2.2: Definición del Derivado

Ahora definimos la “derivada” explícitamente, con base en las ideas de pendiente limitante de la sección anterior. Entonces vemos cómo calcular algunas derivadas simples.

Generalicemos ahora lo que hicimos en la última sección para encontrar “la pendiente de la curva\(y=f(x)\) en\((x_0,y_0)\)” para cualquier función lo suficientemente suave ¹\(f(x)\text{.}\)

Como antes, deja\((x_0,y_0)\) ser cualquier punto de la curva\(y=f(x)\text{.}\) Así que debemos tener\(y_0=f(x_0)\text{.}\) Ahora deja\((x_1,y_1)\) ser cualquier otro punto en la misma curva. Entonces\(y_1=f(x_1)\) y\(x_1\ne x_0\text{.}\) piensa en estar bastante cerca de para\((x_0,y_0)\) que la diferencia\((x_1,y_1)\)

\ begin {reunir*}\ Delta x=x_1-x_0\ end {reunir*}

en\(x\) —coordinates es bastante pequeño. En términos de esto\(\Delta x\) tenemos

\ begin {reunir*} x_1=x_0+\ Delta x\ qquad\ texto {y}\ qquad y_1=f\ grande (x_0+\ Delta x\ grande)\ end {reunir*}

Podemos construir una línea secante a través\((x_0,y_0)\) y\((x_1,y_1)\) tal como hicimos para la parábola de arriba. Tiene pendiente

\ begin {reunir*}\ frac {y_1-y_0} {x_1-x_0} =\ frac {f\ big (x_0+\ Delta x\ big) -f (x_0)} {\ Delta x}\ end {reunir*}

Si\(f(x)\) es razonablemente suave ², entonces como\(x_1\) enfoques\(x_0\text{,}\) es decir, como\(\Delta x\) enfoques\(0\text{,}\) esperaríamos que la secante a través\((x_0,y_0)\) y se acercara\((x_1,y_1)\) a la línea tangente a la curva\(y=f(x)\)\((x_0,y_0)\text{,}\) tal como sucedió en la Figura 2.1.6. Y lo más importante, la pendiente de la secante a través\((x_0,y_0)\) y\((x_1,y_1)\) debe acercarse a la pendiente de la línea tangente a la curva\(y=f(x)\) en\((x_0,y_0)\text{.}\)

Así esperaríamos ³ la pendiente de la línea tangente a la curva\(y=f(x)\)\((x_0,y_0)\) a ser

\ comenzar {reunir*}\ lim_ {\ Delta x\ fila derecha 0}\ frac {f\ grande (x_0+\ Delta x\ grande) -f (x_0)} {\ Delta x}\ fin {reunir*}

Cuando hablamos de la “pendiente de la curva” en un punto, lo que realmente queremos decir es la pendiente de la línea tangente a la curva en ese punto. Entonces “la pendiente de la curva\(y=f(x)\) en\((x_0,y_0)\)” es también el límite ⁴ expresado en la ecuación anterior. La derivada de\(f(x)\) at también\(x=x_0\) se define como este límite. Lo que nos lleva a ⁵ a la definición más importante en este texto:

Definición 2.2.1 Derivada en un punto.

Dejar\(a\in\mathbb{R}\) y dejar\(f(x)\) ser definido en un intervalo abierto ⁶ que contiene\(a\text{.}\)

• La derivada de\(f(x)\) at\(x=a\) se denota\(f'(a)\) y se define por

  \ begin {reunir*} f' (a) =\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {f\ big (a+h\ big) -f (a)} {h}\ end {reunir*}

  si existe el límite.
• Cuando existe el límite anterior,\(f(x)\) se dice que la función es diferenciable en\(x=a\text{.}\) Cuando el límite no existe,\(f(x)\) se dice que la función no es diferenciable en\(x=a\text{.}\)
• Podemos definir equivalentemente la derivada\(f'(a)\) por el límite

  \ begin {reunir*} f' (a) =\ lim_ {x\ rightarrow a}\ frac {f (x) -f (a)} {x-a}. \ end {reunir*}

  Para ver que estas dos definiciones son las mismas, establecemos\(x=a+h\) y luego el límite como\(h\) va a\(0\) es equivalente al límite como\(x\) va a\(a\text{.}\)

Ahora calculemos las derivadas de algunas funciones muy simples. Este es nuestro primer paso hacia la construcción de una caja de herramientas para computar derivados de funciones complicadas — este proceso será muy paralelo a lo que hicimos en el Capítulo 1 con límites. Las dos funciones más simples que conocemos son\(f(x)=c\) y\(g(x)=x\text{.}\)

Ejemplo 2.2.2 Derivada de\(f(x)=c\).

\(a, c \in \mathbb{R}\)Dejen ser constantes. Calcular la derivada de la función constante\(f(x) = c\) en\(x=a\text{.}\)

Calculamos la derivada deseada simplemente sustituyendo la función de interés en la definición formal de la derivada.

\ begin {align*} f' (a) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {f (a+h) - f (a)} {h} &&\ text {(la definición)}\\ &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {c - c} {h} &&\ text {(sustituido en la función)}\\ &=\ lim_ {h\ to 0} 0 &&\ text {(cosas simplificadas)}\\ &= 0\ end {align*}

¡Eso fue fácil! ¿Qué pasa con la siguiente función más complicada? Podría decirse que es esta:

Ejemplo 2.2.3 Derivada de\(g(x)=x\).

Dejar\(a\in \mathbb{R}\) y calcular la derivada de\(g(x) = x\) at\(x=a\text{.}\)

Nuevamente, calculamos la derivada de\(g\) simplemente sustituyendo la función de interés en la definición formal de la derivada y luego evaluando el límite resultante.

\ begin {align*} g' (a) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {g (a+h) - g (a)} {h} &&\ text {(la definición)}\\ &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {(a+h) - a} {h} &&\ text {(sustituido en la función)}\\ &= lim_ {h\ a 0}\ frac {h} {h} &&\ text {(cosas simplificadas)}\\ &=\ lim_ {h\ a 0} 1 &&\ text {( simplificado un poco más)}\\ &= 1\ end {align*}

Eso fue un poco más duro que el primer ejemplo, pero aún así bastante sencillo — comenzar con la definición y aplicar lo que sabemos de límites.

Gracias a estos dos ejemplos, tenemos nuestro primer teorema sobre derivados:

Teorema 2.2.4 Derivados más fáciles.

Dejar\(a,c \in \mathbb{R}\) y dejar\(f(x) = c\) ser la función constante y\(g(x) = x\text{.}\) Entonces

\ begin {align*} f' (a) &= 0\\\ end {alinear*}

y

\ begin {align*} g' (a) &= 1. \ end {alinear*}

Para subir un poco más la dificultad, rehagamos el ejemplo que ya hemos hecho algunas veces\(f(x)=x^2\text{.}\) Para que sea un poco más interesante cambiemos los nombres de la función y la variable para que no sea exactamente lo mismo que los Ejemplos 2.1.2 y 2.1.5.

Ejemplo 2.2.5 Derivada de\(h(t)=t^2\).

Compute la derivada de

\ begin {align*} h (t) &= t^2 &\ text {at} t = a\ end {align*}

• Esta función no es como las que vimos anteriormente, es una función de\(t\) más que\(x\text{.}\) Recall que una función es una regla que asigna a cada valor de entrada un valor de salida. Hasta ahora, generalmente hemos llamado al valor de entrada\(x\text{.}\) Pero este “\(x\)” es solo una variable ficticia que representa un valor de entrada genérico. No hay nada de malo en llamar a un valor de entrada genérico\(t\) en su lugar. De hecho, de vez en cuando verá funciones que no se escriben como fórmulas que involucran\(x\text{,}\) sino que se escriben como fórmulas en\(t\) (por ejemplo, que representan el tiempo, consulte la Sección 1.2), o\(z\) (por ejemplo, que representan la altura), u otros símbolos.
• Así que escribamos la definición de la derivada

  \ begin {align*} f' (a) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {f (a+h) -f (a)} {h}\ end {align*}

  y luego traducirlo a los nombres de las funciones y variables a la mano:

  \ begin {align*} h' (a) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {h (a+h) -h (a)} {h}\ end {align*}

• Pero hay un problema —“\(h\)” juega dos papeles aquí— es tanto el nombre de la función como la pequeña cantidad que va a cero en nuestro límite. Es extremadamente peligroso tener un símbolo que represente dos cosas diferentes en un solo cálculo. Tenemos que cambiar uno de ellos. Así que vamos a cambiar el nombre de la pequeña cantidad que va a cero en nuestro límite de “\(h\)” a “\(\Delta t\)”:

  \ begin {align*} h' (a) &=\ lim_ {\ Delta t\ a 0}\ frac {h (a+\ Delta t) -h (a)} {\ Delta t}\ end {align*}

• Ahora estamos listos para comenzar. Sustituyendo en lo que\(h\) es la función,

  \ begin {align*} h' (a) &=\ lim_ {\ Delta t\ a 0}\ frac {(a+\ Delta t) ^2-a^2} {\ Delta t}\\ &=\ lim_ {\ Delta t\ a 0}\ frac {a^2+2a\,\ Delta t+\ Delta t^2-a^2} {Delta\ t} &&\ grande (\ text {acaba de cuadrar $ (a+\ Delta t) ^2$}\ grande)\\ &=\ lim_ {\ Delta t\ a 0}\ frac {2a\,\ Delta t+\ Delta t^2} {\ Delta t}\\ &=\ lim_ {\ Delta t\ a 0} (2a +\ Delta t)\\ &= 2a\ end {alinear*}

• Deberías volver a comprobar que esto es lo que obtuvimos en el Ejemplo 2.1.5 — solo se han cambiado algunos nombres.

Un punto importante (y alguna notación)

Observe aquí que la respuesta que obtenemos depende de nuestra elección de\(a\) — si queremos conocer la derivada en solo\(a=3\) podemos sustituir\(a=3\) en nuestra respuesta\(2a\) para obtener la pendiente es 6. Si queremos saber en\(a=1\) (como al final de la Sección 1.1) sustituimos\(a=1\) y obtenemos la pendiente es 2. Lo importante aquí es que podemos pasar de la derivada que se calcula en un punto específico a la derivada que es una función en sí misma — introducir cualquier valor de\(a\) y devuelve la pendiente de la línea tangente a la curva en el punto\(x=a\text{,}\)\(y=h(a)\text{.}\) La variable\(a\) es un ficticio variable. Podemos\(a\) renombrar a lo que queramos, como\(x\text{,}\) por ejemplo. Así que podemos reemplazar cada uno\(a\) en

\ begin {align*} h' (a) &=2a &\ text {por $x$, dando} && h' (x) &=2x\ end {align*}

donde todo lo que hemos hecho es sustituir el símbolo\(a\) por el símbolo\(x\text{.}\)

Podemos hacer esto de manera más general y ajustar la derivada en un punto específico\(a\) para obtener la derivada en función de\(x\text{.}\) We replace

\ begin {align*} f' (a) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {f (a+h) -f (a)} {h}\\\ end {align*}

con

\ begin {align*} f' (x) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {f (x+h) -f (x)} {h}\ end {align*}

lo que nos da la siguiente definición

Definición 2.2.6 Derivada como función.

Dejar\(f(x)\) ser una función.

• El derivado de\(f(x)\) con respecto a\(x\) es

  \ begin {reunir*} f' (x) =\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {f\ big (x+h\ big) -f (x)} {h}\ end {reunir*}

  siempre que exista el límite.
• Si la derivada\(f'(x)\) existe para todos\(x \in (a,b)\) decimos que\(f\) es diferenciable en\((a,b)\text{.}\)
• Tenga en cuenta que a veces vamos a ser un poco descuidados con nuestras discusiones y simplemente escribir “\(f\)es diferenciable” para significar “\(f\)es diferenciable en un intervalo que nos interesa” o “\(f\)es diferenciable en todas partes”.

Observe que ya no estamos pensando en líneas tangentes, más bien esta es una operación que podemos hacer en una función. Por ejemplo:

Ejemplo 2.2.7 La derivada de\(f(x)=\tfrac{1}{x}\).

Dejar\(f(x) = \frac{1}{x}\) y calcular su derivada con respecto a\(x\) — pensar cuidadosamente dónde existe la derivada.

• Nuestro primer paso es anotar la definición del derivado —en esta etapa, no conocemos otra estrategia para los derivados informáticos.

  \ begin {align*} f' (x) &=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {f (x+h) -f (x)} {h} &&\ text {(la definición)}\ end {align*}

• Y ahora sustituimos en la función y calculamos el límite.

  \ begin {align*} f' (x) &=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {f (x+h) -f (x)} {h} &&\ text {(la definición)}\\ &=\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {1} {h}\ left [\ frac {1} {x+h} -\ frac ac {1} {x}\ right] &&\ text {(sustituido en la función)}\\ &=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {1} {h}\\ frac {x- (x+h)} {x (x+h)} &&\ text {( escribió sobre un denominador común)}\\ &=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {1} {h}\\ frac {-h} {x (x+h)} &&\ text {(limpieza iniciada)}\\ &=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {-1} {x (x+h)}\\ &=- ac {1} {x^2}\ end {align*}

• Observe que la función\(f(x)=\frac{1}{x}\) original no se definió en\(x=0\) y la derivada tampoco está definida en\(x=0\text{.}\) Esto sucede de manera más general — si no\(f(x)\) se define en un punto en particular\(x=a\text{,}\) entonces la derivada tampoco existirá en ese punto.

Entonces ahora tenemos dos ideas ligeramente diferentes de derivados:

• La derivada\(f'(a)\) en un punto específico\(x=a\text{,}\) es la pendiente de la línea tangente a la curva en\(x=a\text{,}\) y
• La derivada como una función,\(f'(x)\) como se define en la Definición 2.2.6.

Por supuesto, si tenemos\(f'(x)\) entonces siempre podemos recuperar la derivada en un punto específico sustituyendo\(x=a\text{.}\)

Como señalamos al inicio del capítulo, el derivado fue descubierto independientemente por Newton y Leibniz a finales de\(17^{\rm th}\) siglo. Debido a que sus descubrimientos eran independientes, Newton y Leibniz no tenían exactamente la misma notación. A partir de esto, y de los muchos contextos diferentes en los que se utilizan los derivados, hay bastantes notaciones alternativas para la derivada:

Definición 2.2.8.

Las siguientes notaciones se utilizan para “la derivada de\(f(x)\) con respecto a\(x\)”

\ begin {reunir*} f' (x)\ qquad\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}\ qquad\ frac {\ mathrm {d} f (x)} {\ mathrm {d} x}\ qquad\ punto {f} (x)\ qquad Df (x)\ qquad d_x f (x),\ terminar reuniones {*}

mientras que las siguientes notaciones se utilizan para “la derivada de\(f(x)\) at\(x=a\)”

\ begin {reunir*} f' (a)\ qquad\ frac {\ mathrm {d} f (a)} {\ mathrm {d} x}\ qquad\ frac {\ mathrm {d} f (x)} {\ mathrm {d} x}\,\ bigg|_ {x=a}\ qquad\ punto {f} (a)\ qquad Df (a)\ qquad D_x f (a). \ end {reunir*}

Algunas cosas a tener en cuenta sobre estas notaciones:

• Generalmente usaremos los tres primeros, pero debes reconocerlos todos. La notación\(f'(a)\) se debe a Lagrange, mientras que la notación\(\frac{\mathrm{d} f(a)}{\mathrm{d} x}\) se debe a Leibniz. Ambos son muy útiles. Tampoco se puede considerar “mejor”.
• La notación Leibniz escribe la derivada como una “fracción” —sin embargo definitivamente no es una fracción y no debe pensarse de esa manera. Es solo una taquigrafía, que se lee como “la derivada de\(f\) con respecto a\(x\)”.
• Se lee\(f'(x)\) como “\(f\)—prime of\(x\)”, y\(\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}\) como “dee—\(f\) —dee—\(x\)”, y\(\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}\) como “dee-by-dee—\(x\) de\(f\)”.
• Del mismo modo se lee\(\frac{\mathrm{d} f(a)}{\mathrm{d} x}\) como “\(f\)dee— —dee—\(x\) en\(a\)”, y\(\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}\,\bigg|_{x=a}\) como “dee-by-dee-\(x\)\(f\) de\(x\) a\(x\) igual\(a\)”.
• La notación\(\dot f\) se debe a Newton. En física, es común utilizar\(\dot f(t)\) para denotar la derivada de\(f\) con respecto al tiempo.

Volver a Computación Algunos Derivados

En este punto podríamos intentar comenzar a elaborar cómo las derivadas interactúan con la aritmética y hacer un teorema de “Aritmética de derivados” igual al que vimos para los límites (Teorema 1.4.3). Llegaremos en breve, pero antes de eso es importante que nos sintamos más cómodos con los derivados informáticos usando límites y luego entendiendo lo que realmente significa el derivado. Entonces — más ejemplos.

Ejemplo 2.2.9\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sqrt{x}\).

Calcular la derivada,\(f'(a)\text{,}\) de la función\(f(x)=\sqrt{x}\) en el punto\(x=a\) para cualquier\(a \gt 0\text{.}\)

• Entonces nuevamente comenzamos con la definición de derivado y vamos de ahí:

  \ begin {alinear*} f' (a) &=\ lim_ {x\ fila derecha a}\ frac {f (x) -f (a)} {x-a} =\ lim_ {x\ fila derecha a}\ frac {\ sqrt {x} -\ sqrt {a}} {x-a} {x-a}\ end {align*}

• Como\(x\) tiende\(a\text{,}\) al numerador y denominador ambos tienden a cero. Pero no\(\tfrac{0}{0}\) está definido. Entonces, para obtener un límite bien definido necesitamos exhibir una cancelación entre el numerador y el denominador —tal como vimos en los Ejemplos 1.4.12 y 1.4.17. Ahora hay dos formas equivalentes de proceder a partir de aquí, ambas basadas en un “truco” similar.
• Para el primero, revise el Ejemplo 1.4.17, que se refería a tomar un límite que involucra raíces cuadradas, y recordamos que ahí usamos “multiplicación por el conjugado”:

  \ begin {alinear*} &\ frac {\ sqrt {x} -\ sqrt {a}} {x-a}\\ &=\ frac {\ sqrt {x} -\ sqrt {a}} {x-a}\ veces\ frac {\ sqrt {x} +\ sqrt {a}} {\ sqrt {x} +\ sqrt {a}} && Grande\ (\ text {multiplicación por $1=\ frac {\ text {conjugado}} {\ text {conjugado}} $}\ Grande)\\ &=\ frac {(\ sqrt {x} -\ sqrt {a}) (\ sqrt {x} +\ sqrt {a})} {(x-a) (\ sqrt {x} +\ sqrt {a})}\ &=\ frac {x-a} {(x-a) (\ sqrt {x} +\ sqrt {a})} &&\ grande (\ texto {desde $ (A-B) (A+B) = A^2-B^2$)}\,\ grande)\\ &=\ frac {1} {\ sqrt {x} +\ sqrt {a}}\ end {align*}

• Alternativamente, podemos llegar\(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\) usando casi el mismo truco para factorizar el denominador. Solo establece\(A=\sqrt{x}\) y\(B=\sqrt{a}\) entra\(A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) \) para obtener

  \ begin {align*} x - a &= (\ sqrt {x} -\ sqrt {a}) (\ sqrt {x} +\ sqrt {a})\ end {align*}

  y luego sustituir este pequeño hecho en nuestra expresión

  \ begin {align*}\ frac {\ sqrt {x} -\ sqrt {a}} {x-a} &=\ frac {\ sqrt {x} -\ sqrt {a}} {(\ sqrt {x} -\ sqrt {a}) (\ sqrt {x} +\ sqrt {a})} &\ text {(ahora cancelar factores comunes)}\\ =\ frac {1} {(\ sqrt {x} +\ sqrt {a})}\ end {alinear*}

• Una vez que sabemos que\(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\text{,}\) podemos tomar el límite que necesitamos:

  \ begin {alinear*} f' (a) &=\ lim_ {x\ fila derecha a}\ frac {\ sqrt {x} -\ sqrt {a}} {x-a}\\ & =\ lim_ {x\ fila derecha a}\ frac {1} {\ sqrt {x} +\ sqrt {a}}\\\ & =\ frac {1} {2\ sqrt {a}}\ end {alinear*}

• Deberíamos pensar en el dominio de\(f'\) aquí —es decir, ¿para qué valores de\(a\) se\(f'(a)\) define? La función original\(f(x)\) se definió para todos,\(x \geq 0\text{,}\) sin embargo, la derivada no\(f'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}\) está definida en\(a = 0\text{.}\)

  Si hacemos una imagen cuidadosa de\(\sqrt{x}\) alrededor\(x=0\) podemos ver por qué tiene que ser así. La siguiente figura muestra tres líneas tangentes diferentes a la gráfica de A\(y=f(x)=\sqrt{x}\text{.}\) medida que el punto de tangencia se acerca cada vez más al origen, la línea tangente se vuelve cada vez más pronunciada. La pendiente de la línea tangente al\(\big(a,\sqrt{a}\big)\) explota como\(a\to 0\text{.}\)

Ejemplo 2.2.10\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left\{ |x| \right\}\).

Calcular la derivada,\(f'(a)\text{,}\) de la función\(f(x)=|x|\) en el punto\(x=a\text{.}\)

• Deberíamos comenzar este ejemplo recordando la definición de\(|x|\) (lo vimos de nuevo en el Ejemplo 1.5.6):

  \ begin {align*} |x| &=\ begin {cases} -x &\ text {if} x\ lt 0\\ 0 &\ text {if} x=0\\ x &\ text {if} x\ gt 0. \ end {cases}\ end {align*}

  Definitivamente no es sólo “cortar el signo menos”.

  

• Esto rompe nuestro cálculo de la derivada en 3 casos dependiendo de si\(x\) es positivo, negativo o cero.
• Asumir\(x \gt 0\text{.}\) Entonces

  \ begin {alinear*}\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x} &=\ lim_ {h\ to0}\ frac {f (x+h) -f (x)} {h}\\ &=\ lim_ {h\ to0}\ frac {|x+h|-|x|} {h}\\\\ fin alinear*}

  Ya que\(x \gt 0\) y estamos interesados en el comportamiento de esta función como\(h \to 0\) podemos asumir\(h\) es mucho menor que\(x\text{.}\) Esto significa\(x+h \gt 0\) y así\(|x+h|=x+h\text{.}\)

  \ begin {align*} &=\ lim_ {h\ to0}\ frac {x+h-x} {h}\\ &=\ lim_ {h\ to0}\ frac {h} {h} = 1 &\ texto {como se esperaba}\ end {align*}

• Asumir\(x \lt 0\text{.}\) Entonces

  \ begin {alinear*}\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x} &=\ lim_ {h\ to0}\ frac {f (x+h) -f (x)} {h}\\ &=\ lim_ {h\ to0}\ frac {|x+h|-|x|} {h}\\\\ fin alinear*}

  Ya que\(x \lt 0\) y estamos interesados en el comportamiento de esta función como\(h \to 0\) podemos asumir\(h\) es mucho menor que\(x\text{.}\) Esto significa\(x+h \lt 0\) y así\(|x+h|=-(x+h)\text{.}\)

  \ begin {align*} &=\ lim_ {h\ to0}\ frac {- (x+h) - (-x)} {h}\\ &=\ lim_ {h\ to0}\ frac {-h} {h} = -1\ end {align*}
• Cuando\(x=0\) tenemos

  \ begin {align*} f' (0) &=\ lim_ {h\ to0}\ frac {f (0+h) -f (0)} {h}\\ &=\ lim_ {h\ to0}\ frac {|0+h|-|0|} {h}\\ &=\ lim_ {h\ to0}\ frac {|h|} {h}}\ end {alinear*}

  Para proceder necesitamos saber si más\(h \gt 0\) o\(h \lt 0\text{,}\) menos debemos usar límites unilaterales. El límite desde arriba es:

  \ begin {align*}\ lim_ {h\ a 0^+}\ frac {|h|} {h} &=\ lim_ {h\ a 0^+}\ frac {h} {h} &\ text {desde} h\ gt 0, |h|=h\\ &= 1\\\ end {align*}

  Considerando que, el límite desde abajo es:

  \ begin {align*}\ lim_ {h\ a 0^-}\ frac {|h|} {h} &=\ lim_ {h\ a 0^-}\ frac {-h} {h} &\ text {since} h\ lt 0, |h|= -h\\ &= -1\ end {align*} Dado que los límites unilaterales difieren, el límite como\(h\to 0\) no existe. Y así el derivado no existe como\(x=0\text{.}\)

En resumen:

\ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} |x| &=\ begin {casos} -1 &\ text {si} x\ lt 0\\ DNE &\ texto {si} x=0\\ 1 &\ texto {si} x\ gt 0\ end {casos}\ end {align*}

 

 

¿Dónde está el Derivado Indefinido?

Según la Definición 2.2.1, la derivada\(f'(a)\) existe precisamente cuando\(\lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) existe el límite. Ese límite es también la pendiente de la línea tangente a la curva\(y=f(x)\) en\(x=a\text{.}\) Ese límite no existe cuando la curva\(y=f(x)\) no tiene una línea tangente en\(x=a\) o cuando la curva sí tiene una línea tangente, pero la línea tangente tiene pendiente infinita. Ya hemos visto algunos ejemplos de ello.

• En el Ejemplo 2.2.7, consideramos la función\(f(x)=\frac{1}{x}\text{.}\) Esta función “explota” (es decir, se vuelve infinita) en\(x=0\text{.}\) No tiene una línea tangente at\(x=0\) y su derivada no existe en\(x=0\text{.}\)
• En Ejemplo 2.2.10, consideramos la función\(f(x)=|x|\text{.}\) Esta función no tiene una línea tangente en\(x=0\text{,}\) porque hay una esquina afilada en la gráfica de\(y=|x|\) at\(x=0\text{.}\) (Mira la gráfica en el Ejemplo 2.2.10.) Entonces el derivado de\(f(x)=|x|\) no existe en\(x=0\text{.}\)

Aquí hay algunos ejemplos más.

Ejemplo 2.2.11 Derivada a una discontinuidad.

Visualmente, la función

\(H(x) = \begin{cases} 0 & \text{if }x \le 0 \\ 1 & \text{if }x \gt 0 \end{cases}\)

no tiene una línea tangente en\((0,0)\text{.}\) No es sorprendente, cuándo\(a=0\) y\(h\) tiende a\(0\) con\(h \gt 0\text{,}\)

\ comenzar {reunir*}\ frac {H (a+h) -H (a)} {h} =\ frac {H (h) -H (0)} {h} =\ frac {1} {h}\ fin {reunir*}

estacione. El mismo tipo de cómputos muestra que posiblemente\(f'(a)\) no puede existir siempre que la función no\(f\) sea continua en\(a\text{.}\) Vamos a formalizar, y probar, esta afirmación en el Teorema 2.2.14, a continuación.

Ejemplo 2.2.12\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x^{1/3}\).

Visualmente, parece que la función\(f(x) = x^{1/3}\text{,}\) esbozada a continuación, (esto podría ser un buen punto para recordar que las raíces cubitas de números negativos son negativas —por ejemplo, ya que\((-1)^3=-1\text{,}\) la raíz cubo de\(-1\) es\(-1\)),

tiene el\(y\) eje —como su línea tangente en\((0,0)\text{.}\) Así que esperaríamos que\(f'(0)\) no exista. Vamos a revisar. Con\(a=0\text{,}\)

\ begin {alinear*} f' (a) &=\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {f (a+h) -f (a)} {h} =\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {f (h) -f (0)} {h} =\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {h^ {1/3}} h}\\ &=\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {1} {h^ {2/3}} =DNE\ final {alinear*}

como se esperaba.

Ejemplo 2.2.13\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sqrt{\left | x \right |}\).

Ya hemos considerado la derivada de la función\(\sqrt{x}\) en el Ejemplo 2.2.9. Ahora veremos la función\(f(x) = \sqrt{|x|}\text{.}\) Recall, del Ejemplo 2.2.10, la definición de\(|x|\text{.}\)

Cuando\(x \gt 0\text{,}\) tenemos\(|x|=x\) y\(f(x)\) es idéntico a\(\sqrt{x}\text{.}\) Cuando\(x \lt 0\text{,}\) tenemos\(|x|=-x\) y\(f(x)=\sqrt{-x}\text{.}\) Entonces para graficar\(y=\sqrt{|x|}\) cuando solo hay\(x \lt 0\text{,}\) que graficar\(y=\sqrt{x}\) para\(x \gt 0\) y luego enviar\(x\rightarrow -x\) — es decir, reflejar la gráfica en el\(y\) eje —eje. Aquí está la gráfica.

La cosa puntiagudos en el origen se llama cúspide. La gráfica de\(y=f(x)\) no tiene una línea tangente en\((0,0)\) y, en consecuencia,\(f'(0)\) no existe porque

\ begin {reunir*}\ lim_ {h\ fila derecha 0^+}\ frac {f (h) -f (0)} {h} =\ lim_ {h\ fila derecha 0^+}\ frac {\ sqrt {|h|}} {h} =\ lim_ {h\ fila derecha 0^+}\ frac {1} {\ sqrt {h} =DNE\ final {reunir*}

Teorema 2.2.14.

Si la función\(f(x)\) es diferenciable en\(x=a\text{,}\) entonces también\(f(x)\) es continua en\(x=a\text{.}\)

Prueba.

La función\(f(x)\) es continua en\(x=a\) si y sólo si el límite de

\ comenzar {reunir*} f (a+h) - f (a) =\ frac {f (a+h) -f (a)} {h}\ h\ final {reunir*}

como\(h\rightarrow 0\) existe y es cero. Pero si\(f(x)\) es diferenciable en\(x=a\text{,}\) ese entonces, como\(h\rightarrow 0\text{,}\) el primer factor,\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) converge hacia\(f'(a)\) y el segundo factor,\(h\text{,}\) converge a cero. Así que la provisión del producto de nuestra aritmética de límites Teorema 1.4.3 implica que el producto\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\ h\) converge a\(f'(a)\cdot 0=0\) también.

Observe que si bien este teorema es útil como se afirma, se aplica (posiblemente) con mayor frecuencia en su forma contrapositiva ⁷:

Teorema 2.2.15 El contrapositivo del teorema 2.2.14.

Si no\(f(x)\) es continuo en\(x=a\) entonces no es diferenciable en\(x=a\text{.}\)

Como ilustran los ejemplos anteriores, esta afirmación no nos dice qué pasa si\(f\) es continuo en\(x=a\) — ¡tenemos que pensar!

Ejercicios

Etapa 1

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Se muestra\(f(x)\) la función. Seleccione todas las opciones a continuación que describan su derivada,\(\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}\text{:}\)

• (a) constante
• b) aumentar
• c) decreciente
• d) siempre positivo
• e) siempre negativo

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Se muestra\(f(x)\) la función. Seleccione todas las opciones a continuación que describan su derivada,\(\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}\text{:}\)

• (a) constante
• b) aumentar
• c) decreciente
• d) siempre positivo
• e) siempre negativo

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Se muestra\(f(x)\) la función. Seleccione todas las opciones a continuación que describan su derivada,\(\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}\text{:}\)

• (a) constante
• b) aumentar
• c) decreciente
• d) siempre positivo
• e) siempre negativo

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)(✳)

Estado, en términos de límite, lo que significa\(f(x) = x^3\) para ser diferenciable en\(x = 0\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

¿Para qué valores de\(x\)\(f'(x)\) no existen?

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Supongamos que\(f(x)\) es una función definida en\(x=a\) con

\[ \lim_{h \to 0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=1. \nonumber \]

Verdadero o falso:\(f'(a)=1\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Supongamos que\(f(x)\) es una función definida en\(x=a\) con

\[ \lim_{x \to a^-}f'(x)=\lim_{x \to a^+}f'(x)=1. \nonumber \]

Verdadero o falso:\(f'(a)=1\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Supongamos que\(s(t)\) es una función, con\(t\) medida en segundos, y\(s\) medida en metros. ¿Cuáles son las unidades de\(s'(t)\text{?}\)

Etapa 2

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Usa la definición de la derivada para encontrar la ecuación de la línea tangente a la curva\(y(x)=x^3+5\) en el punto\((1,6)\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Utilice la definición de la derivada para encontrar la derivada de\(f(x)=\frac{1}{x}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)(✳)

Dejar\(f(x) = x|x|\text{.}\) Usando la definición de la derivada, mostrar que\(f(x)\) es diferenciable en\(x = 0\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)(✳)

Usar la definición de la derivada para calcular la derivada de la función\(f(x)=\frac{2}{x+1}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)(✳)

Usar la definición de la derivada para calcular la derivada de la función\(f(x)=\frac{1}{x^2+3}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Utilice la definición de la derivada para encontrar la pendiente de la línea tangente a la curva\(f(x)=x\log_{10}(2x+10)\) en el punto\(x=0\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)(✳)

Calcular la derivada de\(f(x)=\frac{1}{x^2}\) directamente a partir de la definición.

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)(✳)

Encuentra los valores de las constantes\(a\) y\(b\) para las cuales

\ begin {align*} f (x) =\ left\ {\ begin {array} {lc} x^2 & x\ le 2\\ ax + b & x\ gt 2\ end {array}\ right. \ end {align*}

es diferenciable en todas partes.

Observación: En el texto, ya has aprendido las derivadas de\(x^2\) y\(ax+b\text{.}\) En esta pregunta, solo se te pide que encuentres los valores de\(a\) y\(b\) —no para justificar cómo los obtuviste— para que no tengas que usar la definición de la derivada. No obstante, en un examen, se le podría pedir que justifique su respuesta, en cuyo caso mostraría cómo diferenciar las dos ramas de\(f(x)\) usar la definición de un derivado.

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)(✳)

Usa la definición de la derivada para calcular\(f'(x)\) si\(f(x) = \sqrt{1 + x}\text{.}\) ¿Dónde\(f'(x)\) existe?

Etapa 3

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Usa la definición de la derivada para encontrar la velocidad de un objeto cuya posición viene dada por la función\(s(t)=t^4-t^2\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)(✳)

Determinar si la derivada de la siguiente función existe en\(x=0\text{.}\)

\ begin {align*} f (x) &=\ begin {cases} x\ cos x &\ text {if} x\ ge 0\\\ sqrt {x^2+x^4} &\ text {if} x\ lt 0\ end {cases}\ end {align*}

Debes justificar tu respuesta usando la definición de un derivado.

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)(✳)

Determine si la derivada de la siguiente función existe en\(x=0\)

\ begin {align*} f (x) &=\ begin {cases} x\ cos x &\ text {if} x\ le 0\\\ sqrt {1+x} -1 &\ text {if} x\ gt 0\ end {cases}\ end {align*}

Debes justificar tu respuesta usando la definición de un derivado.

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)(✳)

Determine si la derivada de la siguiente función existe en\(x=0\)

\ begin {align*} f (x) &=\ begin {cases} x^3-7x^2 &\ text {if} x\ le 0\\ x^3\ cos\ left (\ frac {1} {x}\ right) &\ text {if} x\ gt 0\ end {cases}\ end {align*}

Debes justificar tu respuesta usando la definición de un derivado.

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)(✳)

Determine si la derivada de la siguiente función existe en\(x=1\)

\ begin {align*} f (x) &=\ begin {cases} 4x^2-8x+4 &\ text {if} x\ le 1\\ (x-1) ^2\ sin\ left (\ dfrac {1} {x-1}\ right) &\ text {if} x\ gt 1\ end {cases}\ end {align*}

Debes justificar tu respuesta usando la definición de un derivado.

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

Esboce una función\(f(x)\) con\(f'(0)=-1\) que tome los siguientes valores:

\(\mathbf{x}\)	\(-1\)	\(-\frac{1^{ }}{2_{ }}\)	\(-\frac{1}{4}\)	\(-\frac{1}{8}\)	\(0\)	\(\frac{1}{8}\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(1\)
\(\mathbf{f(x)}\)	\(-1\)	\(-\frac{1^{ }}{2_{ }}\)	\(-\frac{1}{4}\)	\(-\frac{1}{8}\)	\(0\)	\(\frac{1}{8}\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(1\)

Nota: no siempre se puede adivinar el comportamiento de una función desde sus puntos, incluso si los puntos parecen estar haciendo un patrón claro.

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

Dejar\(p(x)=f(x)+g(x)\text{,}\) para algunas funciones\(f\) y\(g\) cuyas derivadas existen. Usar leyes de límite y la definición de un derivado para demostrar que\(p'(x)=f'(x)+g'(x)\text{.}\)

Comentario: a esto se le llama la regla de suma, y aprenderemos más al respecto en Lemma 2.4.1.

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

Dejar\(f(x)=2x\text{,}\)\(g(x)=x\text{,}\) y\(p(x)=f(x) \cdot g(x)\text{.}\)

1. Encuentra\(f'(x)\) y\(g'(x)\text{.}\)
2. Encuentra\(p'(x)\text{.}\)
3. Es\(p'(x)=f'(x) \cdot g'(x)\text{?}\)

En el Teorema 2.4.3, aprenderás una regla para calcular la derivada de un producto de dos funciones.

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)(✳)

Hay dos líneas rectas distintas que pasan por el punto\((1,-3)\) y son tangentes a la curva\(y = x^2\text{.}\) Encuentra ecuaciones para estas dos líneas.

Comentario: el punto\((1,-3)\) no se encuentra en la curva\(y=x^2\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{27}\)(✳)

Para qué valores de\(a\) es la función

\[ f(x) =\left\{\begin{array}{ll} 0 & x\le 0\\ x^a \sin\frac{1}{x} & x \gt 0\end{array}\right. \nonumber \]

diferenciable a 0?