2.1: Preludio a la Derivada

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Idea de Precálculo: Pendiente y Tasa de Cambio

La pendiente de una línea mide qué tan rápido sube o baja una línea a medida que nos movemos de izquierda a derecha a lo largo de la línea. Mide la tasa de cambio de la coordenada y con respecto a los cambios en la coordenada x. Si la línea representa la distancia recorrida a lo largo del tiempo, por ejemplo, entonces su pendiente representa la velocidad. En la figura, puedes recordarte cómo calculamos la pendiente usando dos puntos en la línea:

talud — \( m=\text{Slope from \( P \)a\( Q \)} =\ dfrac {\ text {rise}} {\ text {run}} =\ dfrac {y_2-y_1} {x_2-x_1} =\ dfrac {\ Delta y} {\ Delta x}\)

Nos gustaría poder obtener ese mismo tipo de información (qué tan rápido sube o baja la curva, velocidad desde la distancia) aunque la gráfica no sea una línea recta. Pero, ¿qué pasa si tratamos de encontrar la pendiente de una curva, como en la siguiente figura?

Necesitamos dos puntos para determinar la pendiente de una línea. ¿Cómo podemos encontrar una pendiente de una curva, en un solo punto? La respuesta, como se sugiere en la figura, es encontrar la pendiente de la línea tangente a la curva en ese punto. La mayoría de nosotros tenemos una idea intuitiva de lo que es una línea tangente. Desafortunadamente, la “línea tangente” es difícil de definir con precisión.

Definición: Línea Secante

Una línea secante es una línea entre dos puntos en una curva.

Vea la imagen a continuación:

No se puede hacer todavía Definición: Línea tangente

Una línea tangente es una línea en un punto de una curva... ¿eso hace todo lo posible para ser la curva en ese punto?

Como puedes ver en la imagen de abajo, cuanto más cerca esté el punto\(Q\) del punto\(P\), más cerca se acerca la pendiente secante a la pendiente tangente. Esto será clave para encontrar la pendiente tangente, pero primero tenemos que definir con más cuidado la idea de acercarnos a.