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3: Aplicaciones de derivados

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    117994

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    En la Sección 2.2 definimos la derivada a\(x=a\text{,}\)\(f'(a)\text{,}\) de una función\(f(x)\text{,}\) abstracta como su velocidad instantánea de cambio a\(x=a\text{:}\)

    \ begin {align*} f' (a) &=\ lim_ {x\ rightarrow a}\ frac {f (x) -f (a)} {x-a}\ end {align*}

    Esta definición abstracta, y toda la teoría que hemos desarrollado para tratarla, resulta sumamente útil simplemente porque “tasa instantánea de cambio” aparece en una gran cantidad de escenarios. Aquí hay algunos ejemplos.

    • Si te estás moviendo a lo largo de una línea y\(x(t)\) es tu posición en la línea en el momento\(t\text{,}\) entonces tu tasa de cambio de posición,\(x'(t)\text{,}\) es tu velocidad. Si, en cambio,\(v(t)\) es tu velocidad en el momento\(t\text{,}\) entonces tu tasa de cambio de velocidad,\(v'(t)\text{,}\) es tu aceleración. Exploraremos esto más a fondo en la Sección 3.1.
    • Si\(P(t)\) es el tamaño de alguna población (digamos el número de humanos en la tierra) en el momento\(t\text{,}\) entonces\(P'(t)\) es la velocidad a la que está cambiando el tamaño de esa población. Se llama la tasa neta de natalidad. Lo exploraremos más a fondo en la Sección 3.3.3.
    • La datación por radiocarbono, un procedimiento utilizado para determinar la edad de, por ejemplo, los materiales arqueológicos, se basa en una comprensión de la velocidad a la que se descomponen un isótopo inestable de carbono. Observaremos este procedimiento en la Sección 3.3.1
    • Un condensador es un componente eléctrico que se utiliza para almacenar y liberar repetidamente carga eléctrica (digamos electrones) en un circuito electrónico. Si\(Q(t)\) es la carga en un condensador en el momento\(t\text{,}\) entonces\(Q'(t)\) es la velocidad instantánea a la que la carga está fluyendo hacia el condensador. A eso se le llama la corriente. La unidad de carga estándar es el culombo. Un culombio es la magnitud de la carga de aproximadamente\(6.241 \times 10^{18}\) electrones. La unidad estándar para corriente es el amplificador. Un amplificador representa un culombio por segundo.

    • 3.1: Velocidad y aceleración
      Si te estás moviendo a lo largo\(x\) del eje y tu posición en el momento\(t\) es\(x(t)\text{,}\) entonces tu velocidad en el tiempo\(t\) es\(v(t)=x'(t)\) y tu aceleración en el momento\(t\) es\(a(t)=v'(t) = x''(t)\text{.}\)
    • 3.2: Tarifas Relacionadas
      Considere el siguiente problema: Se está inflando un globo esférico a una velocidad de\(13cm^3/sec\text{.}\) Qué tan rápido cambia el radio cuando el globo tiene radio\(15cm\text{?}\)
    • 3.3: Crecimiento exponencial y decaimiento: una primera mirada a las ecuaciones diferenciales
      Una ecuación diferencial es una ecuación para una función desconocida que involucra la derivada de la función desconocida. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton dice: La tasa de cambio de temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y su entorno.
    • 3.4: Aproximación de funciones cerca de un punto especificado — Polinomios de Taylor
      Supongamos que te interesan los valores de alguna función\(f(x)\) para\(x\) cerca de algún punto fijo\(a\text{.}\) Cuando la función es un polinomio o una función racional podemos usar alguna aritmética (y tal vez algún trabajo duro) para anotar la respuesta. Por ejemplo:
    • 3.5: Optimización
      Una aplicación importante del cálculo diferencial es encontrar el valor máximo (o mínimo) de una función. Esto a menudo encuentra aplicaciones del mundo real en problemas como los siguientes.
    • 3.6: Croquizar gráficos
      Una de las aplicaciones más obvias de los derivados es ayudarnos a entender la forma de la gráfica de una función. En esta sección utilizaremos nuestro conocimiento acumulado de derivados para identificar las características cualitativas más importantes de\(y=f(x)\text{.}\) las gráficas El objetivo de esta sección es resaltar características de la gráfica\(y=f(x)\) que son fácilmente
    • 3.7: Regla de L'Hôpital y formas indeterminadas
      Volvamos a los límites (Capítulo 1) y veamos cómo podemos utilizar derivados para simplificar ciertas familias de límites llamadas formas indeterminadas. Sabemos, del Teorema 1.4.3 sobre la aritmética de los límites, que si

    This page titled 3: Aplicaciones de derivados is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Joel Feldman, Andrew Rechnitzer and Elyse Yeager via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.