2.3: Interpretaciones de la Derivada

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 118077

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

En las secciones anteriores definimos la derivada como la pendiente de una línea tangente, utilizando un límite particular. Esto nos permite calcular “la pendiente de una curva” ¹ y nos proporciona una interpretación de la derivada. Sin embargo, la importancia principal de los derivados no proviene de esta aplicación. En cambio, (posiblemente) proviene de la interpretación de la derivada como la tasa instantánea de cambio de una cantidad.

Tasa instantánea de cambio

De hecho ya hemos utilizado (secretamente) una derivada para calcular una tasa instantánea de cambio en la Sección 1.2. Para tu comodidad revisaremos ese cálculo aquí, en el Ejemplo 2.3.1, y luego lo generalizaremos.

Ejemplo 2.3.1 La velocidad como derivada.

Se le cae una pelota desde un edificio alto. Después de$t$ segundos la pelota ha caído una distancia de$s(t)=4.9 t^2$ metros. ¿Cuál es la velocidad de la pelota un segundo después de que se cae?

En el intervalo de tiempo de$t=1$ a$t=1+h$ la pelota recorre una distancia
\ begin {reunir*} s (1+h) -s (1) =4.9 (1+h) ^2 - 4.9 (1) ^2 =4.9\ grande [2h+h^2\ grande]\ end {reunir*}
Entonces, la velocidad promedio en este intervalo de tiempo es
\ begin {align*} &\ text {velocidad promedio de $t=1$ a $t=1+h$}\\ &=\ frac {\ text {distancia recorrida de $t=1$ a $t=1+h$}} {\ text {tiempo de $t=1$ a $t=1+h$}}\\ &=\ frac {s (1+h) -s (1)} {h}\\ &=\ frac {4.9\ grande [2h+h^2\ grande]} {h}\\ &=4.9 [2+h]\ end {align*}
La velocidad instantánea en el tiempo$t=1$ se define entonces como el límite
\ begin {alinear*} &\ text {velocidad instantánea en el tiempo} t=1\\ &\ hskip0.5in=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ big [\ text {velocidad promedio de $t=1$ a $t=1+h$}\ grande]\ &\ hskip0.5in=\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {s (1+h) -s (1)} {h} = s' (1)\\ &\ hskip0.5in=\ lim_ {h\ fila derecha 0} 4.9 [2+h]\\ &\ hskip0.5in= 9.8\ texto {m/ seg}\ end {align*}
Se concluye que la velocidad instantánea en el tiempo$t=1\text{,}$ que es la velocidad instantánea de cambio de distancia por unidad de tiempo en el tiempo$t=1\text{,}$ es la derivada$s'(1)=9.8\text{m/sec}\text{.}$

Ahora supongamos, más generalmente, que estás dando un paseo y que a medida que caminas, estás midiendo continuamente alguna cantidad, como la temperatura, y que la medida en el momento$t$ es$f(t)\text{.}$ Entonces la

\ begin {align*} &\ text {tasa promedio de cambio de $f (t) $ de $t=a$ a $t=a+h$}\\ &\ hskip0.5in=\ frac {\ text {cambio en $f (t) $ de $t=a$ a $t=a+h$}} {\ text {duración del tiempo de $t=a$ a $t=a$ a $t=h=h$}}\\ &\ hskip0.5in=\ frac {f (a+h) -f (a)} {h}\ end {align*}

por lo que el

\ begin {align*} &\ text {tasa instantánea de cambio de $f (t) $ a $t=a$}\\ &\ hskip0.5in=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ big [\ text {tasa promedio de cambio de $f (t) $ de $t=a$ a $t=a+h$}\ big]\\ &\ hskip0.5in=\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {f (a+h) -f (a)} {h}\\ &\ hskip0.5in= f' (a)\ final {alinear*}

En particular, si estás caminando a lo largo del$x$ eje —y tu$x$ —coordenada en el tiempo$t$$x'(a)$ es$x(t)\text{,}$ entonces la tasa instantánea de cambio (por unidad de tiempo) de tu$x$ —coordenada en el tiempo$t=a\text{,}$ que es tu velocidad en el tiempo$a\text{.}$ Si$v(t)$ es tu velocidad en el tiempo$t\text{,}$ entonces$v'(a)$ es la tasa instantánea de cambio de su velocidad en el tiempo$a\text{.}$ Esto se llama su aceleración en el tiempo$a\text{.}$

Pendiente

Supongamos que$y=f(x)$ es la ecuación de una curva en el$xy$ plano —. Es decir,$f(x)$ es la$y$ —coordenada del punto en la curva cuya$x$ —coordenada es$x\text{.}$ Entonces, como ya hemos visto,

\ begin {reunir*}\ big [\ text {la pendiente de la secante a través de $\ big (a, f (a)\ big) $ y $\ big (a+h, f (a+h)\ big) $}\ big] =\ frac {f (a+h) -f (a)} {h}\ end {gather*}

Esto se muestra en la Figura 2.3.2 a continuación.

Con el fin de crear la línea tangente (como hemos hecho algunas veces ahora) apretamos A$h \to 0\text{.}$ medida que hacemos esto, la secante a través$\big(a,f(a)\big)$ y se$\big(a+h,f(a+h)\big)$ acerca a ² la línea tangente a$y=f(x)$ en$x=a\text{.}$ Dado que la secante se convierte en la línea tangente en este límite, la pendiente de la secante se convierte en la pendiente de la tangente y

\ begin {align*}\ big [\ text {la pendiente de la línea tangente a $\; y=f (x) $ at $x=a$}\ big] &=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {f (a+h) -f (a)} {h}\\ &=f' (a). \ end {align*}

Vamos un poco más allá y elaborar una fórmula general para la ecuación de la línea tangente a$y=f(x)$ al$x=a\text{.}$ Sabemos que la línea tangente

tiene pendiente$f'(a)$ y
pasa por el punto$\big(a, f(a)\big)\text{.}$

Hay un par de formas diferentes de construir la ecuación de la línea tangente a partir de esta información. Una es observar, como en la Figura 2.3.3, que si$(x,y)$ hay algún otro punto en la línea tangente entonces el segmento de línea de$\big(a,f(a)\big)$ a$(x,y)$ es parte de la línea tangente y así también tiene pendiente Es$f'(a)\text{.}$ decir,

\ begin {reunir*}\ frac {y- f (a)} {x-a} =\ big [\ text {la pendiente de la línea tangente}\ grande] =f' (a)\ end {reunión*}

La multiplicación cruzada nos da la ecuación de la línea tangente:

\ begin {reunir*} y-f (a) = f' (a)\, (x-a)\ qquad\ text {o}\ qquad y=f (a) +f' (a)\, (x-a)\ end {reunir*}

**Figura 2.3.3.** Un segmento de línea de una línea tangente

Una segunda forma de derivar la misma ecuación de la misma línea tangente es recordar que la ecuación general para una línea, con pendiente finita, es$y=mx+b\text{,}$ donde$m$ está la pendiente y$b$ es la$y$ -intercepción. Ya conocemos la pendiente —así que$m=f'(a)\text{.}$ Para hacer ejercicio$b$ utilizamos la otra pieza de información—$(a,f(a))$ está en la línea. Así que$(x,y)=(a,f(a))$ hay$y=f'(a)\,x+b\text{.}$ que resolver Es decir,

\ begin {align*} f (a) &= f' (a)\ cdot a + b &\ text {y así} && b&=f (a) - af' (a)\ end {align*}

De ahí que nuestra ecuación sea, una vez más,

\ begin {align*} y &= f' (a)\ cdot x +\ left (f (a) -af' (a)\ right) &&\ text {o, después de reorganizar un poco,}\\ y &= f (a) + f' (a)\, (x-a)\ end {align*}

Esta es una fórmula muy útil, así que quizás deberíamos convertirla en un teorema.

Teorema 2.3.4 Línea tangente.

La línea tangente a la curva$y=f(x)$ en$x=a$ viene dada por la ecuación

\ begin {align*} y &= f (a) + f' (a)\, (x-a)\ end {align*}

siempre que$f'(a)$ exista el derivado.

La advertencia al final del teorema anterior es necesaria —ciertamente hay casos en los que la derivada no existe y por eso sí hay que tener cuidado.

Ejemplo 2.3.5 Una línea tangente a la curva$y=\sqrt{x}$.

Encuentra la línea tangente a la curva$y=\sqrt{x}$ en$x=4\text{.}$

En lugar de rehacer todo desde cero, podemos, y por eficiencia, deberíamos, usar el Teorema 2.3.4. Para redactar esto correctamente, debemos asegurarnos de decirle al lector lo que estamos haciendo. Entonces algo como lo siguiente:

Por el Teorema 2.3.4, la línea tangente a la curva$y=f(x)$ en$x=a$ viene dada por
\ begin {align*} y &= f (a) + f' (a) (x-a)\ end {align*}
siempre$f'(a)$ que exista.
En el Ejemplo 2.2.9, encontramos que, para cualquier$a \gt 0\text{,}$ la derivada de$\sqrt{x}$ at$x=a$ es
\ begin {align*} f' (a) &=\ frac {1} {2\ sqrt {a}}\ end {align*}
En el ejemplo actual,$a=4$ y tenemos
\ begin {alinear*} f (a) &=f (4) =\ sqrt {x}\ big|_ {x=4} =\ sqrt {4} =2\\\ texto {y}\ qquad f' (a) &=f' (4) =\ frac {1} {2\ sqrt {a}}\ Big|_ {a=4} =\ frac {1}} {2\ sqrt {4}} =\ frac {1} {4}\ final {alinear*}
Entonces la ecuación de la línea tangente a$y=\sqrt{x}$ at$x=4$ es
\ begin {reunir*} y= 2+\ frac {1} {4}\,\ grande (x-4\ grande)\ qquad\ texto {o}\ qquad y=\ frac {x} {4} +1\ end {reunir*}

No tenemos que escribirlo usando puntos como arriba; los hemos usado aquí para ayudar a delinear cada paso en el proceso de cálculo de la línea tangente.

Ejercicios

Etapa 2

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Supongamos$h(t)$ da la altura al momento$t$ del agua en una presa, donde las unidades de$t$ son horas y las unidades de$h$ son metros.

¿Cuál es la interpretación física de la pendiente de la línea secante a través de los puntos$(0,h(0))$ y$(24,h(24))\text{?}$
Cuál es la interpretación física de la pendiente de la línea tangente a la curva$y=h(t)$ en el punto$(0,h(0))\text{?}$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Supongamos que$p(t)$ es una función que da el beneficio generado por la venta de$t$ widgets. ¿Cuál es la interpretación práctica de$p'(t)\text{?}$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

$T(d)$da la temperatura del agua en una ubicación particular$d$ metros por debajo de la superficie. ¿Cuál es la interpretación física de ¿$T'(d)\text{?}$Esperarías que la magnitud de$T'(d)$ sea mayor cuando$d$ está cerca de 0, o cuando$d$ es muy grande?

Ejercicio$\PageIndex{4}$

$C(w)$da las calorías en$w$ gramos de un plato en particular. ¿Qué$C'(w)$ describe?

Ejercicio$\PageIndex{5}$

La velocidad de un objeto en movimiento en el momento$t$ viene dada por$v(t)\text{.}$ What is$v'(t)\text{?}$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

La función$T(j)$ da la temperatura en grados Celsius de una taza de agua después de que se hayan agregado$j$ julios de calor. Qué es$T'(j)\text{?}$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Una población de bacterias, dejada por una cantidad fija de tiempo a temperatura$T\text{,}$ crece a$P(T)$ individuos. Interpretar$P'(T)\text{.}$

Etapa 3

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Martas un pequeño clavo en una rueda de vagón de madera. $R(t)$da el número de rotaciones que ha sufrido el clavo$t$ segundos después de que el vagón comenzó a rodar. Dar una ecuación de la rapidez con la que gira la uña, medida en grados por segundo.

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Una población de bacterias, dejada por una cantidad fija de tiempo a temperatura$T\text{,}$ crece a$P(T)$ individuos. Hay una temperatura ideal donde la población de bacterias crece más grande, y cuanto más cerca está la muestra de esa temperatura, mayor es la población (a menos que la temperatura sea tan extrema que haga que todas las bacterias mueran por congelación o ebullición). ¿Cómo te$P'(T)$ dirá si eres más frío o más caliente que la temperatura ideal?

Search

Ejemplo 2.3.1 La velocidad como derivada.

Teorema 2.3.4 Línea tangente.

Ejemplo 2.3.5 Una línea tangente a la curva\(y=\sqrt{x}\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Etapa 3

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)