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3.7: Área, Volumen y Valor Promedio

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    Valor promedio

    Sabemos que el promedio de\(n\) números\(a_1, a_2, \dots , a_n\) es su suma dividida por\(n\). Pero, ¿y si necesitamos encontrar la temperatura promedio a lo largo de un día? ¡Hay demasiadas temperaturas posibles para sumarlas! Este es un trabajo para la integral definitiva.

    Valor promedio

    El valor promedio de una función\(f(x)\) en el intervalo\([a, b]\) viene dado por\[ \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\, dx. \nonumber \]

    El valor promedio de un positivo\(f\) tiene una interpretación geométrica agradable. Imagínese que el área debajo\(f\) (gráfica (a) a continuación) es un líquido que puede filtrarse a través de la gráfica para formar un rectángulo con la misma área (gráfico (b) a continuación).

    gráficas

    Si la altura del rectángulo es\(H\), entonces el área del rectángulo es\( H\cdot (b-a) \). Sabemos que el área del rectángulo es la misma que el área debajo\(f\) así\( H\cdot (b-a) = \int_a^b f(x)\, dx \). Entonces\[ H = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, dx, \nonumber \] el valor promedio de\(f\) on\([a,b]\).

    El valor promedio de una función positiva\(f\) es la altura\(H\) del rectángulo cuya área es la misma que el área debajo\(f\).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Durante un día de trabajo de 9 horas, la tasa de producción en el tiempo\(t\) horas posteriores al inicio del turno fue dada por los\( r(t)=5+\sqrt{t} \) autos funcionales por hora. Encuentre la tasa promedio de producción por hora.

    Solución

    La producción promedio por hora es de\( \frac{1}{9-0}\int_0^9\left(5+\sqrt{t}\right)\, dt = 7 \) autos por hora.

    Una nota sobre las unidades — recuerda que la integral definitiva tiene unidades (autos por hora)\( \cdot \) (horas) = autos. Pero el de\( \frac{1}{b-a} \) enfrente tiene unidades\(\frac{1}{\text{hours}}\) por lo que las unidades del valor promedio son autos por hora, justo lo que esperamos que sea una tarifa promedio.

    En general...

    ... el valor promedio de una función tendrá las mismas unidades que el integrando.

    Los promedios de función, que involucran medias y promedios más complicados, se utilizan para suavizar los datos para que los patrones subyacentes sean más obvios y para eliminar el ruido de alta frecuencia de las señales En estas situaciones, la función original\(f\) es reemplazada por algún promedio de\(f\). Si\(f\) se trata de datos de tiempo bastante dentados, entonces el promedio de diez años de\(f\) es la integral\( g(x)=\frac{1}{10}\int\limits_{x-5}^{x+5} f(t)\, dt \), un promedio de\(f\) más de 5 unidades a cada lado de\(x\).

    Por ejemplo, la siguiente figura muestra las gráficas de un Promedio Mensual (datos bastante “ruidosos”) de los datos de temperatura de la superficie, un Promedio Anual (todavía bastante irregular) y un Promedio de Cinco Años (una función mucho más suave).

    gráfico de Robert A. Rohde
    Imagen preparada por Robert A. Rohde, http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Short_Instrumental_Temperature_Record.png.

    Por lo general, la función promedio revela el patrón mucho más claramente que los datos originales. Este uso de un valor promedio móvil de datos ruidosos (información meteorológica, precios de acciones) es muy común.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    La gráfica a continuación muestra la cantidad de agua en un embalse durante un periodo de 12 horas. Estimar la cantidad promedio de agua en el embalse durante este periodo.

    gráfico

    Si\( V(t) \) es el volumen del agua (en millones de litros) después de\(t\) horas, entonces la cantidad promedio es\( \frac{1}{12}\,\int_0^{12} V(t)\, dt \). Para encontrar la integral definitiva, tendremos que estimar. Usemos 6 rectángulos y tomemos las alturas desde sus bordes derechos (no hay nada especial en usar 6 rectángulos o bordes rectos; otras opciones aún te darían una estimación válida).

    gráfico

    La estimación de la integral es\[\int_0^{12} V(t)\, dt \approx (18)(2)+(9.7)(2)+(8.2)(2)+(12)(2)+(19.9)(2)+(22)(2)=179.6.\nonumber \]

    Solución

    Las unidades de esta integral son (millones de litros)\( \cdot \) (pies). Por lo que nuestra estimación del volumen promedio es de\( \frac{1}{12}\cdot 179.6\approx 15 \) millones de litros. (La estimación podría cambiar un poco dependiendo de cómo estimamos los valores de la función a partir de la gráfica).

    En la siguiente figura, se puede ver la misma gráfica con la línea\( y=15 \) dibujada en. El área bajo la curva y el área debajo del rectángulo son (aproximadamente) iguales.

    gráfico

    De hecho, esa sería una forma diferente de estimar el valor promedio. Podríamos haber estimado la colocación de la línea horizontal para que el área bajo la curva y debajo de la línea fueran iguales.

    Área

    Ya hemos utilizado integrales para encontrar el área entre la gráfica de una función y el eje horizontal. Las integrales también se pueden utilizar para encontrar el área entre dos gráficas.

    Si\(f(x) \geq g(x)\) para todo\(x\) en\([a,b]\), entonces podemos aproximar el área entre\(f\) y\(g\) dividiendo el intervalo\([a,b]\) y formando una suma de Riemann, como se muestra en la imagen. La altura de cada rectángulo es superior - inferior,\(f(c_i) - g(c_i)\) por lo que el área del rectángulo\(i\) -ésimo es (altura)\( \cdot \) (base) =\(\left(f(c_i) - g(c_i)\right)\cdot\Delta x\). Sumando estos rectángulos da una aproximación del área total como\( \sum_{i=1}^n \left(f(c_i) - g(c_i)\right)\cdot\Delta x \), una suma de Riemann.

    gráfico

    El límite de esta suma de Riemann, a medida que el número de rectángulos se hace mayor y su ancho se hace más pequeño, es la integral definida\( \int_a^b \left(f(x) - g(x)\right)\, dx \).

    Área entre dos curvas

    El área entre dos curvas\(f(x)\) y\(g(x)\), donde\(f(x) \geq g(x)\), entre\(x = a\) y\(x = b\) es\[ \int_a^b \left(f(x) - g(x)\right)\, dx. \nonumber \]

    El integrando es de arriba a abajo. Haga una gráfica o use valores de prueba para asegurarse de qué curva es cuál.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Encuentra el área delimitada entre las gráficas de\(f(x) = x\) y\(g(x) = 3\) para\(1 \leq x \leq 4\).

    gráfico

    Solución

    Siempre comience con una gráfica para que pueda ver qué gráfica es la parte superior y cuál es la inferior. En este ejemplo, las dos curvas se cruzan, y cambian de posición; tendremos que dividir el área en dos pedazos. Geométricamente, podemos ver que el área es 2 + 0.5 = 2.5.

    Escribiendo el área como una suma de integrales definidas, obtenemos\[ \text{Area }= \int_1^3 (3-x)\, dx+\int_3^4 (x-3)\, dx.\nonumber \]

    Estas integrales son fáciles de evaluar usando antiderivados:\[ \begin{align*} \int_1^3 (3-x)\, dx & = \left[3x-\frac{x^2}{2}\right]_1^3 \\ & = \left(9-\frac{9}{2}\right)-\left(15-\frac{25}{2}\right) \\ & = 2 \end{align*} \nonumber \]\[ \begin{align*} \int_3^4 (x-3)\, dx & = \left[\frac{x^2}{2}-3x\right]_3^4 \\ & = \left(\frac{16}{2}-12\right)-\left(\frac{9}{2}-9\right) \\ & = \frac{1}{2} \end{align*} \nonumber \]

    La suma de estas dos integrales nos dice que el área total entre\(f\) y\(g\) es de 2.5 unidades cuadradas, lo que ya sabíamos de la imagen.

    Tenga en cuenta que la integral única no\( \int_1^4 (3-x)\, dx = 1.5 \) es el área que queremos en el último ejemplo. El valor de la integral es 1.5, y el valor del área es 2.5. Eso es porque para el triángulo de la derecha, la gráfica de\(y = x\) está por encima de la gráfica de\(y = 3\), por lo que el integrando\(3 - x\) es negativo; en la integral definida, el área de ese triángulo entra con un signo negativo.

    En este ejemplo, fue fácil ver exactamente dónde se cruzaban las dos curvas para poder romper la región en las dos piezas para figurar por separado. En otros ejemplos, es posible que necesites resolver una ecuación para encontrar dónde se cruzan las curvas.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Encuentra el área delimitada por las gráficas de\(f(x) = x^2\) y\(g(x) = x+6\).

    Solución

    Para comenzar, ayudará a bosquejar una gráfica de las funciones para ver el área encerrada.

    gráfico

    Para configurar la integral para el área, necesitamos determinar dónde intersecta la línea con la parábola. Si bien los puntos se ven bastante claros en la gráfica, será bueno verificar los puntos algebraicamente:\[ \begin{align*} x^2 & = x+6 \\ x^2 - x -6 & = 0 \\ (x-3)(x+2) & = 1 \\ x & = -2, 3 \end{align*} \nonumber \]

    Durante este intervalo\(-2 \leq x \le 3\) notamos que la función lineal está en la parte superior, así que si tuviéramos que dibujar un rectángulo entre las curvas, la altura sería (función superior) − (función inferior) =\((x+6)-x^2\).

    Establecer una integral definitiva para esta área:\[ \text{Area }= \int_{-2}^3 (x+6-x^2)\, dx\nonumber \]

    Podemos evaluar esta integral usando antiderivados:\[ \begin{align*} \int_{-2}^3 (x+6-x^2)\, dx & = \left[\frac{x^2}{2} + 6x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^3 \\ & = \left(\frac{3^2}{2} + 6\cdot 3 -\frac{3^3}{3}\right)-\left(\frac{(-2)^2}{2} + 6\cdot(-2) -\frac{(-2)^3}{3}\right) \\ & = \left(\frac{9}{2} + 18 - \frac{27}{3}\right) - \left(\frac{4}{2} - 12 -\frac{8}{3}\right) \\ & = \left(\frac{9}{2} + 18 - 9\right) - \left(2 - 12 -\frac{8}{3}\right) \\ & = \left(\frac{9}{2} +9\right) - \left(-10 -\frac{8}{3}\right) \\ & = \frac{9}{2} +9 +10 +\frac{8}{3} \\ & = \frac{157}{6} \end{align*} \nonumber \]

    El área entre las curvas es de unidades\(\frac{157}{6}\approx 26.167\) cuadradas.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Dos objetos parten de la misma ubicación y viajan por el mismo camino con velocidades\( v_A(t)=t+3 \) y\( v_B(t)=t^2-4t+3 \) metros por segundo. ¿Qué tan lejos está\(A\) después de 3 segundos?

    Solución

    gráfico

    Ya que\( v_A(t) \geq v_B(t) \), el área entre las gráficas de\( v_A \) y\( v_B \) representa la distancia entre los objetos.

    Después de 3 segundos, la distancia de separación es\[ \begin{align*} \int_0^3 \left( v_A(t) - v_B(t) \right)\, dt & = \int_0^3 \left( (t+3) - \left( t^2-4t+3 \right) \right)\, dt \\ & = \int_0^3 \left(5t-t^2\right)\, dt \\ & = \left[ 5\frac{t^2}{2} -\frac{t^3}{3} \right]_0^3 \\ & = \left( 5\frac{9}{2}-\frac{27}{3}\right)-(0) \\ & = 13.5 \text{ meters}. \end{align*} \nonumber \]

    Volumen

    Así como podemos dividir un intervalo e imaginar aproximar un área con rectángulos para encontrar una fórmula para el área entre curvas, podemos dividir un intervalo e imaginar aproximar un volumen con formas simples para encontrar una fórmula para el volumen de un sólido. Si bien este enfoque funciona para una variedad de formas, nuestro enfoque estará en formas formadas girando una curva alrededor del eje horizontal.

    Comenzamos con un área, la región debajo de una función en el intervalo\(a \leq x \leq b\). Vamos a tomar esa región, y girarla alrededor del\(x\) eje -eje, creando la forma sólida que se muestra.

    regiónsólido

    Para encontrar el volumen de este sólido, podemos comenzar particionando el intervalo [0,1] y aproximando el área con rectángulos. Como antes, el ancho de cada rectángulo sería\( \Delta x \) y la altura\(f(c_i)\).

    regiónsólido

    Si tomáramos solo uno de estos rectángulos y lo giráramos alrededor del eje horizontal, formaría una forma cilíndrica. El radio de ese cilindro sería\(f(c_i)\), por lo que el volumen sería\[ V=\pi r^2 h=\pi\left(f(c_i)\right)^2\Delta x. \nonumber \]

    El volumen de todo el sólido podría aproximarse girando cada uno de los rectángulos alrededor del eje x. Sumando el volumen de cada uno de los pequeños discos cilíndricos da una aproximación del volumen total como\( \sum\limits_{i=1}^n \pi\left(f(c_i)\right)^2\Delta x \), una suma de Riemann.

    El límite de esta suma a medida que el ancho de los rectángulos se vuelve pequeño es la integral definida\( \int_a^b \pi\left(f(c_i)\right)^2\, dx \)

    Volumen

    El volumen del sólido obtenido al girar alrededor del\(x\) eje -el área delimitada por la curva\(f(x)\), el\(x\) eje -y\(x = b\) es\(x = a\)\[ \int_a^b \pi\left(f(c_i)\right)^2\, dx \nonumber \]

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Encuentra el volumen del sólido formado rotando el área debajo\( f(x)=e^{-x} \) en el intervalo [0,1] alrededor del\(x\) eje -eje.

    Solución

    región

    Esta es la región que se muestra en el ejemplo anterior. Sustituimos en la función y límites en la fórmula que derivamos para establecer la integral definida:\[ \text{Volume} = \int_0^1 \pi\left(e^{-x}\right)^2\, dx. \nonumber \]

    Usando reglas de exponente, el integrando puede simplificarse. La constante se\( \pi \) puede sacar de la integral:\[ \text{Volume} = \pi\int_0^1 e^{-2x}\, dx. \nonumber \]

    Usando la sustitución\(u = -2x\), podemos integrar esta función. \[ \begin{align*} \pi\int_0^1 e^{-2x}\, dx & = \text{(\( u \)-substitution)} \\ & = \left. -\frac{1}{2}\pi e^{-2x}\right]_0^1 \\ & = \left(-\frac{1}{2}\pi e^{-2(1)}\right) - \left(-\frac{1}{2}\pi e^{-2(0)}\right) \\ \approx & 1.358\text{ cubic units}. \end{align*} \nonumber \]


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