2.15: (Opcional) — Es\(\lim_{x\to c}f'(x)\) Equal to \(f'(c)\text{?}\)

Considere la función

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x^2}{x} &\text{if }x\ne 0 \\ 0 &\text{if }x=0 \end{cases} \nonumber \]

Para cualquiera\(x\ne 0\) podemos usar fácilmente nuestras reglas de diferenciación para encontrar

\[ f'(x) = \frac{2x^2\cos x^2 -\sin x^2}{x^2} \nonumber \]

Pero para\(x=0\) ninguna de nuestras habituales reglas de diferenciación se aplican. Entonces, ¿cómo encontramos\(f'(0)\text{?}\) Una estrategia obviamente legítima es aplicar directamente la Definición 2.2.1 de la derivada. Como alternativa, ahora consideraremos la pregunta “¿Se puede encontrar\(f'(0)\) tomando el límite de\(f'(x)\) como\(x\) tiende a cero?”. Hay malas noticias y hay buenas noticias.

• La mala noticia es que, incluso para funciones\(f(x)\) que son diferenciables para todos no\(x\text{,}\)\(f'(x)\) necesitan ser continuas. Es decir, no siempre es cierto que\(\lim_{x\rightarrow 0}f'(x) = f'(0)\text{.}\) Veremos una función para la cual\(\lim_{x\rightarrow 0}f'(x) \ne f'(0)\) en el Ejemplo 2.15.1, a continuación.
• La buena noticia es que el Teorema 2.15.2, a continuación proporciona condiciones que son suficientes para garantizar que\(f(x)\) es diferenciable en\(x=0\) y que\(\lim_{x\rightarrow 0}f'(x) = f'(0)\text{.}\)

Ejemplo 2.15.1

Considere la función

\[ f(x) = \begin{cases} x^2\sin\frac{1}{x} &\text{if }x\ne 0 \\ 0 &\text{if }x=0 \end{cases} \nonumber \]

Porque\(x\ne 0\) tenemos, por las reglas del producto y de la cadena,

\ begin {align*} f' (x) &= 2x\,\ sin\ frac {1} {x} + x^2\ izquierda (\ cos\ frac {1} {x}\ derecha)\ izquierda (-\ frac {1} {x^2}\ derecha)\\ &= 2x\,\ sin\ frac {1} {x} -\ cos\ frac {1} x}\ final {alinear*}

Como\(\left|\sin\frac{1}{x}\right|\le 1\text{,}\) tenemos

\[ \lim_{x\rightarrow 0}2x\, \sin\frac{1}{x}=0 \nonumber \]

Por otro lado, como\(x\) tiende a cero,\(\frac{1}{x}\) va a\(\pm\infty\text{.}\) So

\[ \lim_{x\rightarrow 0}\cos\frac{1}{x} = DNE \implies \lim_{x\rightarrow 0}f'(x) = DNE \nonumber \]

Ahora veremos que, a pesar de esto,\(f'(0)\) está perfectamente bien definido. Por definición

\ begin {alinear*} f' (0) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {f (h) -f (0)} {h}\\ & =\ lim_ {h\ a 0}\ frac {h^2\ sin\ frac {1} {h} -0} {h}\\ & =\ lim_ {h\ a 0} h\ sin\ ac {1} {h}\\ & = 0\ qquad\ texto {desde}\ izquierda|\ sin\ frac {1} {h}\ derecha|\ le 1\ end {align*}

Así\(f'(0)\) existe, pero no es igual a\(\lim_{x\rightarrow 0}f'(x)\text{,}\) lo que no existe.

Ahora por las buenas noticias.

Teorema 2.15.2

\(a\lt c\lt b\text{.}\)Supongamos que

• la función\(f(x)\) es continua en el intervalo\(a\lt x\lt b\) y
• es diferenciable\(x\) en cada uno de los intervalos\(a\lt x\lt c\) y\(c\lt x\lt b\) y
• el límite\(\lim_{x\rightarrow c}f'(x)\) existe.

Entonces\(f\) es diferenciable en\(x=c\) y

\[ f'(c) = \lim_{x\rightarrow c}f'(x) \nonumber \]

Prueba.

Por hipótesis, hay un número\(L\) tal que

\[ \lim_{x\rightarrow c}f'(x) = L \nonumber \]

Por definición

\[ f'(c) = \lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \nonumber \]

Por el Teorema del Valor Medio (Teorema 2.13.5) hay, para cada uno\(h\text{,}\) un número (desconocido)\(x_h\) entre\(c\) y\(c+h\) tal\(f'(x_h)=\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\text{.}\) que So

\[ f'(c) = \lim_{h\to 0} f'(x_h) \nonumber \]

Como\(h\) tiende a cero,\(c+h\) tiende a\(c\text{,}\) y así\(x_h\) se ve obligado a atender\(c\text{,}\) y\(f'(x_h)\) se ve obligado a tenderlo de\(L\) manera que

\[ f'(c) = \lim_{h\to 0} f'(x_h) = L \nonumber \]

En el siguiente ejemplo evaluamos\(f'(0)\) aplicando el Teorema 2.15.2.

Ejemplo 2.15.3

Vamos

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x^2}{x} &\text{if }x\ne 0 \\ 0 &\text{if }x=0 \end{cases} \nonumber \]

Ya hemos observado anteriormente que, para\(x\ne 0\text{,}\)

\[ f'(x) = \frac{2x^2\cos x^2 -\sin x^2}{x^2} = 2\cos x^2 - \frac{\sin x^2}{x^2} \nonumber \]

Utilizamos Teorema 2.15.2 con\(c=0\) para demostrar que\(f(x)\) es diferenciable en\(x=0\) y para evaluar\(f'(0)\text{.}\) Ese teorema tiene dos hipótesis que aún no hemos verificado, a saber, la continuidad de\(f(x)\) at\(x=0\text{,}\) y la existencia del límite Las\(\lim_{x\rightarrow 0}f'(x)\text{.}\) verificamos ahora.

• Ya sabemos, por Lemma 2.8.1,\(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}=1\text{.}\) que So

  \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {\ sin x^2} {x^2} &=\ lim_ {h\ fila derecha 0^+}\ frac {\ sin h} {h}\ qquad\ texto {con} h=x^2\ &=1\ end {align*}

  y

  \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha 0} f (x) &=\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {\ sin x^2} {x} {x} =\ lim_ {x\ fila derecha 0} x\,\ frac {\ sin x^2} {x^2} =\ lim_ {x\ fila derecha 0} x\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {\ sin x^2} {x^2} =0\ veces 1 =0\ final {alinear*}

  y\(f(x)\) es continuo en\(x=0\text{.}\)
• El límite de la derivada es

  \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha 0} f' (x) &=\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ izquierda [2\ cos x^2 -\ frac {\ sin x^2} {x^2}\ derecha] =2\ veces 1 -1 = 1\ end {alinear*}

Entonces, por Teorema 2.15.2,\(f(x)\) es diferenciable en\(x=0\) y\(f'(0)=1\text{.}\)