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2.13: El teorema del valor medio

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Considera la siguiente situación. Dos pueblos están separados por un tramo de carretera de 120km de largo. Los policías de la localidad\(A\) observan un automóvil que sale a la 1pm. Sus compañeros de la ciudad\(B\) ven llegar el auto a las 2 de la tarde. Después de una rápida llamada telefónica entre las dos comisarías, al chofer se le expide una multa por ir\(120km/h\) en algún momento entre la 1pm y las 2pm. Es intuitivamente obvio 1 que, debido a que su velocidad promedio era\(120km/h\text{,}\) el conductor debió haber ido por lo\(120km/h\) menos en algún momento. A partir de un conocimiento de la velocidad promedio del automóvil, somos capaces de deducir algo sobre una velocidad instantánea 2.

    Demos la vuelta un poco a esto. Considera la premisa de una película de acción de los 90 3 —un autobús debe viajar a una velocidad no menor que Al\(80km/h\text{.}\) ser un autobús, es incapaz de ir más rápido que, digamos,\(120km/h\text{.}\) La película dura aproximadamente 2 horas, y supongamos que hay unos treinta minutos de no acción —por lo que la velocidad del autobús es restringido entre\(80\) y\(120km/h\) por un total de\(1.5\) horas.

    De nuevo es obvio que el autobús debió haber viajado entre\(80 \times 1.5 = 120\) y\(120\times 1.5 = 180km\) durante la película. Esta vez, a partir de un conocimiento de la tasa instantánea de cambio de posición —la derivada— a lo largo de un intervalo de tiempo de 90 minutos, podemos decir algo sobre el cambio neto de posición durante los 90 minutos.

    En ambos escenarios estamos haciendo uso de una pieza matemática llamada Teorema del Valor Medio. Dice que, bajo hipótesis apropiadas, la tasa promedio de cambio\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) de una función a lo largo de un intervalo se logra exactamente por la velocidad instantánea de cambio\(f'(c)\) de la función en algún 4 punto (desconocido)\(a\le c\le b\text{.}\) Llegaremos a una declaración precisa en el Teorema 2.13.5. Empezamos a trabajar a la altura considerando primero el caso especial en el que\(f(a)=f(b)\text{.}\)

    Teorema de Rolle

    Teorema 2.13.1 Teorema de Rolle.

    Dejar\(a\) y\(b\) ser números reales con\(a \lt b\text{.}\) Y dejar\(f\) ser una función para que

    • \(f(x)\)es continuo en el intervalo cerrado\(a\le x\le b\text{,}\)
    • \(f(x)\)es diferenciable en el intervalo abierto\(a \lt x \lt b\text{,}\) y
    • \(f(a)=f(b)\)

    entonces hay un\(c\) estrictamente entre\(a\) y\(b\text{,}\) es decir obedecer de\(a \lt c \lt b\text{,}\) tal manera que

    \ begin {reunir*} f' (c) =0. \ end {reunir*}

    Nuevamente, como los dos escenarios anteriores, este teorema dice algo intuitivamente obvio. Considera — si lanzas una pelota directamente al aire y luego la atrapas, en algún momento entre el lanzamiento y la captura debe estar estacionaria. Traduciendo esto en declaraciones matemáticas, deja\(s(t)\) ser la altura de la pelota sobre el suelo en metros, y dejar que\(t\) sea tiempo desde el momento en que se lanza la pelota en segundos. Entonces tenemos

    \ begin {align*} s (0) &= 1 &\ text {soltamos la pelota aproximadamente a la altura de la cadera}\\ s (4) &= 1 &\ text {cogemos la pelota $4s$ más tarde a la altura de la cadera}\ end {alinear*}

    Entonces sabemos que hay algún tiempo intermedio —digamos en\(t=c\) — cuando la pelota está estacionaria (en este caso cuando la pelota está en la parte superior de su trayectoria). Es decir,

    \ begin {alinear*} v (c) = s' (c) &= 0. \ end {align*}

    El teorema de Rolle garantiza que para cualquier función diferenciable que comience y termine en el mismo valor, siempre habrá al menos un punto entre el inicio y el final donde la derivada sea cero.

    Por supuesto, también puede haber múltiples puntos en los que la derivada sea cero —pero siempre debe haber al menos uno. Observe, sin embargo, el teorema 5

    no nos dice el valor de\(c\text{,}\) sólo que tal\(c\) debe existir.

    Ejemplo 2.13.2 Una simple aplicación del teorema de Rolle.

    Podemos usar el teorema de Rolle para mostrar que la función

    \ begin {align*} f (x) &=\ sin (x) -\ cos (x)\ end {align*}

    tiene un punto\(c\) entre\(0\) y\(\frac{3\pi}{2}\) para que\(f'(c)=0\text{.}\)

    Para aplicar el teorema de Rolle primero tenemos que mostrar que la función satisface las condiciones del teorema en el intervalo\([0,\frac{3\pi}{2}]\text{.}\)

    • Dado que\(f\) es la suma de seno y coseno es continua en el intervalo y también diferenciable en el intervalo.
    • Además, desde

      \ begin {alinear*} f (0) &=\ sin 0 -\ cos 0 = 0-1 = -1\\ f\ izquierda (\ frac {3\ pi} {2}\ derecha) &=\ sin\ frac {3\ pi} {2} -\ cos\ frac {3\ pi} {2} = -1-0 = -1\ end {align*}

      ahora podemos aplicar el teorema de Rolle.
    • El teorema de Rolle implica que debe haber un punto\(c \in (0,3\pi/2)\) para que\(f'(c) =0\text{.}\)

    Si bien el teorema de Rolle no nos dice que el valor de\(c\text{,}\) este ejemplo es lo suficientemente sencillo como para que podamos encontrarlo directamente.

    \ begin {align*} f' (x) &=\ cos x +\ sin x\ f' (c) &=\ cos c +\ sin c = 0 &\ text {reorganizar}\\\ sin c&= -\ cos c &\ text {y dividir por $\ cos c$}\\ tan c &= -1\ end {align*}

    De ahí que\(c = \frac{3\pi}{4}\text{.}\) hemos esbozado la función y los puntos relevantes a continuación.

    Una aplicación más sustancial del teorema de Rolle (junto con el teorema del valor intermedio — Teorema 1.6.12) es mostrar que una función no tiene múltiples ceros en un intervalo:

    Ejemplo 2.13.3 Mostrar una ecuación tiene exactamente 1 solución.

    Demostrar que la ecuación\(2x-1=\sin(x)\) tiene exactamente 1 solución.

    • Comience con un boceto aproximado de cada lado de la ecuación
    • Esto parece que debería ser cierto.

    • Observe que el problema que estamos tratando de resolver equivale a mostrar que la función

      \ comenzar {alinear*} f (x) &= 2x-1-\ sin (x)\ final {alinear*}

      tiene sólo un solo cero.
    • Ya que\(f(x)\) es la suma de un polinomio y una función sinusoidal, es continua y diferenciable en todas partes. Así podemos aplicar tanto el IVT como el teorema de Rolle.
    • Observe que\(f(0)=-1\) y\(f(2) = 4-1-\sin(2) = 3-\sin(2) \geq 2\text{,}\) desde\(-1\leq \sin(2) \leq 1\text{.}\) Así por la IVT sabemos que hay al menos un número\(c\) entre\(0\) y\(2\) para que\(f(c)=0\text{.}\)
    • Pero nuestro trabajo sólo está medio hecho —esto demuestra que hay al menos un cero, pero no nos dice que no hay más de uno. Tenemos más trabajo por hacer, y el teorema de Rolle es la herramienta que necesitamos.
    • Considera lo que pasaría si\(f(x)\) es cero en 2 lugares —es decir, hay números\(a,b\) para que\(f(a)=f(b)=0\text{.}\)

      Así la función no puede ser cero en dos lugares distintos —de lo contrario tendríamos una contradicción.

      • Ya que\(f(x)\) es diferenciable en todas partes y\(f(a)=f(b)=0\text{,}\) podemos aplicar el teorema de Rolle.
      • De ahí que sepamos que hay un punto\(c\) entre\(a\) y\(b\) para que\(f'(c)=0\text{.}\)
      • Pero examinemos\(f'(x)\text{:}\)

        \ begin {align*} f' (x) &= 2-\ cos x\ end {alinear*}

        Ya\(-1\leq \cos x \leq 1\text{,}\) que debemos tener eso\(f'(x) \geq 1\text{.}\)
      • Pero esto contradice el teorema de Rolle que nos dice que debe haber un punto en el que la derivada sea cero.

    De hecho, podemos precisar el valor de\(c\) usar el enfoque de bisección que usamos en el ejemplo 1.6.15. Si hacemos esto cuidadosamente nos encontramos con que\(c \approx 0.887862\dots\)

    Volver al MVT

    El teorema de Rolle se puede generalizar de una manera sencilla; dada una función diferenciable todavía\(f(x)\) podemos decir algo sobre\(\dfrac{df}{dx}\text{,}\) aunque\(f(a) \neq f(b)\text{.}\) considere el siguiente boceto:

    Figura 2.13.4.

    Todo lo que hemos hecho es inclinar la imagen para que\(f(a) \lt f (b)\text{.}\) ahora ya no podamos garantizar que habrá un punto en la gráfica donde la línea tangente sea horizontal, pero habrá un punto donde la línea tangente sea paralela a la secante uniéndose\((a, f(a))\) a\((b, f(b))\text{.}\)

    Para exponer esto en términos de nuestro primer escenario atrás al inicio de esta sección, supongamos que se está conduciendo por el eje\(x\) —eje. En el momento\(t=a\) estás en\(x=f(a)\) y en el momento\(t=b\) estás en\(x=f(b)\text{.}\) Por simplicidad, supongamos eso\(b \gt a\) y al\(f(b)\ge f(a)\text{,}\) igual que en el boceto anterior. Entonces durante el intervalo de tiempo en cuestión viajaste una distancia neta de Te\(f(b)-f(a)\text{.}\) tomó\(b-a\) unidades de tiempo recorrer esa distancia, por lo que tu velocidad promedio fue Es muy posible que\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\text{.}\) hayas ido más rápido que\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) parte del tiempo y más lento que\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) parte del tiempo. Pero es razonable adivinar que en algún momento entre\(t=a\) y\(t=b\) tu velocidad instantánea fue exactamente\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\text{.}\) El teorema del valor medio dice que, bajo supuestos razonables sobre\(f\text{,}\) esto es efectivamente el caso.

    Teorema 2.13.5 El teorema del valor medio.

    Dejar\(a\) y\(b\) ser números reales con\(a \lt b\text{.}\) Y dejar\(f(x)\) ser una función para que

    • \(f(x)\)es continuo en el intervalo cerrado\(a \leq x \leq b\text{,}\) y
    • \(f(x)\)es diferenciable en el intervalo abierto\(a \lt x \lt b\)

    entonces hay\(c \in (a,b)\text{,}\) tal que

    \ begin {align*} f' (c) &=\ frac {f (b) -f (a)} {b-a}\\\ end {align*}

    que también podemos expresar como

    \ begin {align*} f (b) &=f (a) +f' (c) (b-a). \ end {align*}

    Empecemos a explorar el teorema del valor medio —que con mucha frecuencia se conoce como MVT. Un ejemplo sencillo para comenzar:

    Ejemplo 2.13.6 Aplicar MVT a un polinomio.

    Considerar el polinomio\(f(x)=3x^2-4x+2\) sobre\([-1,1]\text{.}\)

    • Dado que\(f\) es un polinomio es continuo en el intervalo y también diferenciable en el intervalo. De ahí que podamos aplicar el MVT.
    • El MVT nos dice que hay un punto\(c \in (-1,1)\) para que

      \ begin {alinear*} f' (c) &=\ frac {f (1) -f (-1)} {1- (-1)} =\ frac {1-9} {2} =-4\ end {alinear*}

    Este ejemplo es lo suficientemente sencillo como para que podamos encontrar el punto\(c\) y la línea tangente correspondiente:

    • El derivado es

      \ begin {align*} f' (x) &= 6x-4\ end {alinear*}

    • Así que tenemos que resolver\(f'(c)=-4\text{:}\)

      \ begin {align*} 6c-4 &= -4\ end {align*}

      lo que nos dice que\(c=0\text{.}\)
    • La línea tangente tiene pendiente\(-4\) y pasa a través\((0,f(0))=(0,2)\text{,}\) y así viene dada por

      \ begin {align*} y &= -4x+2\ end {align*}

    • La línea secante que se une\((-1,f(-1))=(-1,9)\) a\((1,f(1))=(1,1)\) es solo

      \ begin {align*} y &= 5-4x\ end {align*}

    • Aquí hay un boceto de la curva y las dos líneas:
    Ejemplo 2.13.7 MVT, velocidad y distancia.

    Podemos volver a nuestros ejemplos iniciales motivados por autos. Digamos que estás conduciendo por una carretera recta en un auto que puede llegar\(80km/h\text{.}\) como mucho ¿Hasta dónde puedes llegar en 2 horas? — la respuesta es fácil, pero también podemos resolver esto usando MVT.

    • Dejar\(s(t)\) ser la posición del carro\(km\) en el tiempo\(t\) medido en horas.
    • Entonces\(s(0)=0\) y\(s(2)=q\text{,}\) dónde\(q\) está la cantidad que necesitamos para encuadernar.
    • Se nos dice eso\(| s'(t) | \leq 80\text{,}\) o equivalentemente

      \ comenzar {reunir*} -80\ leq s' (t)\ leq 80\ fin {reunir*}

    • Por el MVT hay algunos\(c\) entre 0 y 2 para que

      \ begin {align*} s' (c) &=\ frac {q-0} {2} =\ frac {q} {2}\ end {align*}

    • Ahora ya que\(-80 \leq s'(c) \leq 80\) debemos tener\(-80 \leq q/2 \leq 80\) y por lo tanto\(-160 \leq q=s(2) \leq 160\text{.}\)

    De manera más general si tenemos alguna información sobre el derivado, entonces podemos usar el MVT para aprovechar esta información para decirnos algo sobre la función.

    Ejemplo 2.13.8 Usar MVT para unir una función.

    Dejar\(f(x)\) ser una función diferenciable para que

    \ begin {align*} f (1) &=10 &\ text {y} && -1\ leq f' (x)\ leq 2\ texto {en todas partes}\ end {align*}

    Obtener límites superior e inferior en\(f(5)\text{.}\)

    Bien, ¿qué hacemos?

    • Ya que\(f(x)\) es diferenciable podemos utilizar el MVT.
    • Decir\(f(5)=q\text{,}\) entonces el MVT nos dice que hay algunos\(c\) entre\(1\) y\(5\) tal que

      \ begin {align*} f' (c) &=\ frac {q-10} {5-1} =\ frac {q-10} {4}\ end {align*}

    • Pero sabemos que\(-1 \leq f'(c) \leq 2\text{,}\) así

      \ start {alinear*} -1 &\ leq f' (c)\ leq 2\\ -1 &\ leq\ frac {q-10} {4}\ leq 2\\ -4 &\ leq q-10\ leq 8\\ 6\ leq q\ leq 18\ end {align*}

    • Así debemos tener\(6 \leq f(5) \leq 18\text{.}\)

    (Opcional) — ¿Por qué es cierto el MVT?

    No vamos a dar una prueba real de este teorema, pero veremos una imagen que muestra por qué es cierto. Aquí está la imagen. Contiene un boceto de la gráfica de\(f(x)\text{,}\) con\(x\) correr de\(a\) a así\(b\text{,}\) como un segmento de línea que es la secante de la gráfica desde el punto\(\big(a\,,f(a)\big)\) hasta el punto\(\big(b\,,f(b)\big)\text{.}\) La pendiente de la secante es exactamente\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\text{.}\)

    Recuerde que estamos buscando un punto,\(\big(c\,,f(c)\big)\text{,}\) en la gráfica de\(f(x)\) con la propiedad que\(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\text{,}\) es decir, con la propiedad en la que la pendiente de la línea tangente en\(\big(c\,,f(c)\big)\) es la misma que la pendiente de la secante. Así que imagina que comienzas a mover la secante hacia arriba, manteniendo cuidadosamente el segmento de línea movido paralelo a la secante. Entonces la pendiente del segmento de línea movido es siempre exactamente\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\text{.}\) Cuando empezamos a mover por primera vez el segmento de línea no es tangente a la curva — cruza la curva. Esto se ilustra en la figura por el segundo segmento de línea desde la parte inferior. Si movemos el segmento de línea demasiado lejos no toca la curva en absoluto. Esto se ilustra en la figura por el segmento superior. Pero si dejamos de mover el segmento de línea justo antes de que deje de intersectar la curva en absoluto, obtenemos exactamente la línea tangente a la curva en el punto de la curva que está más alejado de la secante. Esta línea tangente tiene exactamente la pendiente deseada. Esto se ilustra en la figura por el tercer segmento de línea desde la parte inferior.

    Tenga cuidado con las hipótesis

    El teorema del valor medio tiene hipótesis —\(f(x)\) tiene que ser continuo para\(a\le x\le b\) y tiene que ser diferenciable para\(a \lt x \lt b\text{.}\) Si se viola cualquiera de las hipótesis, la conclusión del teorema del valor medio puede fallar. Es decir, la curva no\(y=f(x)\) necesita tener una línea tangente en alguna\(x=c\) entre\(a\) y\(b\) cuya pendiente,\(f'(c)\text{,}\) sea la misma que la pendiente,\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\text{,}\) de la secante uniendo los puntos\(\big(a\,,f(a)\big)\) y\(\big(b\,,f(b)\big)\) sobre la curva. Si\(f'(x)\) no existe para un solo valor de\(x\) entre\(a\) y\(b\text{,}\) todas las apuestas están apagadas. Los siguientes dos ejemplos ilustran esto.

    Ejemplo 2.13.9 MVT no funciona aquí.

    Para el primer ejemplo “malo”,\(a=0\text{,}\)\(b=2\) y

    \(f(x) = \begin{cases} 0 & \text{if }x \le 1 \\ 1 & \text{if }x \gt 1 \end{cases}\)

    Para este ejemplo,\(f'(x)=0\) en cada\(x\) donde se define. Es decir, en cada\(x\ne 1\text{.}\) Pero la pendiente de la secante se une\(\big(a\,,f(a)\big)=(0,0)\) y\(\big(b\,,f(b)\big)=(2,1)\) es\(\frac{1}{2}\text{.}\)

    Ejemplo 2.13.10 MVT tampoco funciona aquí.

    Para el segundo ejemplo “malo”,\(a=-1\text{,}\)\(b=1\) y\(f(x)=|x|\text{.}\) Para esta función

    \(f'(x) = \begin{cases} -1 & \text{if }x \lt 0 \\ \text{undefined} & \text{if }x=0 \\ 1 & \text{if }x \gt 0 \end{cases}\)

    Para este ejemplo,\(f'(x)=\pm 1\) en cada\(x\) donde se define. Es decir, en cada\(x\ne 0\text{.}\) Pero la pendiente de la secante se une\(\big(a\,,f(a)\big)=(-1,1)\) y\(\big(b\,,f(b)\big)=(1,1)\) es\(0\text{.}\)

    Ejemplo 2.13.11 MVT sí funciona en éste.

    Aquí hay un ejemplo “bueno”, donde se satisfacen las hipótesis del teorema del valor medio. Let\(f(x)=x^2\text{.}\) Entonces\(f'(x)=2x\text{.}\) Para cualquier\(a \lt b\text{,}\)

    \ comenzar {reunir*}\ frac {f (b) -f (a)} {b-a} =\ frac {b^2-a^2} {b-a} =b+a\ end {reunión*}

    Entonces\(f'(c)=2c\) es exactamente\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) cuándo\(c=\frac{a+b}{2}\text{,}\) cuál, en este ejemplo, pasa a estar exactamente a medio camino entre\(x=a\) y\(x=b\text{.}\)

    Una consecuencia simple del teorema del valor medio es que si conoces el signo de\(f'(c)\) para todos\(c\) entre\(a\) y\(b\text{,}\) con\(b \gt a\text{,}\) entonces\(f(b)-f(a) = f'(c) (b-a)\) debe tener el mismo signo.

    Corolario 2.13.12 Consecuencias del teorema del valor medio.

    Let\(A\) y\(B\) ser números reales con la función\(A \lt B\text{.}\) Let\(f(x)\) ser definidos y continuos en el intervalo cerrado\(A\le x\le B\) y ser diferenciables en el intervalo abierto\(A \lt x \lt B\text{.}\)

    1. Si\(f'(c)=0\) por todos\(A \lt c \lt B\text{,}\) entonces\(f(b)=f(a)\) para todos\(A\le a \lt b\le B\text{.}\)

      — Es decir,\(f(x)\) es constante en\(A\le x\le B\text{.}\)

    2. Si\(f'(c)\ge 0\) por todos\(A \lt c \lt B\text{,}\) entonces\(f(b)\ge f(a)\) para todos\(A\le a\le b\le B\text{.}\)

      — Es decir,\(f(x)\) está aumentando en\(A\le x\le B\text{.}\)

    3. Si\(f'(c)\le 0\) por todos\(A \lt c \lt B\text{,}\) entonces\(f(b)\le f(a)\) para todos\(A\le a \le b\le B\text{.}\)

      — Es decir,\(f(x)\) está disminuyendo en\(A\le x\le B\text{.}\)

    No es difícil ver por qué es cierto lo anterior:

    • Decir\(f'(x)=0\) en cada punto del intervalo\([A,B]\text{.}\) Ahora elige cualquiera\(a,b \in [A,B]\) con\(a \lt b\text{.}\) Entonces el MVT nos dice que hay\(c \in (a,b)\) para que

      \ begin {align*} f' (c) &=\ frac {f (b) -f (a)} {b-a}\ end {align*}

      Si\(f(b) \neq f(a)\) entonces debemos tener eso\(f'(c) \neq 0\) — contradiciendo lo que se nos dice\(f'(x)\text{.}\) Así debemos tener eso\(f(b)=f(a)\text{.}\)
    • De igual manera, digamos\(f'(x) \geq 0\) en cada punto del intervalo\([A,B]\text{.}\) Ahora escoge cualquiera\(a,b \in [A,B]\) con\(a \lt b\text{.}\) Entonces el MVT nos dice que hay\(c \in (a,b)\) para que

      \ begin {align*} f' (c) &=\ frac {f (b) -f (a)} {b-a}\ end {align*}

      Ya que\(b \gt a\text{,}\) el denominador es positivo. Ahora bien, si\(f(b) \lt f(a)\) el numerador sería negativo, haciendo negativo el lado derecho, y contradiciendo lo que se nos dice\(f'(x)\text{.}\) De ahí que debemos tener\(f(b) \ge f(a)\text{.}\)

    Un buen corolario del corolario anterior es el siguiente:

    Corolario 2.13.13.

    Si\(f'(x) = g'(x)\) para todos\(x\) en el intervalo abierto\((a,b)\text{,}\) entonces\(f-g\) es una constante on\((a,b)\text{.}\) Ahí\(c\) es\(f(x)=g(x)+c\text{,}\) donde hay alguna constante.

    Podemos probar esto fijando\(h(x)=f(x)-g(x)\text{.}\) Entonces\(h'(x)=0\) y así el corolario anterior nos dice que\(h(x)\) es constante.

    Ejemplo 2.13.14 Sumando\(\arcsin\) and \(\arccos\).

    Usando este corolario podemos probar resultados como los siguientes:

    \ begin {align*}\ arcsin x +\ arccos x &=\ frac {\ pi} {2} &\ mbox {para todos} -1\ lt x\ lt 1\ end {alinear*}

    ¿Cómo funciona esto? Vamos\(f(x) = \arcsin x + \arccos x\text{.}\) Entonces

    \ begin {alinear*} f' (x) &=\ frac {1} {\ sqrt {1-x^2}} +\ frac {-1} {\ sqrt {1-x^2}} = 0\ end {alinear*}

    Por lo tanto,\(f\) debe ser una constante. Para saber cuál constante, solo podemos verificar su valor en un punto conveniente, como\(x=0\text{.}\)

    \ begin {align*}\ arcsin (0) +\ arccos (0) &=\ pi/2 + 0 =\ pi/2\ end {align*}

    Dado que la función es constante, este debe ser el valor.

    2.13.5 Ejercicios

    Etapa 1
    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Supongamos que un caribú en particular tiene una velocidad máxima de 70 kph, y en un año migra 5000 km. ¿Qué sabes sobre la cantidad de tiempo que el caribú pasó viajando durante su migración?

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Supongamos que una grúa migratoria Sandhill voló 240 kilómetros en un día. ¿Qué te dice el teorema del valor medio sobre su velocidad durante ese día?

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    A continuación se muestra la gráfica de\(y=f(x)\text{,}\) donde\(x\) es continuo\([a,b]\) y diferenciable en\((a,b)\text{.}\) Mark en la gráfica la ubicación aproximada de un valor\(c\) garantizado por el teorema del valor medio.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Dar una función\(f(x)\) con las propiedades que:

    • \(f(x)\)es diferenciable en el intervalo abierto\(0 \lt x \lt 10\)
    • \(f(0)=0\text{,}\)\(f(10)=10\)

    pero para todos\(c \in (0,10)\text{,}\)\(f'(c)=0\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Para cada una de las partes siguientes, esboce una función\(f(x)\) (diferente en cada parte) que sea continua y diferenciable sobre todos los números reales, con\(f(1)=f(2)=0\text{,}\) y con la propiedad listada, o explique por qué no existe tal función.

    1. \(f'(c)=0\)por ningún punto\(c \in (1,2)\)
    2. \(f'(c)=0\)por exactamente un punto\(c \in (1,2)\)
    3. \(f'(c)=0\)por exactamente cinco puntos\(c \in (1,2)\)
    4. \(f'(c)=0\)por infinitamente muchos puntos\(c \in (1,2)\)
    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Supongamos que desea mostrar que existe un punto donde la función\(f(x)=\sqrt{|x|}\) tiene una línea tangente con pendiente\(\frac{1}{13}\text{.}\) Encuentra el error (es) en el siguiente trabajo, y da una prueba correcta.

    La función\(f(x)\) es continua y diferenciable sobre todos los números reales, por lo que se aplica el teorema del valor medio. \(f(-4)=2\)y\(f(9)=3\text{,}\) así por el teorema del valor medio, existe alguna\(c \in (-4,9)\) tal que\(f'(x) = \dfrac{3-2}{9-(-4)}=\dfrac{1}{13}\text{.}\)

    Etapa 2
    Ejercicio\(\PageIndex{7}\) (✳)

    Vamos\(f(x)=x^2-2\pi x+ \cos(x)-1\text{.}\) Mostrar que existe un número real\(c\) tal que\(f'(c)=0\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\) (✳)

    Vamos\(f(x)=e^x + (1-e)x^2 - 1\text{.}\) Mostrar que existe un número real\(c\) tal que\(f'(c)=0\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\) (✳)

    Vamos\(f(x)=\sqrt{3 + \sin(x)} + (x - \pi)^2\text{.}\) Mostrar que existe un número real\(c\) tal que\(f'(c)=0\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\) (✳)

    Vamos\(f(x)=x\cos(x) - x\sin(x)\text{.}\) Mostrar que existe un número real\(c\) tal que\(f'(c)=0\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    ¿Cuántas raíces tiene la función\(f(x)=3x-\sin x\)?

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    ¿Cuántas raíces tiene la función\(f(x)=\dfrac{(4x+1)^4}{16}+x\)?

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    ¿Cuántas raíces tiene la función\(f(x)=x^3+\sin\left(x^5\right)\)?

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    ¿Cuántas soluciones de valor positivo tiene la ecuación\(e^x=4\cos(2x)\)?

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\) (✳)

    Dejemos\(f(x)=3x^5-10x^3+15x+a\text{,}\) donde\(a\) hay alguna constante.

    1. Demostrar que, independientemente del valor\(a\text{,}\)\(f'(x) \gt 0\) para todos\(x\) en\((-1,1)\text{.}\)
    2. Demostrar que, independientemente del valor\(a\text{,}\)\(f(x)=3x^5-10x^3+15x+a\) tiene como máximo una raíz en\([-1,1]\text{.}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{16}\) (✳)

    Encuentra el punto prometido por el Teorema del Valor Medio para la función\(e^x\) en el intervalo\([0, T]\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    Utilice el Corolario 2.13.12 y el Teorema 2.12.8 para mostrar que\(\textrm{arcsec} x=C-\textrm{arccsc} x\) para alguna constante\(C\text{;}\) luego encontrar\(C\text{.}\)

    Etapa 3
    Ejercicio\(\PageIndex{18}\) (✳)

    Supongamos\(f(0) = 0\) y\(f'(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-f(x)}}\). Demostrar que\(f(100) \lt 100\text{.}\)

    Nota: una ecuación que relaciona una función con su propia derivada se llama ecuación diferencial. Veremos algunas ecuaciones diferenciales muy básicas en la Sección 3.3.

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    Let\(f(x)=2x+\sin x\text{.}\) ¿Cuál es el intervalo más grande que contiene\(x=0\) sobre cuál\(f(x)\) es uno a uno? ¿Cuáles son el dominio y el rango de\(f^{-1}(x)\text{?}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    Let\(f(x)=\dfrac{x}{2}+\sin x\text{.}\) ¿Cuál es el intervalo más grande que contiene\(x=0\) sobre cuál\(f(x)\) es uno a uno? ¿Cuál es el dominio y el rango de\(f^{-1}(x)\text{,}\) si restringimos\(f\) a este intervalo?

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    Supongamos\(f(x)\) y\(g(x)\) son funciones que son continuas a lo largo del intervalo\([a,b]\) y diferenciables sobre el intervalo\((a,b)\text{.}\) Supongamos además que\(f(a) \lt g(a)\) y\(g(b) \lt f(b)\text{.}\) Mostrar que existe alguna\(c \in [a,b]\) con\(f'(c) \gt g'(c)\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    Supongamos que\(f(x)\) es una función que es diferenciable sobre todos los números reales, y\(f'(x)\) que tiene precisamente dos raíces. ¿Cuál es el número máximo de raíces distintas que\(f(x)\) pueden tener?

    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    ¿Cuántas raíces\(f(x)=\sin x + x^2 + 5x +1\) tiene?


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