2.12: Funciones trigonométricas inversas

Una aplicación muy útil de la diferenciación implícita es encontrar las derivadas de funciones inversas. Ya hemos utilizado este enfoque para encontrar la derivada de la inversa de la función exponencial — el logaritmo.

Ahora vamos a considerar el problema de encontrar las derivadas de las inversas de las funciones trigonométricas. Ahora es un muy buen momento para volver atrás y releer la Sección 0.6 sobre funciones inversas — especialmente Definición 0.6.4. Lo más importante es que dada una función$f(x)\text{,}$ su función inversa$f^{-1}(x)$ sólo existe, con dominio$D\text{,}$ cuando$f(x)$ pasa la “prueba de línea horizontal”, que dice que para cada uno$Y$ en$D$ la línea horizontal$y=Y$ se cruza la gráfica$y=f(x)$ exactamente una vez. (Es decir,$f(x)$ es una función uno a uno.)

Empecemos jugando con la función seno y determinemos cómo restringir el dominio de$\sin x$ para que exista su función inversa.

Ejemplo 2.12.1 La inversa de$\sin (x)$.

Vamos$y=f(x)=\sin(x)\text{.}$ Nos gustaría encontrar la función inversa que toma$y$ y nos devuelve un$x$ valor único para que$\sin(x)=y\text{.}$

• Por cada número real$Y\text{,}$ el número de$x$ -valores que obedecen$\sin(x)=Y\text{,}$ es exactamente el número de veces que la línea recta horizontal$y=Y$ cruza la gráfica de$\sin(x)\text{.}$
• Cuando$-1\le Y\le 1\text{,}$ la línea horizontal cruza la gráfica infinitamente muchas veces. Esto se ilustra en la figura anterior por la línea$y=0.3\text{.}$
• Por otro lado, cuando$Y \lt -1$ o$Y \gt 1\text{,}$ la línea$y=Y$ nunca se cruza con la gráfica de$\sin(x)\text{.}$ Esto se ilustra en la figura de arriba por la línea$y=-1.2\text{.}$

Esta es exactamente la prueba de línea horizontal y muestra que la función sinusoidal no es uno a uno.

Ahora considere la función

\ begin {align*} y &=\ sin (x) &\ text {con dominio} -\ frac {\ pi} {2}\ leq x\ leq\ frac {\ pi} {2}\ end {align*}

Esta función tiene la misma fórmula pero el dominio ha sido restringido de manera que, como ahora mostraremos, se satisface la prueba de línea horizontal.

Como vimos anteriormente cuando$|Y| \gt 1$ no$x$ obedece$\sin(x)=Y$ y, para cada uno$-1\le Y\le 1\text{,}$ la línea$y=Y$ (ilustrada en la figura anterior con$y=0.3$) cruza la curva$y=\sin(x)$ infinitamente muchas veces, de manera que hay infinitamente muchos$x$ los que obedecen$f(x)=\sin x=Y\text{.}$ Sin embargo exactamente uno de esos cruces (el punto en la figura) tiene$-\frac{\pi}{2}\le x \le\frac{\pi}{2}\text{.}$

Es decir, para cada uno$-1\le Y \le 1\text{,}$ hay exactamente una$x\text{,}$ llamada$X\text{,}$ que obedece a ambos

\ begin {alinear*}\ sin X &= Y &\ text {y} && -\ frac {\ pi} {2}\ le X\ le\ frac {\ pi} {2}\ end {align*}

Ese valor único, normalmente$X\text{,}$ se denota$\arcsin(Y)\text{.}$ Eso es

\ begin {alinear*}\ sin (\ arcsin (Y)) &= Y &\ text {y} && -\ frac {\ pi} {2}\ le\ arcsin (Y)\ le\ frac {\ pi} {2}\ end {align*}

$Y\rightarrow x\text{,}$El cambio de nombre de la función inversa$\arcsin(x)$ se define para todos$-1 \le x \le 1$ y está determinado por la ecuación

Ecuación 2.12.2

$$\sin\big(\arcsin(x)\big)=x\qquad\text{and}\qquad -\frac{\pi}{2}\le \arcsin(x)\le\frac{\pi}{2}. \nonumber$$

Tenga en cuenta que muchos textos usarán$\sin^{-1}(x)$ para denotar arcoseno, sin embargo usaremos$\arcsin(x)$ ya que sentimos que es más claro ¹; el lector debe reconocer ambos.

Ejemplo 2.12.3 Más sobre la inversa de$\sin (x)$.

Desde

$$\sin\frac{\pi}{2}=1\qquad\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} \nonumber$$

y$-\frac{\pi}{2}\le \frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\le \frac{\pi}{2}\text{,}$ tenemos

$$\arcsin 1= \frac{\pi}{2}\qquad \arcsin \frac{1}{2}= \frac{\pi}{6} \nonumber$$

A pesar de que

$$\sin(2\pi)=0 \nonumber$$

no es cierto eso$\arcsin 0 =2\pi\text{,}$ y no es cierto que$\arcsin\big(\sin(2\pi)\big) =2\pi\text{,}$ porque no$2\pi$ es entre$-\frac{\pi}{2}$ y$\frac{\pi}{2}\text{.}$ Más generalmente

\ begin {align*}\ arcsin\ big (\ sin (x)\ big) &=\ text {el ángulo único}\ theta\ text {entre} -\ frac {\ pi} {2}\ text {y}\ frac {\ pi} {2}\ text {obedeciendo}\ sin\ theta =\ sin x\ &= x\ quad\ texto {si y solo si $-\ frac {\ pi} {2}\ le x\ le\ frac {\ pi} {2} $}\ end {alinear*}

Entonces, por ejemplo,$\arcsin\big(\sin\big(\frac{11\pi}{16}\big)\big)$ no puede ser$\frac{11\pi}{16}$ porque$\frac{11\pi}{16}$ es más grande que$\frac{\pi}{2}\text{.}$ Entonces, ¿cómo encontramos la respuesta correcta? Comience por esbozar la gráfica de$\sin(x)\text{.}$

Parece que la gráfica de$\sin x$ es simétrica sobre$x=\frac{\pi}{2}\text{.}$ La forma matemática de decir que “la gráfica de$\sin x$ es simétrica sobre$x=\frac{\pi}{2}$” es “$\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)= \sin(\frac{\pi}{2}+\theta)$” para todos$\theta\text{.}$ Eso es verdad ².

Ahora$\frac{11\pi}{16}=\frac{\pi}{2} +\frac{3\pi}{16}$ así

$$\sin\Big(\frac{11\pi}{16}\Big) =\sin\Big(\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{16}\Big) =\sin\Big(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{16}\Big) =\sin\Big(\frac{5\pi}{16}\Big) \nonumber$$

y, ya que de hecho$\frac{5\pi}{16}$ está entre$-\frac{\pi}{2}$ y$\frac{\pi}{2}\text{,}$

$$\arcsin\Big(\sin\Big(\frac{11\pi}{16}\Big)\Big) =\frac{5\pi}{16}\qquad\Big(\text{and not $\frac{11\pi}{16}$}\Big). \nonumber$$

Derivadas de funciones trig inversas

Ahora que hemos explorado la función arcoseno estamos listos para encontrar su derivada. Vamos a llamar

\ begin {align*}\ arcsin (x) &=\ theta (x),\ end {align*}

para que la derivada que estamos buscando sea$\dfrac{d\theta}{dx}\text{.}$ La ecuación anterior es (después de tomar seno de ambos lados) equivalente a

\ start {alinear*}\ sin (\ theta) &= x\ end {alinear*}

Ahora diferencie esto usando diferenciación implícita (solo tenemos que recordar que$\theta$ varía con$x$ y usa la regla de la cadena con cuidado):

\ begin {align*}\ cos (\ theta)\ cdot\ dfrac {d\ theta} {dx} &= 1\\\ dfrac {d\ theta} {dx} &=\ frac {1} {\ cos (\ theta)} &\ text {sustituto $\ theta =\ arcsin x$}\\ dfrac {d} {dx}\ x &=\ frac {1} {\ cos (\ arcsin x)}\ end {alinear*}

Esto no se ve tan mal, pero no es realmente muy satisfactorio porque el lado derecho se expresa en términos de$\arcsin(x)$ y no tenemos una fórmula explícita para$\arcsin(x)\text{.}$

Sin embargo incluso sin una fórmula explícita$\arcsin(x)\text{,}$ ya que es una cuestión sencilla obtener una fórmula explícita para la$\cos\big(\arcsin(x)\big)\text{,}$ que es todo lo que necesitamos. Simplemente dibuja un triángulo en ángulo recto con un ángulo siendo$\arcsin(x)\text{.}$ Esto se hace en la figura de abajo ³.

Desde$\sin(\theta)=x$ (ver 2.12.2), hemos hecho el lado opuesto al ángulo$\theta$ de longitud$x$ y la hipotenusa de longitud$1\text{.}$ Entonces, por Pitágoras, el lado adyacente a$\theta$ tiene longitud$\sqrt{1-x^2}$ y así

\ comenzar {reunir*}\ cos\ grande (\ arcsin (x)\ grande) =\ cos (\ theta) =\ sqrt {1-x^2}\ end {reunir*}

lo que a su vez nos da la respuesta que necesitamos:

\ begin {reunir*}\ dfrac {d} {dx}\ arcsin (x) =\ frac {1} {\ sqrt {1-x^2}}\ end {reunir*}

Las definiciones para$\arccos\text{,}$$\arctan$ y$\textrm{arccot}$ se desarrollan de la misma manera. Aquí están las gráficas que se utilizan.

Las definiciones para las dos funciones trigonométricas inversas restantes también pueden desarrollarse de la misma manera ⁴ De hecho, hay dos definiciones diferentes ampliamente utilizadas de$\textrm{arcsec} x\text{.}$ Under our definition, below, $\theta=\textrm{arcsec} x$ takes values in $0\le\theta\le\pi\text{.}$ Some people, perfectly legitimately, define $\theta=\textrm{arcsec} x$ to take values in the union of $0\le \theta\lt\frac{\pi}{2}$ and $\pi\le\theta\lt\frac{3\pi}{2}\text{.}$ Our definition is sometimes called the “trigonometry friendly” definition. The definition itself has the advantage of simplicity. The other definition is sometimes called the “calculus friendly” definition. It eliminates some absolute values and hence simplifies some computations. Similarly there are two different widely used definitions of $\textrm{arccsc} x\text{.}$ ⁵ Uno también podría definir$\textrm{arccot}(x)=\arctan(1/x)$ with $\textrm{arccot}(0)=\frac{\pi}{2}\text{.}$ We have chosen not to do so, because the definition we have chosen is both continuous and standard.. Pero es un poco más fácil de usar

\ comenzar {reunir*}\ csc x=\ frac {1} {\ sin x}\ qquad\ seg x=\ frac {1} {\ cos x}\ fin {reunir*}

Definición 2.12.4.

$\arcsin x$se define para$|x|\le 1\text{.}$ Es el número único obedeciendo

\ begin {align*}\ sin\ big (\ arcsin (x)\ big) &=x &&\ text {y} & -\ frac {\ pi} {2}\ le &\ arcsin (x)\ le\ frac {\ pi} {2}\\ end {align*}

$\arccos x$se define para$|x|\le 1\text{.}$ Es el número único obedeciendo

\ begin {align*}\ cos\ big (\ arccos (x)\ big) &=x &&\ text {y} & 0\ le &\ arccos (x)\ le\ pi\\ end {alinear*}

$\arctan x$se define para todos$x\in\mathbb{R}\text{.}$ Es el número único obedeciendo

\ begin {align*}\ tan\ big (\ arctan (x)\ big) &=x &&\ text {y} & -\ frac {\ pi} {2}\ lt &\ arctan (x)\ lt\ frac {\ pi} {2}\\ end {align*}

$\textrm{arccsc} x=\arcsin\frac{1}{x}$se define para$|x|\ge 1\text{.}$ Es el número único obedeciendo

\ begin {align*}\ csc\ big (\ textrm {arccsc} (x)\ big) &=x &&\ text {y} & -\ frac {\ pi} {2}\ le &\ textrm {arccsc} (x)\ le\ frac {\ pi} {2}\\ end {align*}

$\ \ \ \ \ \ \ \ $Porque$\csc(0)$ es indefinido,$\textrm{arccsc}(x)$ nunca toma el valor$0\text{.}$

\ begin {align*}\ end {align*}

$\textrm{arcsec} x=\arccos\frac{1}{x}$se define para$|x|\ge 1\text{.}$ Es el número único obedeciendo

\ begin {align*}\ sec\ big (\ textrm {arcsec} (x)\ big) &=x &&\ text {y} & 0\ le &\ textrm {arcsec} (x)\ le\ pi\\ end {alinear*}

$\ \ \ \ \ \ \ \ $Porque$\sec(\pi/2)$ es indefinido,$\textrm{arcsec}(x)$ nunca toma el valor$\pi/2\text{.}$

\ begin {align*}\ end {align*}

$\textrm{arccot} x$se define para todos$x\in\mathbb{R}\text{.}$ Es el número único obedeciendo

\ start {alinear*}\ cuna\ grande (\ textrm {arccot} (x)\ grande) &=x &&\ texto {y} & 0\ lt &\ textrm {arccot} (x)\ lt\ pi\ end {alinear*}

Ejemplo 2.12.5 La derivada de$\arccos x$.

Para encontrar la derivada de$\arccos$ podemos seguir los mismos pasos:

• Escribe$\arccos(x) =\theta(x)$ para que$\cos\theta = x$ y la derivada deseada es$\dfrac{d\theta}{dx}\text{.}$
• Diferenciar implícitamente, recordando que$\theta$ es una función de$x\text{:}$

  \ begin {align*} -\ sin\ theta\ dfrac {d\ theta} {dx} &= 1\\\ dfrac {d\ theta} {dx} &= -\ frac {1} {\ sin\ theta}\\ dfrac {d} {dx}\ arccos x &= -\ frac {1} {\ sin (\ arccos x)}. \ end {alinear*}

• Para simplificar esta expresión, vuelva a dibujar el triángulo relevante

  

  de la que vemos

  \ begin {align*}\ sin (\ arccos x) =\ sin\ theta &=\ sqrt {1-x^2}. \ end {alinear*}

• Por lo tanto

  \ begin {alinear*}\ dfrac {d} {dx}\ arccos x &= -\ frac {1} {\ sqrt {1-x^2}}. \ end {alinear*}

Ejemplo 2.12.6 El derivado de$\arctan x$.

Pasos muy similares dan la derivada de$\arctan x\text{:}$

• Empezar con$\theta = \arctan x\text{,}$$\tan \theta = x\text{.}$
• Diferenciar implícitamente:

  \ begin {align*}\ seg^2\ theta\ dfrac {d\ theta} {dx} &= 1\\\ dfrac {d\ theta} {dx} &=\ frac {1} {\ seg^2\ theta} =\ cos^2\ theta\\ dfrac {d} {dx}\ arctan x &=\ cos^2 (\ tan x). \ end {alinear*}

• Para simplificar esta expresión, dibujamos el triángulo relevante

  

  de la que vemos

  \ begin {reunir*}\ cos^2 (\ arctan x) =\ cos^2\ theta =\ frac {1} {1+x^2}\ end {reunir*}

• Por lo tanto

  \ begin {alinear*}\ dfrac {d} {dx}\ arctan x &=\ frac {1} {1+x^2}. \ end {alinear*}

Un cálculo casi idéntico da la derivada de$\textrm{arccot} x\text{:}$

• Empezar con$\theta = \textrm{arccot} x\text{,}$$\cot \theta = x\text{.}$
• Diferenciar implícitamente:

  \ begin {alinear*} -\ csc^2\ theta\ dfrac {d\ theta} {dx} &= 1\\\ dfrac {d} {dx}\ textrm {arccot} x =\ dfrac {d\ theta} {dx} &= -\ frac {1} {\ csc^2\ theta} = -\ sin^2\ theta = -\ frac {1} {1+x^2}\ final {alinear*}

  desde el triángulo

Ejemplo 2.12.7 La derivada de$\textrm{arccsc} x$.

Para encontrar la derivada de$\textrm{arccsc}$ podemos usar su definición y la regla de la cadena.

\ begin {align*}\ theta &=\ textrm {arccsc} x &\ text {tomar cosecante de ambos lados}\\\ csc\ theta &= x &\ text {pero $\ csc\ theta =\ frac {1} {\ sin\ theta} $, así voltear ambos lados}\\\ sin\ theta &=\ frac {1} {x} &\ text {ahora toma arcsine de ambos lados}\\\ theta &=\ arcsin\ izquierda (\ frac {1} {x}\ derecha)\ end {alinear*}

Ahora solo diferencie, usando cuidadosamente la regla de la cadena:

\ begin {align*}\ dfrac {d\ theta} {dx} &=\ dfrac {d} {dx}\ arcsin\ izquierda (\ frac {1} {x}\ derecha)\\ &=\ frac {1} {\ sqrt {1-x^ {-2}}}\ cdot\ frac {-1} {x^2}\\ end {align*}

Para simplificar aún más vamos a factorial$x^{-2}$ fuera de la raíz cuadrada. Tenemos que tener un poco de cuidado al hacer eso. Echa otro vistazo a los ejemplos 1.5.6 y 1.5.7 y la discusión entre ellos antes de continuar.

\ begin {align*} &=\ frac {1} {\ sqrt {x^ {-2} (x^2-1)}}\ cdot\ frac {-1} {x^2}\\ &=\ frac {1} {|x^ {-1} |\ cdot\ sqrt {x^2-1}}\ cdot\ frac {-1} {x^2} &\ texto {nota que $x^2\ cdot |x^ {-1} | = |x|$.}\\ &= -\ frac {1} {|x|\ sqrt {x^2-1}}\ end {align*}

De la misma manera podemos encontrar la derivada de la función trigonométrica inversa restante. Simplemente usamos su definición, un derivado que ya conocemos y la regla de la cadena.

\ begin {reunir*}\ dfrac {d} {dx}\ textrm {arcsec} (x) =\ dfrac {d} {dx}\ arccos\ Grande (\ frac {1} {x}\ Grande) =-\ frac {1} {\ sqrt {1-\ frac {1} {x^2}}}\ cdot\ Grande (-\ frac {1} {x^2}\ Grande) =\ frac {1} {|x|\ sqrt {x^2-1}}\ end {reunir*}

A modo de resumen, tenemos

Teorema 2.12.8.

Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas son

\ begin {alinear*}\ dfrac {d} {dx}\ arcsin (x) &=\ frac {1} {\ sqrt {1-x^2}} &\ dfrac {d} {dx}\ textrm {arccsc} (x) &= -\ frac {1} {|x|\ sqrt {x^2-1}}\\ dfrac {d} {dx}\ arccos (x) &= -\ frac {1} {\ sqrt {1-x^2}} &\ dfrac {d} {dx}\ textrm {arcsec} (x) &=\ frac {1} {|x|\ sqrt {x^2-1}}\\\ dfrac {d} {dx}\ arctan (x) &= frac {1 } {1+x^2} &\ dfrac {d} {dx}\ textrm {arccot} (x) &= -\ frac {1} {1+x^2}\ end {align*}

Ejercicios

Etapa 1

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Dar los dominios de cada una de las siguientes funciones.

\ begin {align*}\ mbox {(a)} f (x) &=\ arcsin (\ cos x) &\ mbox {(b)} g (x) &=\ textrm {arccsc} (\ cos x)\\ mbox {(c)} h (x) &=\ sin (\ arccos x)\ end {align*}

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Una partícula comienza a moverse a la vez$t=10\text{,}$ y se mueve hacia arriba y hacia abajo, de modo que su altura en el momento$t \geq 10$ viene dada por$\cos t\text{.}$ Verdadero o falso: la partícula tiene altura 1 a la vez$t=\arccos(1)\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

La curva$y=f(x)$ se muestra a continuación, para alguna función$f\text{.}$ Restringir$f$ al intervalo más grande posible que contenga$0$ sobre el cual es uno a uno, y esbozar la curva$y=f^{-1}(x)\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

$a$Dejen ser alguna constante. ¿Dónde tiene la curva$y=ax+\cos x$ una línea tangente horizontal?

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Definir una función$f(x)=\arcsin x + \textrm{arccsc} x\text{.}$ ¿Cuál es el dominio de$f(x)\text{?}$ ¿Dónde es$f(x)$ diferenciable?

Etapa 2

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Diferenciar$f(x)=\arcsin\left(\dfrac{x}{3}\right)\text{.}$ ¿Cuál es el dominio de$f(x)\text{?}$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Diferenciar$f(t)=\dfrac{\arccos t}{t^2-1}\text{.}$ ¿Cuál es el dominio de$f(t)\text{?}$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Diferenciar$f(x)=\textrm{arcsec}(-x^2-2)\text{.}$ ¿Cuál es el dominio de$f(x)\text{?}$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Diferenciar$f(x)=\dfrac{1}{a}\arctan\left(\dfrac{x}{a}\right)\text{,}$ dónde$a$ es una constante distinta de cero. ¿Cuál es el dominio de$f(x)\text{?}$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Diferenciar$f(x)=x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}\text{.}$ ¿Cuál es el dominio de$f(x)\text{?}$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

¿Para qué valores de$x$ es la línea tangente a$y=\arctan (x^2)$ horizontal?

Ejercicio$\PageIndex{12}$

Evaluar$\displaystyle\dfrac{d}{dx}\{\arcsin x + \arccos x\}\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{13}$ (✳)

Encuentra la derivada de$y=\arcsin \!\big(\frac{1}{x}\big)\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{14}$ (✳)

Encuentra la derivada de$y=\arctan \big(\frac{1}{x}\big)\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{15}$ (✳)

Calcular y simplificar la derivada de$(1+x^2)\arctan x\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{16}$

Demostrar que$\displaystyle\dfrac{d}{dx}\left\{\sin\left(\arctan(x) \right)\right\} = (x^2+1)^{-3/2}\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{17}$

Demostrar que$\displaystyle\dfrac{d}{dx}\left\{\cot\left(\arcsin(x) \right)\right\} = \dfrac{-1}{x^2\sqrt{1-x^2}}\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{18}$ (✳)

Determinar todos los puntos de la curva$y=\arcsin x$ donde la línea tangente es paralela a la línea$y=2x+9\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{19}$

$x$¿Para qué valores de la función$f(x)=\arctan(\csc x)$ tiene una línea tangente horizontal?

Etapa 3

Ejercicio$\PageIndex{20}$ (✳)

Dejar$f(x) = x + \cos x\text{,}$ y dejar$g(y) = f^{-1}(y)$ ser la función inversa. Determinar$g'(y)\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{21}$ (✳)

$f(x) = 2x-\sin(x)$es uno a uno. Encuentra$\big(f^{-1}\big)'(\pi-1)\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{22}$ (✳)

$f(x) = e^x+x$es uno a uno. Encuentra$\big(f^{-1}\big)'(e+1)\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{23}$

Diferenciar$f(x)=[\sin x +2]^{\textrm{arcsec} x}\text{.}$ ¿Cuál es el dominio de esta función?

Ejercicio$\PageIndex{24}$

Supongamos que no puedes recordar si la derivada de arcoseno es$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ o$\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}\text{.}$ Describe cómo el dominio de arcoseno sugiere que uno de estos es incorrecto.

Ejercicio$\PageIndex{25}$

Evaluar$\displaystyle \lim_{x\to 1}\left( (x-1)^{-1}\left(\arctan x - \frac{\pi}{4}\right)\right).$

Ejercicio$\PageIndex{26}$

Supongamos$f(2x+1)=\dfrac{5x-9}{3x+7}\text{.}$ Evaluar$f^{-1}(7)\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{27}$

Supongamos$f^{-1}(4x-1)=\dfrac{2x+3}{x+1}\text{.}$ Evaluar$f(0)\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{28}$

Supongamos que una curva está definida implícitamente por

$$\arcsin(x+2y)=x^2+y^2 \nonumber$$

Resolver para$y'$ en términos de$x$ y$y\text{.}$