2.4: Aritmética de derivados - una caja de herramientas de diferenciación
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Hasta el momento, hemos evaluado derivados únicamente aplicando la Definición 2.2.1 a la función en cuestión y luego calculando los límites requeridos directamente. Es bastante obvio que a medida que la función que se está diferenciando se vuelve incluso un poco complicada, este procedimiento rápidamente se vuelve extremadamente difícil de manejar. Es muchos órdenes de magnitud más eficiente tener acceso a
- una lista de derivadas de algunas funciones simples y
- una colección de reglas para descomponer cálculos derivados complicados en secuencias de cálculos derivados simples.
Esto es precisamente lo que hicimos para computar límites. Comenzamos con límites de funciones simples y luego usamos “aritmética de límites” para calcular límites de funciones complicadas.
Ya hemos empezado a construir nuestra lista de derivadas de funciones simples. Hemos demostrado, en los Ejemplos 2.2.2, 2.2.3, 2.2.5 y 2.2.9, que
\ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} 1 &= 0 &\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} x &= 1 &\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} x^2 &= 2x &\ frac {\ mathrm {d} {\ mathrm {d} x}\ sqrt {x} &=\ frac {1} {2\ sqrt {x}}\ end {align*}
Ampliaremos esta lista más adelante.
Ahora comenzamos a construir una colección de herramientas que ayudan a reducir el problema de computar la derivada de una función complicada a la de computar las derivadas de una serie de funciones simples. En esta sección damos tres “reglas” derivadas como tres teoremas separados. Daremos las pruebas de estos teoremas en la siguiente sección y ejemplos de cómo se utilizan en la siguiente sección.
Como fue el caso de los límites, los derivados interactúan muy limpiamente con la suma, resta y multiplicación por una constante. El siguiente resultado en realidad sigue muy directamente de los tres primeros puntos del Teorema 1.4.3.
Dejar\(f(x),g(x)\) ser funciones diferenciables y dejar\(c \in \mathbb{R}\) ser una constante. Entonces
\ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {f (x) +g (x)\ grande\} &= f' (x) +g' (x)\\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {f (x) -g (x)\ grande\} &= f' (x) -g' (x)\\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {c f (x)\ grande\} &= c f' (x)\ end {alinear*}
Es decir, la derivada de la suma es la suma de las derivadas, y así sucesivamente.
Después de esto podemos combinar las tres afirmaciones de este lema en una sola regla que captura la “linealidad de la diferenciación”.
Nuevamente, dejar\(f(x),g(x)\) ser funciones diferenciables, dejar\(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) ser constantes y definir la “combinación lineal”
\ begin {alinear*} S (x) &=\ alfa f (x) +\ beta g (x). \ end {alinear*}
Entonces la derivada de\(S(x)\) at\(x=a\) existe y es
\ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d} S} {\ mathrm {d} x} = S' (x) &=\ alpha f' (x) +\ beta g' (x). \ end {alinear*}
Tenga en cuenta que podemos recuperar las tres reglas en el lema anterior estableciendo\(\alpha=\beta=1\)\(\alpha=1, \beta=-1\) o\(\alpha=c\text{,}\)\(\beta=0\text{.}\)
Desafortunadamente, el derivado no actúa tan simplemente sobre productos o cocientes. Las reglas para computar derivados de productos y cocientes obtienen sus propios nombres y teoremas:
Dejar\(f(x),g(x)\) ser funciones diferenciables, entonces la derivada del producto\(f(x)g(x)\) existe y es dada por
\ begin {alinear*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {f (x)\, g (x)\ grande\} &= f' (x)\, g (x) + f (x)\, g' (x). \ end {alinear*}
Antes de proceder a la derivada de la relación de dos funciones, vale la pena señalar un caso especial de la regla del producto cuando\(g(x)=f(x)\text{.}\) De hecho, ya que este es un caso especial útil, llamémoslo un corolario 1:
Dejar\(f(x)\) ser una función diferenciable, entonces la derivada de su cuadrado es:
\ begin {alinear*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {f (x) ^2\ grande\} &= 2\, f (x)\, f' (x)\ final {alinear*}
Con un poco de trabajo esto puede generalizarse a otros poderes —pero eso se hace mejor una vez que entendemos cómo calcular la derivada de la composición de dos funciones. Eso requiere la regla de la cadena (ver Teorema 2.9.2 más adelante). Pero antes de llegar a eso, necesitamos ver cómo tomar la derivada de un cociente de dos funciones.
Dejar\(f(x), g(x)\) ser funciones diferenciables. Entonces la derivada de su cociente es
\ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ izquierda\ {\ frac {f (x)} {g (x)}\ derecha\} &=\ frac {f' (x)\, g (x) - f (x)\, g' (x)} {g (x) ^2}. \ end {alinear*}
Esta derivada existe excepto en puntos donde\(g(x)=0\text{.}\)
Hay un caso especial útil de este teorema que obtenemos estableciendo\(f(x)=1\text{.}\) En ese caso, la regla del cociente nos dice cómo calcular la derivada del recíproco de una función.
Dejar\(g(x)\) ser una función diferenciable. Entonces la derivada del recíproco de\(g\) viene dada por
\ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ izquierda\ {\ frac {1} {g (x)}\ derecha\} &= -\ frac {g' (x)} {g (x) ^2}\ end {align*}
y existe excepto en aquellos puntos donde\(g(x)=0\text{.}\)
Entonces hemos cubierto, sumas, diferencias, productos y cocientes. Esto nos permite calcular derivadas de muchas funciones diferentes, incluyendo polinomios y funciones racionales. Sin embargo todavía nos faltan funciones trigonométricas (por ejemplo), y una regla para calcular derivados de composiciones. Estos seguirán en un futuro cercano, pero hay un par de cosas que hacer antes de eso —entender de dónde vienen los teoremas anteriores, y practicar usándolos.
Ejercicios
Etapa 1
Verdadero o falso:\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\{f(x)+g(x)\}=f'(x)+g'(x)\) cuando\(f\) y\(g\) son funciones diferenciables.
Verdadero o falso:\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\{f(x)g(x)\}=f'(x)g'(x)\) cuando\(f\) y\(g\) son funciones diferenciables.
Verdadero o falso:\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left\{\dfrac{f(x}{g(x)}\right\}=\dfrac{f'(x)}{g(x)}-\dfrac{f(x)g'(x)}{g^2(x)}\) cuando\(f\) y\(g\) son funciones diferenciables.
Dejar\(f\) ser una función diferenciable. Usa al menos tres reglas diferentes para diferenciar\(g(x)=3f(x)\text{,}\) y verificar que todas dan la misma respuesta.
Etapa 2
Diferenciar\(f(x)=3x^5+4x^{2/3}\text{.}\)
Utilice la regla del producto para diferenciar\(f(x)=(2x+5)(8\sqrt{x}-9x)\text{.}\)
Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de\(y=x^3\) at\(x=\dfrac{1}{2}\text{.}\)
Una partícula se mueve a lo largo del\(x\) eje —para que su posición en el tiempo\(t\) sea dada por\(x=t^3-4t^2+1\).
- \(t=2\text{,}\)¿A cuál es la velocidad de la partícula?
- ¿\(t=2\text{,}\)En qué dirección se mueve la partícula?
- \(t=2\text{,}\)¿A la velocidad de la partícula aumenta o disminuye?
Calcular y simplificar la derivada de\(\dfrac{2x-1}{2x+1}\)
¿Cuál es la pendiente de la gráfica\(y=\left(\dfrac{3x+1}{3x-2}\right)^2\) cuando\(x=1\text{?}\)
Encuentra la ecuación de la línea tangente a la curva\(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\) en el punto\(\left(1,\frac{1}{2}\right)\text{.}\)
Etapa 3
Un pueblo se funda en el año 2000. Después de\(t\) años, ha tenido\(b(t)\) nacimientos y\(d(t)\) defunciones. Nadie entra ni sale del pueblo excepto por nacimiento o muerte (whoa). Dar una expresión para la tasa de crecimiento de la población de la localidad.
Buscar todos los puntos de la curva por\(y=3x^2\) donde pasa la línea tangente\((2,9)\text{.}\)
Evaluar\(\displaystyle \lim_{y\rightarrow 0}\left( \dfrac{\sqrt{100180+y}-\sqrt{100180}}{y}\right)\) interpretando el límite como un derivado.
Un rectángulo está creciendo. En el momento\(t=0\text{,}\) es un cuadrado con longitud lateral de 1 metro. Su ancho aumenta a una velocidad constante de 2 metros por segundo, y su longitud aumenta a una velocidad constante de 5 metros por segundo. Qué tan rápido está aumentando su área a la vez\(t \gt 0\text{?}\)
Dejar que\(f(x)=x^2g(x)\) para alguna función diferenciable\(g(x)\text{.}\) Qué es\(f'(0)\text{?}\)
Verificar que diferenciar\(f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}\) usando la regla de cociente da la misma respuesta que diferenciar\(f(x)=\dfrac{g(x)}{k(x)}\cdot\dfrac{k(x)}{h(x)}\) usando la regla de producto y la regla de cociente.