Teorema 2.13.4 en el texto CLP-1) a la función
F(x)=∫xaf(t)dt
Por la parte 1 del teorema fundamental del cálculo (Teorema 1.3.1),F′(x)=f(x), por lo que el teorema del valor medio dice que hay una<c<b con
\ begin {alinear*} f (c) &= F' (c) =\ frac {F (b) -F (a)} {b-a} =\ frac {1} {b-a}\ izquierda\ {\ int_a^b f (t)\,\, d {t} -\ int_a^a f (t)\,\, d {t}\ derecha\\ &=\ frac {1} {b-a}\ int_a^b f (x)\,\, d {x}\ final {alinear*}
En la siguiente sección, nos encontraremos con una aplicación en la que queremos tomar el valor promedio de una funciónf(x), perox al hacerlo queremos que algunos valores de cuenten másx. que otros valores dex Es decir, queremos ponderar algunos más que otrosx. elegir una “función de peso”w(x)≥0 conw(x) mayor para los másx importantes. entonces definimos el promedio ponderado de laf siguiente manera.
Dejarf(x) yw(x) ser integrables funciones definidas en el intervaloa≤x≤b conw(x)≥0 para todosa≤x≤b y con∫baw(x)dx>0. El valor promedio def en ese intervalo, ponderado porw, es
∫baf(x)w(x)dx∫baw(x)dx
Normalmente nos referimos a esto simplemente como el promedio ponderado def.
Aquí hay algunas observaciones relativas a esta definición.
- La definición ha sido amañada de manera que, sif(x)=1 para todosx, entonces el promedio ponderado def es1, sin importar qué función de pesow(x) se utilice.
- Si la función de pesow(x)=C para alguna constanteC>0 entonces el promedio ponderado
∫baf(x)w(x)dx∫baw(x)dx=∫baf(x)Cdx∫baCdx=∫baf(x)dxb−a
es solo el promedio habitual. - Para cualquier funciónw(x)≥0 y cualquiera quea<b, tengamos∫baw(x)dx≥0. Pero para que la definición de promedio ponderado tenga sentido, necesitamos poder dividirnos por∫baw(x)dx. Así que necesitamos∫baw(x)dx≠0.
El siguiente teorema dice que una función continuaf(x) debe ser igual a su promedio ponderado en algún momentox.
Dejarf(x) yw(x) ser funciones continuas en el intervaloa≤x≤b. Supongamos quew(x)>0 para todosa<x<b. Entonces hay algunosc obedeciendoa<c<b tal que
\ comenzar {reunir*}\ frac {\ int_a^b f (x)\, w (x)\,\, d {x}} {\ int_a^b w (x)\,\, d {x}} =f (c)\ qquad\ texto {o}\ qquad\ int_a^b f (x)\, w (x)\, d {x} = f (c)\ int_a^b w (x)\,\, d {x}\ final {reunir*}
-
Aplicaremos el teorema del valor medio generalizado (Teorema 3.4.38 en el texto CLP-1) a
F(x)=∫xaf(t)w(t)dtG(x)=∫xaw(t)dt
Por la parte 1 del teorema fundamental del cálculo (Teorema 1.3.1),F′(x)=f(x)w(x) yG′(x)=w(x), así el teorema del valor medio generalizado dice que hay una<c<b con
\ begin {alinear*} f (c) &=\ frac {F' (c)} {G' (c)} =\ frac {F (b) -F (a)} {G (b) -G (a)} =\ frac {\ int_a^b f (t)\, w (t)\, d {t} -\ int_a^a f (t) w (t)\,\, d {t}} {\ int_a^b w (t)\, d {t} -\ int_a^a w (t)\, d {t}}\\ &=\ frac {\ int_a^b f (t)\, w (t)\,\, d {t}} {\ int_a^b w (t)\,\, d {t}}\ final {alinear*}
En este ejemplo, tomaremos una serie de promedios ponderados de la función simplef(x)=x sobre el intervalo simplea=1≤x≤2=b. A medida quex aumenta de1 a2, la funciónf(x) aumenta linealmente de1 a2. Así que no es un shock que el promedio ordinario de fes exactamente su valor medio:
1b−a∫baf(t)dt=12−1∫21tdt=32
Elige cualquier número naturalN≥1 y considera la función de pesowN(x)=xN. Nota quewN(x) aumenta a medida quex aumenta. EntonceswN(x) pesa más grandex es más de lo que pesa másx pequeños. en particularwN pesa el puntox=2 por un factor de2N (que es mayor que1 y crece hasta el infinito a medida queN crece hasta el infinito) más de lo que pondera el puntox=1. El promedio ponderado def es
\ begin {alinear*}\ frac {\ int_a^b f (t)\, w_n (t)\,\, d {t}} {\ int_a^b w_n (t)\,\, d {t}} &=\ frac {\ int_1^2 t^ {N+1}\,\, d {t}} {\ int_1^2 ^n\,\, d {t}} =\ frac {\ frac {2^ {N+2} -1} {N+2}} {\ frac {2^ {N+1} -1} {N+1}} =\ frac {N+1} {N+2}\\ frac {2^ {N+2} -1} {2^ {N+1} -1}\\ &= comenzar {casos}\ frac {2\ times 7} {3\ times 3} = 1.555 &\ text {si} N=1\\\ frac {3\ times 15} {4\ times 7} = 1.607 &\ text {if} N=2\\\ frac {4\ times 31} {5\ times 15} = 1.653 &\ text {si} N=3\\\ frac {5\ times 63} {6\ times 31} = 1.694 &\ text {if} N=4\\ 1.889 &\ texto {si} N=16\\ 1.992 &\ texto {si} N = 256\ final {casos}\ final {alinear*}
Como es de esperar, el promediowN -ponderado está entre1.5 (que es el ordinario, no ponderado, promedio) y2 (que es el mayor valor def en el intervalo) y crece a medida queN crece. El límite a partirN→∞ del promediowN ponderado es
\ begin {alinear*}\ lim_ {N\ fila derecha\ infty}\ frac {N+1} {N+2}\\ frac {2^ {N+2} -1} {2^ {N+1} -1} &=\ lim_ {N\ fila derecha\ infty}\ frac {N+2-1} {N+2} {N+2}\ frac {2^ {N+2} -2+1} 2^ {N+1} -1}\\ &=\ lim_ {N\ fila derecha\ infty}\ izquierda [1-\ frac {1} {N+2}\ derecha]\\ izquierda [2+\ frac {1} {2^ {N+1} -1}\ derecha]\\ &=2\ final {alinear*}
Aquí hay un ejemplo que muestra lo que puede salir mal con el Teorema 2.2.10 si permitimos que la funciónw(x) weight cambie de signo. Dejaa=−0.99 yb=1. deja
\ begin {align*} w (x) &=\ begin {cases} 1&\ text {if} x\ ge 0\\ -1&\ text {if} x\ lt 0\ end {cases}\ f (x) &=\ begin {cases} x&\ text {if} x\ ge 0\\ 0&\ text {if} x\ lt 0\ end {cases}\ end {align*}
Entonces
\ begin {alinear*}\ int_a^b f (x)\, w (x)\,\, d {x} &=\ int_0^1 x\,\, d {x} =\ frac {1} {2}\\ int_a^b w (x)\, d {x} &=\ int_0^1\, d {x} -\ int_0^-\ int_0^_ {-0.99} ^0\, d {x} = 1 - 0.99 = 0.01\ final {alinear*}
Comoc corre dea ab,f(c)∫baw(x)dx=0.01f(c) corre de0 a0.01 y, en particular, nunca toma un valor en ningún lugar cercano No∫baf(x)w(x)dx=12. hayc valor que funcione.
Ejercicios
Recordemos que estamos usandologx para denotar el logaritmo dex con basee. En otros cursos a menudo se denotalnx.
Etapa 1
A continuación se muestra la gráfica de una funcióny=f(x). Su valor promedio en el intervalo[0,5] esA. Dibujar un rectángulo en la gráfica con área∫50f(x)dx.
Supongamos que un automóvil viaja 5 horas en línea recta, con una velocidad promedio de 100 km/h. ¿Qué tan lejos viajó el auto?
Una fuerzaF(x) actúa sobre un objeto desdex=a metros de posición hastax=b metros de posición, para un total deW julios de trabajo. ¿Cuál era la fuerza promedio sobre el objeto?
Supongamos que queremos aproximar el valor promedio de la funciónf(x) en el intervalo[a,b]. Para ello, cortamos el intervalo[a,b] enn pedazos, luego tomamosn muestras encontrando la salida de la función en el punto final izquierdo de cada pieza, comenzando cona. Then, we promedio de esasn muestras. (En el ejemplo siguiente,n=4.)
- Usandon muestras, ¿cuál es la distancia entre dos puntos de muestreo consecutivosxi yxi+1?
- n≥4,¿Asumiendo cuál es lax coordenada de la cuarta muestra?
- n≥4,¿Asumiendo cuál es ely -valor de la cuarta muestra?
- Escriba la aproximación del valor promedio def(x) sobre el intervalo[a,b] usando notación sigma.
Supongamosf(x) yg(x) son funciones que se definen para todos los números en el intervalo[0,10].
- Sif(x)≤g(x) para todosx en[0,10], entonces es el valor promedio def(x) es menor o igual que el valor promedio deg(x) en el intervalo[0,10], o no hay suficiente información para contar?
- Supongamosf(x)≤g(x) para todosx en[0.01,10]. ¿El valor promedio esf(x) menor o igual al valor promedio deg(x) sobre el intervalo[0,10], o no hay suficiente información para contar?
Supongamos quef es una función impar, definida para todos los números reales. Cuál es el promedio def en el intervalo[−10,10]?
Etapa 2
Para las preguntas 16 a 18, dejar que la raíz mediaf(x) cuadrática de on[a,b] sea√1b−a∫baf2(x)dx. Esta es la fórmula utilizada en el Ejemplo 2.2.6 en el texto.
Encuentra el valor promedio def(x)=sin(5x)+1 sobre el intervalo−π/2≤x≤π/2.
Encuentra el valor promedio de la funcióny=x2logx en el intervalo1≤x≤e.
Encuentra el valor promedio de la funciónf(x)=3cos3x+2cos2x en el intervalo0≤x≤π2.
Quek sea una constante positiva. Encuentra el valor promedio de la funciónf(x)=sin(kx) en el intervalo0≤x≤π/k.
La temperatura en Celsius en una varilla de 3 m de largo en un puntox a metros del extremo izquierdo de la varilla viene dada por la funciónT(x)=8016−x2. Determinar la temperatura promedio en la varilla.
Cuál es el valor promedio de la funciónf(x)=logxx en el intervalo[1,e]?
Encuentra el valor promedio def(x)=cos2(x) más0≤x≤2π.
La concentración de dióxido de carbono en el aire en una ubicación particular a lo largo de un año se aproxima porC(t)=400+50cos(t12π)+200cos(t4380π) partes por millón, dondet se mide en horas.
- ¿Cuál es la concentración promedio de dióxido de carbono para esa ubicación para ese año?
- ¿Cuál es el promedio durante el primer día?
- Supongamos que las mediciones solo se hicieron al mediodía todos los días: es decir,t=12+24n, cuandon hay algún número entero entre 0 y 364. Entonces cesaría la variación diaria:50cos((12+24n)12π)=50cos(π+2πn)=50cosπ=−50. Entonces, la aproximación para la concentración de dióxido de carbono en la atmósfera podría darse como
N(t)=350+200cos(t4380π) ppm
¿Cuál es el error relativo en la concentración promedio anual de dióxido de carbono involucrada en el uso enN(t), lugar deC(t)?
Puede suponer que un día tiene exactamente 24 horas, y un año tiene exactamente 8760 horas.
DejarS ser el sólido formado por la rotación de la parábolay=x2 dex=0 ax=2 alrededor delx eje -eje.
- Cuál es el área promedio de las secciones transversales circulares deS? Llamar a este valorA.
- Cuál es el volumen deS?
- ¿Cuál es el volumen de un cilindro con área de sección transversal circularA y longitud 2?
Letf(x)=x.
- Calcular el promedio def(x) más[−3,3].
- Calcular la raíz cuadrática media def(x) más[−3,3].
Calcular la raíz cuadrática media def(x)=tanx más[−π4,π4].
Una fuerza actúa sobre un resorte, y el resorte se estira y se contrae. La distancia más allá de su longitud natural en el tiempot es def(t)=sin(tπ) cm, dondet se mide en segundos. La constante de resorte es de 3 N/cm.
- ¿Cuál es la fuerza que ejerce la primavera en su momentot, si obedece la ley de Hooke?
- Encuentra el promedio de la fuerza ejercida por el resorte det=0 at=6.
- Encuentra la raíz cuadrática media de la fuerza ejercida por el resorte det=0 at=6.
Etapa 3
Un automóvil viaja dos horas sin parar. El conductor registra la velocidad del automóvil cada 20 minutos, como se indica en la siguiente tabla:
tiempo en horas | 0 | 1/3 | 2/3 | 1 | 4/3 | 5/3 | 2 |
velocidad en km/hr | 50 | 70 | 80 | 55 | 60 | 80 | 40 |
- Utilice la regla trapezoidal para estimar la distancia total recorrida en las dos horas.
- Utilice la respuesta a la parte (a) para estimar la velocidad promedio del automóvil durante este periodo.
Lets(t)=et.
- Encuentra el promedio des(t) en el intervalo[0,1]. Llamar a esta cantidadA.
- Para cualquier puntot, la diferencia entres(t) yA ess(t)−A. Encuentra el valor promedio des(t)−A en el intervalo[0,1].
- Para cualquier puntot, la diferencia absoluta entres(t) yA es|s(t)−A|. Encuentra el valor promedio de|s(t)−A| en el intervalo[0,1].
Considere las dos funcionesf(x) yg(x) abajo, ambas de las cuales tienen promedioA on[0,4].
- ¿Qué función tiene un promedio mayor en[0,4]:f(x)−A og(x)−A?
- ¿Qué función tiene un promedio mayor en[0,4]:|f(x)−A| o|g(x)−A|?
Supongamos que la raíz cuadrática media de una funciónf(x) en el intervalo[a,b] esR. ¿Cuál es el volumen del sólido formado al rotar la porción def(x) desdea ab alrededor delx eje -eje?
Como en el Ejemplo 2.2.6, dejemos que la raíz cuadrática media def(x) on[a,b] sea√1b−a∫baf2(x)dx.
Supongamosf(x)=ax2+bx+c, y el valor promedio def(x) en el intervalo[0,1] es el mismo que el promedio def(0) yf(1). Qué esa?
Supongamosf(x)=ax2+bx+c, y el valor promedio def(x) en el intervalo[s,t] es el mismo que el promedio def(s) yf(t). ¿Es posible quea≠0?
Es decir, ¿generaliza el resultado de la Pregunta 23?
Letf(x) Ser una función definida para todos los números en el intervalo[a,b], con valor promedioA sobre ese intervalo. Cuál es el promedio def(a+b−x) sobre el intervalo[a,b]?
Supongamos quef(t) es una función continua, yA(x) es el promedio def(t) en el intervalo de 0 ax.
- Cuál es el promedio def(t) en[a,b], dondea<b? Da tu respuesta en términos deA.
- Lo que esf(t)? otra vez, da tu respuesta en términos deA.
- Encontrar una funciónf(x) con promedio0 sobre[−1,1] perof(x)≠0 para todosx en[−1,1], o mostrar que no existe tal función.
- Encontrar una función continuaf(x) con promedio0 sobre[−1,1] perof(x)≠0 para todosx en[−1,1], o mostrar que no existe tal función.
Supongamos quef(x) es una función positiva, continua con\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=0\text{,} y dejarA(x) ser el promedio def(x) on[0,x]\text{.}
Verdadero o falso:\lim\limits_{x \to \infty} A(x) = 0\text{.}
DejarA(x) ser el promedio de la funciónf(t)=e^{-t^2} en el intervalo[0,x]\text{.} ¿Qué es\displaystyle\lim_{x \to \infty} A(x)\text{?}
- Un juego de palabras horrible. Los dos enfoques principales de la estadística son el frecuentismo y el bayesianismo; este último lleva el nombre del teorema de Bayes que, a su vez, lleva el nombre del reverendo Thomas Bayes. Si bien este (tanto los enfoques de la estadística como su historia y denominación) es un tema muy interesante y bastante filosófico, está más allá del alcance de este curso. El lector interesado tiene mucha lectura interesante aquí para interesarle.
- Estamos siendo un poco sueltos aquí con la distinción entre media y media. Para ser mucho más pedante — el promedio es la media aritmética. Otros “medios” interesantes son los medios geométricos y armónicos:
- Un enchufe doméstico normal entrega corriente alterna, en lugar de los suministros USB de corriente continua. A riesgo de otra sugerencia de “el lector interesado”, el cómo y por qué los enchufes domésticos suministran corriente de CA es otra digresión que vale la pena e interesante al estudiar la integración. El lector interesado debería buscar la “Guerra de las Corrientes”. El lector diligente e interesado debe marcar esto, terminar la sección y volver a ella más tarde.
- Algunos países suministran energía a 50 ciclos por segundo. Japón en realidad abastece ambos — 50 ciclos en el este del país y 60 en el oeste.
- Este ejemplo fue escrito en Norteamérica donde el voltaje estándar suministrado a los hogares es de 120 voltios. La mayor parte del resto del mundo abastece a los hogares con 240 voltios. La razón principal de esta diferencia es el desarrollo de la bombilla. Estados Unidos se electrificó antes cuando el mejor voltaje para la tecnología de bombilla era de 110 voltios. Con el paso del tiempo, la tecnología de las bombillas mejoró y los países que electrificaron posteriormente aprovecharon esto (y los costos de transmisión más baratos que vienen con mayor voltaje) y se estandarizaron a 240 voltios. ¡Tantas digresiones en esta sección!
- Para un conjunto finito de números se puede calcular la “media cuadrática” que es otra manera de generalizar la noción del promedio:
- Un rápido vistazo al Apéndice A.14 refrescará su memoria.
- Hay muchas cosas poco sorprendentes que son ciertas, pero también hay muchas cosas poco sorprendentes que sorprendentemente resultan ser falsas. A los matemáticos les gusta probar cosas, sorprendentes o no.