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# 4.1: Funciones de dos variables

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## Introducción

La vida real rara vez es tan simple como una entrada/una salida. Muchas relaciones dependen de muchas variables. Ejemplos:

• Si pongo un depósito en una cuenta que devenga intereses y la dejo reposar, la cantidad que tengo al final de 3 años depende de$$P$$ (cuánto es mi depósito inicial),$$r$$ (la tasa de interés anual) y$$n$$ (el número de compuestos por año).
• La resistencia del aire en un ala en un túnel de viento depende de la forma del ala, la velocidad del viento, la orientación del ala (cabeceo, guiñada y balanceo), además de una miríada de otras cosas que no puedo comenzar a describir.
• El monto de tu factura de televisión por cable depende de la estructura de tarifas básica que hayas elegido y de cuántas películas de pago por visión hayas pedido.

Dado que el mundo real es tan complicado, queremos extender nuestras ideas de cálculo a funciones de varias variables.

## Funciones de dos variables

Si$$x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$$ son números reales, entonces$$(x_1, x_2, x_3, \dots, x_n)$$ se llama una$$n$$ -tupla. Se trata de una extensión de pares y triples ordenados. Una función de$$n$$ variables es una función cuyo dominio es algún conjunto de$$n$$ -tuplas y cuyo rango es algún conjunto de números reales.

Por gran parte de lo que hacemos aquí, todo va a funcionar igual ya sea que estuviéramos trabajando con 2, 3, o 47 variables. Debido a que estamos tratando de que las cosas sean un poco más simples, nos concentraremos en funciones de dos variables.

##### Una función de dos variables

Una función de dos variables es una función, es decir, a cada entrada se asocia exactamente una salida.

Las entradas son pares ordenados,$$(x, y)$$. Las salidas son números reales (cada salida es un único número real). El dominio de una función es el conjunto de todas las entradas posibles (pares ordenados); el rango es el conjunto de todas las salidas posibles (números reales).

La función puede ser escrita$$z = f(x,y)$$.

Las funciones de dos variables se pueden describir numéricamente (una tabla), gráfica, algebraicamente (una fórmula), o en inglés.

A menudo ahora llamaremos a lo familiar$$y = f(x)$$ una función de una variable.

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

El costo de alquilar un auto depende de cuántos días lo guardes y qué tan lejos conduzcas. Representar esto usando una función.

Solución

$$d$$Sea el número de días que alquile el auto, y$$m$$ sea el número de millas que conduce. Entonces el costo del alquiler de autos$$C(d, m)$$ es una función de dos variables.

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

La demanda de bollos de hot dog depende del precio de los bollos de hot dog y también del precio de los hot dogs. Representar esto como una función.

Solución

La demanda$$q_B=f\left(p_B,p_D \right)$$ es una función de dos variables. (La demanda de perritos calientes también depende del precio tanto de los perros como de los bollos).

## Fórmulas y Tablas

Así como en el caso de las funciones de una variable, podemos mostrar una función de dos variables en una tabla. Las dos entradas se muestran en el margen (fila superior, columna izquierda), y las salidas se muestran en las celdas interiores.

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Aquí hay una tabla que muestra el costo$$C(d, m)$$ en dólares por rentar un auto por$$d$$ días y conducirlo$$m$$ millas:

 $$d$$(etiquetas en la columna izquierda),$$m$$ (etiquetas en la fila superior) 100 200 300 400 1 55 70 85 100 2 95 110 125 140 3 135 150 165 180
1. ¿Cuál es el costo de rentar un auto por 3 días y conducirlo a 200 millas?
2. ¿Qué es$$C(100, 4)$$? ¿Qué es$$C(4, 100)$$?
3. Supongamos que rentamos el auto por tres días. ¿Es$$C$$ una función creciente de millas?

Solución

1. Según la tabla, rentar el auto por tres días (fila con$$d = 3$$) y manejarlo 200 millas (columna con$$m = 200$$) costará $150 (en cursiva en la tabla). 2. Cuidado ahora — la entrada es un par ordenado, así que en$$C(100, 4)$$, el 100 tiene que ser un valor de$$d$$ y el 4 tiene que ser un valor de$$m$$. $$C(100, 4)$$sería el costo de rentar un auto por 100 días y conducirlo a 4 millas. Ese costo no está en la tabla. (Y esa sería una forma bastante tonta de alquilar un auto). Por otro lado,$$C(4, 100)$$ es el costo de rentar por 4 días y conducir 100 millas —dice la mesa que costaría 175 dólares. 3. Si sabemos que$$d$$ se fija en 3, estamos mirando$$C(3, m)$$. Esto es ahora una función de una variable: justa$$m$$. Podemos ver la tabla que muestra los valores de esta función centrando nuestra atención solo en la fila donde$$d = 3$$:  $$d$$(etiqueta en la columna izquierda),$$m$$ (etiquetas en la fila superior) 100 200 300 400 3 135 150 165 180 Ahora podemos ver que si alquilamos por 3 días, el costo parece ser una función creciente del número de millas que manejamos, lo que no debería ser sorprendente. La idea de fijar una variable y ver lo que le sucede a la función como la otra varía surgirá una y otra vez. Es difícil mostrar una función de más de dos variables en una tabla. Pero es conveniente trabajar con fórmulas para funciones de dos variables, o tantas variables como quieras. ##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$ El costo$$C(d,m)$$ en dólares por rentar un auto por$$d$$ días y manejarlo$$m$$ millas viene dado por la fórmula$C(d,m)=40d+0.15m. \nonumber$ 1. ¿Cuál es el costo de rentar un auto por 3 días y conducirlo a 200 millas? 2. ¿Qué es$$C(100, 4)$$? ¿Qué es$$C(4, 100)$$? 3. Supongamos que rentamos el auto por 3 días. ¿Es$$C$$ una función creciente de millas? Solución 1. $$C(3,200)=40(3)+0.15(200)=\150$$. Este es el mismo valor que obtuvimos de la mesa. La fórmula nos dará las mismas respuestas para cualquiera de los valores de la tabla. 2. $$C(100, 4)$$tiene perfecto sentido para la fórmula (incluso si no tiene sentido para alquilar realmente un automóvil). Entonces ahora podemos obtener una respuesta. Para rentar el auto por 100 días y conducirlo por 4 millas debe costar$4000.60. $$C(4, 100) = \175$$, como antes.
3. Si arreglamos$$d = 3$$, entonces$$C(d, m)$$ se vuelve$$C(3, m) = 40(3) + 0.15m = 120 + 0.15m$$. Sí, esta es una función creciente de$$m$$ — podemos decir porque es lineal y su pendiente lo es$$0.15 \gt 0$$.

Verificación de la realidad: la fórmula que da el costo del auto de alquiler tiene sentido para todos los valores de$$d$$ y$$m$$. Pero no es así como funciona el costo real: no se puede alquilar el auto por un número negativo de días o conducir un número negativo de millas. (Es decir, hay restricciones de dominio). Además, la mayoría de los acuerdos de renta de autos no computan un cargo por fracciones de días; redondean al siguiente número entero de días.

##### Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

Vamos$$f(x,y,z,w)=35x^2w-\frac{1}{z}+yz^2$$. Evaluar$$f(0,1,2,3)$$.

Solución

Recuerda que esta es una 4-tupla ordenada; asegúrate de que los números se sustituyan en los lugares correctos:$f(0,1,2,3)=35(0)^2(3)-\frac{1}{2}+(1)(2)^2=3.5 \nonumber$

## Gráficas

La gráfica de una función de dos variables es una superficie en el espacio tridimensional. Empecemos por mirar el sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales, cómo ubicar puntos en tres dimensiones y la distancia entre puntos en tres dimensiones.

En el sistema de coordenadas rectangulares bidimensionales tenemos dos ejes de coordenadas que se encuentran en ángulo recto en el origen, y se necesitan dos números, un par ordenado$$(x, y)$$, para especificar la ubicación de coordenadas rectangulares de un punto en el plano (dos dimensiones).

Cada par ordenado$$(x, y)$$ especifica la ubicación de exactamente un punto, y la ubicación de cada punto viene dada por exactamente un par ordenado$$(x, y)$$. $$y$$Los valores$$x$$ y son las coordenadas del punto$$(x, y)$$.

La situación en tres dimensiones es muy similar. En el sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales tenemos tres ejes de coordenadas que se encuentran en ángulo recto, y se necesitan tres números$$(x, y, z)$$, un triple ordenado, para especificar la ubicación de un punto.

Cada triple ordenado$$(x, y, z)$$ especifica la ubicación de exactamente un punto, y la ubicación de cada punto viene dada por exactamente un triple ordenado$$(x, y, z)$$. Los$$z$$ valores$$x$$$$y$$,, y son las coordenadas del punto$$(x, y, z)$$. En la siguiente figura se muestra la ubicación del punto (4, 2, 3).

Normalmente usamos una orientación a la derecha. Para ver lo que esto significa, imagina tu mano derecha delante de ti con la palma hacia tu cara, tu pulgar apuntando hacia arriba, tu dedo índice hacia afuera, y tu siguiente dedo hacia tu cara (y los dos dedos inferiores doblados hacia la palma). Luego, en el sistema de coordenadas de la derecha, tu pulgar apunta a lo largo del$$z$$ eje positivo, tu dedo índice a lo largo del$$x$$ eje positivo y el otro dedo a lo largo del$$y$$ eje positivo.

Otras orientaciones de los ejes son posibles y válidas (con el etiquetado adecuado), pero el sistema de la derecha es la orientación más común y es el que generalmente usaremos. Si se usa otra orientación, entonces los ejes se etiquetarán explícitamente.

Cada triple ordenado$$(x, y, z)$$ especifica la ubicación de un solo punto, y este punto de ubicación se puede trazar ubicando el punto$$(x, y, 0)$$ en el$$xy$$ plano y luego subiendo$$z$$ unidades (la ruta roja en la siguiente figura).

También podríamos llegar al mismo$$(x, y, z)$$ punto de otras maneras. Por ejemplo, podríamos comenzar por encontrar el punto$$(x, 0, z)$$ en el$$xz$$ plano y luego ir$$y$$ unidades paralelas al$$y$$ eje -, o por encontrar$$(0, y, z)$$ en el$$yz$$ plano y luego ir$$x$$ unidades paralelas al$$x$$ eje -eje (el camino azul en la figura anterior).

##### Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

Trazar las ubicaciones de los puntos

• $$P=(0,3,4)$$,
• $$Q=(2,0,4)$$,
• $$R=(1,4,0)$$,
• $$S=(3,2,1)$$, y
• $$T=(-1,2,1)$$.

A continuación se muestran los puntos.

Una vez que podamos ubicar los puntos, podemos comenzar a considerar las gráficas de diversas colecciones de puntos. Por la gráfica de $$z = 2$$nos referimos a la colección de todos los puntos$$(x, y, z)$$ que tienen la forma $$(x, y, 2)$$. Dado que no se impone ninguna condición a$$y$$ las variables$$x$$ y, toman todos los valores posibles. La gráfica de$$z = 2$$ es un plano paralelo al$$xy$$ plano y 2 unidades por encima del$$xy$$ plano. De igual manera, la gráfica de$$y = 3$$ es un plano paralelo al$$xz$$ plano -plano, y$$x = 4$$ es un plano paralelo al$$yz$$ plano. (Nota: Los planos se han dibujado como rectángulos, pero en realidad se extienden infinitamente lejos).

### Distancia entre puntos

En dos dimensiones podemos pensar en la distancia entre puntos como la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y eso lleva a la fórmula pitagórica:$\text{distance}=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}. \nonumber$

En tres dimensiones también podemos pensar en la distancia entre puntos como la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

En esta situación los cálculos pueden parecer más complicados, pero son directos y la fórmula final es lo que esperamos que se le dé la fórmula bidimensional:\begin{align*} \text{distance}^2 & = \text{base}^2+\text{height}^2 \\ & = \left(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\right)^2+\Delta z^2 \\ & = \Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2 \end{align*} \nonumber así$\text{distance}=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}. \nonumber$

##### Distancia en 3 dimensiones

Si$$P = (x_1 , y_1 , z_1 )$$ and $$Q = (x_2 , y_2 , z_2 )$$ are points in space, then the distance between $$P$$ and $$Q$$ is \begin{align*} \text{distance} & = \sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2} \\ & = \sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2} \end{align*} \nonumber

El patrón tridimensional es muy similar al patrón bidimensional con la pieza adicional$$\Delta z^2$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{7}$$

Encuentra las distancias entre puntos$$A = (1, 2, 3)$$ y$$B = (7, 5, –3)$$.

Solución

$\text{Dist}(A,B)=\sqrt{6^2+3^2+(-6)^2}=\sqrt{36+9+36}=\sqrt{81}=9. \nonumber$

En dos dimensiones, el conjunto de puntos a una distancia fija de un punto dado es un círculo, y utilizamos la fórmula de distancia para determinar ecuaciones que describen círculos: el círculo con centro (2, 3) y radio 5 viene dado por$$(x–2)^2 + (y–3)^2 = 5^2$$ o$$x^2 + y^2 – 4x – 6y = 12$$.

Las mismas ideas funcionan para esferas en tres dimensiones.

##### Esferas

El conjunto de puntos$$(x, y, z)$$ at a fixed distance $$r$$ from a point $$(a, b, c)$$ is a sphere with center $$(a, b, c)$$ and radius $$r$$.

La esfera viene dada por la ecuación$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2. \nonumber$

##### Ejemplo$$\PageIndex{8}$$

Escribe las ecuaciones de una esfera con centro (2, -3, 4) y radio 3.

Solución

La ecuación es$(x-2)^2+(y+3)^2+(z-4)^2=3^2. \nonumber$

Ahora supongamos que queremos graficar una superficie. Podemos pensar en cada entrada$$(x,y)$$ como una ubicación en el plano, y trazar las$$f(x,y)$$ unidades de punto por encima de ese punto. Graficar eso puede ser un desafío. Tenemos algunas opciones:

1. Use un programa de computadora (como GeoGebra o Mathematica) para dibujar hermosos dibujos en perspectiva.

Si tal programa está disponible, entonces esta suele ser la opción más precisa.

2. Intenta dibujar un dibujo en perspectiva a mano. Esto es muy desafiante, y por lo general no vale la pena el esfuerzo.
3. Usa curvas de nivel para dibujar diagramas de contorno (o mapas de contorno), que es el enfoque en el que nos centraremos aquí. Un diagrama de contorno es como un mapa topográfico: los puntos con la misma elevación (salidas) están conectados con curvas. Cada salida particular se denomina nivel, y estas curvas se denominan curvas de nivel o contornos. Cuanto más cerca estén las curvas entre sí, más pronunciada será esa sección de la superficie. Los mapas topográficos proporcionan a los excursionistas información sobre elevación, pendientes empinadas y poco profundas, picos y valles. Los diagramas de contorno nos dan el mismo tipo de información sobre una función.

A continuación se muestra un diagrama de contorno de la misma superficie que se muestra arriba. Las curvas de nivel son gráficas en el$$xy$$ plano de curvas$$f(x, y) = c$$ para diversas constantes$$c$$.

Cada uno de los cuadrados corresponde a uno de los baches en la superficie. Si los contornos son positivos, como se destaca a continuación, la protuberancia está por encima del$$xy$$ plano. Si los contornos son negativos, la protuberancia se extiende por debajo del$$xy$$ plano.

En todas partes en el patrón entrecruzado de líneas diagonales, la altura de la superficie es 0, por lo que la superficie está en el$$xy$$ plano. Esta es una característica que no necesariamente habríamos visto cuando miramos el dibujo en perspectiva. Los mapas de contorno pueden ayudarnos a ver las características de la superficie que la gráfica tridimensional no muestra.

Para entender mejor los diagramas de contorno, supongamos que tenemos una tabla de datos de elevación. Podríamos graficar esto trazando la altura en cada punto y conectando los puntos con curvas suaves, lo que resultaría en algo así como el gráfico mostrado.

Mesa: Alzados dispuestos en una mesa

 $$x$$(etiquetas en la columna izquierda),$$y$$ (etiquetas en la fila superior) 0 1 2 3 4 5 6 0 1.6 1.8 2 2.1 2.2 2.1 2 1 2.4 2.9 3.3 3.7 5.9 3.7 3.3 2 3.3 4.3 5.6 6.7 7.1 6.7 5.6 3 3.8 5.3 7.1 9.1 9.9 9.1 7.1 4 3.3 4.3 5.6 6.7 7.1 6.7 5.6 5 2.4 2.9 3.3 3.7 5.9 3.7 3.3 6 1.6 1.8 2 2.1 2.2 2.1 2

Si cortamos la superficie de arriba con el plano$$z = 8$$, los puntos donde el plano corta la superficie son aquellos puntos donde la elevación de la superficie es de 8 unidades por encima del$$xy$$ plano. La siguiente figura muestra la superficie siendo cortada por los planos$$z = 8$$ y$$z = 4$$. Cortar la superficie a diferentes elevaciones y esbozar las curvas donde el plano interseca la superficie da como resultado la segunda gráfica a continuación.

Si movemos todas esas curvas al plano xy (o, de manera equivalente, las vemos directamente desde arriba), el resultado es una gráfica bidimensional de las curvas de nivel de la superficie original. Este es el diagrama de contorno.

##### Ejemplo$$\PageIndex{9}$$

Cree un diagrama de contorno para nuestro ejemplo de alquiler de autos con función de costo$$C(d,m)=40d+0.15m$$. Dibuja curvas para cuando el costo sea 0, 100, 200, 300 y 400.

Solución

$$C(d,m)=40d+0.15m=c$$Estableceremos$$c =$$ 0, 100, 200, 300 y 400 y dibujaremos las curvas en el$$dm$$ plano.

La primera coordenada del par ordenado es$$d$$, por lo que el$$d$$ eje -eje será horizontal; el$$m$$ -eje será vertical. Recuerda que el dominio para esta función es realmente justo donde$$d \geq 0$$ y$$m \geq 0$$, por lo que solo dibujaremos las curvas en el primer cuadrante.

Cuando$$c=0$$:\begin{align*} C(d,m) & = 40d+0.15m=0 \\ 0.15m & = -40d \\ m & = -\frac{40}{0.15}d\approx -267d \end{align*} \nonumber

Esta es la ecuación de una línea, con pendiente alrededor de -267, pasando por el origen. Debido a las restricciones de dominio, la curva que dibujaremos para este nivel es simplemente el origen. Volviendo a poner esto en el contexto del alquiler de autos, el único punto en el que pagamos 0 por rentar el auto es cuando alquilamos el auto por 0 días y lo manejamos 0 millas —es decir, si no lo alquilamos en absoluto. Cuando$$c=100$$:\begin{align*} C(d,m) & = 40d+0.15m=100 \\ 0.15m & = -40d+100 \\ m & = -\frac{40}{0.15}d+\frac{100}{0.15}\approx -267d+667 \end{align*} \nonumber Esta es la ecuación de una línea, con pendiente alrededor de -267, y$$d$$ -intercepción de aproximadamente 667. Esta sección de esta línea que se encuentra en el primer cuadrante se muestra con 100 etiquetándolo. Poniendo esto en contexto, cualquier punto de esa línea representa una$$(d, m)$$ combinación de días y millas que harán que el costo sea exactamente100. Entonces, por ejemplo — si rentamos el auto por 0 días y lo manejamos 667 millas, nos costará $100. Si alquilamos el auto por 2.5 días y no manejamos millas, nos costará$100.

Continuamos por$$c =$$ 200, 300 y 400 y dibujamos las curvas en el plano, dando como resultado el diagrama de contorno que se muestra a la derecha.

##### Ejemplo$$\PageIndex{10}$$

El diagrama de contorno para el costo$$C(d,m)$$ en dólares por rentar un auto por$$d$$ días y manejarlo$$m$$ millas se muestra en el ejemplo anterior. Utilice el diagrama para responder a las siguientes preguntas.

1. ¿Cuál es el costo de rentar un auto por 3 días y conducirlo a 200 millas?
2. ¿Qué es$$C(100, 4)$$? ¿Qué es$$C(4, 100)$$?
3. Supongamos que rentamos el auto por 3 días. ¿Es$$C$$ una función creciente de millas?

Solución

### Cobb-Douglas Función de Producción

Las funciones de producción se utilizan para modelar la salida total de una empresa para una variedad de entradas (¿no suena esto como una función de varias variables?). Un ejemplo es una función Cobb-Douglas Production:$P=AL^{\alpha}K^{\beta} \nonumber$

En esta función$$P$$ está la producción total,$$A$$ es una constante,$$\alpha$$ y$$\beta$$ son constantes entre 0 y 1,$$L$$ es la fuerza de trabajo, y$$K$$ es el gasto de capital. (Las unidades deben ser bien masajeadas.)

Puedes leer más sobre Cobb-Douglas Funciones de producción en http://en.Wikipedia.org/wiki/Cobb-Douglas. Puede leer sobre otros tipos de funciones de producción en http://en.Wikipedia.org/wiki/Production_function.

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