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# 2.15: (Opcional) — Es$$\lim_{x\to c}f'(x)$$ Equal to $$f'(c)\text{?}$$

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Considere la función

$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x^2}{x} &\text{if }x\ne 0 \\ 0 &\text{if }x=0 \end{cases} \nonumber$

Para cualquiera$$x\ne 0$$ podemos usar fácilmente nuestras reglas de diferenciación para encontrar

$f'(x) = \frac{2x^2\cos x^2 -\sin x^2}{x^2} \nonumber$

Pero para$$x=0$$ ninguna de nuestras habituales reglas de diferenciación se aplican. Entonces, ¿cómo encontramos$$f'(0)\text{?}$$ Una estrategia obviamente legítima es aplicar directamente la Definición 2.2.1 de la derivada. Como alternativa, ahora consideraremos la pregunta “¿Se puede encontrar$$f'(0)$$ tomando el límite de$$f'(x)$$ como$$x$$ tiende a cero?”. Hay malas noticias y hay buenas noticias.

• La mala noticia es que, incluso para funciones$$f(x)$$ que son diferenciables para todos no$$x\text{,}$$$$f'(x)$$ necesitan ser continuas. Es decir, no siempre es cierto que$$\lim_{x\rightarrow 0}f'(x) = f'(0)\text{.}$$ Veremos una función para la cual$$\lim_{x\rightarrow 0}f'(x) \ne f'(0)$$ en el Ejemplo 2.15.1, a continuación.
• La buena noticia es que el Teorema 2.15.2, a continuación proporciona condiciones que son suficientes para garantizar que$$f(x)$$ es diferenciable en$$x=0$$ y que$$\lim_{x\rightarrow 0}f'(x) = f'(0)\text{.}$$
##### Ejemplo 2.15.1

Considere la función

$f(x) = \begin{cases} x^2\sin\frac{1}{x} &\text{if }x\ne 0 \\ 0 &\text{if }x=0 \end{cases} \nonumber$

Porque$$x\ne 0$$ tenemos, por las reglas del producto y de la cadena,

\ begin {align*} f' (x) &= 2x\,\ sin\ frac {1} {x} + x^2\ izquierda (\ cos\ frac {1} {x}\ derecha)\ izquierda (-\ frac {1} {x^2}\ derecha)\\ &= 2x\,\ sin\ frac {1} {x} -\ cos\ frac {1} x}\ final {alinear*}

Como$$\left|\sin\frac{1}{x}\right|\le 1\text{,}$$ tenemos

$\lim_{x\rightarrow 0}2x\, \sin\frac{1}{x}=0 \nonumber$

Por otro lado, como$$x$$ tiende a cero,$$\frac{1}{x}$$ va a$$\pm\infty\text{.}$$ So

$\lim_{x\rightarrow 0}\cos\frac{1}{x} = DNE \implies \lim_{x\rightarrow 0}f'(x) = DNE \nonumber$

Ahora veremos que, a pesar de esto,$$f'(0)$$ está perfectamente bien definido. Por definición

\ begin {alinear*} f' (0) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {f (h) -f (0)} {h}\\ & =\ lim_ {h\ a 0}\ frac {h^2\ sin\ frac {1} {h} -0} {h}\\ & =\ lim_ {h\ a 0} h\ sin\ ac {1} {h}\\ & = 0\ qquad\ texto {desde}\ izquierda|\ sin\ frac {1} {h}\ derecha|\ le 1\ end {align*}

Así$$f'(0)$$ existe, pero no es igual a$$\lim_{x\rightarrow 0}f'(x)\text{,}$$ lo que no existe.

Ahora por las buenas noticias.

##### Teorema 2.15.2

$$a\lt c\lt b\text{.}$$Supongamos que

• la función$$f(x)$$ es continua en el intervalo$$a\lt x\lt b$$ y
• es diferenciable$$x$$ en cada uno de los intervalos$$a\lt x\lt c$$ y$$c\lt x\lt b$$ y
• el límite$$\lim_{x\rightarrow c}f'(x)$$ existe.

Entonces$$f$$ es diferenciable en$$x=c$$ y

$f'(c) = \lim_{x\rightarrow c}f'(x) \nonumber$

Prueba.

Por hipótesis, hay un número$$L$$ tal que

$\lim_{x\rightarrow c}f'(x) = L \nonumber$

Por definición

$f'(c) = \lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \nonumber$

Por el Teorema del Valor Medio (Teorema 2.13.5) hay, para cada uno$$h\text{,}$$ un número (desconocido)$$x_h$$ entre$$c$$ y$$c+h$$ tal$$f'(x_h)=\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\text{.}$$ que So

$f'(c) = \lim_{h\to 0} f'(x_h) \nonumber$

Como$$h$$ tiende a cero,$$c+h$$ tiende a$$c\text{,}$$ y así$$x_h$$ se ve obligado a atender$$c\text{,}$$ y$$f'(x_h)$$ se ve obligado a tenderlo de$$L$$ manera que

$f'(c) = \lim_{h\to 0} f'(x_h) = L \nonumber$

En el siguiente ejemplo evaluamos$$f'(0)$$ aplicando el Teorema 2.15.2.

##### Ejemplo 2.15.3

Vamos

$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x^2}{x} &\text{if }x\ne 0 \\ 0 &\text{if }x=0 \end{cases} \nonumber$

Ya hemos observado anteriormente que, para$$x\ne 0\text{,}$$

$f'(x) = \frac{2x^2\cos x^2 -\sin x^2}{x^2} = 2\cos x^2 - \frac{\sin x^2}{x^2} \nonumber$

Utilizamos Teorema 2.15.2 con$$c=0$$ para demostrar que$$f(x)$$ es diferenciable en$$x=0$$ y para evaluar$$f'(0)\text{.}$$ Ese teorema tiene dos hipótesis que aún no hemos verificado, a saber, la continuidad de$$f(x)$$ at$$x=0\text{,}$$ y la existencia del límite Las$$\lim_{x\rightarrow 0}f'(x)\text{.}$$ verificamos ahora.

• Ya sabemos, por Lemma 2.8.1,$$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}=1\text{.}$$ que So

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {\ sin x^2} {x^2} &=\ lim_ {h\ fila derecha 0^+}\ frac {\ sin h} {h}\ qquad\ texto {con} h=x^2\ &=1\ end {align*}

y

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha 0} f (x) &=\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {\ sin x^2} {x} {x} =\ lim_ {x\ fila derecha 0} x\,\ frac {\ sin x^2} {x^2} =\ lim_ {x\ fila derecha 0} x\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {\ sin x^2} {x^2} =0\ veces 1 =0\ final {alinear*}

y$$f(x)$$ es continuo en$$x=0\text{.}$$
• El límite de la derivada es

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha 0} f' (x) &=\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ izquierda [2\ cos x^2 -\ frac {\ sin x^2} {x^2}\ derecha] =2\ veces 1 -1 = 1\ end {alinear*}

Entonces, por Teorema 2.15.2,$$f(x)$$ es diferenciable en$$x=0$$ y$$f'(0)=1\text{.}$$

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