3.4: Aproximación de funciones cerca de un punto especificado — Polinomios de Taylor

Supongamos que te interesan los valores de alguna función\(f(x)\) para\(x\) cerca de algún punto fijo\(a\text{.}\) Cuando la función es un polinomio o una función racional podemos usar alguna aritmética (y tal vez algún trabajo duro) para anotar la respuesta. Por ejemplo:

\ begin {alinear*} f (x) &=\ frac {x^2-3} {x^2-2x+4}\\ f (1/5) &=\ frac {\ frac {1} {25} -3} {\ frac {1} {25} -\ frac {2} {5} +4} =\ frac {\ frac {1-75} {25}} {\ frac {1-75} {25}} {\ frac {1-75} {25}} {\ frac {1-75} {25}} 10+100} {25}}\\ &=\ frac {-74} {91}\ final {alinear*}

Tedioso, pero podemos hacerlo. Por otro lado si se le pide que compute\(\sin(1/10)\) entonces ¿qué podemos hacer? Sabemos que una calculadora puede resolverlo

\ begin {align*}\ sin (1/10) &= 0.09983341\ dots\ end {align*}

pero ¿cómo hace esto la calculadora? ¿Cómo compuso esto la gente antes de las calculadoras? ¹ Una pista proviene del siguiente boceto de\(\sin(x)\) por\(x\) alrededor\(0\text{.}\)

La figura anterior muestra que las curvas\(y=x\) y\(y=\sin x\) son casi las mismas cuando\(x\) está cerca de\(0\text{.}\) Por lo tanto, si queremos el valor de\(\sin(1/10)\) solo podríamos usar esta aproximación\(y=x\) para obtener

\ comenzar {reunir*}\ sin (1/10)\ aprox 1/10. \ end {reunir*}

Por supuesto, en este caso simplemente observamos que una función era una buena aproximación de la otra. Necesitamos saber encontrar este tipo de aproximaciones de manera más sistemática.

Más precisamente, digamos que se nos da una función\(f(x)\) que deseamos aproximar cerca de algún punto\(x=a\text{,}\) y necesitamos encontrar otra función\(F(x)\) que

• es simple y fácil de calcular ²
• es una buena aproximación a\(f(x)\) para\(x\) valores cercanos a\(a\text{.}\)

Además, nos gustaría entender lo buena que es realmente nuestra aproximación. A saber, necesitamos ser capaces de estimar el error\(|f(x)-F(x)|\text{.}\)

Hay muchas formas diferentes de aproximar una función y discutiremos una familia de aproximaciones: los polinomios de Taylor. Esta es una familia infinita de aproximaciones cada vez mejores, y nuestro punto de partida es el más simple.

Aproximación Cero — la Aproximación Constante

Las funciones más simples son aquellas que son constantes. Y nuestra aproximación cero ³ será por una función constante. Es decir, la función de aproximación tendrá la forma\(F(x)=A\text{,}\) para alguna constante\(A\text{.}\) Notar que esta función es un polinomio de grado cero.

Para asegurar que\(F(x)\) es una buena aproximación para\(x\) cerca\(a\text{,}\) elegimos de\(A\) manera que\(f(x)\) y\(F(x)\) tomar exactamente el mismo valor cuando\(x=a\text{.}\)

\ begin {reunir*} F (x) =A\ qquad\ text {so}\ qquad F (a) =A=F (a)\ implica a=F (a)\ end {reunión*}

Nuestra primera y más cruda regla de aproximación es

Ecuación 3.4.1 Aproximación constante.

\ comenzar {reunir*} f (x)\ aprox f (a)\ fin {reunir*}

Un punto importante a tener en cuenta es que necesitamos saber\(f(a)\) — si no podemos computar tan fácilmente entonces no vamos a poder proceder. A menudo tendremos que elegir\(a\) (el punto alrededor del cual nos aproximamos\(f(x)\)) con cierto cuidado para asegurarnos de que podamos calcular\(f(a)\text{.}\)

Aquí hay una figura que muestra los gráficos de una función típica\(f(x)\) y aproximada\(F(x)\text{.}\)

En\(x=a\text{,}\)\(f(x)\) y\(F(x)\) tomar el mismo valor. Por\(x\) muy cerca de\(a\text{,}\) los valores de\(f(x)\) y\(F(x)\) permanecen juntos. Pero la calidad de la aproximación se deteriora con bastante rapidez a medida que\(x\) se aleja de\(a\text{.}\) Claramente podríamos hacerlo mejor con una línea recta que siga la pendiente de la curva. Esa es nuestra próxima aproximación.

Pero antes de eso, un ejemplo:

Ejemplo 3.4.2 Una aproximación (débil) de\(e^{0.1}\).

Utilice la aproximación constante para estimar\(e^{0.1}\text{.}\)

Solución Primer conjunto\(f(x) = e^x\text{.}\)

• Ahora primero tenemos que escoger un punto\(x=a\) para aproximar la función. Este punto tiene que estar cerca\(0.1\) y tenemos que ser capaces de evaluar\(f(a)\) fácilmente. La elección obvia es\(a=0\text{.}\)
• Entonces nuestra constante aproximación es solo

  \ begin {align*} F (x) &= f (0) = e^0 = 1\\ F (0.1) &= 1\ end {align*}

Tenga en cuenta que\(e^{0.1} = 1.105170918\dots\text{,}\) por lo que incluso esta aproximación no es tan mala..

Primera Aproximación — la Aproximación Lineal

Nuestra primera aproximación ⁴ mejora nuestra aproximación cero al permitir que la función de aproximación sea una función lineal de\(x\) más que una función constante. Es decir, permitimos\(F(x)\) ser de la forma\(A+Bx\text{,}\) para algunas constantes\(A\) y\(B\text{.}\)

Para asegurar que\(F(x)\) es una buena aproximación para\(x\) cerca de todavía\(a\text{,}\) lo requerimos\(f(x)\) y\(F(x)\) tenemos el mismo valor en\(x=a\) (esa fue nuestra aproximación cero). Nuestro requisito adicional es que sus líneas tangentes\(x=a\) tengan la misma pendiente, que las derivadas de\(f(x)\) y\(F(x)\) sean las mismas en\(x=a\text{.}\) Por lo tanto

\ begin {align*} F (x) &=A+Bx & &\ implica & F (a) =a+ba&=F (a)\\ F' (x) &=B & &\ implica & F' (a) =\ phantom {a+a} b&=F' (a)\ end {align*}

Entonces debemos tener\(B=f'(a)\text{.}\) Sustituyendo esto en\(A+Ba=f(a)\) obtenemos\(A=f(a)-af'(a)\text{.}\) Así que podemos escribir

\ begin {alinear*} F (x) &= A+Bx =\ overbrackets {f (a) - af' (a)} ^A+ f' (a)\ cdot x\\ &= f (a) + f' (a)\ cdot (x-a)\ end {align*}

Lo escribimos de esta forma porque ahora podemos ver claramente que nuestra primera aproximación es solo una extensión de nuestra aproximación cero. Esta primera aproximación también se llama a menudo la aproximación lineal de\(f(x)\) aproximadamente\(x=a\text{.}\)

Ecuación 3.4.3 Aproximación lineal.

\ comenzar {reunir*} f (x)\ aprox f (a) +f' (a) (x-a)\ fin {reunir*}

Debemos recalcar nuevamente que para formar esta aproximación necesitamos saber\(f(a)\) y\(f'(a)\) —si no podemos calcularlos fácilmente entonces no vamos a poder proceder.

Recordemos, del Teorema 2.3.4, esa\(y=f(a)+f'(a)(x-a)\) es exactamente la ecuación de la línea tangente a la curva\(y=f(x)\) en\(a\text{.}\) Aquí hay una figura que muestra las gráficas de una función típica\(f(x)\) y la aproximación\(F(x)\text{.}\)

Observe que la gráfica de\(f(a)+f'(a)(x-a)\) permanece cerca de la gráfica de\(f(x)\) para un rango mucho\(x\) mayor de lo que hizo la gráfica de nuestra aproximación constante,\(f(a)\text{.}\) También se puede ver que podemos mejorar esta aproximación si podemos usar una función que se curva hacia abajo en lugar de estar perfectamente recto. Esa es nuestra próxima aproximación.

Pero antes de eso, volvamos a nuestro ejemplo:

Ejemplo 3.4.4 Una mejor aproximación de\(e^{0.1}\text{.}\)

Utilice la aproximación lineal para estimar\(e^{0.1}\text{.}\)

Solución Primer juego\(f(x) = e^x\) y\(a=0\) como antes.

• Para formar la aproximación lineal necesitamos\(f(a)\) y\(f'(a)\text{:}\)

  \ begin {alinear*} f (x) &= e^x & f (0) & = 1\\ f' (x) &= e^x & f' (0) & = 1\ end {align*}

• Entonces nuestra aproximación lineal es

  \ begin {alinear*} F (x) &= f (0) + x f' (0) = 1 + x\\ F (0.1) &= 1.1\ end {align*}

Recordemos que\(e^{0.1} = 1.105170918\dots\text{,}\) así la aproximación lineal es casi correcta a 3 dígitos.

Vale la pena hacer otro ejemplo sencillo aquí.

Ejemplo 3.4.5 Una aproximación lineal de\(\sqrt{4.1}\text{.}\)

Usar una aproximación lineal para estimar\(\sqrt{4.1}\text{.}\)

Solución Primer conjunto\(f(x)=\sqrt{x}\text{.}\) De ahí\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\text{.}\) Entonces estamos tratando de aproximar\(f(4.1)\text{.}\) Ahora tenemos que elegir un\(a\) valor sensible.

• Tenemos que elegir para\(a\) que\(f(a)\) y\(f'(a)\) sean fáciles de calcular.
  • Podríamos intentarlo\(a=4.1\), pero luego tenemos que calcular\(f(4.1)\) y,\(f'(4.1)\) ¡cuál es nuestro problema original y más!
  • Podríamos intentar\(a=0\) — entonces\(f(0)=0\) y\(f'(0) = DNE\text{.}\)
  • \(a=1\)El ajuste nos da\(f(1)=1\) y\(f'(1)=\frac{1}{2}\text{.}\) esto funcionaría, pero podemos obtener una mejor aproximación eligiendo\(a\) está más cerca de\(4.1\text{.}\)
  • De hecho podemos\(a\) establecer que sea el cuadrado de cualquier número racional y obtendremos un resultado que sea fácil de calcular.
  • Ajuste\(a=4\) da\(f(4)=2\) y\(f'(4) = \frac{1}{4}\text{.}\) Esto parece bastante bueno.
• Sustituya esto en la ecuación 3.4.3 para obtener

  \ begin {alinear*} f (4.1) &\ approx f (4) + f' (4)\ cdot (4.1-4)\\ &= 2 +\ frac {0.1} {4} = 2 + 0.025 = 2.025\ end {alinear*}

Observe que el verdadero valor es\(\sqrt{4.1} = 2.024845673\dots\text{.}\)

Segunda Aproximación — La Aproximación Cuadrática

A continuación desarrollamos una aproximación aún mejor permitiendo ahora que la función de aproximación sea a una función cuadrática de Es\(x\text{.}\) decir,\(F(x)\) permitimos ser de la forma\(A+Bx+Cx^2\text{,}\) para algunas constantes\(A\text{,}\)\(B\) y\(C\text{.}\) Para asegurar que\(F(x)\) es una buena aproximación para \(x\)cerca de\(a\text{,}\) nosotros elegimos\(A\text{,}\)\(B\) y\(C\) para que

• \(f(a)=F(a)\)(al igual que en nuestra aproximación cero),
• \(f'(a)=F'(a)\)(al igual que en nuestra primera aproximación), y
• \(f''(a)=F''(a)\)— esta es una nueva condición.

Estas condiciones nos dan las siguientes ecuaciones

\ begin {alinear*} F (x) &=A+Bx+Cx^2 & &\ implica & F (a) =A+Ba+\ phantom {2} Ca^2&=F (a)\ F' (x) &=B+2Cx & &\ implica & F' (a) =\ phantom {a+a} B+2CA&=F' (a)\ F "(x) &=2C & &\ implica & F" (a) =\ phantom {a+AB+A} 2C&=F "(a)\ end {alinear*}

Resuelve estos para\(C\) primero, luego\(B\) y finalmente\(A\text{.}\)

\ begin {align*} C &=\ frac {1} {2} f "(a) &\ text {sustituto}\\ B &= f' (a) - 2Ca = f' (a) -af" (a) &\ text {sustituir de nuevo}\\ A &= f (a) -Ba-Ca^2 = f (a) -a [f' (a) -af "(a)] -\ frac {1} {2} f" (a) a^2\ hskip-0.5in\ end {alinear*}

Luego vuelve a armar las cosas para construir\(F(x)\text{:}\)

\ begin {align*} F (x) &=f (a) -f' (a) a+\ frac {1} {2} f "(a) a^2 & &\ text {(esta línea es $A$)}\ cr &\ phantom {=f (a)\ hskip3pt} +f' (a)\, x\ hskip3pt- f" (a) & &\ text {(esta línea es $Bx$)}\\ &\ phantom {=f (a) -f' (a) a\ hskip3.5pt} +\ frac {1} {2} f "(a) x^2 & &\ text {(esta línea es $Cx^2$)}\\ &=f (a) +f' (a) (x-a) +\ frac {1} {2} f "(a) (x-a) ^2\ end {alinear*}

¡Oof! Nuevamente lo escribimos en esta forma porque ahora podemos ver claramente que nuestra segunda aproximación no es más que una extensión de nuestra primera aproximación.

Nuestra segunda aproximación se llama aproximación cuadrática:

Ecuación 3.4.6 Aproximación cuadrática.

\ begin {reunir*} f (x)\ approx f (a) +f' (a) (x-a) +\ frac {1} {2} f "(a) (x-a) ^2\ end {reunión*}

Aquí hay una figura que muestra los gráficos de una función típica\(f(x)\) y aproximada\(F(x)\text{.}\)

Esta nueva aproximación se ve mejor que tanto la primera como la segunda.

Ahora en realidad hay una manera más fácil de derivar esta aproximación, que ahora os mostramos. Vamos a reescribir ⁵

\(F(x)\)para que sea fácil evaluarlo y sus derivados en\(x=a\text{:}\)

\ begin {alinear*} F (x) &=\ alfa +\ beta\ cdot (x-a) +\ gamma\ cdot (x-a) ^2\ end {align*}

Entonces

\ begin {alinear*} F (x) &=\ alfa +\ beta\ cdot (x-a) +\ gamma\ cdot (x-a) ^2 & F (a) &=\ alpha = f (a)\\ F' (x) &=\ beta + 2\ gamma\ cdot (x-a) & F' (a) &=\ beta = f' (a)\ F "(x) &= 2\ gamma y F" (a) &= 2\ gamma = f "(a)\ end {alinear*}

Y a partir de estos podemos leer claramente los valores de\(\alpha,\beta\) y\(\gamma\) y así recuperar nuestra función\(F(x)\text{.}\) Adicionalmente si escribimos las cosas de esta manera, entonces es bastante claro cómo extender esto a una aproximación cúbica y una aproximación cuártica y así sucesivamente.

Regresar a nuestro ejemplo:

Ejemplo 3.4.7 Una aproximación aún mejor de\(e^{0.1}\text{.}\)

Usar la aproximación cuadrática para estimar\(e^{0.1}\text{.}\)

Set de \(f(x) = e^x\)Soluciones y\(a=0\) como antes.

• Para formar la aproximación cuadrática necesitamos\(f(a), f'(a)\) y\(f''(a)\text{:}\)

  \ begin {alinear*} f (x) &= e^x & f (0) & = 1\\ f' (x) &= e^x & f' (0) & = 1\\ f "(x) &= e^x & f" (0) & = 1\ end {align*}

• Entonces nuestra aproximación cuadrática es

  \ begin {alinear*} F (x) &= f (0) + x f' (0) +\ frac {1} {2} x^2 f "(0) = 1 + x +\ frac {x^2} {2}\\ F (0.1) &= 1.105\ end {align*}

Recordemos que\(e^{0.1} = 1.105170918\dots\text{,}\) así la aproximación cuadrática es bastante precisa con muy poco esfuerzo.

Antes de continuar, primero introduzcamos (o revisaremos) alguna notación que facilite nuestra discusión.

Gira torbellino de notación sumativa

En el resto de esta sección frecuentemente necesitaremos escribir sumas que involucren un gran número de términos. Escribir los summands explícitamente puede llegar a ser bastante poco práctico —por ejemplo, digamos que necesitamos la suma de los primeros 11 cuadrados:

\ begin {reunir*} 1 + 2^2 + 3^2 + 4^2+ 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 10^2 + 11^2\ end {reunir*}

Esto se vuelve tedioso. Donde el patrón es claro, a menudo omitiremos los términos del medio y en su lugar escribiremos

\ begin {reunir*} 1 + 2^2 +\ cdots + 11^2. \ end {reunir*}

Una forma mucho más precisa de escribir esto es usando notación\(\Sigma\) (capital-sigma). Por ejemplo, podemos escribir la suma anterior como

\ comenzar {reunir*}\ suma_ {k=1} ^ {11} k^2\ final {reunir*}

Esto se lee como

La suma de\(k\) es igual a 1 a 11 de\(k^2\text{.}\)

De manera más general

Definición 3.4.8.

Let\(m\leq n\) be integers y let\(f(x)\) be una función definida sobre los enteros. Luego escribimos

\ comenzar {reunir*}\ sum_ {k=m} ^n f (k)\ fin {reunir*}

significa la suma de\(f(k)\) para\(k\) de\(m\) a\(n\text{:}\)

\ comenzar {reunir*} f (m) + f (m+1) + f (m+2) +\ cdots + f (n-1) + f (n). \ end {reunir*}

Del mismo modo escribimos

\ begin {reunir*}\ sum_ {i=m} ^n a_i\ end {reunir*}

para significar

\ comenzar {reunir*} a_m+a_ {m+1} +a_ {m+2} +\ cdots+a_ {n-1} +a_n\ end {reunir*}

para algún conjunto de coeficientes\(\{ a_m, \ldots, a_n \}\text{.}\)

Considera el ejemplo

\ begin {reunir*}\ sum_ {k=3} ^7\ frac {1} {k^2} =\ frac {1} {3^2} +\ frac {1} {4^2} +\ frac {1} {5^2} +\ frac {1} {6^2} +\ frac {1} {7^2}\ end {reunir*}

Es importante señalar que el lado derecho de esta expresión evalúa a un número ⁶; no contiene “\(k\)”. El índice de suma\(k\) es solo una variable “ficticia” y no tiene que llamarse\(k\text{.}\) Por ejemplo

\ begin {reunir*}\ sum_ {k=3} ^7\ frac {1} {k^2} =\ suma_ {i=3} ^7\ frac {1} {i^2} =\ suma_ {j=3} ^7\ frac {1} {j^2} =\ suma_ {\ ell=3} ^7\ frac {1} {\ ell^2}\ end {reunir*}

También el índice de suma no tiene significado fuera de la suma. Por ejemplo

\ begin {reunir*} k\ sum_ {k=3} ^7\ frac {1} {k^2}\ end {reunir*}

no tiene significado matemático; es galimatías ⁷.

Aún mejores aproximaciones — Taylor Polynomials

Podemos usar la misma estrategia para generar aún mejores aproximaciones por polinomios ⁸ de cualquier grado que nos guste. Como fue el caso de las aproximaciones anteriores, determinamos los coeficientes del polinomio requiriendo, que en el punto\(x=a\text{,}\) la aproximación y sus primeras\(n\) derivadas coincidan con los de la función original.

En lugar de simplemente pasar a un polinomio cúbico, intentemos escribir las cosas de una manera más general. Consideraremos aproximar la función\(f(x)\) usando un polinomio,\(T_n(x)\text{,}\) de grado\(n\) — donde\(n\) es un entero no negativo. Como comentamos anteriormente, el álgebra es más fácil si escribimos

\ begin {align*} t_n (x) &= c_0 + c_1 (x-a) + c_2 (x-a) ^2 +\ cdots + c_n (x-a) ^n\\ &=\ sum_ {k=0} ^n c_k (x-a) ^k &\ text {usando}\ Sigma\ text {notación}\ end {align*}

El anterior formulario ^{9 10} hace que sea muy fácil evaluar este polinomio y sus derivadas en\(x=a\text{.}\) Antes de continuar, le recordamos al lector alguna notación (ver Notación 2.2.8):

• Dejar\(f(x)\) ser una función y\(k\) ser un entero positivo. Podemos denotar su\(k^\mathrm{th}\) derivado con respecto a\(x\) por

  \ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d} ^ {k} f} {\ mathrm {d} x^ {k}} &&\ left (\ dfrac {d} {dx}\ derecha) ^k f (x) && f^ {(k)} (x)\ end {align*}

Adicionalmente necesitaremos

Definición 3.4.9 Factorial.

Dejar\(n\) ser un número entero positivo ¹¹, entonces\(n\) -factorial, denotado\(n!\text{,}\) es el producto

\ begin {alinear*} n! &= n\ veces (n-1)\ veces\ cdots\ veces 3\ veces 2\ veces 1\ final {alinear*}

Además, utilizamos la convención de que

\ begin {alinear*} 0! &= 1\ final {alinear*}

Las primeras factoriales son

\ begin {alinear*} 1! &=1 y 2! &=2 y 3! &=6\\ 4! &=24 y 5! &=120 y 6! &=720\ final {alinear*}

Consideremos ahora\(T_n(x)\) y sus derivados:

\ begin {alignat*} {4} t_n (x) &=& c_0 &+ c_1 (x-a) & + c_2 (x-a) ^2 & + c_3 (x-a) ^3 &+\ cdots+ & c_n (x-a) ^n\\ t_n' (x) &=& &c_1 & + 2 c_2 (x-a) & + 3c_3 (x-a) ^2 &+\ cdots +& n c_n (x-a) ^ {n-1}\\ t_n "(x) &=& & & 2 c_2 & + 6c_3 (x-a) &+\ cdots +& n (n-1) c_n (x-a) ^ {n-2}\\ t_n"' (x) &=& & & & 6c_3 &+\ cdots + & n (n-1) (n-2) c_n (x-a) ^ {n-3}\\ &\ vdots\\ t_n^ {(n)} (x) &=& & & & & n! \ cdot c_n\ fin {alignat*}

Ahora note que cuando sustituimos\(x=a\) en las expresiones anteriores solo sobreviven los términos constantes y obtenemos

\ begin {align*} t_n (a) &= c_0\\ t_n' (a) &= c_1\\ t_n "(a) &= 2\ cdot c_2\\ t_n"' (a) &= 6\ cdot c_3\\ &\ vdots\\ t_n^ {(n)} (a) &= n! \ cdot c_n\ final {alinear*}

Así que ahora si queremos establecer los coeficientes de\(T_n(x)\) para que esté de acuerdo con\(f(x)\) en\(x=a\) entonces necesitamos

\ begin {alinear*} t_n (a) &= c_0 = f (a) & c_0 &= f (a) =\ frac {1} {0!} f (a)\\\ final {alinear*}

También queremos que los primeros\(n\) derivados de estén de\(T_n(x)\) acuerdo con los derivados de\(f(x)\) al\(x=a\text{,}\)

\ begin {alinear*} t_n' (a) &= c_1 = f' (a) & c_1 &= f' (a) =\ frac {1} {1!} f' (a)\\ t_n "(a) &= 2\ cdot c_2 = f" (a) & c_2 &=\ frac {1} {2} f "(a) =\ frac {1} {2!} f "(a)\\ t_n"' (a) &= 6\ cdot c_3 = f"' (a) & c_3 &=\ frac {1} {6} f"' (a) =\ frac {1} {3!} f"' (a)\\\ final {alinear*}

De manera más general, hacer que los\(k^\mathrm{th}\) derivados estén de acuerdo\(x=a\) requiere:

\ begin {align*} t_n^ {(k)} (a) &= k! \ cdot c_k = f^ {(k)} (a) & c_k &=\ frac {1} {k!} f^ {(k)} (a)\\\ final {alinear*}

Y finalmente el\(n^\mathrm{th}\) derivado:

\ begin {align*} t_n^ {(n)} (a) &= n! \ cdot c_n = f^ {(n)} (a) & c_n &=\ frac {1} {n!} f^ {(n)} (a)\ end {align*}

Armando todo esto tenemos

Ecuación 3.4.10 Polinomio de Taylor.

\ begin {alinear*} f (x)\ approx t_n (x) &= f (a) + f' (a) (x-a) +\ frac {1} {2} f "(a)\ cdot (x-a) ^2 +\ cdots\\ &\ hskip2in+\ frac {1} {n!} f^ {(n)} (a)\ cdot (x-a) ^n\\ &=\ suma_ {k=0} ^n\ frac {1} {k!} f^ {(k)} (a)\ cdot (x-a) ^k\ final {alinear*}

Formalicemos esta definición.

Definición 3.4.11 Polinomio de Taylor.

Dejar\(a\) ser una constante y dejar\(n\) ser un entero no negativo. El\(n^\mathrm{th}\) grado Taylor polinomio para\(f(x)\) aproximadamente\(x=a\) es

\ begin {alinear*} t_n (x) &=\ suma_ {k=0} ^n\ frac {1} {k!} f^ {(k)} (a)\ cdot (x-a) ^k.\ final {alinear*}

El caso especial\(a=0\) se llama polinomio Maclaurin ¹².

Antes de continuar con algunos ejemplos, un par de observaciones están en orden.

• Si bien podemos calcular un polinomio de Taylor sobre cualquier\(a\) -valor (siempre que existan las derivadas), para ser una aproximación útil, debemos ser capaces de calcular\(f(a),f'(a),\cdots,f^{(n)}(a)\) fácilmente. Esto significa que debemos elegir el punto\(a\) con cuidado. De hecho, para muchas funciones la elección\(a=0\) es muy natural, de ahí la prominencia de los polinomios de Maclaurin.
• Si hemos calculado la aproximación\(T_n(x)\text{,}\), entonces podemos extender fácilmente esto al siguiente polinomio de Taylor\(T_{n+1}(x)\) desde

  \ begin {alinear*} T_ {n+1} (x) &= T_n (x) +\ frac {1} {(n+1)!} f^ {(n+1)} (a)\ cdot (x-a) ^ {n+1}\ final {alinear*}

  Esto es muy útil si descubrimos que\(T_n(x)\) es una aproximación insuficiente, porque entonces podemos producir\(T_{n+1}(x)\) sin tener que volver a empezar de cero.

Algunos Ejemplos

Volvamos a nuestro ejemplo corriente de\(e^x\text{:}\)

Ejemplo 3.4.12 Aproximación de Taylor de\(e^x\text{.}\)

Las aproximaciones constantes, lineales y cuadráticas que usamos anteriormente fueron las primeras aproximaciones polinómicas de Maclaurin de\(e^x\text{.}\) That is

\ begin {alinear*} T_0 (x) & = 1 & T_1 (x) &= 1+x & T_2 (x) &= 1+x+\ frac {x^2} {2}\ end {align*}

Ya que\(\dfrac{d}{dx} e^x = e^x\text{,}\) los polinomios de Maclaurin son muy fáciles de calcular. De hecho, esta invarianza bajo diferenciación significa que

\ begin {align*} f^ {(n)} (x) &= e^x & n=0,1,2,\ dots &&\ text {so}\\ f^ {(n)} (0) &= 1\ end {align*}

Sustituyendo esto en la ecuación 3.4.10 obtenemos

\ begin {alinear*} t_n (x) &=\ suma_ {k=0} ^n\ frac {1} {k!} x^k\ final {alinear*}

Así podemos anotar muy fácilmente el séptimo polinomio Maclaurin:

\ begin {align*} T_7 (x) &= 1 + x +\ frac {x^2} {2} +\ frac {x^3} {6} +\ frac {x^4} {24} +\ frac {x^5} {120} +\ frac {x^6} {720} +\ frac {x^7} {50*}\ end {align*}

La siguiente figura contiene bocetos de las gráficas de\(e^x\) y sus polinomios de Taylor\(T_n(x)\) para\(n=0,1,2,3,4\text{.}\)

También tenga en cuenta que si utilizamos\(T_7(1)\) para aproximar el valor de\(e^1\) obtenemos:

\ begin {align*} e^1\ approx T_7 (1) &= 1 + 1 +\ frac {1} {2} +\ frac {1} {6} +\ frac {1} {24} +\ frac {1} {120} +\ frac {1} {720} +\ frac {1} {5040}\ &=\ frac {685} {252}} = 2.718253968\ puntos\ final {alinear*}

El verdadero valor de\(e\) es\(2.718281828\dots\text{,}\) así que la aproximación tiene un error de aproximadamente\(3\times10^{-5}\text{.}\)

Bajo el supuesto de que la precisión de la aproximación mejora con\(n\) (una suposición que examinamos en la Subsección 3.4.9 a continuación) podemos ver que la aproximación de\(e\) lo anterior se puede mejorar agregando cada vez más términos. En efecto, así es como surge la expresión para\(e\) en la ecuación 2.7.4 en la Sección 2.7.

Ahora que hemos examinado polinomios de Maclaurin porque\(e^x\) deberíamos echar un vistazo a\(\log x\text{.}\) Observe que no podemos calcular un polinomio Maclaurin para\(\log x\) ya que no está definido en\(x=0\text{.}\)

Ejemplo 3.4.13 Aproximación de Taylor de\(\log x\).

Calcular el polinomio de\(5^\mathrm{th}\) Taylor para\(\log x\) aproximadamente\(x=1\text{.}\)

Solución Nos han dicho\(a=1\) y quinto grado, por lo que debemos comenzar por anotar la función y sus primeras cinco derivadas:

\ begin {align*} f (x) &=\ log x & f (1) &=\ log 1 = 0\\ f' (x) &=\ frac {1} {x} & f' (1) &= 1\\ f "(x) &=\ frac {-1} {x^2} & f" (1) &= -1\ f"' (x) &= frac {2} {x^3} & f"' (1) &= 2\\ f^ {(4)} (x) &=\ frac {-6} {x^4} & f^ {(4)} (1) &= -6\ f^ {(5)} (x) &=\ frac {24} {x^5 } & f^ {(5)} (1) &= 24\ end {alinear*}

Sustituyendo esto en la ecuación 3.4.10 da

\ begin {align*} T_5 (x) &= 0 + 1\ cdot (x-1) +\ frac {1} {2}\ cdot (-1)\ cdot (x-1) ^2 +\ frac {1} {6}\ cdot 2\ cdot (x-1) ^3\ &\ hskip0.5in+\ frac {1} {24}\ cdot (-6)\ cdot (x-1) ^4 +\ frac {1} {120}\ cdot 24\ cdot (x-1) ^5\\ &= (x-1) -\ frac {1} {2} (x-1) ^2 +\ frac {1} {3} (x-1) ^3 -\ frac {1} {4} (x-1) ^4 +\ frac {1} {5} (x-1) ^ 5\ final {alinear*}

Nuevamente, no es demasiado difícil generalizar el trabajo anterior para encontrar el polinomio Taylor de grado\(n\text{:}\) Con un poco de trabajo se puede demostrar que

\ begin {align*} t_n (x) &=\ suma_ {k=1} ^n\ frac {(-1) ^ {k+1}} {k} (x-1) ^k.\ end {align*}

Para coseno:

Ejemplo 3.4.14 Polinomio Maclaurin para\(\cos x\text{.}\)

Encuentra el polinomio Maclaurin de 4to grado para\(\cos x\text{.}\)

Solución Tenemos\(a=0\) y necesitamos encontrar los primeros 4 derivados de\(\cos x\text{.}\)

\ begin {alinear*} f (x) &=\ cos x & f (0) &= 1\\ f' (x) &= -\ sin x & f' (0) &= 0\\ f "(x) &= -\ cos x & f" (0) &= -1\ f"' (x) &=\ sin x & f"' (0) &= 0\ f^ {(4)} (x) &=\ cos x & f^ {(4)} (0) &= 1\ end {alinear*}

Sustituyendo esto en la ecuación 3.4.10 da

\ begin {alinear*} T_4 (x) &= 1 + 1\ cdot (0)\ cdot x +\ frac {1} {2}\ cdot (-1)\ cdot x^2 +\ frac {1} {6}\ cdot 0\ cdot x^3 +\ frac {1} {24}\ cdot (1)\ cdot x^4\ &= 1 -\ frac {x^2} {2} +\ frac {x^4} {24}\ final {alinear*}

Observe que como la\(4^\mathrm{th}\) derivada de\(\cos x\)\(\cos x\) vuelve a ser, también tenemos que la quinta derivada es la misma que la primera derivada, y la sexta derivada es la misma que la segunda derivada y así sucesivamente. De ahí que los siguientes cuatro derivados sean

\ begin {align*} f^ {(4)} (x) &=\ cos x & f^ {(4)} (0) &= 1\\ f^ {(5)} (x) &= -\ sin x & f^ {(5)} (0) &= 0\\ f^ {(6)} (x) &= -\ cos x & f^ {(6)} (0) &= -1\\ f^ {(7)} (x) &=\ sin x & f^ {(7)} (0) &= 0\\ f^ {(8)} (x) &=\ cos x & f^ {(8)} (0) &= 1\ end {align*}

Usando esto podemos encontrar el\(8^\mathrm{th}\) grado Maclaurin polinomio:

\ begin {alinear*} T_8 (x) &= 1 -\ frac {x^2} {2} +\ frac {x^4} {24} -\ frac {x^6} {6!} +\ frac {x^8} {8!} \ end {alinear*}

Continuar con este proceso nos da el polinomio\(2n^\mathrm{th}\) Maclaurin

\ begin {alinear*} T_ {2n} (x) &=\ suma_ {k=0} ^n\ frac {(-1) ^k} {(2k)!} \ cdot x^ {2k}\ final {alinear*}

Advertencia 3.4.15.

La fórmula anterior solo funciona cuando x se mide en radianes, porque todas nuestras fórmulas derivadas para funciones trigonométricas se desarrollaron bajo el supuesto de que los ángulos se miden en radianes.

A continuación trazamos\(\cos x\) contra sus primeras aproximaciones polinómicas Maclaurin:

El trabajo anterior se recicla con bastante facilidad para obtener el polinomio Maclaurin para seno:

Ejemplo 3.4.16 Polinomio Maclaurin para\(\sin x\text{.}\)

Encuentra el polinomio Maclaurin de 5to grado para\(\sin x\text{.}\)

Solución Podríamos simplemente trabajar como antes y calcular las primeras cinco derivadas de\(\sin x\text{.}\) Pero establecer\(g(x) = \sin x\) y notar que\(g(x) = - f'(x)\text{,}\) donde\(f(x) =\cos x\text{.}\) Entonces tenemos

\ begin {align*} g (0) &= -f' (0) = 0\\ g' (0) &= -f "(0) = 1\\ g" (0) &= -f"' (0) = 0\\ g"' (0) &= -f^ {(4)} (0) = -1\\ g^ {(4)} (0) &f= -f= ^ {(5)} (0) = 0\\ g^ {(5)} (0) &= -f^ {(6)} (0) = 1\ end {align*}

De ahí que el polinomio Maclaurin requerido sea

\ begin {alinear*} T_5 (x) &= x -\ frac {x^3} {3!} +\ frac {x^5} {5!} \ end {alinear*}

Así como extendimos al polinomio\(2n^\mathrm{th}\) Maclaurin para coseno, también podemos extender nuestro trabajo para calcular el polinomio\((2n+1)^\mathrm{th}\) Maclaurin para seno:

\ begin {alinear*} T_ {2n+1} (x) &=\ suma_ {k=0} ^n\ frac {(-1) ^k} {(2k+1)!} \ cdot x^ {2k+1}\ final {alinear*}

Advertencia 3.4.17.

La fórmula anterior solo funciona cuando x se mide en radianes, porque todas nuestras fórmulas derivadas para funciones trigonométricas se desarrollaron bajo el supuesto de que los ángulos se miden en radianes.

A continuación trazamos\(\sin x\) contra sus primeras aproximaciones polinómicas de Maclaurin.

Para tener una idea de lo buenos que son estos polinomios Taylor para aproximar\(\sin\) y\(\cos\text{,}\) concentrémonos en\(\sin x\) y\(x\) consideremos cuya magnitud\(|x|\le 1\text{.}\) Hay trucos que puedes emplear ¹³ para evaluar seno y coseno a valores de\(x\) fuera de este rango .

Si\(|x|\le 1\) radianes ¹⁴ entonces las magnitudes de los términos sucesivos en los polinomios de Taylor para\(\sin x\) están delimitadas por

\ begin {alignat*} {3} |x|&\ le 1 &\ tfrac {1} {3!} |x|^3&\ le\ tfrac {1} {6} &\ tfrac {1} {5!} |x|^5&\ le\ tfrac {1} {120}\ aprox 0.0083\\ tfrac {1} {7!} |x|^7&\ le\ tfrac {1} {7!} \ approx 0.0002\ quad &\ tfrac {1} {9!} |x|^9&\ le\ tfrac {1} {9!} \ approx 0.000003\ quad &\ tfrac {1} {11!} |x|^ {11} &\ le\ tfrac {1} {11!} \ aproximadamente 0.000000025\ final {alignat*}

A partir de estas desigualdades, y de las gráficas de las páginas anteriores, ciertamente parece que, para\(x\) no demasiado grandes, incluso polinomios de Taylor de grado relativamente bajo dan muy buenas aproximaciones. En la Sección 3.4.9 veremos cómo obtener límites de error rigurosos en nuestras aproximaciones polinómicas de Taylor.

Estimando el cambio y\(\Delta x\text{,}\) \(\Delta y\) Notation

Supongamos que tenemos dos variables\(x\) y\(y\) que están relacionadas por\(y=f(x)\text{,}\) para alguna función\(f\text{.}\) Una de las aplicaciones más importantes del cálculo es ayudarnos a entender a qué pasa\(y\) cuando hacemos un pequeño cambio en\(x\text{.}\)

Definición 3.4.18.

Dejar\(x,y\) ser variables relacionadas por una función\(f\text{.}\) que es\(y = f(x)\text{.}\) Entonces denotamos un pequeño cambio en la variable\(x\) by\(\Delta x\) (leer como “delta\(x\)”). Se denota el pequeño cambio correspondiente en la variable\(\Delta y\) (\(y\)se lee como “delta\(y\)”).

\ begin {align*}\ Delta y &= f (x+\ Delta x) - f (x)\ final {alinear*}

En muchas situaciones no necesitamos calcular\(\Delta y\) exactamente y en cambio estamos contentos con una aproximación. Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.4.19 Estimar el incremento en el costo para un cambio dado en la producción.

\(x\)Sea el número de autos fabricados por semana en alguna fábrica y deje que\(y\) el costo de fabricar esos\(x\) autos. Dado que actualmente la fábrica produce\(a\) autos por semana, nos gustaría estimar el incremento en el costo si hacemos un pequeño cambio en el número de autos producidos.

Solución Nos dicen que\(a\) es el número de autos que se producen actualmente por semana; el costo de producción es entonces\(f(a)\text{.}\)

• Digamos que el número de autos producidos se cambia de\(a\) a\(a+\Delta x\) (donde\(\Delta x\) hay algún número pequeño.
• A medida\(x\) que sufre este cambio, los costos cambian de\(y=f(a)\) a\(f(a+\Delta x)\text{.}\) Por lo tanto

  \ comenzar {alinear*}\ Delta y &= f (a+\ Delta x) - f (a)\ final {alinear*}

• Podemos estimar este cambio usando una aproximación lineal. Sustituir\(x=a+\Delta x\) en la ecuación 3.4.3 produce la aproximación

  \ comenzar {reunir*} f (a+\ Delta x)\ aprox f (a) +f' (a) (a+\ Delta x-a)\ final {reunir*}

  y consecuentemente la aproximación

  \ comenzar {reunir*}\ Delta y=f (a+\ Delta x) -f (a)\ aprox f (a) +f' (a)\ Delta x-f (a)\ final {reunir*}

  simplifica a la siguiente estimación ordenada de\(\Delta y\text{:}\)

  Ecuación 3.4.20. Aproximación lineal de\(\Delta y\).

  \ begin {reunir*}\ Delta y\ approx f' (a)\ Delta x\ end {reunir*}

• En el ejemplo de fabricación de automóviles, cuando el nivel de producción es de\(a\) automóviles por semana, aumentar el nivel de producción por\(\Delta x\) costará aproximadamente\(f'(a)\Delta x\text{.}\) El costo adicional por automóvil adicional,\(f'(a)\text{,}\) se llama el “costo marginal” de un automóvil.
• Si en cambio usamos la aproximación cuadrática (dada por la ecuación 3.4.6) entonces estimamos

  \ comenzar {reunir*} f (a+\ Delta x)\ f aprox (a) +f' (a)\ Delta x+\ frac {1} {2} f "(a)\ Delta x^2\ final {reunir*}

  y así

  \ begin {align*}\ Delta y&=f (a+\ Delta x) -f (a)\ approx f (a) +f' (a)\ Delta x +\ frac {1} {2} f "(a)\ Delta x^2-f (a)\ end {align*}

  lo que simplifica

  Ecuación 3.4.21. Aproximación cuadrática de\(\Delta y\).

  \ begin {align*}\ Delta y &\ approx f' (a)\ Delta x+\ frac {1} {2} f "(a)\ Delta x^2\ end {align*}

Otros ejemplos

En esta subsección damos más ejemplos de cómputo y uso de aproximaciones de Taylor.

Ejemplo 3.4.22 Estimación\(\tan 46^\circ\text{.}\)

Estimar\(\tan 46^\circ\text{,}\) utilizando las aproximaciones constantes, lineales y cuadráticas (ecuaciones 3.4.1, 3.4.3 y 3.4.6).

Solución Tenga en cuenta que hay que tener cuidado para traducir los ángulos medidos en grados a radianes.

• Establecer\(f(x)=\tan x\text{,}\)\(x=46\tfrac{\pi}{180}\) radianes y\(a=45\tfrac{\pi}{180}=\tfrac{\pi}{4}\) radianes. Esta es una buena opción\(a\) porque
  • \(a=45^\circ\)está cerca de\(x=46^\circ\text{.}\) Como se señaló anteriormente, generalmente se da el caso de que cuanto más cerca\(x\)\(a\text{,}\) esté de mejores serán las diversas aproximaciones.
  • Conocemos los valores de todas las funciones trigonométricas en\(45^\circ\text{.}\)
• Ahora necesitamos computar\(f\) y sus dos primeras derivadas en\(x=a\text{.}\) Es un buen momento para recordar el\(1:1:\sqrt{2}\) triángulo especial
  

  Entonces

  \ begin {alinear*} f (x) &=\ tan x & f (\ pi/4) &= 1\\ f' (x) &=\ seg^2 x =\ frac {1} {\ cos^2 x} & f' (\ pi/4) &=\ frac {1} {1/\ sqrt {2} ^2} = 2\ f "(x) &=\ frac {2\ sin x} {\ cos^3 x} & f" (\ pi/4) &=\ frac {2/\ sqrt {2}} {1/\ sqrt {2} ^3} = 4\ final {alinear*}

• Como\(x-a=46\tfrac{\pi}{180}-45\tfrac{\pi}{180}=\tfrac{\pi}{180}\) radianes, las tres aproximaciones son

  \ begin {alignat*} {2} f (x) &\ approx f (a)\\ &=1\\ f (x) &\ approx f (a) +f' (a) (x-a) & &=1+2\ tfrac {\ pi} {180}\\ &=1.034907\\ f (x) &\ approx f (a) +f' (a) (x\! -\! a) +\ frac {1} {2} f "(a) (x\! -\! a) ^2& &=1+2\ tfrac {\ pi} {180} +\ frac {1} {2} 4\ grande (\ tfrac {\ pi} {180}\ grande) ^2\\ & =1.035516\ end {alignat*}

  Para fines de comparación,\(\tan 46^\circ\) realmente es\(1.035530\) a 6 decimales.

Advertencia 3.4.23.

Todas nuestras fórmulas derivadas para funciones trigonométricas se desarrollaron bajo el supuesto de que los ángulos se miden en radianes. Esos derivados aparecieron en las fórmulas de aproximación que usamos en el Ejemplo 3.4.22, por lo que estábamos obligados a expresarnos\(x-a\) en radianes.

Ejemplo 3.4.24 Error al inferir una altura desde un ángulo.

Supongamos que estás a diez metros de un poste vertical. Te contrataron para medir la altura del poste. No puedes bajarlo ni escalarlo. Entonces se mide el ángulo subtendido por la parte superior del poste. Mides\(\theta=30^\circ\text{,}\) lo que da

\ begin {reunir*} h=10\ tan 30^\ circ=\ tfrac {10} {\ sqrt {3}}\ aprox 5.77\ texto {m}\ qquad\ qquad\ end {reunir*}

Esto es solo trigonometría estándar — si conocemos exactamente el ángulo entonces sabemos exactamente la altura.

Sin embargo, en el “mundo real” los ángulos son difíciles de medir con tanta precisión. Si el contrato requiere que la medición del poste sea precisa dentro de\(10\) cm, ¿qué tan precisa\(\theta\) debe ser su medición del ángulo?

Solución Por simplicidad ¹⁵, vamos a suponer que el poste es perfectamente recto y perfectamente vertical y que tu distancia del poste era exactamente de 10 m.

• Escribe\(\theta=\theta_0+\Delta\theta\) dónde\(\theta\) está el ángulo exacto,\(\theta_0\) es el ángulo medido y\(\Delta \theta\) es el error.
• Del mismo modo escriba\(h=h_0+\Delta h\text{,}\) dónde\(h\) está la altura exacta y\(h_0=\tfrac{10}{\sqrt{3}}\) es la altura calculada. Su diferencia,\(\Delta h\text{,}\) es el error.
• Entonces

  \ begin {align*} h_0&=10\ tan\ theta_0 & h_0+\ Delta h&=10\ tan (\ theta_0+\ Delta\ theta)\\ Delta h &= 10\ tan (\ theta_0+\ Delta\ theta) - 10\ tan\ theta_0\ end {align*}

  Podríamos intentar resolver esta ecuación\(\Delta\theta\) en términos de\(\Delta h\) — pero es mucho más sencillo de aproximar\(\Delta h\) usando la aproximación lineal en la ecuación 3.4.20.
• Para utilizar la ecuación 3.4.20, sustituya\(y\)\(h\text{,}\)\(x\) con\(\theta\) y\(a\) con\(\theta_0\text{.}\) Nuestra función\(f(\theta) = 10 \tan\theta\) y\(\theta_0 = 30^\circ = \pi/6\) radianes. Entonces

  \ begin {align*}\ Delta y &\ approx f' (a)\ Delta x &\ text {se convierte en} &&\ Delta h &\ approx f' (\ theta_0)\ Delta\ theta\ end {alinear*}

  Desde\(f(\theta)=10 \tan \theta\text{,}\)\(f'(\theta) = 10\sec^2\theta\) y

  \ begin {reunir*} f' (\ theta_0) = 10\ seg^2 (\ pi/6) = 10\ cdot\ izquierda (\ frac {2} {\ sqrt {3}}\ derecha) ^2 =\ frac {40} {3}\ end {reunir*}

• Armando las cosas da

  \ begin {align*}\ Delta h &\ approx f' (\ theta_0)\ Delta\ theta &\ text {se convierte en} &&\ Delta h &\ approx\ frac {40} {3}\ Delta\ theta\ end {alinear*}

  Entonces podemos resolver esta ecuación\(\Delta\theta\) en términos de\(\Delta h\text{:}\)

  \ begin {align*}\ Delta\ theta &\ approx\ frac {3} {40}\ Delta h\ end {alinear*}

• Nos dicen que debemos tener\(|\Delta h| \lt 0.1\text{,}\) así que debemos tener

  \ begin {align*} |\ Delta\ theta| &\ leq\ frac {3} {400}\ end {align*}

  Esto se mide en radianes, por lo que la conversión de nuevo a grados

  \ begin {align*}\ frac {3} {400}\ cdot\ frac {180} {\ pi} &= 0.43^\ circ\ end {align*}

Definición 3.4.25.

Supongamos que mide, aproximadamente, alguna cantidad. Supongamos que el valor exacto de esa cantidad es\(Q_0\) y que su medida cedió\(Q_0+\Delta Q\text{.}\) Entonces\(|\Delta Q|\) se llama el error absoluto de la medición y\(100\frac{|\Delta Q|}{Q_0}\) se llama el error porcentual de la medición. Como ejemplo, si el valor exacto es\(4\) y el valor medido es\(5\text{,}\) entonces el error absoluto es\(|5-4|=1\) y el error porcentual es Es\(100\frac{|5-4|}{4}=25\text{.}\) decir, el error,\(1\text{,}\) era\(25\%\) del valor exacto,\(4\text{.}\)

Ejemplo 3.4.26 Error al inferir el área y el volumen desde el radio.

Supongamos que el radio de una esfera se ha medido con un error porcentual de como máximo\(\varepsilon\)%. Encuentra los errores porcentuales aproximados correspondientes en la superficie y volumen de la esfera.

Solución Hay que tener cuidado en este problema para convertir correctamente entre errores absolutos y porcentuales.

• Supongamos que el radio exacto es\(r_0\) y que el radio medido es\(r_0+\Delta r\text{.}\)
• Entonces el error absoluto en la medición es\(|\Delta r|\) y, por definición, el error porcentual es\(100\tfrac{|\Delta r|}{r_0}\text{.}\) Nos dicen que\(100\tfrac{|\Delta r|}{r_0}\le\varepsilon\text{.}\)
• El área de superficie ¹⁶ de una esfera de radio\(r\) es\(A(r)=4\pi r^2\text{.}\) El error en el área de superficie calculada con el radio medido es

  \ begin {align*}\ Delta A &=A (r_0+\ Delta r) -A (r_0)\ approx A' (r_0)\ Delta r\\ &= 8\ pi r_0\ Delta r\ end {alinear*}

  donde hemos hecho uso de la aproximación lineal, ecuación 3.4.20.
• El error porcentual correspondiente es entonces

  \ begin {reunir*} 100\ frac {|\ Delta A|} {A (r_0)}\ approx 100\ frac {|A' (r_0)\ Delta r|} {A (r_0)} = 100\ frac {8\ pi r_0|\ Delta r|} {4\ pi r_0^2} = 2\ veces 100\ frac {|\ Delta r|} {r_0}\ le 2\ varepsilon\ fin {reunir*}

• El volumen de una esfera ¹⁷ de radio\(r\) es\(V(r)=\frac{4}{3}\pi r^3\text{.}\) El error en el volumen calculado con el radio medido es

  \ begin {align*}\ Delta V &=V (r_0+\ Delta r) -V (r_0)\ approx V' (r_0)\ Delta r\\ &= 4\ pi r_0^2\ Delta r\ end {alinear*}

  donde nuevamente hemos hecho uso de la aproximación lineal, ecuación 3.4.20.
• El error porcentual correspondiente es

  \ begin {reunir*} 100\ frac {|\ Delta V|} {V (r_0)}\ approx 100\ frac {|V' (r_0)\ Delta r|} {V (r_0)} = 100\ frac {4\ pi r_0^2|\ Delta r|} {4\ pi r_0^3/3} = 3\ veces 100\ frac | {\ Delta r|} {r_0}\ le 3\ varepsilon\ fin {reunir*}

Acabamos de calcular una aproximación a\(\Delta V\text{.}\) Este problema es en realidad lo suficientemente simple como para que podamos calcular\(\Delta V\) exactamente:

\ begin {align*}\ Delta V &= V (r_0 +\ Delta r) - V (r_0) =\ tfrac {4} {3}\ pi (r_0 +\ Delta r) ^3 -\ tfrac {4} {3}\ pi r_0^3\ end {align*}

• Aplicando\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) con\(a=r_0\) y\(b=\Delta r\text{,}\) da

  \ begin {align*} V (r_0+\ Delta r) -V (r_0) &=\ tfrac {4} {3}\ pi\ left [r_0^3+3r_0^2\ Delta r+3r_0\, (\ Delta r) ^2+ (\ Delta r) ^3\ derecha] -\ tfrac {4} {3}\ pi r_0^3\\ &=\ tfrac {4} {3}\ pi [3r_0^2\ Delta r+3r_0\, (\ Delta r) ^2+ (\ Delta r) ^3]\ final {alinear*}

• Así, la diferencia entre el error exacto y la aproximación lineal al error se obtiene al retener solo los dos últimos términos entre corchetes. Esto tiene magnitud

  \ begin {reunir*}\ tfrac {4} {3}\ pi\ big|3r_0\, (\ Delta r) ^2+ (\ Delta r) ^3\ big| =\ tfrac {4} {3}\ pi\ big|3r_0+\ Delta r\ big| (\ Delta r) ^2\ end {reunir*}

  o en términos porcentuales

  \ begin {alinear*} 100\ cdot\ dfrac {1} {\ tfrac {4} {3}\ pi r_0^3}\ cdot\ tfrac {4} {3}\ pi\ big|3r_0\, (\ Delta r) ^2+ (\ Delta r) ^3\ big| &=100\ izquierda|3\ frac {\ Delta r^2} {r_0^2} +\ frac {\ Delta r^3} {r_0^3}\ derecha|\\ &=\ izquierda (100\ frac {3\ Delta r} {r_0}\ derecha)\ cdot\ izquierda (\ frac {\ Delta r} {r_0}\ derecha)\ izquierda|1 +\ frac {\ Delta r} {3r_0}\ derecha|\\ &\ le 3\ varepsilon\ izquierda (\ frac {\ varepsilon} {100}\ derecha)\ cdot\ izquierda (1+\ frac {\ varepsilon} {300}\ derecha)\ end {alinear*}

  Dado que\(\varepsilon\) es pequeño, podemos suponer que\(1 + \frac{\varepsilon}{300} \approx 1\text{.}\) De ahí la diferencia entre el error exacto y la aproximación lineal del error es aproximadamente un factor de\(\tfrac{\varepsilon}{100}\) menor que la aproximación lineal\(3\varepsilon\text{.}\)
• Como un aparte, note que si argumentamos que\(\Delta r\) es muy pequeño y así podemos ignorar términos que involucran\((\Delta r)^2\) y\((\Delta r)^3\) como siendo realmente muy pequeños, entonces obtenemos

  \ begin {align*} V (r_0+\ Delta r) -V (r_0) &=\ tfrac {4} {3}\ pi [3r_0^2\ Delta r\ underbrackets {+3r_0\, (\ Delta r) ^2+ (\ Delta r) ^3} _\ text {realmente pequeño}]\\ &\ aprox\ tfrac {4} {3}\ pi\ cdot 3r_0^2\ Delta r = 4\ pi r_0^2\ Delta r\ final {alinear*}

  que es precisamente el resultado de nuestra aproximación lineal anterior.

Ejemplo 3.4.27 Error porcentual que infiere una altura.

Para calcular la altura\(h\) de un poste de lámpara, se mide la longitud\(s\) de la sombra de un poste de dos metros. El poste está a 6 m del poste de la lámpara. Si la longitud de la sombra se midió para ser de 4 m, con un error de como máximo un cm, encuentre la altura del poste de la lámpara y estime el error porcentual en la altura.

Solución Primero debemos dibujar un cuadro ¹⁸

• Por triángulos similares vemos que

  \ begin {align*}\ frac {2} {s} &=\ frac {h} {6+s}\ end {align*}

  de la que podemos\(h\) aislarnos en función de\(s\text{:}\)

  \ begin {align*} h &=\ frac {2 (6+s)} {s} =\ frac {12} {s} + 2\ end {align*}

• La longitud de la sombra se midió para ser\(s_0=4\) m. La altura correspondiente del poste de la lámpara es

  \ begin {align*} h_0 &=\ frac {12} {4} + 2 = 5m\ end {align*}

• Si el error en la medición de la longitud de la sombra era\(\Delta s\text{,}\) entonces la longitud exacta de la sombra era\(s=s_0+\Delta s\) y la altura exacta del poste de la lámpara es\(h=f(s_0+\Delta s)\text{,}\) donde\(f(s)=\tfrac{12}{s}+2\text{.}\) El error en la altura calculada del poste de la lámpara es

  \ begin {reunir*}\ Delta h=h-h_0=f (s_0+\ Delta s) -f (s_0)\ end {reunir*}

• Entonces podemos hacer una aproximación lineal de este error usando la ecuación 3.4.20:

  \ begin {align*}\ Delta h &\ approx f' (s_0)\ Delta s =-\ frac {12} {s_0^2}\ Delta s =-\ frac {12} {4^2}\ Delta s\ final {alinear*}

• Se nos dice que\(|\Delta s|\le\frac{1}{100}\) m. en consecuencia, aproximadamente,

  \ comenzar {reunir*} |\ Delta h|\ le\ frac {12} {4^2}\ frac {1} {100} =\ frac {3} {400}\ end {reunir*}

  El error porcentual es entonces aproximadamente

  \ begin {align*} 100\ frac {|\ Delta h|} {h_0} &\ le 100\ frac {3} {400\ times 5} =0.15\%\ end {align*}

El error en las aproximaciones del polinomio de Taylor

Cada vez que haces una aproximación, es deseable tener alguna idea del tamaño del error que introdujste. Es decir, nos gustaría saber la diferencia\(R(x)\) entre la función original\(f(x)\) y nuestra aproximación\(F(x)\text{:}\)

\ begin {alinear*} R (x) &= f (x) -F (x). \ end {alinear*}

Por supuesto, si sabemos\(R(x)\) exactamente, entonces podríamos recuperarnos\(f(x) = F(x)+R(x)\) —así que esta es una esperanza poco realista. En la práctica simplemente nos gustaría encuadernar\(R(x)\text{:}\)

\ begin {align*} |R (x) | &= |f (x) -F (x) |\ leq M\ end {align*}

donde (ojalá)\(M\) es algún número pequeño. Vale la pena enfatizar que no necesitamos el valor más ajustado posible de solo\(M\text{,}\) necesitamos un cálculo relativamente fácil\(M\) que no esté muy lejos del verdadero valor de\(|f(x)-F(x)|\text{.}\)

Ahora desarrollaremos una fórmula para el error introducido por la aproximación constante, ecuación 3.4.1 (desarrollada de nuevo en la Sección 3.4.1)

\ begin {align*} f (x) &\ approx f (a) = T_0 (x) &\ text {$0^\ mathrm {th} $ polinomio de Taylor}\ end {align*}

La fórmula resultante se puede utilizar para obtener un límite superior en el tamaño del error\(|R(x)|\text{.}\)

El ingrediente principal que necesitaremos es el Teorema del Valor Medio (Teorema 2.13.5) — así que te sugerimos que lo revises rápidamente. Considere la siguiente afirmación obvia:

\ begin {align*} f (x) &= f (x) &\ text {ahora algunas manipulaciones furtivas}\\ & = f (a) + (f (x) -f (a))\\ &=\ underbrackets {f (a)} _ {=T_0 (x)} + (f (x) -f (a))\ cdot\ underbrackets {\ frac {x-a} {x-a}} _ {=1}\\ &= T_0 (x) +\ underbrackets {\ frac {f (x) -f (a)} {x-a}} _\ text {parece familiar}\ cdot (x-a)\ end {alinear*}

En efecto, esta ecuación es importante en la discusión que sigue, por lo que la destacaremos

Ecuación 3.4.28 La volveremos a necesitar pronto.

\ begin {align*} f (x) &= T_0 (x) +\ left [\ frac {f (x) -f (a)} {x-a}\ right] (x-a)\ end {align*}

El coeficiente\(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) de\((x-a)\) es la pendiente promedio de\(f(t)\) como\(t\) se mueve de\(t=a\) a\(t=x\text{.}\) Podemos imaginarlo como la pendiente de la secante uniendo los puntos\((a,f(a))\) y\((x,f(x))\) en el boceto a continuación.

A medida que\(t\) se mueve\(x\text{,}\) de\(a\) a la pendiente instantánea\(f'(t)\) sigue cambiando. A veces\(f'(t)\) puede ser mayor que la pendiente promedio\(\tfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\text{,}\) y a veces\(f'(t)\) puede ser menor que la pendiente promedio\(\tfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\text{.}\) Sin embargo, para el Teorema del Valor Medio (Teorema 2.13.5), debe haber algún número\(c\text{,}\) estrictamente entre\(a\) y\(x\text{,}\) para el cual\(f'(c)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) exactamente.

Sustituyendo esto en la fórmula 3.4.28 da

Ecuación 3.4.29 Hacia el error.

\ begin {align*} f (x) &=T_0 (x) +f' (c) (x-a) &\ text {para algunos $c$ estrictamente entre $a$ y $x$}\ end {align*}

Observe que esta expresión tal como está no es exactamente lo que queremos. Vamos a masajear esto un poco más en una forma más útil

Ecuación 3.4.30 El error en la aproximación constante.

\ begin {align*} f (x) - T_0 (x) &= f' (c)\ cdot (x-a) &\ text {para algunos $c$ estrictamente entre $a$ y $x$}\ end {align*}

Observe que el MVT no nos dice el valor de\(c\text{,}\) sin embargo sí sabemos que se encuentra estrictamente entre\(x\) y\(a\text{.}\) Entonces si podemos obtener un buen límite\(f'(c)\) en este intervalo entonces podemos obtener un buen límite en el error.

Ejemplo 3.4.31 Error en la aproximación en 3.4.2.

Volvamos al Ejemplo 3.4.2, e intentaremos encuadrar el error en nuestra aproximación de\(e^{0.1}\text{.}\)

• Recordemos eso\(f(x) = e^x\text{,}\)\(a=0\) y\(T_0(x) = e^0 = 1\text{.}\)
• Luego por la ecuación 3.4.30

  \ begin {align*} e^ {0.1} - T_0 (0.1) &= f' (c)\ cdot (0.1 - 0) &\ text {con $0\ lt c\ lt 0.1$}\ end {align*}

• Ahora\(f'(c) = e^c\text{,}\) así que tenemos que\(e^c\) atarnos\((0,0.1)\text{.}\) Dado que\(e^c\) es una función cada vez mayor, sabemos que

  \ begin {align*} e^0 &\ lt f' (c)\ lt e^ {0.1} &\ text {cuando $0\ lt c\ lt 0.1$}\ end {align*}

  Así que uno está tentado a escribir eso

  \ begin {align*} |e^ {0.1} - T_0 (0.1) | &= |R (x) | = |f' (c) |\ cdot (0.1 - 0)\\ &\ lt e^ {0.1}\ cdot 0.1\ end {align*}

  Y si bien esto es cierto, es bastante circular. Acabamos de delimitar el error en nuestra aproximación de\(e^{0.1}\) por,\(\frac{1}{10}e^{0.1}\) ¡si realmente lo supiéramos\(e^{0.1}\), entonces no necesitaríamos estimarlo!
• Si bien no sabemos\(e^{0.1}\) exactamente, sí sabemos ¹⁹ que\(1 = e^0 \lt e^{0.1} \lt e^1 \lt 3\text{.}\) Esto nos da

  \ begin {reunir*} |R (0.1) |\ lt 3\ times 0.1 = 0.3\ end {reunir*}

  Es decir — el error en nuestra aproximación de no\(e^{0.1}\) es mayor que\(0.3\text{.}\) Recordemos que no necesitamos el error exactamente, solo necesitamos una buena idea de cuán grande es en realidad.
• De hecho el verdadero error aquí es

  \ begin {align*} |e^ {0.1} - T_0 (0.1) | &=|e^ {0.1} - 1| = 0.1051709\ puntos\ end {align*}

  por lo que hemos sobreestimado el error por un factor de 3.

Pero en realidad podemos ir un poco más allá aquí —podemos atar el error arriba y abajo. Si no tomamos valores absolutos, entonces desde

\ begin {align*} e^ {0.1} - T_0 (0.1) &= f' (c)\ cdot 0.1 &\ text {y} 1\ lt f' (c)\ lt 3\ end {align*}

podemos escribir

\ begin {align*} 1\ times 0.1\ leq (e^ {0.1} - T_0 (0.1)) &\ leq 3\ times 0.1\ end {align*}

por lo

\ begin {align*} T_0 (0.1) + 0.1 &\ leq e^ {0.1}\ leq T_0 (0.1) +0.3\\ 1.1 &\ leq e^ {0.1}\ leq 1.3\ end {align*}

Entonces, mientras el límite superior es débil, el límite inferior es bastante apretado.

Existen fórmulas similares a la ecuación 3.4.29, que pueden ser utilizadas para vincular el error en nuestras otras aproximaciones; todas se basan en generalizaciones de la MVT. El siguiente, para aproximaciones lineales, es

\ begin {align*} f (x) & =\ underbrackets {f (a) +f' (a) (x-a)} _ {=T_1 (x)} +\ frac {1} {2} f "(c) (x-a) ^2 &\ text {para algunos} c\ text {estrictamente entre} a\ text {y} x\ end {alinear*}

que podemos reescribir en términos de\(T_1(x)\text{:}\)

Ecuación 3.4.32 El error en la aproximación lineal.

\ begin {align*} f (x) -T_1 (x) &=\ frac {1} {2} f "(c) (x-a) ^2 &\ text {para algunos} c\ text {estrictamente entre} a\ text {y} x\ end {align*}

Implica que el error que cometemos cuando aproximamos\(f(x)\) por\(T_1(x) = f(a)+f'(a)\,(x-a)\) es exactamente\(\frac{1}{2} f''(c)\,(x-a)^2\) para algunos\(c\) estrictamente entre\(a\) y\(x\text{.}\)

De manera más general

\ begin {alinear*} f (x) =&\ underbrackets {f (a)\! +\! f' (a)\ cdot (x\! -\! a)\! +\ cdots+\! \ frac {1} {n!} f^ {(n)} (a)\ cdot (x\! -\! a) ^n} _ {= T_n (x)}\! +\! \ frac {1} {(n\! +\! 1)!} f^ {(n+1)} (c)\ cdot (x\! -\! a) ^ {n+1}\ final {alinear*}

para algunos\(c\) estrictamente entre\(a\) y\(x\text{.}\) otra vez, reescribir esto en términos de\(T_n(x)\) da

Ecuación 3.4.33.

\ begin {alinear*} f (x) - T_n (x) &=\ frac {1} {(n+1)!} f^ {(n+1)} (c)\ cdot (x-a) ^ {n+1}\ quad\ text {para algunos $c$ estrictamente entre $a$ y $x$}\ end {align*}

Es decir, el error introducido cuando\(f(x)\) es aproximado por su polinomio Taylor de grado\(n\text{,}\) es precisamente el último término del polinomio Taylor de grado\(n+1\text{,}\) pero con la derivada evaluada en algún punto entre\(a\) y en\(x\text{,}\) lugar de exactamente en\(a\text{.}\) Estos errores las fórmulas se prueben en la optativa Sección 3.4.10 más adelante en este capítulo.

Ejemplo 3.4.34 Aproximado\(\sin 46^\circ\) and estimate the error.

Aproximar\(\sin 46^\circ\) usando polinomios de Taylor\(a=45^\circ\text{,}\) y estimar el error resultante.

Solución

• Comience definiendo\(f(x) = \sin x\) y

  \ begin {align*} a&=45^\ circ=45\ tfrac {\ pi} {180} {\ rm radianes} & x&=46^\ circ=46\ tfrac {\ pi} {180} {\ rm radianes}\\ x-a&=\ tfrac {\ pi} {180} {\ rm radianes}\ end {align*}

• Los primeros derivados de\(f\) at\(a\) son

  \ begin {alinear*} f (x) &=\ sin x &f (a) &=\ frac {1} {\ sqrt {2}}\\ f' (x) &=\ cos x &\ f' (a) &=\ frac {1} {\ sqrt {2}}\\ f "(x) &=-\ sin x &\ f" (a) =-\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ f^ {(3)} (x) &=-\ cos x & f^ {(3)} (a) &=-\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ end {align*}

• Las aproximaciones constantes, lineales y cuadráticas de Taylor para\(\sin(x)\) aproximadamente\(\frac{\pi}{4}\) son

  \ begin {alignat*} {2} T_0 (x) &= f (a) &&=\ frac {1} {\ sqrt {2}}\\ T_1 (x) &= T_0 (x) + f' (a)\ cdot (x\! -\! a) &&=\ frac {1} {\ sqrt {2}} +\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ left (x\! -\! \ frac {\ pi} {4}\ derecha)\\ T_2 (x) &= T_1 (x)\! +\! \ frac {1} {2} f "(a)\ cdot (x\! -\! a) ^2 &&=\! \ frac {1} {\ sqrt {2}}\! +\! \ frac {1} {\ sqrt {2}}\ izquierda (x\! -\! \ frac {\ pi} {4}\ derecho)\! -\! \ frac {1} {2\ sqrt {2}}\ izquierda (x\! -\! \ frac {\ pi} {4}\ derecha) ^2\ end {alignat*}

• Entonces las aproximaciones para\(\sin 46^\circ\) son

  \ begin {align*}\ sin46^\ circ &\ approx T_0\ izquierda (\ frac {46\ pi} {180}\ derecha) =\ frac {1} {\ sqrt {2}}\\ &=0.70710678\\\ sin46^\ circ &\ approx T_1\ izquierda (\ frac {46\ pi} {180}\ derecha) =\ frac {1} {\ sqrt {2}} +\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ izquierda (\ frac {\ pi} {180}\ derecha)\\ &=0.71944812\\\ sin46^\ circ&\ approx T_2\ izquierda (\ frac {46\ pi } {180}\ derecha) =\ frac {1} {\ sqrt {2}} +\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ izquierda (\ frac {\ pi} {180}\ derecha) -\ frac {1} {2\ sqrt {2}}\ izquierda (\ frac {\ pi} {180}\ derecha) ^2\\ &=0.71934042\ final {alinear*}

• Los errores en esas aproximaciones son (respectivamente)

  \ begin {alignat*} {3} & {\ rm error\ in\ 0.70710678} & &=f' (c) (x-a) & &=\ cos c\ cdot\ izquierda (\ frac {\ pi} {180}\ derecha)\\ & {\ rm error\ in\ 0.71944812} & &=\ frac {1} {2} f "(c) (x-a) ^2& &=-\ frac {1} {2}\ cdot\ sin c\ cdot\ izquierda (\ frac {\ pi} {180}\ derecha) ^2\\ & {\ rm error\ in\ 0.71923272} & & amp; =\ frac {1} {3!} f^ {(3)} (c) (x-a) ^3& &=-\ frac {1} {3!} \ cdot\ cos c\ cdot\ izquierda (\ frac {\ pi} {180}\ derecha) ^3\ end {alignat*}

  En cada uno de estos tres casos\(c\) debe estar en algún lugar entre\(45^\circ\) y\(46^\circ\text{.}\)
• En lugar de estimar cuidadosamente\(\sin c\) y\(\cos c\) para\(c\) dentro de ese rango, hacemos uso de un encuadernado más simple (pero mucho más fácil). No importa lo que\(c\) sea, lo sabemos\(|\sin c|\le 1\) y\(|\cos c|\le 1\text{.}\) por lo tanto

  \ begin {alignat*} {3} &\ big| {\ rm error\ in\ 0.70710678}\ big|& &\ le\ left (\ frac {\ pi} {180}\ derecha) &\ lt 0.018\\ &\ big| {\ rm error\ in\ 0.71944812}\ big|&\ le frac {1} {2}\ left (\ frac {\ pi} {180}\ derecha) ^2&\ lt 0.00015\\ &\ big| {\ rm error\ in\ 0.71934042}\ big|& &\ le\ frac {1} {3!} \ izquierda (\ frac {\ pi} {180}\ derecha) ^3&\ lt 0.0000009\ end {alignat*}

Ejemplo 3.4.35 Mostrando\(e \lt 3\).

En el Ejemplo 3.4.31 anterior se utilizó el hecho de que\(e \lt 3\) sin probarlo realmente. Hagámoslo ahora.

• Considere la aproximación lineal de\(e^x\) aproximadamente\(a=0\text{.}\)

  \ begin {align*} T_1 (x) &= f (0) + f' (0)\ cdot x = 1 + x\ end {align*}

  Así que en\(x=1\) tenemos

  \ begin {align*} e &\ approx T_1 (1) = 2\ end {alinear*}

• El error en esta aproximación es

  \ begin {alinear*} e^x - T_1 (x) &=\ frac {1} {2} f "(c)\ cdot x^2 =\ frac {e^c} {2}\ cdot x^2\ end {alinear*}

  Así que en\(x=1\) tenemos

  \ begin {align*} e - T_1 (1) &=\ frac {e^c} {2}\ end {align*}

  donde\(0 \lt c \lt 1\text{.}\)
• Ahora como\(e^x\) es una función cada vez mayor de ²⁰, se deduce que\(e^c \lt e\text{.}\) De ahí

  \ begin {alinear*} e - T_1 (1) &=\ frac {e^c} {2}\ lt\ frac {e} {2}\ end {align*}

  Mover el\(\frac{e}{2}\) hacia el lado izquierdo y el\(T_1(1)\) hacia el lado derecho da

  \ comenzar {reunir*}\ frac {e} {2}\ leq T_1 (1) = 2\ fin {reunir*}

  Entonces\(e \lt 4\text{.}\)
• Esto no es tan apretado como nos gustaría, así que ahora haz lo mismo con la aproximación cuadrática con\(a=0\text{:}\)

  \ begin {alinear*} e^x &\ approx T_2 (x) = 1 + x +\ frac {x^2} {2}\\\ end {alinear*}

  Así que cuando\(x=1\) tenemos

  \ begin {alinear*} e &\ approx T_2 (1) = 1 + 1 +\ frac {1} {2} =\ frac {5} {2}\ end {align*}
• El error en esta aproximación es

  \ begin {alinear*} e^x - T_2 (x) &=\ frac {1} {3!} f"' (c)\ cdot x^3 =\ frac {e^c} {6}\ cdot x^3\ final {alinear*}

  Así que en\(x=1\) tenemos

  \ begin {align*} e - T_2 (1) &=\ frac {e^c} {6}\ end {align*}

  donde\(0 \lt c \lt 1\text{.}\)
• De nuevo ya que\(e^x\) es una función creciente que tenemos\(e^c \lt e\text{.}\) Por lo tanto

  \ begin {alinear*} e - T_2 (1) &=\ frac {e^c} {6}\ lt\ frac {e} {6}\ end {align*}

  Eso es

  \ begin {reunir*}\ frac {5e} {6}\ lt T_2 (1) =\ frac {5} {2}\ end {reunir*}

  Entonces\(e \lt 3\) según se requiera.

Ejemplo 3.4.36 Más en\(e^x\).

Anotamos la aproximación polinómica de\(n^\mathrm{th}\) grado general Maclaurin\(e^x\) en el Ejemplo 3.4.12 anterior.

• Recordemos que

  \ begin {alinear*} t_n (x) &=\ suma_ {k=0} ^n\ frac {1} {k!} x^k\ final {alinear*}

• El error en esta aproximación es (por la ecuación 3.4.33)

  \ begin {alinear*} e^x - T_n (x) &=\ frac {1} {(n+1)!} e^c\ final {alinear*}

  donde\(c\) hay algún número entre\(0\) y\(x\text{.}\)
• Así que la configuración\(x=1\) en esto da

  \ begin {alinear*} e - t_n (1) &=\ frac {1} {(n+1)!} e^c\ final {alinear*}

  donde\(0 \lt c \lt 1\text{.}\)
• Ya que\(e^x\) es una función creciente sabemos que\(1 = e^0 \lt e^c \lt e^1 \lt 3\text{,}\) por lo que la expresión anterior se convierte

  \ begin {alinear*}\ frac {1} {(n+1)!} \ leq e - T_n (1) &=\ frac {1} {(n+1)!} e^c\ leq\ frac {3} {(n+1)!} \ end {alinear*}

• Así que cuando\(n=9\) tenemos

  \ begin {alinear*}\ frac {1} {10!} \ leq e -\ izquierda (1 + 1 +\ frac {1} {2} +\ cdots +\ frac {1} {9!} \ derecha) &\ leq\ frac {3} {10!} \ end {alinear*}

• Ahora\(1/10! \lt 3/10! \lt 10^{-6}\text{,}\) así la aproximación de\(e\) por

  \ comenzar {reunir*} e\ aprox 1 + 1 +\ frac {1} {2} +\ cdots +\ frac {1} {9!} =\ frac {98641} {36288} = 2.718281\ puntos\ fin {reunir*}

  es correcto a 6 decimales.
• De manera más general sabemos que usar\(T_n(1)\) para aproximar\(e\) tendrá un error de como mucho\(\frac{3}{(n+1)!}\) — por lo que converge muy rápidamente.

Ejemplo 3.4.37 3.4.24 Revisitado.

Recordemos ²¹ que en el Ejemplo 3.4.24 (midiendo la altura del poste), se utilizó la aproximación lineal

\ begin {align*} f (\ theta_0+\ Delta\ theta) &\ approx f (\ theta_0) +f' (\ theta_0)\ Delta\ theta\ end {alinear*}

con\(f(\theta)=10\tan\theta\) y\(\theta_0=30\dfrac{\pi}{180}\) para obtener

\ begin {align*}\ Delta h &=f (\ theta_0+\ Delta\ theta) -f (\ theta_0)\ approx f' (\ theta_0)\ Delta\ theta\ quad\ text {lo que implica que}\ quad\ Delta\ theta\ approx\ frac {\ Delta h} {f' (\ theta_0)}\ end {align*}

• Si bien este procedimiento es bastante confiable, sí implicó una aproximación. Para que no pudieras garantizar al 100% al abogado de tu cliente que se logró una precisión de 10 cm.
• Por otro lado, si usamos la fórmula exacta 3.4.29, con los reemplazos\(x\rightarrow \theta_0+\Delta\theta\) y\(a\rightarrow\theta_0\)

  \ begin {align*} f (\ theta_0+\ Delta\ theta) &=f (\ theta_0) +f' (c)\ Delta\ theta &\ text {para algunos $c$ entre $\ theta_0$ y $\ theta_0+\ Delta\ theta$}\ end {align*}

  en lugar de la fórmula aproximada 3.4.3, se atiende esta legalidad:

  \ begin {align*}\ Delta h &=f (\ theta_0\! +\! \ Delta\ theta) -f (\ theta_0) =f' (c)\ Delta\ theta\ quad\ text {para algunos $c$ entre $\ theta_0$ y $\ theta_0+\ Delta\ theta$}\ end {align*}

  Podemos limpiar esto un poco más ya que en nuestro ejemplo\(f'(\theta) = 10\sec^2\theta\text{.}\) Así para algunos\(c\) entre\(\theta_0\) y\(\theta_0 + \Delta\theta\text{:}\)

  \ comenzar {reunir*} |\ Delta h| = 10\ seg^2 (c) |\ Delta\ theta|\ end {reunir*}

• Por supuesto que no sabemos exactamente qué\(c\) es. Pero supongamos que sabemos que el ángulo estaba en algún lugar entre\(25^\circ\) y\(35^\circ\text{.}\) En otras palabras supongamos que, aunque no sepamos precisamente cuál era nuestro error de medición, ciertamente no fue más que\(5^\circ\text{.}\)
• Ahora en el rango\(25^\circ \lt c \lt 35^\circ\text{,}\)\(\sec(c)\) hay una función creciente y positiva. De ahí en esta gama

  \ begin {reunir*} 1.217\ dots =\ seg^2 25^\ circ\ leq\ seg^2 c\ leq\ seg^2 35^\ circ = 1.490\ dots\ lt 1.491\ end {reunir*}

  Entonces

  \ start {alinear*} 12.17\ cdot |\ Delta\ theta| &\ leq |\ Delta h| = 10\ seg^2 (c)\ cdot |\ Delta\ theta|\ leq 14.91\ cdot |\ Delta\ theta|\ end {align*}

• Ya que\(|\Delta h| \lt 0.1\text{,}\) requerimos necesitamos\(14.91 |\Delta \theta| \lt 0.1\text{,}\) que sea

  \ comenzar {reunir*} |\ Delta\ theta|\ lt\ frac {0.1} {14.91} = 0.0067\ puntos\ final {reunir*}

  Entonces debemos medir ángulos con una precisión de no menos de\(0.0067\) radianes, que es

  \ begin {reunir*}\ frac {180} {\ pi}\ cdot 0.0067 = 0.38^\ circ. \ end {reunir*}

  Por lo tanto, un error de medición de\(0.38^\circ\) o menos es aceptable.

(Opcional) — Derivación de las fórmulas de error

En esta sección derivaremos la fórmula para el error que dimos en la ecuación 3.4.33 — a saber

\ begin {alinear*} R_n (x) = f (x) - T_n (x) &=\ frac {1} {(n+1)!} f^ {(n+1)} (c)\ cdot (x-a) ^ {n+1}\ final {alinear*}

para algunos\(c\) estrictamente entre\(a\)\(x\text{,}\) y y donde\(T_n(x)\) es el\(n^\mathrm{th}\) grado Taylor polinomio aproximación de\(f(x)\) aproximadamente\(x=a\text{:}\)

\ begin {alinear*} t_n (x) &=\ suma_ {k=0} ^n\ frac {1} {k!} f^ {(k)} (a). \ end {alinear*}

Recordemos que ya hemos probado un caso especial de esta fórmula para la aproximación constante utilizando el Teorema del Valor Medio (Teorema 2.13.5). Para probar el caso general necesitamos la siguiente generalización ²² de ese teorema:

Teorema 3.4.38 Teorema Generalizado del Valor Medio.

Que las funciones\(F(x)\) y\(G(x)\) ambas sean definidas y continuas\(a\le x\le b\) y ambas sean diferenciables en\(a \lt x \lt b\text{.}\) Además, supongamos que\(G'(x)\ne 0\) para todos\(a \lt x \lt b\text{.}\) Entonces, hay un número\(c\) obedeciendo\(a \lt c \lt b\) tal que

\ comenzar {reunir*}\ frac {F (b) -F (a)} {G (b) -G (a)} =\ frac {F' (c)} {G' (c)}\ fin {reunir*}

Observe que la configuración\(G(x) = x\) recupera el Teorema del Valor Medio original. Resulta que este teorema no es demasiado difícil de probar a partir del MVT usando algunas manipulaciones algebraicas furtivas: Prueba

Comprobante.

• Primero construimos una nueva función\(h(x)\) como una combinación lineal de\(F(x)\) y\(G(x)\) para que\(h(a)=h(b)=0\text{.}\) algunos rendimientos de experimentación

\ comenzar {reunir*} h (x) =\ grande [F (b) -F (a)\ grande]\ cdot\ grande [G (x) -G (a)\ grande] -\ grande [G (b) -G (a)\ grande]\ cdot\ grande [F (x) -F (a)\ grande]\ final {reunir*}

• Ya que\(h(a)=h(b)=0\text{,}\) el teorema del Valor Medio (en realidad el teorema de Rolle) nos dice que hay un número\(c\) obedeciendo\(a \lt c \lt b\) tal que\(h'(c)=0\text{:}\)\ begin {align*} h' (x) &=\ big [F (b) -F (a)\ big]\ cdot G' (x) -\ big [G (b) -G (a)\ big]\ cdot F' (x) &\ text {so}\ 0 &=\ grande [F (b) -F (a)\ grande]\ cdot G' (c) -\ grande [ G (b) -G (a)\ grande]\ cdot F' (c)\ final {alinear*}

Ahora mueve los\(G'(c)\) términos a un lado y los\(F'(c)\) términos al otro:

\ comenzar {alinear*}\ grande [F (b) -F (a)\ grande]\ cdot G' (c) &=\ grande [G (b) -G (a)\ grande]\ cdot F' (c). \ end {alinear*}

• Ya que tenemos\(G'(x) \neq 0\text{,}\) sabemos que\(G'(c) \neq 0\text{.}\) Además el teorema del Valor Medio asegura ²³ que\(G(a) \neq G(b)\text{.}\) De ahí que podamos mover términos a punto de obtener

\ begin {alinear*}\ grande [F (b) -F (a)\ grande] &=\ grande [G (b) -G (a)\ grande]\ cdot\ frac {F' (c)} {G' (c)}\\ frac {F (b) -F (a)} {G (b) -G (a)} &=\ frac {F' (c)} {G' (c)}\ final {alinear*}

según sea necesario.

Armados con el teorema anterior ahora podemos pasar a la prueba de la fórmula del resto de Taylor.

Prueba de ecuación 3.4.33

Comenzamos por probar la fórmula del resto para\(n=1\text{.}\) Eso es

\ begin {alinear*} f (x) - T_1 (x) &=\ frac {1} {2} f "(c)\ cdot (x-a) ^2\ end {align*}

• Comience por establecer

\ begin {alinear*} F (x) &= f (x) -T_1 (x) y G (x) &= (x-a) ^2\ end {alinear*}

Observe que, desde\(T_1(a)=f(a)\) y\(T'_1(x) = f'(a)\text{,}\)

\ begin {align*} F (a) &= 0 & G (a) &=0\\ F' (x) &= f' (x) -f' (a) & G' (x) &= 2 (x-a)\ end {align*}

• Ahora aplica el MVT generalizado con\(b=x\text{:}\) que exista un punto\(q\) entre\(a\) y\(x\) tal que

\ begin {alinear*}\ frac {F (x) -F (a)} {G (x) -G (a)} &=\ frac {F' (q)} {G' (q)}\\ frac {F (x) -0} {G (x) - 0} &=\ frac {f' (q) -f' (a)} {2 (q-a))}\\ 2\ cdot\ frac {F (x)} {G (x)} &=\ frac {f' (q) -f' (a)} {q-a}\ end {alinear*}

• Considera el lado derecho de la ecuación anterior y establece\(g(x) = f'(x)\text{.}\) Entonces tenemos el término\(\frac{g(q)-g(a)}{q-a}\) — esta es exactamente la forma necesaria para aplicar el MVT. Entonces ahora aplique el MVT estándar al lado derecho de la ecuación anterior; hay algunos\(c\) entre\(q\) y\(a\) para que

\ begin {alinear*}\ frac {f' (q) -f' (a)} {q-a} &=\ frac {g (q) -g (a)} {q-a} = g' (c) = f "(c)\ end {alinear*}

Observe que aquí hemos asumido que\(f''(x)\) existe.

• Armando esto tenemos que

\ begin {alinear*} 2\ cdot\ frac {F (x)} {G (x)} &=\ frac {f' (q) -f' (a)} {q-a} = f "(c)\\ 2\ frac {f (x) -T_1 (x)} {(x-a) ^2} &= f" (c)\\ f (x) - T_1 (x) &=\ frac {1} {2!} f "(c)\ cdot (x-a) ^2\ final {alinear*}

según sea necesario.

¡Oof! Ahora hemos probado los casos\(n=1\) (y lo hicimos\(n=0\) antes).

Para proceder — supongamos que hemos demostrado nuestro resultado para\(n=1,2,\cdots, k\text{.}\) Nos damos cuenta de que aún no lo hemos hecho, pero tengan que aguantar con nosotros. Usando esa suposición demostraremos que el resultado es cierto para\(n=k+1\text{.}\) Una vez que lo hayamos hecho, entonces

• hemos demostrado que el resultado es cierto para\(n=1\text{,}\) y
• hemos demostrado si el resultado es verdadero para\(n=k\) entonces es cierto para\(n=k+1\)

De ahí que sea cierto para todos\(n \geq 1\text{.}\) Este estilo de prueba se llama inducción matemática. Puedes pensar en el proceso como algo así como subir una escalera:

• demostrar que puedes subir a la escalera (el resultado es cierto para\(n=1\)), y
• si puedo pararme en el peldaño actual, entonces puedo subir al siguiente peldaño (si el resultado es cierto para\(n=k\) entonces también es cierto para\(n=k+1\))

De ahí que pueda subir tan alto como como.

• Vamos\(k \gt 0\) y supongamos que hemos demostrado

\ begin {alinear*} f (x) - T_k (x) &=\ frac {1} {(k+1)!} f^ {(k+1)} (c)\ cdot (x-a) ^ {k+1}\ final {alinear*}

para algunos\(c\) entre\(a\) y\(x\text{.}\)

• Ahora establece

\ begin {alinear*} F (x) &= f (x) - T_ {k+1} (x) & G (x) &= (x-a) ^ {k+1}\\\ final {alinear*}

y fíjense que, desde\(T_{k+1}(a)=f(a)\text{,}\)

\ begin {align*} F (a) &= f (a) -T_ {k+1} (a) =0 & G (a) &= 0 & G' (x) &= (k+1) (x-a) ^k\ end {align*} y aplicar el MVT generalizado con\(b=x\text{:}\) por lo tanto existe un\(q\) entre\(a\) y\(x\) para que

\ begin {alinear*}\ frac {F (x) -F (a)} {G (x) -G (a)} &=\ frac {F' (q)} {G' (q)} &\ text {que se convierte en}\\ frac {F (x)} {(x-a) ^ {k+1}} &=\ frac {F' (q)} {(k+1}} &=\ frac {F' (q)} {(k+1}} &=\ frac {F' +1) (q-a) ^k} &\ texto {reorganizar}\\ F (x) &=\ frac {(x-a) ^ {k+1}} {(k+1) (q-a) ^k}\ cdot F' (q)\ end {alinear*}

• Ahora examinamos\(F'(q)\text{.}\) Primero diferenciar cuidadosamente\(F(x)\text{:}\)

\ begin {align*} F' (x) &=\ dfrac {d} {dx}\ bigg [f (x) -\ bigg (f (a) + f' (a) (x-a) +\ frac {1} {2} f "(a) (x-a) ^2 +\ cdots\\ &\ hskip2.5in+\ frac {1} {k!} f^ {(k)} (x-a) ^k\ bigg)\ bigg]\\ &= f' (x) -\ bigg (f' (a) +\ frac {2} {2} f "(a) (x-a) +\ frac {3} {3!} f"' (a) (x-a) ^2 +\ cdots\\ &\ hskip2.5in+\ frac {k} {k!} f^ {(k)} (a) (x-a) ^ {k-1}\ bigg)\\ &= f' (x) -\ bigg (f' (a) + f "(a) (x-a) +\ frac {1} {2} f"' (a) (x-a) ^2 +\ cdots\\ &\ hskip2.5in+\ frac {1} {(k-1)!} f^ {(k)} (a) (x-a) ^ {k-1}\ bigg)\ final {alinear*}

Ahora note que si establecemos\(f'(x) = g(x)\) entonces esto se convierte

\ begin {alinear*} F' (x) &= g (x) -\ bigg (g (a) + g' (a) (x-a) +\ frac {1} {2} g "(a) (x-a) ^2 +\ cdots\\ &\ hskip2.5in+\ frac {1} {(k-1)!} g^ {(k-1)} (a) (x-a) ^ {k-1}\ bigg)\ final {alinear*}

Entonces\(F'(x)\) es exactamente la fórmula restante pero para una\(k-1\) aproximación de grado a la función\(g(x) = f'(x)\text{.}\)

• De ahí que la función\(F'(q)\) sea el resto cuando aproximamos\(f'(q)\) con un grado de polinomio de\(k-1\) Taylor. La fórmula del resto, ecuación 3.4.33, luego nos dice que hay un número\(c\) entre\(a\) y\(q\) así que

\ begin {alinear*} F' (q) &= g (q) -\ bigg (g (a) + g' (a) (q-a) +\ frac {1} {2} g "(a) (q-a) ^2 +\ cdots\\ &\ hskip2.5in +\ frac {1} {(k-1)!} g^ {(k-1)} (a) (q-a) ^ {k-1}\ bigg)\\ &=\ frac {1} {k!} g^ {(k)} (c) (q-a) ^k =\ frac {1} {k!} f^ {(k+1)} (c) (q-a) ^k\ end {alinear*}

Observe que aquí hemos asumido que\(f^{(k+1)}(x)\) existe.

• Ahora sustituya esto de nuevo en nuestra ecuación anterior

\ begin {alinear*} F (x) &=\ frac {(x-a) ^ {k+1}} {(k+1) (q-a) ^k}\ cdot F' (q)\\ &=\ frac {(x-a) ^ {k+1}} {(k+1) (q+1) (q-a) ^k}\ cdot\ frac {1} {k!} f^ {(k+1)} (c) (q-a) ^k\\ &=\ frac {1} {(k+1) k!} \ cdot f^ {(k+1)} (c)\ cdot\ frac {(x-a) ^ {k+1} (q-a) ^k} {(q-a) ^k}\\ &=\ frac {1} {(k+1)!} \ cdot f^ {(k+1)} (c)\ cdot (x-a) ^ {k+1}\ final {alinear*}

según sea necesario.

Así que ahora sabemos que

• si, para algunos\(k\text{,}\) la fórmula del resto (con\(n=k\)) es verdadera para todas\(k\) las funciones diferenciables,
• entonces la fórmula del resto es verdadera (con\(n=k+1\)) para todas las funciones diferenciables de\(k+1\) tiempo.

Aplicando esto repetidamente para\(k=1,2,3,4,\cdots\) (y recordando que hemos mostrado que la fórmula restante es verdadera cuando\(n=0,1\)) da la ecuación 3.4.33 para todos\(n=0,1,2,\cdots\text{.}\)

Ejercicios

Ejercicios para § 3.4.1

Etapa 1

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

La gráfica a continuación muestra tres curvas. La curva negra es\(y=f(x)\text{,}\) la curva roja es\(y=g(x)=1+2\sin(1+x)\text{,}\) y la curva azul es\(y=h(x)=0.7\text{.}\) Si quieres estimar\(f(0)\text{,}\) lo que podría causar que uses\(g(0)\text{?}\) Lo que podría causar que uses\(h(0)\text{?}\)

Etapa 2

En esta y siguientes secciones, te pediremos que aproximes el valor de varias constantes, como\(\log(0.93)\text{.}\) Una pregunta válida a considerar es por qué pediríamos aproximaciones de estas constantes que llevan mucho tiempo, y son menos precisas que las que obtienes de una calculadora.

Una respuesta a esta pregunta es histórica: las personas estaban aproximando logaritmos antes de tener calculadoras, y estas son algunas de las formas en que lo hicieron. Finge que estás en una isla desierta sin ninguno de tus dispositivos habituales y que quieres hacer una serie de evaluaciones aproximadas rápidas y sucias.

Otra razón para hacer estas aproximaciones es técnica: cómo obtiene la calculadora una aproximación tan buena de\(\log(0.93)\text{?}\) Las técnicas que aprenderás más adelante en este capítulo dan fórmulas muy precisas para aproximar funciones como\(\log x\) y\(\sin x\text{,}\) que a veces se utilizan en calculadoras.

Una tercera razón para hacer aproximaciones simples de expresiones que una calculadora podría evaluar es proporcionar una verificación de la realidad. Si tienes una conjetura de béisbol para tu respuesta, y tu calculadora te da algo tremendamente diferente, sabes que debes verificar que ingresaste todo correctamente.

Por ahora, preguntas como la Pregunta 3.4.11.2 a la Pregunta 3.4.11.4 son simplemente para que practiques las ideas fundamentales que estamos aprendiendo.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Usa una aproximación constante para estimar el valor de\(\log(x)\) cuando\(x=0.93\text{.}\) Sketch la curva\(y=f(x)\) y tu aproximación constante.

(Recuerde que usamos\(\log x\) para significar el logaritmo natural de\(x\text{,}\)\(\log_e x\text{.}\))

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Usar una aproximación constante para estimar\(\arcsin(0.1)\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Usar una aproximación constante para estimar\(\sqrt{3}\tan(1)\text{.}\)

Etapa 3

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Usa una aproximación constante para estimar el valor de\(10.1^3\text{.}\) Tu estimación debe ser algo que puedas calcular en tu cabeza.

Ejercicios para § 3.4.2

Etapa 1

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\(f(x)\) es una función, y calculamos su aproximación lineal cerca\(x=5\) de ser\(f(x) \approx 3x-9\text{.}\)

1. Qué es\(f(5)\text{?}\)
2. Qué es\(f'(5)\text{?}\)
3. Qué es\(f(0)\text{?}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

A continuación\(y=f(x)\) se muestra la curva. Esbozar la aproximación lineal de\(f(x)\) aproximadamente\(x=2\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

¿Cuál es la aproximación lineal de la función\(f(x)=2x+5\) sobre\(x=a\text{?}\)

Etapa 2

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Utilice una aproximación lineal para estimar\(\log(x)\) cuando\(x=0.93\text{.}\) Boceto de la curva\(y=f(x)\) y su aproximación lineal.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Usar una aproximación lineal para estimar\(\sqrt{5}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Usar una aproximación lineal para estimar\(\sqrt[5]{30}\)

Etapa 3

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Usa una aproximación lineal para estimar\(10.1^3\text{,}\) y luego compara tu estimación con el valor real.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Imagina\(f(x)\) es alguna función, y quieres estimar\(f(b)\text{.}\) Para ello, eliges un valor\(a\) y tomas una aproximación (lineal o constante) de\(f(x)\) aproximadamente\(a\text{.}\) Da un ejemplo de una función\(f(x)\text{,}\) y valores\(a\) y\(b\text{,}\) donde la aproximación constante da una estimación más precisa\(f(b)\) que la aproximación lineal.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

La función

\[ L(x)=\frac{1}{4}x+\frac{4\pi-\sqrt{27}}{12} \nonumber \]

es la aproximación lineal de\(f(x)=\arctan x\) sobre qué punto\(x=a\text{?}\)

Ejercicios para § 3.4.3

Etapa 1

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

La aproximación cuadrática de una función\(f(x)\) acerca de\(x=3\) es

\[ f(x) \approx -x^2+6x \nonumber \]

¿Cuáles son los valores de\(f(3)\text{,}\)\(f'(3)\text{,}\)\(f''(3)\text{,}\) y\(f'''(3)\text{?}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Dar una aproximación cuadrática de\(f(x)=2x+5\) aproximadamente\(x=a\text{.}\)

Etapa 2

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Usar una aproximación cuadrática para estimar\(\log(0.93)\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Usar una aproximación cuadrática para estimar\(\cos\left(\dfrac{1}{15}\right)\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Calcular la aproximación cuadrática de\(f(x)=e^{2x}\) aproximadamente\(x=0\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Usar una aproximación cuadrática para estimar\(5^{\tfrac{4}{3}}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Evalúe las expresiones a continuación.

1. \(\displaystyle\sum_{n=5}^{30} 1\)
2. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{3} \left[ 2(n+3)-n^2 \right]\)
3. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{10} \left[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right]\)
4. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{4}\frac{5\cdot 2^n}{4^{n+1}} \)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Escribe lo siguiente en notación sigma:

1. \(1+2+3+4+5\)
2. \(2+4+6+8\)
3. \(3+5+7+9+11\)
4. \(9+16+25+36+49\)
5. \(9+4+16+5+25+6+36+7+49+8\)
6. \(8+15+24+35+48\)
7. \(3-6+9-12+15-18\)

Etapa 3

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Usa una aproximación cuadrática de\(f(x)=2\arcsin x\) aproximadamente\(x=0\) a aproximar\(f(1)\text{.}\) ¿Qué número estás aproximando?

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Utilice una aproximación cuadrática de\(e^x\) para estimar\(e\) como decimal.

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Agrupe las siguientes expresiones en colecciones de expresiones equivalentes.

1. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{10} 2n\)
2. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{10} 2^n\)
3. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{10} n^2\)
4. \(2\displaystyle\sum_{n=1}^{10} n\)
5. \(2\displaystyle\sum_{n=2}^{11} (n-1)\)
6. \(\displaystyle\sum_{n=5}^{14} (n-4)^2\)
7. \(\dfrac{1}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{10}\left( \frac{4^{n+1}}{2^n}\right)\)

Ejercicios para § 3.4.4

Etapa 1

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

El polinomio Taylor de 3er grado para una función\(f(x)\) sobre\(x=1\) es

\[ T_3(x)=x^3-5x^2+9x \nonumber \]

Qué es\(f''(1)\text{?}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

El polinomio de Taylor grado\(n\) th para\(f(x)\) aproximadamente\(x=5\) es

\[ T_n(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{2k+1}{3k-9}(x-5)^k \nonumber \]

Qué es\(f^{(10)}(5)\text{?}\)

Etapa 3

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

El polinomio Maclaurin de 4to grado para\(f(x)\) es

\[ T_4(x)=x^4-x^3+x^2-x+1 \nonumber \]

Para qué sirve el polinomio Maclaurin de tercer grado\(f(x)\text{?}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

El polinomio Taylor de 4to grado para\(f(x)\) aproximadamente\(x=1\) es

\[ T_4(x)=x^4+x^3-9 \nonumber \]

Para qué sirve el polinomio Taylor de tercer grado\(f(x)\) aproximadamente\(x=1\text{?}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Para cualquier número par\(n\text{,}\) supongamos que el polinomio de Taylor de grado\(n\) th para\(f(x)\) aproximadamente\(x=5\) es

\[ \sum_{k=0}^{n/2} \frac{2k+1}{3k-9}(x-5)^{2k} \nonumber \]

Qué es\(f^{(10)}(5)\text{?}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

El polinomio Taylor de tercer grado para\(f(x)=x^3\left[2\log x - \dfrac{11}{3}\right]\) aproximadamente\(x=a\) es

\[ T_3(x)=-\frac{2}{3}\sqrt{e^3}+3ex-6\sqrt{e}x^2+x^3 \nonumber \]

Qué es\(a\text{?}\)

Ejercicios para § 3.4.5

Etapa 1

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Dar el polinomio Maclaurin de 16 grados para\(f(x)=\sin x+ \cos x\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Dar el polinomio Taylor de 100 grados durante\(s(t)=4.9t^2-t+10\) aproximadamente\(t=5\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Escribe el\(n\) polinomio Taylor de grado th. para\(f(x)=2^x\) aproximadamente\(x=1\) en notación sigma.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Encuentra el polinomio Taylor de sexto grado de\(f(x)=x^2\log x+2x^2+5\) acerca de\(x=1\text{,}\) recordar que\(\log x\) es el logaritmo natural de\(x\text{,}\)\(\log_ex\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Dar el grado\(n\) th polinomio Maclaurin para\(\dfrac{1}{1-x}\) en notación sigma.

Etapa 3

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Calcular el polinomio Taylor de\(3\) grado rd-degree para\(f(x)=x^x\) aproximadamente\(x=1\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Use un polinomio Maclaurin de 5to grado\(6\arctan x\) para aproximarse\(\pi\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Escribe el\(100\) polinomio Taylor de grado th. para\(f(x)=x(\log x -1)\) aproximadamente\(x=1\) en notación sigma.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Escribe el\((2n)\) polinomio Taylor de grado th. para\(f(x)=\sin x\) aproximadamente\(x=\dfrac{\pi}{4}\) en notación sigma.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Estimar la suma a continuación

\[ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots +\frac{1}{157!} \nonumber \]

interpretándolo como un polinomio Maclaurin.

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Estimar la suma a continuación

\[ \sum_{k=0}^{100}\frac{(-1)^k}{2k!}\left(\frac{5\pi}{4}\right)^{2k} \nonumber \]

interpretándolo como un polinomio Maclaurin.

Ejercicios para § 3.4.6

Etapa 1

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

En la imagen de abajo, etiquete lo siguiente:

\[ f(x) \qquad f\left(x+\Delta x\right) \qquad \Delta x \qquad \Delta y \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

En este punto del libro, cada problema con la tarea te lleva unos 5 minutos. Usa los términos que aprendiste en esta sección para responder a la pregunta: si pasas 15 minutos más, ¿cuántos problemas más de tarea terminarás?

Etapa 2

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Let\(f(x)=\arctan x\text{.}\)

1. Usar una aproximación lineal para estimar\(f(5.1)-f(5)\text{.}\)
2. Usar una aproximación cuadrática para estimar\(f(5.1)-f(5)\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Al bucear en un acantilado desde\(x\) metros sobre el agua, tu velocidad a medida que golpeas el agua viene dada por

\[ s(x)=\sqrt{19.6x}\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{sec}} \nonumber \]

Tu última inmersión fue desde una altura de 4 metros.

1. Usa una aproximación lineal de\(\Delta y\) para estimar cuánto más rápido caerás al golpear el agua si saltas desde una altura de 5 metros.
2. Un buceador realiza tres saltos: el primero es de\(x\) metros, el segundo de\(x+\Delta x\) metros, y el tercero de\(x+2\Delta x\) metros, para algunos valores positivos fijos de\(x\) y\(\Delta x\text{.}\) Que es mayor: el aumento en la velocidad terminal del primer al segundo salto, o el aumento en la terminal velocidad del segundo al tercer salto?

Ejercicios para § 3.4.7

Etapa 1

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Vamos\(f(x)=7x^2-3x+4\text{.}\) Supongamos que medimos\(x\) para ser\(x_0 = 2\) pero que el valor real de\(x\) es\(x_0+\Delta x\text{.}\) Supongamos además que el error en nuestra medición es\(\Delta x = 1\text{.}\) Let\(\Delta y\) be el cambio en\(f(x)\) correspondiente a un cambio de\(\Delta x \) en Es\(x_0\text{.}\) decir,\(\Delta y = f\left(x_0+\Delta x\right)-f(x_0)\text{.}\)

Verdadero o falso:\(\Delta y = f'(2)(1)=25\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que la cantidad exacta que se supone que debes dar propina es de $5.83, pero aproximas y propinas $6. ¿Cuál es el error absoluto en tu propina? ¿Cuál es el porcentaje de error en tu propina?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Supongamos\(f(x)=3x^2-5\text{.}\) Si se mide\(x\) para ser\(10\text{,}\) pero su valor real es\(11\text{,}\) estimar el error resultante en el\(f(x)\) uso de la aproximación lineal, y luego la aproximación cuadrática.

Etapa 2

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Se está construyendo una pluma circular en una granja. La pluma debe contener metros\(A_0\) cuadrados, con un error no superior al 2%. Estimar el mayor porcentaje de error permisible en el radio.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Un círculo con radio 3 tiene un sector recortado de él. Es un sector más pequeño, no más de una cuarta parte del círculo. Quieres conocer la zona del sector.

1. Supongamos que el ángulo del sector es\(\theta\text{.}\) ¿Cuál es el área del sector?
2. Desafortunadamente, no tienes un trasportador, solo un gobernante. Entonces, se mide el acorde hecho por el sector (marcado\(d\) en el diagrama anterior). Qué es\(\theta\) en términos de\(d\text{?}\)
3. Supongamos que midió\(d=0.7\text{,}\) pero en realidad\(d=0.68\text{.}\) Estima el error absoluto en su cálculo del área eliminada.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Un tanque cónico, de pie en su extremo puntioso, tiene una altura de 2 metros y un radio de 0.5 metros. Estimar el cambio en el volumen del agua en el tanque asociado a un cambio en la altura del agua de 50 cm a 45 cm.

Etapa 3

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Una muestra comienza con precisión 1\(\mu\) g de un isótopo radiactivo, y después de 3 años se mide para tener 0.9\(\mu\) g restantes. Si esta medición es correcta dentro de 0.05\(\mu\) g, estime la precisión correspondiente de la vida media calculada con ella.

Ejercicios de subsubsección para § 3.4.8

Etapa 1

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\(f(x)\) es una función que aproximamos por\(F(x)\text{.}\) Más lejos, supongamos que\(f(10)=-3\text{,}\) mientras nuestra aproximación era\(F(10)=5\text{.}\) Let\(R(x)=f(x)-F(x)\text{.}\)

1. Verdadero o falso:\(|R(10)| \leq 7\)
2. Verdadero o falso:\(|R(10)| \leq 8\)
3. Verdadero o falso:\(|R(10)| \leq 9\)
4. Verdadero o falso:\(|R(10)| \leq 100\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(f(x)=e^x\text{,}\) y dejar\(T_3(x)\) ser el polinomio Maclaurin de tercer grado para\(f(x)\text{,}\)

\[ T_3(x)=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3!}x^3 \nonumber \]

Usa la Ecuación 3.4.33 para dar un límite razonable al error\(|f(2)-T_3(2)|\text{.}\) Luego, encuentra el error\(|f(2)-T_3(2)|\) usando una calculadora.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Deja\(f(x)= 5x^3-24x^2+ex-\pi^4\text{,}\) y deja\(T_5(x)\) ser el polinomio Taylor de quinto grado por\(f(x)\) aproximadamente\(x=1\text{.}\) Da la mejor encuadernación que puedas sobre el error\(|f(37)-T(37)|\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Tú y tu amigo ambos quieren aproximar\(\sin(33)\text{.}\) Tu amigo usa el polinomio Maclaurin de primer grado para\(f(x)=\sin x\text{,}\) mientras usas el polinomio Maclaurin de grado cero (constante) para\(f(x)=\sin x\text{.}\) ¿Quién tiene una mejor aproximación, tú o tu amigo?

Etapa 2

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Supongamos que una función\(f(x)\) tiene sexta derivada

\[ f^{(6)}(x)=\dfrac{6!(2x-5)}{x+3}. \nonumber \]

\(T_5(x)\)Déjese ser el polinomio Taylor de 5to grado durante\(f(x)\) aproximadamente\(x=11\text{.}\)

Dar un límite para el error\(|f(11.5)-T_5(11.5)|\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Dejar\(f(x)= \tan x\text{,}\) y dejar\(T_2(x)\) ser el polinomio de Taylor de segundo grado para\(f(x)\) aproximadamente\(x=0\text{.}\) Dar un límite razonable sobre el error\(|f(0.1)-T(0.1)|\) usando la Ecuación 3.4.33.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Dejar\(f(x)=\log (1-x)\text{,}\) y dejar\(T_5(x)\) ser el polinomio Maclaurin de quinto grado para\(f(x)\text{.}\) Usar la Ecuación 3.4.33 para dar un límite sobre el error\(|f\left(-\frac{1}{4}\right)-T_5\left(-\frac{1}{4}\right)|\text{.}\)

(Recordar\(\log x=\log_ex\text{,}\) el logaritmo natural de\(x\text{.}\))

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Dejar\(f(x)=\sqrt[5]{x}\text{,}\) y dejar\(T_3(x)\) ser el polinomio Taylor de tercer grado para\(f(x)\) aproximadamente\(x=32\text{.}\) Dar un límite en el error\(|f(30)-T_3(30)|\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Let

\[ f(x)= \sin\left(\dfrac{1}{x}\right), \nonumber \]

y dejar\(T_1(x)\) ser el polinomio Taylor de primer grado para\(f(x)\) aproximadamente\(x=\dfrac{1}{\pi}\text{.}\) Dar un límite sobre el error\(|f(0.01)-T_1(0.01)|\text{,}\) usando la Ecuación 3.4.33. Puedes dejar tu respuesta en términos de\(\pi\text{.}\)

Entonces, dar un límite razonable sobre el error\(|f(0.01)-T_1(0.01)|\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Dejar\(f(x)=\arcsin x\text{,}\) y dejar\(T_2(x)\) ser el polinomio de Maclaurin de segundo grado para\(f(x)\text{.}\) Dar un límite razonable sobre el error\(\left|f\left(\frac{1}{2}\right)-T_2\left(\frac{1}{2}\right)\right|\) usando la Ecuación 3.4.33. Cuál es el valor exacto del error\(\left|f\left(\frac{1}{2}\right)-T_2\left(\frac{1}{2}\right)\right|\text{?}\)

Etapa 3

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Let\(f(x)=\log(x)\text{,}\) and let\(T_n(x)\) be the\(n\) th-degree Taylor polinomio for\(f(x)\) about\(x=1\text{.}\) Usas\(T_n(1.1)\) para estimar\(\log (1.1)\text{.}\) Si tu estimación necesita tener un error de no más de\(10^{-4}\text{,}\) lo que es un valor aceptable de\(n\) usar?

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Dar una estimación del\(\sqrt[7]{2200}\) uso de un polinomio de Taylor. Su estimación debe tener un error de menos de 0.001.

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Utilice la Ecuación 3.4.33 para mostrar que

\[ \frac{4241}{5040}\leq\sin(1) \leq\frac{4243}{5040} \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

En esta pregunta, utilizamos el resto de un polinomio Maclaurin para aproximar\(e\text{.}\)

1. Escribe el polinomio Maclaurin de 4to grado\(T_4(x)\) de la función\(e^x\text{.}\)
2. Compute\(T_4(1)\text{.}\)
3. Usa tu respuesta de 3.4.11.14.b para concluir\(\dfrac{326}{120} \lt e \lt \dfrac{325}{119}\text{.}\)

Otros problemas para § 3.4

Etapa 1

Ejercicio\(\PageIndex{1}\) (✳)

Considerar una función\(f(x)\) cuyo polinomio Maclaurin de tercer grado es\(4 + 3x^2 + \frac{1}{2}x^3\text{.}\) Qué es\(f'(0)\text{?}\) Qué es\(f''(0)\text{?}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\) (✳)

Considerar una función\(h(x)\) cuyo polinomio Maclaurin de tercer grado es\(1+4x-\dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{2}{3}x^3\text{.}\) Qué es\(h^{(3)}(0)\text{?}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\) (✳)

El polinomio Taylor de tercer grado de\(h(x)\) aproximadamente\(x=2\) es\(3 + \dfrac{1}{2}(x-2) + 2(x-2)^3\text{.}\)

Qué es\(h'(2)\text{?}\) lo que es\(h''(2)\text{?}\)

Etapa 2

Ejercicio\(\PageIndex{4}\) (✳)

La función\(f(x)\) tiene la propiedad que\(f(3)=2,\ f'(3)=4\) y\(f''(3)=-10\text{.}\)

1. Utilice la aproximación lineal para\(f(x)\) centrarse en\(x=3\) para aproximar\(f(2.98)\text{.}\)
2. Utilice la aproximación cuadrática para\(f(x)\) centrarse en\(x=3\) para aproximar\(f(2.98)\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\) (✳)

Usa la línea tangente a la gráfica de\(y = x^{1/3}\) at\(x = 8\) para encontrar un valor aproximado para\(10^{1/3}\text{.}\) ¿La aproximación es demasiado grande o demasiado pequeña?

Ejercicio\(\PageIndex{6}\) (✳)

Estimar\(\sqrt{2}\) usando una aproximación lineal.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\) (✳)

Estimar\(\sqrt[3]{26}\) usando una aproximación lineal.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\) (✳)

Estimar\((10.1)^5\) usando una aproximación lineal.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\) (✳)

Estimar\(\sin\left(\dfrac{101\pi}{100}\right)\) usando una aproximación lineal. (Deja tu respuesta en términos de\(\pi\text{.}\))

Ejercicio\(\PageIndex{10}\) (✳)

Utilice una aproximación lineal para estimar\(\arctan(1.1)\text{,}\) usando\(\arctan 1 = \dfrac{\pi}{4}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\) (✳)

Usa una aproximación lineal para estimar\((2.001)^3\text{.}\) Escribe tu respuesta en la forma\(n/1000\) donde\(n\) es un entero.

Ejercicio\(\PageIndex{12}\) (✳)

Usando una aproximación lineal adecuada, estima\((8.06)^{2/3}\text{.}\) Da tu respuesta como una fracción en la que tanto el numerador como el denominador son enteros.

Ejercicio\(\PageIndex{13}\) (✳)

Encuentra el polinomio Taylor de tercer orden por\(f(x)=(1 - 3x)^{-1/3}\) alrededor\(x = 0\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\) (✳)

Considera una función\(f(x)\) que tiene\(f^{(3)}(x)=\dfrac{x}{22-x^2}\text{.}\) Mostrar que cuando aproximamos\(f(2)\) usando su polinomio Taylor de segundo grado en\(a=1\text{,}\) el valor absoluto del error es menor que\(\frac{1}{50}=0.02\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\) (✳)

Considera una función\(f(x)\) que tiene\(f^{(4)}(x)=\dfrac{\cos(x^2)}{3-x}\text{.}\) Mostrar que cuando aproximamos\(f(0.5)\) usando su polinomio Maclaurin de tercer grado, el valor absoluto del error es menor que\(\frac{1}{500}=0.002\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{16}\) (✳)

Considera una función\(f(x)\) que tiene\(f^{(3)}(x)=\dfrac{e^{-x}}{8+x^2}\text{.}\) Mostrar que cuando aproximamos\(f(1)\) usando su polinomio Maclaurin de segundo grado, el valor absoluto del error es menor que\(1/40\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{17}\) (✳)

1. Mediante el uso de una aproximación lineal apropiada para la\(f(x)=x^{1/3}\text{,}\) estimación\(5^{2/3}\text{.}\)
2. Mejora tu respuesta en 3.4.11.17.a haciendo una aproximación cuadrática.
3. Obtén una estimación de error para tu respuesta en 3.4.11.17.a (no solo comparando con la respuesta de tu calculadora para\(5^{2/3}\)).

Etapa 3

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

El polinomio Maclaurin de 4to grado para\(f(x)\) es

\[ T_4(x)=5x^2-9 \nonumber \]

Para qué sirve el polinomio Maclaurin de tercer grado\(f(x)\text{?}\)

Ejercicio\(\PageIndex{19}\) (✳)

La ecuación\(y^4+xy=x^2-1\) define\(y\) implícitamente como una función de\(x\) cerca del punto\(x=2,\ y=1\text{.}\)

1. Utilice la aproximación de la línea tangente en el punto dado para estimar el valor de\(y\) cuando\(x=2.1\text{.}\)
2. Utilice la aproximación cuadrática en el punto dado para estimar el valor de\(y\) cuando\(x=2.1\text{.}\)
3. Haga un boceto que muestre cómo la curva se relaciona con la línea tangente en el punto dado.

Ejercicio\(\PageIndex{20}\) (✳)

La ecuación\(x^4+y+xy^4=1\) define\(y\) implícitamente como una función de\(x\) cerca del punto\(x=-1, y=1\text{.}\)

1. Utilice la aproximación de la línea tangente en el punto dado para estimar el valor de\(y\) cuando\(x=-0.9\text{.}\)
2. Utilice la aproximación cuadrática en el punto dado para obtener otra estimación de\(y\) cuándo\(x=-0.9\text{.}\)
3. Haga un boceto que muestre cómo la curva se relaciona con la línea tangente en el punto dado.

Ejercicio\(\PageIndex{21}\) (✳)

Dada esa\(\log 10\approx 2.30259\text{,}\) estimación\(\log 10.3\) utilizando una aproximación de línea tangente adecuada. Da un límite superior e inferior para el error en tu aproximación usando una estimación de error adecuada.

Ejercicio\(\PageIndex{22}\) (✳)

Considerar\(f(x)=e^{e^x}\text{.}\)

1. Dar la aproximación lineal para\(f\) cerca\(x=0\) (llame a esto\(L(x)\)).
2. Dar la aproximación cuadrática para\(f\) cerca\(x=0\) (llame a esto\(Q(x)\)).
3. Demostrar que\(L(x) \lt Q(x) \lt f(x)\) para todos\(x \gt 0\text{.}\)
4. Encuentre un intervalo de longitud como máximo\(0.01\) que esté garantizado para contener el número\(e^{0.1}\text{.}\)