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En la Sección 2.2 definimos la derivada a$$x=a\text{,}$$$$f'(a)\text{,}$$ de una función$$f(x)\text{,}$$ abstracta como su velocidad instantánea de cambio a$$x=a\text{:}$$

\ begin {align*} f' (a) &=\ lim_ {x\ rightarrow a}\ frac {f (x) -f (a)} {x-a}\ end {align*}

Esta definición abstracta, y toda la teoría que hemos desarrollado para tratarla, resulta sumamente útil simplemente porque “tasa instantánea de cambio” aparece en una gran cantidad de escenarios. Aquí hay algunos ejemplos.

• Si te estás moviendo a lo largo de una línea y$$x(t)$$ es tu posición en la línea en el momento$$t\text{,}$$ entonces tu tasa de cambio de posición,$$x'(t)\text{,}$$ es tu velocidad. Si, en cambio,$$v(t)$$ es tu velocidad en el momento$$t\text{,}$$ entonces tu tasa de cambio de velocidad,$$v'(t)\text{,}$$ es tu aceleración. Exploraremos esto más a fondo en la Sección 3.1.
• Si$$P(t)$$ es el tamaño de alguna población (digamos el número de humanos en la tierra) en el momento$$t\text{,}$$ entonces$$P'(t)$$ es la velocidad a la que está cambiando el tamaño de esa población. Se llama la tasa neta de natalidad. Lo exploraremos más a fondo en la Sección 3.3.3.
• La datación por radiocarbono, un procedimiento utilizado para determinar la edad de, por ejemplo, los materiales arqueológicos, se basa en una comprensión de la velocidad a la que se descomponen un isótopo inestable de carbono. Observaremos este procedimiento en la Sección 3.3.1
• Un condensador es un componente eléctrico que se utiliza para almacenar y liberar repetidamente carga eléctrica (digamos electrones) en un circuito electrónico. Si$$Q(t)$$ es la carga en un condensador en el momento$$t\text{,}$$ entonces$$Q'(t)$$ es la velocidad instantánea a la que la carga está fluyendo hacia el condensador. A eso se le llama la corriente. La unidad de carga estándar es el culombo. Un culombio es la magnitud de la carga de aproximadamente$$6.241 \times 10^{18}$$ electrones. La unidad estándar para corriente es el amplificador. Un amplificador representa un culombio por segundo.

Si te estás moviendo a lo largo$$x$$ del eje y tu posición en el momento$$t$$ es$$x(t)\text{,}$$ entonces tu velocidad en el tiempo$$t$$ es$$v(t)=x'(t)$$ y tu aceleración en el momento$$t$$ es$$a(t)=v'(t) = x''(t)\text{.}$$
Considere el siguiente problema: Se está inflando un globo esférico a una velocidad de$$13cm^3/sec\text{.}$$ Qué tan rápido cambia el radio cuando el globo tiene radio$$15cm\text{?}$$
• 3.3: Crecimiento exponencial y decaimiento: una primera mirada a las ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial es una ecuación para una función desconocida que involucra la derivada de la función desconocida. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton dice: La tasa de cambio de temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y su entorno.
• 3.4: Aproximación de funciones cerca de un punto especificado — Polinomios de Taylor
Supongamos que te interesan los valores de alguna función$$f(x)$$ para$$x$$ cerca de algún punto fijo$$a\text{.}$$ Cuando la función es un polinomio o una función racional podemos usar alguna aritmética (y tal vez algún trabajo duro) para anotar la respuesta. Por ejemplo:
• 3.5: Optimización
Una aplicación importante del cálculo diferencial es encontrar el valor máximo (o mínimo) de una función. Esto a menudo encuentra aplicaciones del mundo real en problemas como los siguientes.
• 3.6: Croquizar gráficos
Una de las aplicaciones más obvias de los derivados es ayudarnos a entender la forma de la gráfica de una función. En esta sección utilizaremos nuestro conocimiento acumulado de derivados para identificar las características cualitativas más importantes de$$y=f(x)\text{.}$$ las gráficas El objetivo de esta sección es resaltar características de la gráfica$$y=f(x)$$ que son fácilmente
• 3.7: Regla de L'Hôpital y formas indeterminadas
Volvamos a los límites (Capítulo 1) y veamos cómo podemos utilizar derivados para simplificar ciertas familias de límites llamadas formas indeterminadas. Sabemos, del Teorema 1.4.3 sobre la aritmética de los límites, que si

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