2.2: Promedios

Otra aplicación ^frecuente de integración es la computación de promedios y otras cantidades estadísticas. No vamos a dedicar demasiado tiempo a este tema —es decir, es mejor dejar a un curso adecuado en estadística—, sin embargo, demostraremos la aplicación de la integración al problema de los promedios informáticos.

Empecemos con la definición ²

\ begin {align*}\ text {media aritmética} &=\ frac {1} {n}\ izquierda (y_1 + y_2 +\ cdots + y_n\ derecha)\\ texto {media geométrica} &=\ izquierda (y_1\ cdot y_2\ cdots y_n\ derecha) ^ {\ frac {1} {n}}\\ texto {media armónica} &= izquierda\ [\ frac {1} {n}\ izquierda (\ frac {1} {y_1} +\ frac {1} {y_2} +\ cdots\ frac {1} {y_n}\ derecha)\ derecha] ^ {-1}\ end { alinear*}

Todas estas cantidades, junto con la mediana y el modo, son formas de medir el valor típico de un conjunto de números. Todos ellos tienen ventajas y desventajas —otro tema interesante más allá del alcance de este curso, pero abundante forraje para el lector interesado y su buscador favorito. Pero dejemos de lado la pedantería (y más allá del alcance de la lectura del curso) y solo utilicemos los términos promedio y significan indistintamente para nuestros propósitos aquí. del promedio de un conjunto finito de números.

Definición: 2.2.1

El promedio (media) de un conjunto de\(n\) números\(y_1\text{,}\)\(y_2\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(y_n\) es

\ begin {reunir*} y_ {\ text {ave}} =\ bar y =\ langle y\ rangle =\ frac {y_1+y_2+\ cdots+y_n} {n}\ end {reunir*}

Las notaciones\(y_{\text{ave}}\text{,}\)\(\bar y\) y\(\langle y\rangle\) son todas de uso común para representar el promedio.

Ahora supongamos que queremos tomar el promedio de una función\(f(x)\) con\(x\) correr continuamente de\(a\) a\(b\text{.}\) ¿Cómo definimos siquiera qué significa eso? Un enfoque natural es

• seleccionar, para cada número natural\(n\text{,}\) una muestra de distribución\(n\text{,}\) más o menos uniforme, valores de\(x\) entre\(a\) y\(b\text{,}\)
• tomar el promedio de los valores de\(f\) en los puntos seleccionados,
• y luego tomar el límite como\(n\) tiende al infinito.

Como era de esperar, este proceso se parece mucho a cómo calculamos áreas y volúmenes anteriormente. Entonces vamos a llegar a ello.

• Primero arregla cualquier número natural\(n\text{.}\)
• Subdividir el intervalo\(a\le x\le b\) en subintervalos\(n\) iguales, cada uno de ancho\(\Delta x=\frac{b-a}{n}\text{.}\)
• El número de subintervalo\(i\) va de\(x_{i-1}\) a\(x_i\) con\(x_i=a+i\frac{b-a}{n}\text{.}\)
• Seleccione, para cada\(1\le i\le n\text{,}\) uno valor de\(x\) desde el número de subintervalo\(i\) y llámalo\(x_i^*\text{.}\) So\(x_{i-1}\le x_i^*\le x_i\text{.}\)
• El valor promedio de\(f\) en los puntos seleccionados es

  \ begin {align*}\ frac {1} {n}\ sum_ {i=1} ^n f (x_i^*) =&\ frac {1} {b-a}\ sum_ {i=1} ^n f (x_i^*)\ Delta x &\ text {desde $\ Delta x=\ frac {b-a} {n} $}\ end {align*}

  dándonos una suma de Riemann.

Ahora cuando tomamos el límite\(n\rightarrow\infty\) obtenemos exactamente Por\(\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, d{x}\text{.}\) eso definimos

Definición: 2.2.2

Dejar\(f(x)\) ser una función integrable definida en el intervalo\(a\le x\le b\text{.}\) El valor promedio de\(f\) en ese intervalo es

\ begin {reunir*} f_ {\ text {ave}} =\ bar f=\ langle f\ rangle =\ frac {1} {b-a}\ int_a^b f (x)\, d {x}\ end {reunión*}

Considera el caso cuando\(f(x)\) es positivo. Luego reescribiendo la Definición 2.2.2 como

\(f_{\text{ave}}\ (b-a) = \int_a^b f(x)\, d{x}\)

nos da un vínculo entre el valor promedio y el área bajo la curva. El lado derecho es el área de la región

\ comenzar {reunir*}\ grande\ {(x, y)\\ big|\ a\ le x\ le b,\ 0\ le y\ le f (x)\\ grande\}\ fin {reunir*}

mientras que el lado izquierdo puede verse como el área de un rectángulo de ancho\(b-a\) y alto\(f_{\text{ave}}\text{.}\) Dado que estas áreas deben ser las mismas, interpretamos\(f_{\text{ave}}\) como la altura del rectángulo que tiene el mismo ancho y la misma área que\(\big\{(x,y)\ \big|\ a\le x\le b,\ 0\le y\le f(x)\ \big\}\text{.}\)

Empecemos con un par de ejemplos simples y luego trabajemos nuestro camino hasta llegar a los más difíciles.

Ejemplo: 2.2.3 Un calentamiento fácil

Dejar\(f(x)= x\)\(g(x)=x^2\) y calcular sus valores promedio sobre\(1 \leq x\leq 5\text{.}\)

Solución: Podemos simplemente enchufar las cosas en la definición.

\ begin {align*} f_ {\ text {ave}} &=\ frac {1} {5-1}\ int_1^5 x\, d {x}\\ &=\ frac {1} {4}\ bigg [\ frac {x^2} {2}\ bigg] _1^5\ &=\ frac {1} {8} (25-1) = frac {24} {8}\\ &= 3\ end {align*}

como cabría esperar. Y luego

\ begin {align*} g_ {\ text {ave}} &=\ frac {1} {5-1}\ int_1^5 x^2\, d {x}\\ &=\ frac {1} {4}\ bigg [\ frac {x^3} {3}\ bigg] _1^5\ &=\ frac {1} {12} (125-1) =\ frac {124} {12}\\ &=\ frac {31} {3}\ final {alinear*}

Algo un poco más trigonométrico

Ejemplo: 2.2.4 Promedio de seno

Encuentra el valor promedio de\(\sin(x)\) más\(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\text{.}\)

Solución: Nuevamente, solo necesitamos la definición.

\ begin {align*}\ text {promedio} &=\ frac {1} {\ frac {\ pi} {2} - 0}\ int_0^ {\ frac {\ pi} {2}}\ sin (x)\, d {x}\\ &=\ frac {2} {\ pi}\ cdot\ bigg [-\ cos (x)\ bigg] _0^ {\ frac {\ pi} {2}}\\ &=\ frac {2} {\ pi} (-\ cos (\ frac {\ pi} {2}) +\ cos (0))\\ &=\ frac {2} {\ pi}. \ end {alinear*}

Podríamos seguir adelante... Pero mejor hacer algunos ejemplos más sustanciales.

Ejemplo: 2.2.5 Velocidad promedio

Dejar\(x(t)\) ser la posición en el momento\(t\) de un carro que se mueve a lo largo del\(x\) eje. La velocidad del automóvil en el momento\(t\) es la derivada\(v(t)=x'(t)\text{.}\) La velocidad promedio del automóvil en el intervalo de tiempo\(a\le t\le b\) es

\ begin {align*} v_ {\ text {ave}} &=\ frac {1} {b-a}\ int_a^b v (t)\, d {t}\\ &=\ frac {1} {b-a}\ int_a^b x' (t)\, d {t}\\ &=\ frac {x (b) -x (a)} b-{ a} &\ text {por el teorema fundamental del cálculo.} \ end {alinear*}

El numerador en esta fórmula es solo el desplazamiento (distancia neta recorrida — si\(x'(t)\ge 0\text{,}\) es la distancia recorrida) entre el tiempo\(a\) y el tiempo\(b\) y el denominador es justo el tiempo que tardó.

Observe que esta es exactamente la fórmula que usamos desde el inicio de su clase de cálculo diferencial para ayudar a introducir la idea de la derivada. Por supuesto que esta es una manera muy sinuosa de llegar a esta fórmula —pero es tranquilizador que obtengamos la misma respuesta.

Un ejemplo muy físico.

Ejemplo: 2.2.6 Pico vs Voltaje RMS

Cuando enchufas una bombilla a un enchufe ³ y la enciendes, se somete a un voltaje

\ begin {align*} V (t) &= V_0\ sin (\ omega t-\ delta)\ end {align*}

donde

• \(V_0=170\)voltios,
• \(\omega=2\pi\times 60\)(que corresponde a\(60\) ciclos por segundo ⁴) y
• la constante\(\delta\) es una fase (sin importancia). Simplemente cambia el tiempo en el que el voltaje es cero

El voltaje\(V_0\) es el “voltaje pico” — el valor máximo que el voltaje toma con el tiempo. Más típicamente citamos el voltaje ⁵ de “raíz cuadrática media” (o voltaje RMS). En este ejemplo explicamos la diferencia, pero para simplificar los cálculos, simplifiquemos la función de voltaje y solo utilicemos

\ begin {align*} V (t) &= V_0\ sin (t)\ end {align*}

Dado que el voltaje es una función senoidal, toma valores tanto positivos como negativos. Si tomamos su promedio simple durante 1 periodo entonces obtenemos

\ begin {align*} V_ {\ text {ave}} &=\ frac {1} {2\ pi-0}\ int_0^ {2\ pi} V_0\ sin (t)\, d {t}\\ &=\ frac {V_0} {2\ pi}\ bigg [-\ cos (t)\ bigg] _0^ {2\ pi}\\ &=\ frac {V_0} {2\ pi}\ izquierda (-\ cos (2\ pi) +\ cos 0\ derecha) =\ frac {V_0} {2\ pi} (-1+1)\\ &= 0\ end {align*}

Esto claramente no es una buena indicación del voltaje típico.

Lo que realmente queremos aquí es una medida de lo lejos que está el voltaje de cero. Ahora podríamos hacer esto tomando el promedio de\(|V(t)|\text{,}\) pero es un poco más difícil trabajar con esto. En su lugar tomamos el promedio de la plaza ⁶

\[ \text{quadratic mean} = \sqrt{\frac{1}{n}\left(y_1^2 + y_2^2 + \cdots + y_n^2 \right) } \nonumber \]

del voltaje (por lo que siempre es positivo) y luego tomar la raíz cuadrada al final. Eso es

\ begin {align*} V_\ mathrm {rms} &=\ sqrt {\ frac {1} {2\ pi-0}\ int_0^ {2\ pi} V (t) ^2\, d {t}}\\ &=\ sqrt {\ frac {1} {2\ pi}\ int_0^ {2\ pi} V_0^2\ sin^2 (t)\, d {t}}\\ &=\ sqrt {\ frac {V_0^2} {2\ pi}\ int_0^ {2\ pi}\ sen ^2 (t)\, d {t}}\ end {alinear*}

A esto se le llama el voltaje de “raíz cuadrática media”.

Aunque sí sabemos integrar seno y coseno, no sabemos (todavía) integrar sus cuadrados. Un rápido vistazo a las fórmulas de doble ángulo ⁷ nos da una manera de eliminar el cuadrado:

\ begin {reunir*}\ cos (2\ theta) =1-2\ sin^2\ theta\ implica\ sin^2\ theta=\ frac {1-\ cos (2\ theta)} {2}\ end {reunir*}

Usando esto manipulamos nuestro integry un poco más:

\ begin {align*} V_\ mathrm {rms} &=\ sqrt {\ frac {V_0^2} {2\ pi}\ int_0^ {2\ pi}\ frac {1} {2} (1-\ cos (2t))\, d {t}}\\ &=\ sqrt {\ frac {V_0^2} {4\ pi}\ bigg [t -\ frac {1} {2}\ sin (2t)\ bigg] _0^ {2\ pi}}\\ &=\ sqrt {\ frac {V_0^2} {4\ pi}\ izquierda (2\ pi -\ frac {1} {2}\ sin (4\ pi) - 0 +\ frac {1} {2} sin (0)\ derecha)}\\ &=\ sqrt {\ frac {V_0^2} {4\ pi}\ cdot 2\ pi}\\ &=\ frac {V_0} {\ sqrt {2}}\ end {align*}

Entonces, si el voltaje pico es de 170 voltios, entonces el voltaje RMS es\(\frac{170}{\sqrt{2}}\approx 120.2\text{.}\)

Continuando con este mismo ejemplo de física:

Ejemplo: 2.2.7 Voltaje pico frente a RMS - continuado

Tomemos nuestra misma bombilla con voltaje (después de enchufarlo) dado por

\ begin {align*} V (t) &= V_0\ sin (\ omega t-\ delta)\ end {align*}

donde

• \(V_0\)es el voltaje pico,
• \(\omega=2\pi\times 60\text{,}\)y
• la constante\(\delta\) es una fase (sin importancia).

Si la bombilla es de “100 vatios”, entonces ¿cuál es su resistencia?

Para responder a esta pregunta necesitamos los siguientes hechos de la física.

• Si la bombilla tiene resistencia\(R\) ohmios, esto provoca, por ley de Ohm, una corriente de

  \ begin {align*} I (t) &=\ frac {1} {R} V (t) &\ end {alinear*}

  (amperios) para fluir a través de la bombilla.
• La corriente\(I\) es el número de unidades de carga que se mueven a través de la bombilla por unidad de tiempo.
• El voltaje es la energía requerida para mover una unidad de carga a través de la bombilla.
• La potencia es la energía que utiliza la bombilla por unidad de tiempo y se mide en vatios.

Entonces la potencia es el producto de la corriente multiplicada por el voltaje y, entonces

\[ P(t)=I(t)V(t) =\frac{V(t)^2}{R} =\frac{V_0^2}{R}\sin^2(\omega t-\delta) \nonumber \]

La potencia promedio utilizada durante el intervalo de tiempo\(a\le t\le b\) es

\ begin {align*} P_ {\ text {ave}} &=\ frac {1} {b-a}\ int_a^b P (t)\, d {t} =\ frac {V_0^2} {R (b-a)}\ int_a^b\ sin^2 (\ omega t-\ delta)\, d {t}\ end {align*}

Observe que esta es casi exactamente la forma que teníamos en el ejemplo anterior al calcular el voltaje cuadrático medio.

Nuevamente simplificamos el integrando usando la identidad

\[ \cos(2\theta) =1-2\sin^2\theta \implies \sin^2\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2} \nonumber \]

Entonces

\ begin {align*} P_ {\ text {ave}} &=\ frac {1} {b-a}\ int_a^b P (t)\, d {t} =\ frac {V_0^2} {2R (b-a)}\ int_a^b\ grande [1-\ cos (2 omega\ t-2\ delta)\ grande]\, d {t}\\ &=\ frac {V_0^2} {2R (b-a)}\ bigg [t-\ frac {\ sin (2\ omega t-2\ delta)} {2\ omega}\ bigg] _a^b\\ &=\ frac {V_0^2} {2R (b-a)}\ bigg [b-a-\ frac {\ sin (2\ omega b-2\ delta)} {2\ omega} +\ frac {\ sin (2\ omega a-2\ delta)} {2\ omega}\ bigg]\\ &=\ frac {V_0^2} {2R} -\ frac {V_0^2} {4\ omega R (b-a)}\ grande [\ sin (2\ omega b-2\ delta) -\ sin (2\ omega a-2\ delta)\ big]\ final {alinear*}

En el límite como la duración del intervalo de tiempo\(b-a\) tiende al infinito, esto converge a\(\frac{V_0^2}{2R}\text{.}\) La resistencia\(R\) de una “bombilla de 100 vatios” obedece

\ begin {align*}\ frac {V_0^2} {2R} &=100 &\ text {para que} && R &=\ frac {V_0^2} {200}. \ end {alinear*}

Terminamos este ejemplo con dos comentarios laterales.

• Si traducimos el voltaje pico al voltaje cuadrático medio usando

  \ begin {align*} V_0 &= V_\ mathrm {rms}\ cdot\ sqrt {2}\ end {align*}

  entonces tenemos

  \ begin {align*} P &=\ frac {V^2_ {\ mathrm {rms}}} {R}\ end {align*}

• Si estuviéramos usando voltaje directo en lugar de corriente alterna entonces el cálculo es mucho más simple. El voltaje y la corriente son constantes, entonces

  \ begin {align*} P &= V\ cdot I &\ text {pero $I = V/R$ según la ley de Ohm}\\ &=\ frac {V^2} {R}\ end {align*}

  Entonces, si tenemos una corriente continua dando voltaje igual al voltaje cuadrático medio raíz, entonces gastaríamos la misma potencia.

Opcional — Regresar al teorema del valor medio

Aquí hay otra aplicación de la Definición 2.2.2 del valor promedio de una función en un intervalo. El siguiente teorema puede pensarse como un análogo del teorema del valor medio (que fue cubierto en su clase de cálculo diferencial) pero para integrales. El teorema dice que una función continua\(f(x)\) debe ser exactamente igual a su valor promedio\(x\text{.}\) para algunos Por ejemplo, si fuiste a dar un paseo a lo largo del\(x\) eje -y estabas en el\(x(a)\) momento\(a\) y en el\(x(b)\) momento\(b\text{,}\) entonces tu velocidad\(x'(t)\) tenía que ser exactamente tu velocidad promedio\(\frac{x(b)-x(a)}{b-a}\) en algún momento\(t\) entre\(a\) y\(b\text{.}\) En particular, si tu velocidad promedio era mayor que el límite de velocidad, definitivamente estabas acelerando en algún momento durante el viaje. Esto, por supuesto, no es una gran sorpresa ⁸.

Teorema: 2.2.8 Teorema del Valor Medio para Integrales

Dejar\(f(x)\) ser una función continua en el intervalo\(a\le x\le b\text{.}\) Luego hay algunos\(c\) obedeciendo de\(a\lt c \lt b\) tal manera que

\ comenzar {reunir*}\ frac {1} {b-a}\ int_a^b f (x)\, d {x} =f (c)\ qquad\ texto {o}\ qquad\ int_a^b f (x)\, d {x} = f (c)\, (b-a)\ final {reunión*}

Prueba

Aplicaremos el teorema del valor medio (Teorema 2.13.4 en el texto CLP-1) a la función

\[ F(x) = \int_a^x f(t)\,\, d{t} \nonumber \]

Por la parte 1 del teorema fundamental del cálculo (Teorema 1.3.1),\(F'(x)=f(x)\text{,}\) por lo que el teorema del valor medio dice que hay un\(a\lt c\lt b\) con

\ begin {alinear*} f (c) &= F' (c) =\ frac {F (b) -F (a)} {b-a} =\ frac {1} {b-a}\ izquierda\ {\ int_a^b f (t)\,\, d {t} -\ int_a^a f (t)\,\, d {t}\ derecha\\ &=\ frac {1} {b-a}\ int_a^b f (x)\,\, d {x}\ final {alinear*}

En la siguiente sección, nos encontraremos con una aplicación en la que queremos tomar el valor promedio de una función\(f(x)\text{,}\) pero\(x\) al hacerlo queremos que algunos valores de cuenten más\(x\text{.}\) que otros valores de\(x\) Es decir, queremos ponderar algunos más que otros\(x\). elegir una “función de peso”\(w(x)\ge 0\) con\(w(x)\) mayor para los más\(x\) importantes. entonces definimos el promedio ponderado de la\(f\) siguiente manera.

Definición: 2.2.9

Dejar\(f(x)\) y\(w(x)\) ser integrables funciones definidas en el intervalo\(a\le x\le b\) con\(w(x)\ge 0\) para todos\(a\le x\le b\) y con\(\int_a^b w(x)\,\, d{x}>0\text{.}\) El valor promedio de\(f\) en ese intervalo, ponderado por\(w\text{,}\) es

\[ \frac{\int_a^b f(x)\,w(x)\,\, d{x}}{\int_a^b w(x)\,\, d{x}} \nonumber \]

Normalmente nos referimos a esto simplemente como el promedio ponderado de\(f\text{.}\)

Aquí hay algunas observaciones relativas a esta definición.

• La definición ha sido amañada de manera que, si\(f(x)=1\) para todos\(x\text{,}\) entonces el promedio ponderado de\(f\) es\(1\text{,}\) sin importar qué función de peso\(w(x)\) se utilice.
• Si la función de peso\(w(x)=C\) para alguna constante\(C>0\) entonces el promedio ponderado

  \[ \frac{\int_a^b f(x)\,w(x)\,\, d{x}}{\int_a^b w(x)\,\, d{x}} =\frac{\int_a^b f(x)\,C\,\, d{x}}{\int_a^b C\,\, d{x}} =\frac{\int_a^b f(x)\,\, d{x}}{b-a} \nonumber \]

  es solo el promedio habitual.
• Para cualquier función\(w(x)\ge 0\) y cualquiera que\(a\lt b\text{,}\) tengamos\(\int_a^b w(x)\, \, d{x}\ge 0\text{.}\) Pero para que la definición de promedio ponderado tenga sentido, necesitamos poder dividirnos por\(\int_a^b w(x)\, \, d{x}\text{.}\) Así que necesitamos\(\int_a^b w(x)\, \, d{x}\ne 0\text{.}\)

El siguiente teorema dice que una función continua\(f(x)\) debe ser igual a su promedio ponderado en algún momento\(x\text{.}\)

Teorema: 2.2.10 Teorema del Valor Medio para Integrales Ponderadas

Dejar\(f(x)\) y\(w(x)\) ser funciones continuas en el intervalo\(a\le x\le b\text{.}\) Supongamos que\(w(x)\gt 0\) para todos\(a\lt x\lt b\text{.}\) Entonces hay algunos\(c\) obedeciendo\(a\lt c \lt b\) tal que

\ comenzar {reunir*}\ frac {\ int_a^b f (x)\, w (x)\,\, d {x}} {\ int_a^b w (x)\,\, d {x}} =f (c)\ qquad\ texto {o}\ qquad\ int_a^b f (x)\, w (x)\, d {x} = f (c)\ int_a^b w (x)\,\, d {x}\ final {reunir*}

Prueba

Aplicaremos el teorema del valor medio generalizado (Teorema 3.4.38 en el texto CLP-1) a

\[ F(x) = \int_a^x f(t)\,w(t)\, d{t}\qquad G(x) = \int_a^x w(t)\, d{t} \nonumber \]

Por la parte 1 del teorema fundamental del cálculo (Teorema 1.3.1),\(F'(x)=f(x)w(x)\) y\(G'(x)=w(x)\text{,}\) así el teorema del valor medio generalizado dice que hay un\(a\lt c\lt b\) con

\ begin {alinear*} f (c) &=\ frac {F' (c)} {G' (c)} =\ frac {F (b) -F (a)} {G (b) -G (a)} =\ frac {\ int_a^b f (t)\, w (t)\, d {t} -\ int_a^a f (t) w (t)\,\, d {t}} {\ int_a^b w (t)\, d {t} -\ int_a^a w (t)\, d {t}}\\ &=\ frac {\ int_a^b f (t)\, w (t)\,\, d {t}} {\ int_a^b w (t)\,\, d {t}}\ final {alinear*}

Ejemplo: 2.2.11

En este ejemplo, tomaremos una serie de promedios ponderados de la función simple\(f(x)=x\) sobre el intervalo simple\(a=1\le x\le 2=b\text{.}\) A medida que\(x\) aumenta de\(1\) a\(2\text{,}\) la función\(f(x)\) aumenta linealmente de\(1\) a\(2\text{.}\) Así que no es un shock que el promedio ordinario de \(f\)es exactamente su valor medio:

\[ \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,\, d{t} =\frac{1}{2-1}\int_1^2 t\,\, d{t} =\frac{3}{2} \nonumber \]

Elige cualquier número natural\(N\ge 1\) y considera la función de peso\(w_N(x)=x^N\text{.}\) Nota que\(w_N(x)\) aumenta a medida que\(x\) aumenta. Entonces\(w_N(x)\) pesa más grande\(x\) es más de lo que pesa más\(x\) pequeños. en particular\(w_N\) pesa el punto\(x=2\) por un factor de\(2^N\) (que es mayor que\(1\) y crece hasta el infinito a medida que\(N\) crece hasta el infinito) más de lo que pondera el punto\(x=1\text{.}\) El promedio ponderado de\(f\) es

\ begin {alinear*}\ frac {\ int_a^b f (t)\, w_n (t)\,\, d {t}} {\ int_a^b w_n (t)\,\, d {t}} &=\ frac {\ int_1^2 t^ {N+1}\,\, d {t}} {\ int_1^2 ^n\,\, d {t}} =\ frac {\ frac {2^ {N+2} -1} {N+2}} {\ frac {2^ {N+1} -1} {N+1}} =\ frac {N+1} {N+2}\\ frac {2^ {N+2} -1} {2^ {N+1} -1}\\ &= comenzar {casos}\ frac {2\ times 7} {3\ times 3} = 1.555 &\ text {si} N=1\\\ frac {3\ times 15} {4\ times 7} = 1.607 &\ text {if} N=2\\\ frac {4\ times 31} {5\ times 15} = 1.653 &\ text {si} N=3\\\ frac {5\ times 63} {6\ times 31} = 1.694 &\ text {if} N=4\\ 1.889 &\ texto {si} N=16\\ 1.992 &\ texto {si} N = 256\ final {casos}\ final {alinear*}

Como es de esperar, el promedio\(w_N\) -ponderado está entre\(1.5\) (que es el ordinario, no ponderado, promedio) y\(2\) (que es el mayor valor de\(f\) en el intervalo) y crece a medida que\(N\) crece. El límite a partir\(N\rightarrow\infty\) del promedio\(w_N\) ponderado es

\ begin {alinear*}\ lim_ {N\ fila derecha\ infty}\ frac {N+1} {N+2}\\ frac {2^ {N+2} -1} {2^ {N+1} -1} &=\ lim_ {N\ fila derecha\ infty}\ frac {N+2-1} {N+2} {N+2}\ frac {2^ {N+2} -2+1} 2^ {N+1} -1}\\ &=\ lim_ {N\ fila derecha\ infty}\ izquierda [1-\ frac {1} {N+2}\ derecha]\\ izquierda [2+\ frac {1} {2^ {N+1} -1}\ derecha]\\ &=2\ final {alinear*}

Ejemplo: 2.2.12

Aquí hay un ejemplo que muestra lo que puede salir mal con el Teorema 2.2.10 si permitimos que la función\(w(x)\) weight cambie de signo. Deja\(a=-0.99\) y\(b=1\text{.}\) deja

\ begin {align*} w (x) &=\ begin {cases} 1&\ text {if} x\ ge 0\\ -1&\ text {if} x\ lt 0\ end {cases}\ f (x) &=\ begin {cases} x&\ text {if} x\ ge 0\\ 0&\ text {if} x\ lt 0\ end {cases}\ end {align*}

Entonces

\ begin {alinear*}\ int_a^b f (x)\, w (x)\,\, d {x} &=\ int_0^1 x\,\, d {x} =\ frac {1} {2}\\ int_a^b w (x)\, d {x} &=\ int_0^1\, d {x} -\ int_0^-\ int_0^_ {-0.99} ^0\, d {x} = 1 - 0.99 = 0.01\ final {alinear*}

Como\(c\) corre de\(a\) a\(b\text{,}\)\(f(c)\int_a^b w(x)\,\, d{x}=0.01 f(c)\) corre de\(0\) a\(0.01\) y, en particular, nunca toma un valor en ningún lugar cercano No\(\int_a^b f(x)\,w(x)\,\, d{x}=\frac{1}{2}\text{.}\) hay\(c\) valor que funcione.

Ejercicios

Recordemos que estamos usando\(\log x\) para denotar el logaritmo de\(x\) con base\(e\text{.}\) En otros cursos a menudo se denota\(\ln x\text{.}\)

Etapa 1

1

A continuación se muestra la gráfica de una función\(y=f(x)\text{.}\) Su valor promedio en el intervalo\([0,5]\) es\(A\text{.}\) Dibujar un rectángulo en la gráfica con área\(\int_0^5 f(x)\,\, d{x}\text{.}\)

2

Supongamos que un automóvil viaja 5 horas en línea recta, con una velocidad promedio de 100 km/h. ¿Qué tan lejos viajó el auto?

3

Una fuerza\(F(x)\) actúa sobre un objeto desde\(x=a\) metros de posición hasta\(x=b\) metros de posición, para un total de\(W\) julios de trabajo. ¿Cuál era la fuerza promedio sobre el objeto?

4

Supongamos que queremos aproximar el valor promedio de la función\(f(x)\) en el intervalo\([a,b]\text{.}\) Para ello, cortamos el intervalo\([a,b]\) en\(n\) pedazos, luego tomamos\(n\) muestras encontrando la salida de la función en el punto final izquierdo de cada pieza, comenzando con\(a\text{.}\) Then, we promedio de esas\(n\) muestras. (En el ejemplo siguiente,\(n=4\text{.}\))

1. Usando\(n\) muestras, ¿cuál es la distancia entre dos puntos de muestreo consecutivos\(x_i\) y\(x_{i+1}\text{?}\)
2. \(n \geq 4\text{,}\)¿Asumiendo cuál es la\(x\) coordenada de la cuarta muestra?
3. \(n \geq 4\text{,}\)¿Asumiendo cuál es el\(y\) -valor de la cuarta muestra?
4. Escriba la aproximación del valor promedio de\(f(x)\) sobre el intervalo\([a,b]\) usando notación sigma.

5

Supongamos\(f(x)\) y\(g(x)\) son funciones que se definen para todos los números en el intervalo\([0,10]\text{.}\)

1. Si\(f(x) \leq g(x)\) para todos\(x\) en\([0,10]\text{,}\) entonces es el valor promedio de\(f(x)\) es menor o igual que el valor promedio de\(g(x)\) en el intervalo\([0,10]\text{,}\) o no hay suficiente información para contar?
2. Supongamos\(f(x) \leq g(x)\) para todos\(x\) en\([0.01,10]\text{.}\) ¿El valor promedio es\(f(x)\) menor o igual al valor promedio de\(g(x)\) sobre el intervalo\([0,10]\text{,}\) o no hay suficiente información para contar?

6

Supongamos que\(f\) es una función impar, definida para todos los números reales. Cuál es el promedio de\(f\) en el intervalo\([-10,10]\text{?}\)

Etapa 2

Para las preguntas 16 a 18, dejar que la raíz media\(f(x)\) cuadrática de on\([a,b]\) sea\(\displaystyle\sqrt{\frac{1}{b-a}\int_a^b f^2(x)\,\, d{x}}\text{.}\) Esta es la fórmula utilizada en el Ejemplo 2.2.6 en el texto.

7 (✳)

Encuentra el valor promedio de\(f(x) = \sin(5x)+1\) sobre el intervalo\(-\pi/2 \le x \le \pi/2 \text{.}\)

8 (✳)

Encuentra el valor promedio de la función\(y= x^2\log x\) en el intervalo\(1 \le x\le e\text{.}\)

9 (✳)

Encuentra el valor promedio de la función\(f(x) = 3\cos^3x + 2\cos^2x\) en el intervalo\(0\le x\le\frac\pi2\text{.}\)

10 (✳)

Que\(k\) sea una constante positiva. Encuentra el valor promedio de la función\(f(x) = \sin(kx)\) en el intervalo\(0\le x\le \pi/k\text{.}\)

11 (✳)

La temperatura en Celsius en una varilla de 3 m de largo en un punto\(x\) a metros del extremo izquierdo de la varilla viene dada por la función\(T(x)=\frac{80}{16-x^2}\text{.}\) Determinar la temperatura promedio en la varilla.

12 (✳)

Cuál es el valor promedio de la función\(f(x)=\dfrac{\log x}{x}\) en el intervalo\([1,e]\text{?}\)

13 (✳)

Encuentra el valor promedio de\(f(x)=\cos^2(x)\) más\(0\le x\le 2\pi\text{.}\)

14

La concentración de dióxido de carbono en el aire en una ubicación particular a lo largo de un año se aproxima por\(C(t) = 400+50\cos\left(\frac{t}{12}\pi\right)+200\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\) partes por millón, donde\(t\) se mide en horas.

1. ¿Cuál es la concentración promedio de dióxido de carbono para esa ubicación para ese año?
2. ¿Cuál es el promedio durante el primer día?
3. Supongamos que las mediciones solo se hicieron al mediodía todos los días: es decir,\(t=12+24n\text{,}\) cuando\(n\) hay algún número entero entre 0 y 364. Entonces cesaría la variación diaria:\(50\cos\left(\frac{(12+24n)}{12}\pi\right) = 50\cos\left(\pi+2\pi n\right) = 50\cos\pi=-50\text{.}\) Entonces, la aproximación para la concentración de dióxido de carbono en la atmósfera podría darse como

   \[ N(t) = 350 +200\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\quad\text{ ppm} \nonumber \]

   ¿Cuál es el error relativo en la concentración promedio anual de dióxido de carbono involucrada en el uso en\(N(t)\text{,}\) lugar de\(C(t)\text{?}\)

Puede suponer que un día tiene exactamente 24 horas, y un año tiene exactamente 8760 horas.

15

Dejar\(S\) ser el sólido formado por la rotación de la parábola\(y=x^2\) de\(x=0\) a\(x=2\) alrededor del\(x\) eje -eje.

1. Cuál es el área promedio de las secciones transversales circulares de\(S\text{?}\) Llamar a este valor\(A\text{.}\)
2. Cuál es el volumen de\(S\text{?}\)
3. ¿Cuál es el volumen de un cilindro con área de sección transversal circular\(A\) y longitud 2?

16

Let\(f(x) = x\text{.}\)

1. Calcular el promedio de\(f(x)\) más\([-3,3]\text{.}\)
2. Calcular la raíz cuadrática media de\(f(x)\) más\([-3,3]\text{.}\)

17

Calcular la raíz cuadrática media de\(f(x) = \tan x\) más\(\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]\text{.}\)

18

Una fuerza actúa sobre un resorte, y el resorte se estira y se contrae. La distancia más allá de su longitud natural en el tiempo\(t\) es de\(f(t) = \sin\left(t\pi\right)\) cm, donde\(t\) se mide en segundos. La constante de resorte es de 3 N/cm.

1. ¿Cuál es la fuerza que ejerce la primavera en su momento\(t\text{,}\) si obedece la ley de Hooke?
2. Encuentra el promedio de la fuerza ejercida por el resorte de\(t=0\) a\(t=6\text{.}\)
3. Encuentra la raíz cuadrática media de la fuerza ejercida por el resorte de\(t=0\) a\(t=6\text{.}\)

Etapa 3

19 (✳)

Un automóvil viaja dos horas sin parar. El conductor registra la velocidad del automóvil cada 20 minutos, como se indica en la siguiente tabla:

tiempo en horas	0	1/3	2/3	1	4/3	5/3	2
velocidad en km/hr	50	70	80	55	60	80	40

1. Utilice la regla trapezoidal para estimar la distancia total recorrida en las dos horas.
2. Utilice la respuesta a la parte (a) para estimar la velocidad promedio del automóvil durante este periodo.

20

Let\(s(t) = e^t\text{.}\)

1. Encuentra el promedio de\(s(t)\) en el intervalo\([0,1]\text{.}\) Llamar a esta cantidad\(A\text{.}\)
2. Para cualquier punto\(t\text{,}\) la diferencia entre\(s(t)\) y\(A\) es\(s(t)-A\text{.}\) Encuentra el valor promedio de\(s(t)-A\) en el intervalo\([0,1]\text{.}\)
3. Para cualquier punto\(t\text{,}\) la diferencia absoluta entre\(s(t)\) y\(A\) es\(|s(t)-A|\text{.}\) Encuentra el valor promedio de\(|s(t)-A|\) en el intervalo\([0,1]\text{.}\)

21

Considere las dos funciones\(f(x)\) y\(g(x)\) abajo, ambas de las cuales tienen promedio\(A\) on\([0,4]\text{.}\)

1. ¿Qué función tiene un promedio mayor en\([0,4]\text{:}\)\(f(x)-A\) o\(g(x)-A\text{?}\)
2. ¿Qué función tiene un promedio mayor en\([0,4]\text{:}\)\(|f(x)-A|\) o\(|g(x)-A|\text{?}\)

22

Supongamos que la raíz cuadrática media de una función\(f(x)\) en el intervalo\([a,b]\) es\(R\text{.}\) ¿Cuál es el volumen del sólido formado al rotar la porción de\(f(x)\) desde\(a\) a\(b\) alrededor del\(x\) eje -eje?

Como en el Ejemplo 2.2.6, dejemos que la raíz cuadrática media de\(f(x)\) on\([a,b]\) sea\(\displaystyle\sqrt{\frac{1}{b-a}\int_a^b f^2(x)\,\, d{x}}\text{.}\)

23

Supongamos\(f(x)=ax^2+bx+c\text{,}\) y el valor promedio de\(f(x)\) en el intervalo\([0,1]\) es el mismo que el promedio de\(f(0)\) y\(f(1)\text{.}\) Qué es\(a\text{?}\)

24

Supongamos\(f(x)=ax^2+bx+c\text{,}\) y el valor promedio de\(f(x)\) en el intervalo\([s,t]\) es el mismo que el promedio de\(f(s)\) y\(f(t)\text{.}\) ¿Es posible que\(a \neq 0\text{?}\)

Es decir, ¿generaliza el resultado de la Pregunta 23?

25

Let\(f(x)\) Ser una función definida para todos los números en el intervalo\([a,b]\text{,}\) con valor promedio\(A\) sobre ese intervalo. Cuál es el promedio de\(f(a+b-x)\) sobre el intervalo\([a,b]\text{?}\)

26

Supongamos que\(f(t)\) es una función continua, y\(A(x)\) es el promedio de\(f(t)\) en el intervalo de 0 a\(x\text{.}\)

1. Cuál es el promedio de\(f(t)\) en\([a,b]\text{,}\) donde\(a \lt b\text{?}\) Da tu respuesta en términos de\(A\text{.}\)
2. Lo que es\(f(t)\text{?}\) otra vez, da tu respuesta en términos de\(A\text{.}\)

27

1. Encontrar una función\(f(x)\) con promedio\(0\) sobre\([-1,1]\) pero\(f(x) \neq 0\) para todos\(x\) en\([-1,1]\text{,}\) o mostrar que no existe tal función.
2. Encontrar una función continua\(f(x)\) con promedio\(0\) sobre\([-1,1]\) pero\(f(x) \neq 0\) para todos\(x\) en\([-1,1]\text{,}\) o mostrar que no existe tal función.

28

Supongamos que\(f(x)\) es una función positiva, continua con\(\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=0\text{,}\) y dejar\(A(x)\) ser el promedio de\(f(x)\) on\([0,x]\text{.}\)

Verdadero o falso:\(\lim\limits_{x \to \infty} A(x) = 0\text{.}\)

29

Dejar\(A(x)\) ser el promedio de la función\(f(t)=e^{-t^2}\) en el intervalo\([0,x]\text{.}\) ¿Qué es\(\displaystyle\lim_{x \to \infty} A(x)\text{?}\)

1. Un juego de palabras horrible. Los dos enfoques principales de la estadística son el frecuentismo y el bayesianismo; este último lleva el nombre del teorema de Bayes que, a su vez, lleva el nombre del reverendo Thomas Bayes. Si bien este (tanto los enfoques de la estadística como su historia y denominación) es un tema muy interesante y bastante filosófico, está más allá del alcance de este curso. El lector interesado tiene mucha lectura interesante aquí para interesarle.
2. Estamos siendo un poco sueltos aquí con la distinción entre media y media. Para ser mucho más pedante — el promedio es la media aritmética. Otros “medios” interesantes son los medios geométricos y armónicos:
3. Un enchufe doméstico normal entrega corriente alterna, en lugar de los suministros USB de corriente continua. A riesgo de otra sugerencia de “el lector interesado”, el cómo y por qué los enchufes domésticos suministran corriente de CA es otra digresión que vale la pena e interesante al estudiar la integración. El lector interesado debería buscar la “Guerra de las Corrientes”. El lector diligente e interesado debe marcar esto, terminar la sección y volver a ella más tarde.
4. Algunos países suministran energía a 50 ciclos por segundo. Japón en realidad abastece ambos — 50 ciclos en el este del país y 60 en el oeste.
5. Este ejemplo fue escrito en Norteamérica donde el voltaje estándar suministrado a los hogares es de 120 voltios. La mayor parte del resto del mundo abastece a los hogares con 240 voltios. La razón principal de esta diferencia es el desarrollo de la bombilla. Estados Unidos se electrificó antes cuando el mejor voltaje para la tecnología de bombilla era de 110 voltios. Con el paso del tiempo, la tecnología de las bombillas mejoró y los países que electrificaron posteriormente aprovecharon esto (y los costos de transmisión más baratos que vienen con mayor voltaje) y se estandarizaron a 240 voltios. ¡Tantas digresiones en esta sección!
6. Para un conjunto finito de números se puede calcular la “media cuadrática” que es otra manera de generalizar la noción del promedio:
7. Un rápido vistazo al Apéndice A.14 refrescará su memoria.
8. Hay muchas cosas poco sorprendentes que son ciertas, pero también hay muchas cosas poco sorprendentes que sorprendentemente resultan ser falsas. A los matemáticos les gusta probar cosas, sorprendentes o no.