3.6: Técnicas de integración adicionales

Integración por partes

La integración por partes es un método de integración que nos permite encontrar antiderivados de algunas funciones nuevas, así\( \ln(x) \) como antiderivados de productos de funciones como\( x^2\ln(x) \) y\( xe^x \).

Si la función que estamos tratando de integrar puede escribirse como un producto de dos funciones, y\(u\)\(dv\), entonces la integración por partes nos permite intercambiar una integral complicada por una ojalá más simple.

Integración por Fórmula de Partes

\[ \int u\, dv = uv-\int v\, du \nonumber \]

Para integrales definitivas:\[ \int_a^b u\, dv = \left.uv\right]_a^b-\int_a^b v\, du \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Integrar\( \int xe^x\, dx \).

Solución

Para utilizar el método Integración por Partes, separamos el producto en dos partes:\[ u=x \qquad\text{and}\qquad dv=e^x\, dx.\nonumber \]

Ahora calculamos\(du\), la derivada de\(u\), y\(v\), la integral de\(dv\):\[ du=\left(\frac{d}{dx} x\right)\, dx \qquad\text{and}\qquad v= \int e^x\, dx = e^x.\nonumber \]

Usando la fórmula Integración por Partes,\[ \int xe^x\, dx=uv-\int v\, du = xe^x - \int e^x\, dx.\nonumber \]

Observe que la integral restante es más simple que la original, y una que podemos evaluar fácilmente:\[ xe^x - \int e^x\, dx = xe^x-e^x+C. \nonumber \]

En el último ejemplo podríamos haber elegido cualquiera\(x\) o\( e^x \) como nuestro\(u\), pero si hubiéramos elegido\( u=e^x \), la segunda integral se habría vuelto más desmesurada, en lugar de más simple.

Regla de oro

Al seleccionar el\(u\) para Integración por piezas, seleccione una expresión logarítmica si hay alguna. Si no es así, seleccione una expresión algebraica (como\(x\) o\(dx\)).

(Hay un árbol de decisiones más grande que se puede anotar para elegir\( u \) y\( dv \), pero como no estamos viendo ninguna función trigonométrica en este curso la regla anterior es suficiente para las funciones que estamos integrando).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Integrar\( \int\limits_1^4\, 6x^2\ln(x)\, dx \).

Solución

Como esto contiene una expresión logarítmica, la usaremos para nuestro u:\[ u=\ln(x) \qquad \text{and} \qquad dv= 6x^2\, dx\nonumber \]

Ahora calculamos\(du\) y\(v\):\[ du=\frac{1}{x}dx \qquad \text{and} \qquad v= \int 6x^2\, dx = 6\frac{x^3}{3}=2x^3 \nonumber \]

Usando la fórmula Por partes:\[ \int_1^4 6x^2\ln(x)\, dx = \left.2x^3\ln(x)\right]_1^4 - \int_1^4 6x^2\frac{1}{x}\, dx \nonumber \]

Podemos simplificar la expresión en la integral a la derecha:\[ \int_1^4 6x^2\ln(x)\, dx = \left.2x^3\ln(x)\right]_1^4 - \int_1^4 6x\, dx \nonumber \]

La integral restante es una integral básica que ahora podemos evaluar:\[ \int_1^4 6x^2\ln(x)\, dx = \left.2x^3\ln(x)\right]_1^4 - \left.3x^2\right]_1^4 \nonumber \]

Finalmente, podemos evaluar las expresiones:\[ \begin{align*} \int_1^4 6x^2\ln(x)\, dx & = \left(\left(2\cdot 4^3\ln(4)\right)-\left(2\cdot 1^3\ln(1)\right)\right)-\left(\left(3\cdot 4^2\right)-\left(3\cdot 1^2\right)\right)\\ & = 128\ln(4)-45\\ \approx & 132.446 \end{align*} \nonumber \]

Integración Usando Tablas de Integrales

Hay muchas técnicas de integración que no vamos a estudiar. Muchos de ellos conducen a fórmulas generales que se pueden compilar en una Tabla de Integrales, un tipo de hoja de trampa para la integración.

Por ejemplo, aquí hay dos entradas que puede encontrar en una tabla de integrales:

Tabla de Ejemplos Integrales

\[ \begin{align*} \int \frac{1}{x^2-a^2}\, dx & = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C \\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\, dx & = \ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+C \end{align*} \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Integrar\( \displaystyle \int\frac{5}{x^2-9}\, dx \).

Solución

Esta integral se ve muy similar a la forma de la primera integral en la tabla de ejemplos. Al emplear la regla que nos permite sacar constantes, y al reescribir 9 como\(3^2\), podemos ver mejor el partido. \[ \int\frac{5}{x^2-9}\, dx = 5\int\frac{1}{x^2-3^2}\, dx \nonumber \]

Ahora simplemente usamos la fórmula de la mesa, con\(a = 3\). \[ \begin{align*} \int\frac{5}{x^2-9}\, dx = & 5\int\frac{1}{x^2-3^2}\, dx \\ & = 5\left(\frac{1}{2\cdot 3}\ln\left|\frac{x-3}{x+3}\right|\right)+C \\ & = \frac{5}{6}\ln\left|\frac{x-3}{x+3}\right|+C \end{align*} \nonumber \]

A veces tenemos que combinar la mesa con otras técnicas que hemos aprendido, como la sustitución.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Integrar\( \displaystyle \int\frac{x^2}{\sqrt{x^6+16}}\, dx \).

Solución

Esta integral se parece algo a la segunda integral en la tabla de ejemplo, pero el poder de\(x\) es incorrecto, y hay una\(x^2\) en el numerador que no coincide. Tratando de utilizar esta regla, podemos intentar reescribir el\(x^6\) en el denominador para que se vea como (algo)\(^2\). Por suerte,\( x^6 = \left(x^3\right)^2 \). \[ \int\frac{x^2}{\sqrt{x^6+16}}\, dx = \int\frac{x^2}{\sqrt{\left(x^3\right)^2+16}}\, dx \nonumber \]

Ahora podemos usar sustitución, dejar\( u=x^3 \), así\( du=3x^2\, dx \).

Haciendo la subsitución:\[ \int\frac{x^2}{\sqrt{\left(x^3\right)^2+16}}\, dx = \int\frac{1}{\sqrt{u^2+16}}\, \frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int\frac{1}{\sqrt{u^2+16}}\, du \nonumber \]

Ahora podemos usar la entrada de la tabla:\[ \frac{1}{3}\int\frac{1}{\sqrt{u^2+16}}\, du = \frac{1}{3}\ln\left|u+\sqrt{u^2+16}\right|+C \nonumber \]

Al deshacer la sustitución se obtiene la respuesta final:\[ \int\frac{x^2}{\sqrt{x^6+16}}\, dx = \frac{1}{3}\ln\left|x^3+\sqrt{x^6+16}\right|+C \nonumber \]