3.5: Optimización

Una aplicación importante del cálculo diferencial es encontrar el valor máximo (o mínimo) de una función. Esto a menudo encuentra aplicaciones del mundo real en problemas como los siguientes.

Ejemplo 3.5.1 Encerrando un paddock.

Un agricultor cuenta con 400m de materiales de cercado. ¿Cuál es el paddock rectangular más grande que se puede encerrar?

Solución Describiremos un enfoque general de este tipo de problemas en las Secciones 3.5.2 y 3.5.3 a continuación, pero aquí podemos tomar una puñalada para iniciar el problema.

• Comience definiendo las variables y sus unidades (más generalmente podríamos dibujar un cuadro también); deje que las dimensiones del paddock sean\(x\) por\(y\) metros.
• El área encerrada es entonces\(A m^2\) donde

  \ begin {align*} A &= x\ cdot y\ end {align*}

  En esta etapa no podemos aplicar el cálculo que hemos desarrollado ya que el área es función de dos variables y solo sabemos trabajar con funciones de una sola variable. Tenemos que eliminar una variable.
• Sabemos que el perímetro del rectángulo (y por lo tanto las dimensiones\(x\) y\(y\)) están limitados por la cantidad de materiales de cercado que el agricultor tiene a mano:

  \ begin {alinear*} 2x+2y &\ leq 400\\\ final {alinear*}

  y así tenemos

  \ begin {align*} y &\ leq 200-x\ end {align*} Claramente el área del paddock se maximiza cuando usamos todas las cercas posibles, así que

  \ comenzar {reunir*} y = 200-x\ fin {reunir*}

• Ahora sustituya esto de nuevo en nuestra expresión por el área

  \ begin {align*} A &= x\ cdot (200-x)\ end {align*}

  Como el área no puede ser negativa (y nuestras longitudes tampoco\(x,y\) pueden ser negativas), también debemos tener

  \ comenzar {reunir*} 0\ leq x\ leq 200\ fin {reunir*}

• Así, la cuestión del mayor paddock cerrado se convierte en el problema de encontrar el valor máximo de

  \ begin {align*} A &= x\ cdot (200-x) &\ text {sujeto a la restricción $0\ leq x\ leq 200$.} \ end {align*}

El ejemplo anterior es lo suficientemente simple como para que podamos determinar probablemente la respuesta por varios métodos diferentes. En general, necesitaremos métodos más sistemáticos para resolver problemas de la forma

Encuentra el valor máximo de\(y = f(x)\) sujeto a\(a \leq x \leq b\)

Para ello necesitamos examinar cómo se ve una función cerca de sus valores máximo y mínimo.

Maximas y Mínimas Locales y Globales

Empezamos preguntando:

Supongamos que el valor máximo (o mínimo) de\(f(x)\) es\(f(c)\) entonces de lo que nos dice eso\(c\text{?}\)

Observe que aún no hemos hecho muy precisas las ideas de máximo y mínimo. Por el momento piensa en máximo como “el mayor valor” y mínimo como “el valor más pequeño”.

Advertencia 3.5.2.

Es importante distinguir entre “el valor más pequeño” y “la magnitud más pequeña”. Por ejemplo, porque

\ comenzar {reunir*} -5\ lt -1\ fin {reunir*}

el número\(-5\) es menor que\(-1\text{.}\) Pero la magnitud de la\(-1\text{,}\) cual es\(|-1|=1\text{,}\) es menor que la magnitud de la\(-5\text{,}\) cual es\(|-5|=5\text{.}\) Así el número más pequeño en el conjunto\(\{-1, -5\}\) es\(-5\text{,}\) mientras que el número en el conjunto\(\{-1,-5\}\) que tiene la menor magnitud es \(-1\text{.}\)

Ahora volvamos a pensar en lo que sucede alrededor de un máximo. Supongamos que el valor máximo de\(f(x)\) es\(f(c)\text{,}\) entonces para todos los puntos “cercanos”, la función debería ser menor.

Considere la derivada de\(f'(c)\text{:}\)

\ begin {alinear*} f' (c) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {f (c+h) -f (c)} {h}. \ end {align*}

Dividir el límite anterior en los límites izquierdo y derecho:

• Considerar puntos a la derecha de\(x=c\text{,}\) Para todos\(h \gt 0\text{,}\)

  \ begin {align*} f (c+h) &\ le f (c) &\ text {lo que implica que}\\ f (c+h) -f (c) &\ le 0 &\ text {que también implica}\\ frac {f (c+h) -f (c)} {h} &\ le 0 &\ text {desde}\ frac {\ texto {negativo}}\ texto {positivo}} =\ texto {negativo}. \ end {align*}

  Pero ahora si\(h \to 0\) apretamos conseguimos

  \ begin {alinear*}\ lim_ {h\ a 0^+}\ frac {f (c+h) -f (c)} {h} &\ leq 0\ end {alinear*}

  (siempre que exista el límite).
• Considerar puntos a la izquierda de\(x=c\text{.}\) Para todos\(h \lt 0\text{,}\)

  \ begin {align*} f (c+h) &\ le f (c) &\ text {lo que implica que}\\ f (c+h) -f (c) &\ le 0 &\ text {que también implica}\\ frac {f (c+h) -f (c)} {h} &\ ge 0 &\ text {desde}\ frac {\ texto {negativo}}\ texto {negativo}} =\ texto {positivo}. \ end {align*}

  Pero ahora si\(h \to 0\) apretamos conseguimos

  \ begin {alinear*}\ lim_ {h\ a 0^-}\ frac {f (c+h) -f (c)} {h} &\ geq 0\ end {alinear*}

  (siempre que exista el límite).
• Entonces, si la derivada\(f'(c)\) existe, entonces los límites anteriores de derecha e izquierda deben estar de acuerdo, lo que obliga\(f'(c) = 0\text{.}\)

Así podemos concluir que

Si el valor máximo de\(f(x)\) es\(f(c)\) y\(f'(c)\) existe, entonces\(f'(c)=0\text{.}\)

Usando razonamiento similar también se puede ver que

Si el valor mínimo de\(f(x)\) es\(f(c)\) y\(f'(c)\) existe, entonces\(f'(c)=0\text{.}\)

Observe dos cosas sobre el razonamiento anterior:

• En primer lugar, para que el argumento funcione solo necesitamos eso\(f(x) \lt f(c)\) para\(x\) cerca de\(c\) — no importa lo que suceda para\(x\) valores lejos de\(c\text{.}\)
• En segundo lugar, en el argumento anterior necesitábamos considerar\(f(x)\)\(x\) tanto a la izquierda como a la derecha de\(c\text{.}\) Si la función\(f(x)\) se define en un intervalo cerrado\([a,b]\text{,}\) entonces el argumento anterior solo se aplica cuando\(a \lt c \lt b\) — no cuando\(c\) es cualquiera de los puntos finales \(a\)y\(b\text{.}\)

Considere la función a continuación

Esta función tiene solo 1 valor máximo (el punto verde medio en la gráfica) y 1 valor mínimo (el punto azul más a la derecha), sin embargo tiene 4 puntos en los que la derivada es cero. En los pequeños intervalos alrededor de esos puntos donde la derivada es cero, podemos ver que la función es localmente un máximo o mínimo, aunque no sea el máximo o mínimo global. Claramente hay que ser más cuidadosos al distinguir entre estos casos.

Definición 3.5.3.

Dejar\(a\le b\) y dejar que la función\(f(x)\) se defina para todos\(x \in [a,b]\text{.}\) Ahora vamos\(a \leq c \leq b\text{,}\) entonces

• Decimos que\(f(x)\) tiene un mínimo global (o absoluto) en\(x=c\) si\(f(x)\ge f(c)\) para todos\(a\le x\le b\text{.}\)
• De igual manera, decimos que\(f(x)\) tiene un máximo global (o absoluto) en\(x=c\) si\(f(x)\le f(c)\) para todos\(a\le x\le b\text{.}\)

Ahora vamos\(a \lt c \lt b\) (tenga en cuenta las desigualdades estrictas), entonces

• Decimos que\(f(x)\) tiene un mínimo local en\(x=c\) si hay\(a'\) y\(b'\) obedeciendo\(a\le a' \lt c \lt b'\le b\) tal que\(f(x)\ge f(c)\) para todos\(x\) obedeciendo\(a' \lt x \lt b'\text{.}\) Tenga en cuenta las estrictas desigualdades en\(a' \lt c \lt b'\text{.}\)
• De igual manera, decimos que\(f(x)\) tiene un máximo local en\(x=c\) si los hay\(a'\) y\(b'\) obedeciendo de\(a\le a' \lt c \lt b'\le b\) tal manera que\(f(x)\le f(c)\) para todos\(x\) obedeciendo\(a' \lt x \lt b'\text{.}\) Tenga en cuenta las estrictas desigualdades en\(a' \lt c \lt b'\text{.}\)

Los máximos y mínimos globales de una función se denominan los extremos globales de la función, mientras que los máximos y mínimos locales se denominan extremos locales.

Consideremos nuevamente la función que mostramos en la figura anterior

Cuenta con 2 máximos locales y 2 mínimos locales. El máximo global ocurre en el punto verde medio (que también es un máximo local), mientras que el mínimo global ocurre en el punto azul más a la derecha (que no es un mínimo local).

Usando la definición anterior podemos resumir lo que hemos aprendido anteriormente como el siguiente teorema ¹:

Teorema 3.5.4.

Si una función\(f(x)\) tiene un máximo local o un mínimo local en\(x=c\) y si\(f'(c)\) existe, entonces\(f'(c)=0\text{.}\)

• A menudo es (pero no siempre) el caso que, cuando\(f(x)\) tiene un máximo local en\(x=c\text{,}\) la función\(f(x)\) aumenta estrictamente a medida que\(x\) se acerca\(c\) desde la izquierda y disminuye estrictamente como\(x\) deja\(c\) a la derecha. Es decir,\(f'(x) \gt 0\) por\(x\) sólo a la izquierda de\(c\) y\(f'(x) \lt 0\) por\(x\) sólo a la derecha de\(c\text{.}\) Entonces, suele ser así, porque\(f'(x)\) va disminuyendo a medida que\(x\) aumenta a través de\(c\text{,}\) eso\(f''(c) \lt 0\text{.}\)
• Por el contrario, si\(f'(c)=0\) y\(f''(c) \lt 0\text{,}\) entonces, justo a la derecha de\(c\)\(f'(x)\) debe ser negativo, así que eso\(f(x)\) es decreciente, y justo a la izquierda de\(c\)\(f'(x)\) debe ser positivo, por lo que eso\(f(x)\) va en aumento. Así que\(f(x)\) tiene un máximo local en\(c\text{.}\)
• Del mismo modo, suele darse el caso de que, cuando se\(f(x)\) tiene un mínimo local en\(x=c\text{,}\)\(f'(x) \lt 0\) para\(x\) sólo a la izquierda de\(c\) y\(f'(x) \gt 0\) para\(x\) sólo a la derecha de\(c\) y\(f''(x) \gt 0\text{.}\)
• Por el contrario, si\(f'(c)=0\) y\(f''(c) \gt 0\text{,}\) entonces, justo a la derecha de\(c\)\(f'(x)\) debe ser positivo, así que eso\(f(x)\) va en aumento, y, justo a la izquierda de\(c\)\(f'(x)\) debe ser negativo, por lo que\(f(x)\) es decreciente. Así que\(f(x)\) tiene un mínimo local en\(c\text{.}\)

Teorema 3.5.5.

Si\(f'(c)=0\) y\(f''(c) \lt 0\text{,}\) luego\(f(x)\) tiene un máximo local en\(c\text{.}\)

Si\(f'(c)=0\) y\(f''(c) \gt 0\text{,}\) luego\(f(x)\) tiene un mínimo local en\(c\text{.}\)

Tenga en cuenta las estrictas desigualdades.

Teorema 3.5.4 dice que, cuando\(f(x)\) tiene un máximo o mínimo local en\(x=c\text{,}\) hay dos posibilidades.

• La derivada\(f'(c)=0\text{.}\) Este caso se ilustra en la siguiente figura.

  

  Observe que, en este ejemplo,\(f'(x)\) cambia continuamente de negativo a positivo en el mínimo local, tomando el valor cero en el mínimo local (el punto rojo).

• El derivado\(f'(c)\) no existe. Este caso se ilustra en la siguiente figura.
  

  

  Observe que, en este ejemplo,\(f'(x)\) cambia discontinuamente de negativo a positivo en el mínimo local (\(x=0\)) y\(f'(0)\) no existe.

Este teorema demuestra que son muy importantes los puntos en los que la derivada es cero o no existe. Se simplifica la discusión que sigue si damos nombres a estos puntos.

Definición 3.5.6.

Dejar\(f(x)\) ser una función y dejar\(c\) ser un punto en su dominio. Entonces

• si\(f'(c)\) existe y es cero llamamos\(x=c\) punto crítico de la función, y
• si\(f'(c)\) no existe entonces llamamos\(x=c\) un punto singular de la función.

Advertencia 3.5.7.

Tenga en cuenta que algunas personas (y textos) combinarán ambos casos y llamarán a\(x=c\) un punto crítico cuando o bien la derivada es cero o no existe. El lector debe ser consciente de la falta de convención sobre este punto ² y debe tener cuidado de entender si se está utilizando la definición más inclusiva de punto crítico, o si el texto está utilizando la definición más precisa que distingue los puntos críticos y singulares.

Ahora veremos algunos ejemplos simples que involucran máximos y mínimos locales, puntos críticos y puntos singulares. Entonces pasaremos a máximos y mínimos globales.

Ejemplo 3.5.8 Local max y min de\(x^3-6x\).

En este ejemplo, buscaremos máximos y mínimos locales de la función\(f(x) = x^3-6x\) en el intervalo\(-2\le x\le 3\text{.}\)

• Primero computar la derivada

  \ begin {align*} f' (x) &= 3x^2-6. \ end {align*}

  Al tratarse de un polinomio se define en todas partes del dominio y así no habrá ningún punto singular. Por lo que ahora buscamos puntos críticos.
• Para ello buscamos ceros de la derivada

  \ begin {alinear*} f' (x) &= 3x^2-6 = 3 (x^2-2) = 3 (x-\ sqrt {2}) (x+\ sqrt {2}). \ end {align*}

  Esta derivada toma el valor\(0\) en dos valores diferentes de\(x\text{.}\) A saber\(x=c_-=-\sqrt{2}\) y\(x=c_+=\sqrt{2}\text{.}\) Aquí hay un boceto de la gráfica de\(f(x)\text{.}\)

  

  De la figura vemos que

  • \(f(x)\)tiene un mínimo local en\(x=c_+\) (es decir, tenemos\(f(x)\ge f(c_+)\) siempre que\(x\) esté cerca\(c_+\)) y
  • \(f(x)\)tiene un máximo local en\(x=c_-\) (es decir, tenemos\(f(x)\le f(c_-)\) siempre que\(x\) esté cerca de\(c_-\)) y
  • el mínimo global de\(f(x)\text{,}\) for\(x\) en el intervalo\(-2\le x\le 3\text{,}\) es at\(x=c_+\) (es decir, tenemos\(f(x)\ge f(c_+)\) siempre que\(-2\le x\le 3\)) y
  • el máximo global de\(f(x)\text{,}\) for\(x\) en el intervalo\(-2\le x\le 3\text{,}\) es at\(x=3\) (es decir, tenemos\(f(x)\le f(3)\) siempre que\(-2\le x\le 3\)).
• Tenga en cuenta que hemos construido cuidadosamente este ejemplo para ilustrar que el máximo (o mínimo) global de una función en un intervalo puede o no ser también un máximo (o mínimo) local de la función.

Ejemplo 3.5.9 Local max y min de\(x^3\).

En este ejemplo, buscaremos máximos y mínimos locales de la función\(f(x) = x^3\) en el intervalo\(-1\le x\le 1\text{.}\)

• Primero computa la derivada:

  \ begin {align*} f' (x) &= 3x^2. \ end {align*}

  Nuevamente, este es un polinomio y así definido en todo el dominio. La función no tendrá puntos singulares, pero puede tener puntos críticos.
• La derivada es cero solo cuando\(x=0\text{,}\) así\(x=c=0\) es el único punto crítico de la función.
• La gráfica de\(f(x)\) se esboza a continuación. De ese boceto vemos que no\(f(x)\) tiene ni un máximo local ni un mínimo local\(x=c\) a pesar de que\(f'(c)=0\) — tenemos\(f(x) \lt f(c)=0\) para todos\(x \lt c=0\) y\(f(x) \gt f(c)=0\) para todos\(x \gt c=0\text{.}\)
  

  

• Tenga en cuenta que este ejemplo se ha construido para ilustrar que un punto crítico (o punto singular) de una función no necesita ser un máximo o mínimo local para la función.
• Teorema de releer 3.5.4. Dice ³. eso, “si\(f(x)\) tiene un máximo/mínimo local en\(x=c\) y si\(f\) es diferenciable en\(x=c\text{,}\) ese entonces\(f'(c)=0\)”. No dice que “si\(f'(c)=0\) entonces\(f\) tiene un máximo/mínimo local en\(x=c\)”.

Ejemplo 3.5.10 Local max y min de\(|x|\).

En este ejemplo, buscaremos máximos y mínimos locales de la función

\ begin {align*} f (x) = |x| =\ begin {cases} x &\ text {si} x\ ge 0\\ -x &\ texto {si} x\ lt 0\ end {cases}\ end {align*}

en el intervalo\(-1\le x\le 1\text{.}\)

• Nuevamente, comience por computar la derivada (releer Ejemplo 2.2.10):

  \ begin {align*} f' (x) =\ begin {cases} 1 &\ text {if} x\ gt 0\\\ text {undefined} &\ text {if} x = 0\\ -1 &\ text {si} x\ lt 0\ end {cases}\ end {cases}\ end {align*}

• Esta derivada nunca toma el valor\(0\text{,}\) por lo que la función no tiene ningún punto crítico. Sin embargo la derivada no existe en el punto\(x=0\text{,}\) por lo que ese punto es un punto singular.
• Aquí hay un boceto de la gráfica de\(f(x)\text{.}\)

  

  De la cifra vemos que\(f(x)\) tiene un mínimo local (y de hecho global) a\(x=0\) pesar de que no\(f'(0)\) es un punto crítico.

• Vuelva a leer Teorema 3.5.4. Dice que, “si\(f(x)\) tiene un máximo/mínimo local en\(x=c\) y si\(f\) es diferenciable en\(x=c\), entonces\(f'(c)=0\)”. No dice nada sobre lo que sucede en puntos donde el derivado no existe. En efecto, es por eso que tenemos que considerar tanto los puntos críticos como los puntos singulares cuando buscamos máximos y mínimos.

Encontrar máximos y mínimos globales

Ahora contamos con una técnica para encontrar máximos y mínimos locales —basta con buscar valores\(x\) para los cuales existe\(f'(x)=0\) o\(f'(x)\) no existe. ¿Qué hay de encontrar máximos y mínimos globales? Comenzaremos por afirmar explícitamente que, bajo hipótesis apropiadas, se garantiza la existencia de máximos y mínimos globales.

Teorema 3.5.11.

Deje que la función\(f(x)\) sea definida y continua en el intervalo cerrado y finito ⁴

\(-\infty \lt a\le x\le b \lt \infty\text{.}\)Después\(f(x)\) alcanza un máximo y un mínimo al menos una vez. Es decir, existen números\(a\le x_m, x_M\le b\) tales que

\ comenzar {reunir*} f (x_m)\ le f (x)\ le f (x_m)\ qquad\ texto {para todos} a\ le x\ le b\ fin {reunir*}

Entonces volvamos a considerar la pregunta

Supongamos que el valor máximo (o mínimo) de\(f(x)\text{,}\) for\(a\le x\le b\text{,}\) es\(f(c)\text{.}\) ¿Qué nos dice eso sobre\(c\text{?}\)

Si\(c\) obedece\(a \lt c \lt b\) (tenga en cuenta las desigualdades estrictas), entonces\(f\) tiene un máximo local (o mínimo) en\(x=c\) y el Teorema 3.5.4 nos dice que cualquiera\(f'(c)=0\) o\(f'(c)\) no existe. El único otro lugar en el que puede ocurrir un máximo o mínimo son al final del intervalo. Podemos resumir esto como:

Teorema 3.5.12.

Si\(f(x)\) tiene un máximo global o mínimo global, pues\(a\le x\le b\text{,}\) en\(x=c\) ese entonces hay 3 posibilidades. O bien

• \(f'(c)=0\text{,}\)o
• \(f'(c)\)no existe, o
• \(c=a\)o\(c=b\text{.}\)

Es decir, un máximo o mínimo global debe ocurrir ya sea en un punto crítico, un punto singular o en los puntos finales del intervalo.

Este teorema proporciona la base de un método para encontrar los valores máximos y mínimos de\(f(x)\) for\(a\le x\le b\text{:}\)

Corolario 3.5.13.

Dejar\(f(x)\) ser una función en el intervalo\(a \leq x \leq b\text{.}\) Entonces para encontrar el máximo y mínimo global de la función:

• Hacer una lista de todos los valores de\(c\text{,}\) con\(a\le c\le b\text{,}\) para los cuales
  • \(f'(c)=0\text{,}\)o
  • \(f'(c)\)no existe, o
  • \(c=a\)o\(c=b\text{.}\)

  Es decir, computar la función en todos los puntos críticos, puntos singulares y puntos finales.

• Evaluar\(f(c)\) para cada uno\(c\) en esa lista. El mayor (o menor) de esos valores es el valor más grande (o más pequeño) de\(f(x)\) for\(a\le x\le b\text{.}\)

Demostremos ahora cómo usar esta estrategia. La función en este primer ejemplo no es demasiado simple — pero es un buen ejemplo de una función que contiene tanto un punto singular como un punto crítico.

Ejemplo 3.5.14 Encontrar max y min de\(2x^{5/3}+3x^{2/3}\).

Encuentra los valores más grandes y más pequeños de la función\(f(x)=2x^{5/3}+3x^{2/3}\) para\(-1\le x\le 1\text{.}\)

Solución Aplicaremos el método en Corolario 3.5.13. Quizás sea más fácil encontrar los valores en los puntos finales de los intervalos y luego pasar a los valores en cualquier punto crítico o singular.

• Antes de entrar en las cosas, observe que podemos reescribir la función factorizándola:

  \ begin {align*} f (x) &= 2x^ {5/3} +3x^ {2/3} = x^ {2/3}\ cdot\ izquierda (2x + 3\ derecha)\ end {align*}

• Vamos a calcular la función en los puntos finales del intervalo:

  \ begin {align*} f (1) &= 2 +3 = 5\\ f (-1) &= 2\ cdot (-1) ^ {5/3} + 3\ cdot (-1) ^ {2/3} =-2 + 3 = 1\ end {align*}

• Para calcular la función en los puntos críticos y singulares primero necesitamos encontrar la derivada:

  \ begin {align*} f' (x) &= 2\ cdot\ frac {5} {3} x^ {2/3} + 3\ cdot\ frac {2} {3} x^ {-1/3}\\ &=\ frac {10} {3} x^ {2/3} + 2 x^ {-1/3}\\ &=\ frac {10 x + 6} {3 x^ {1/3}}\ final {alinear*}

• Observe que el numerador y el denominador están definidos para todos\(x\text{.}\) El único lugar donde la derivada está indefinida es cuando el denominador es cero. De ahí que el único punto singular esté en\(x=0\text{.}\) El valor de la función correspondiente es

  \ begin {align*} f (0) &= 0\ end {align*}

• Para encontrar los puntos críticos que necesitamos resolver\(f'(x) = 0\text{:}\)

  \ begin {align*} 0 &=\ frac {10 x + 6} {3 x^ {1/3}}\ end {align*}

  De ahí que debemos tener\(10x=-6\) o\(x=-3/5\text{.}\) El valor de la función correspondiente es

  \ begin {align*} f (x) &= x^ {2/3}\ cdot\ izquierda (2x + 3\ derecha) &\ text {recuerda esto desde arriba, luego}\\ f (-3/5) &= (-3/5) ^ {2/3}\ cdot\ izquierda (2\ cdot\ frac {-3} {5} + 3\ derecha)\\ &=\ izquierda (\ frac {9} {25}\ derecha) ^ {1/3}\ cdot\ frac {-6 + 15} {5}\\ &=\ izquierda (\ frac {9} {25}\ derecha) ^ {1/3}\ cdot\ frac {9} {5}\ aprox 1.28 \ end {align*}

  Tenga en cuenta que si no queremos aproximar la raíz (si, por ejemplo, no tenemos una calculadora a mano), entonces también podemos escribir

  \ begin {alinear*} f (-3/5) &=\ izquierda (\ frac {9} {25}\ derecha) ^ {1/3}\ cdot\ frac {9} {5}\\ &=\ izquierda (\ frac {9} {25}\ derecha) ^ {1/3}\ cdot\ frac {9} {25}\ cdot 5\ &= 5\ cdot izquierda\ (\ frac {9} {25}\ derecha) ^ {4/3}\ final {alinear*}

  Ya que\(0 \lt 9/25 \lt 1\text{,}\) sabemos eso\(0 \lt \left( \frac{9}{25} \right)^{4/3} \lt 1\text{,}\) y por lo tanto

  \ begin {reunir*} 0\ lt f (-3/5) = 5\ cdot\ izquierda (\ frac {9} {25}\ derecha) ^ {4/3}\ lt 5. \ end {reunir*}

• Resumimos nuestro trabajo en esta tabla

  \(c\)	\(-\frac{3}{5}\)	\(0\)	\(-1\)	\(1\)
  tipo	punto crítico	punto singular	punto final	punto final
  \(f(c)\)	\(\frac{9}{5}\root{3}\of{\frac{9}{25}}\approx 1.28\)	\(0\)	\(1\)	\(5\)

• El valor más grande de\(f\) en la tabla es\(5\) y el valor más pequeño de\(f\) en la tabla es\(0\text{.}\)
• Así, en el intervalo\(-1\leq x \leq 1\) el máximo global de\(f\) es\(5\text{,}\) y se toma en\(x=1\text{,}\) mientras que el valor mínimo global de\(f(x)\) es\(0\text{,}\) y se toma en\(x=0\text{.}\)
• Para completar también esbozamos la gráfica de esta función en el mismo intervalo.

  

  Posteriormente (en la Sección 3.6) veremos cómo construir un boceto de este tipo sin usar una calculadora o computadora.

Ejemplos Máximo/Mín

Como se señaló al inicio de esta sección, el problema de encontrar máximos y mínimos es una aplicación muy importante del cálculo diferencial en el mundo real. Pasamos ahora a una serie de ejemplos de este proceso. Pero para guiar al lector describiremos un procedimiento general a seguir para estos problemas.

1. Lee — lee el problema con atención. Averiguar qué información se da en el enunciado del problema y qué se nos pide que computemos.
2. Diagrama — dibujar un diagrama. Esto normalmente te ayudará a identificar lo que sabes sobre el problema y qué cantidades necesitas calcular.
3. Variables — asignar variables a las cantidades en el problema junto con sus unidades. Por lo general, es una buena idea tomar decisiones sensatas de nombres de variables:\(A\)\(h\) para área, para altura,\(t\) para tiempo etc.
4. Relaciones — encontrar relaciones entre las variables. A estas alturas ya deberías conocer la cantidad que nos interesa (la que queremos maximizar o minimizar) y necesitamos establecer una relación entre ésta y las demás variables.
5. Reducir — la relación hacia abajo a una función de una variable. Para aplicar el cálculo que conocemos, debemos tener una función de una sola variable. Para ello necesitamos usar toda la información que tenemos para eliminar variables. También debemos trabajar el dominio de la función resultante.
6. Maximizar o minimizar — ahora podemos aplicar los métodos del Corolario 3.5.13 para encontrar el máximo o mínimo de la cantidad que necesitamos (como dicta el problema).
7. Ten cuidado, asegúrate de que tu respuesta tenga sentido. Asegúrese de que las cantidades sean físicas. Por ejemplo, las longitudes y áreas no pueden ser negativas.
8. Responde la pregunta — asegúrate de que tu respuesta realmente responda a la pregunta que se hizo en el problema.

Empecemos con un problema relativamente simple:

Ejemplo 3.5.15 Construyendo un contenedor de volumen máximo.

Un contenedor rectangular cerrado con base cuadrada debe estar hecho de dos materiales diferentes. El material para la base cuesta $5 por metro cuadrado, mientras que el material para los otros cinco lados cuesta $1 por metro cuadrado. Encuentre las dimensiones del contenedor que tenga el mayor volumen posible si el costo total de los materiales es de $72.

Solución Podemos seguir los pasos que describimos anteriormente para encontrar la solución.

• Necesitamos determinar el área de los dos tipos de materiales utilizados y el costo total correspondiente.
• Dibuja una imagen de la caja.

  

  La imagen más útil es la caja desplegada a la derecha.

• En la imagen ya hemos introducido dos variables. La base cuadrada tiene\(b\) metros de longitud lateral y tiene\(h\) metros de altura. Que el área de la base sea\(A_b\) y el área de los otros cincos lados sea\(A_s\) (ambos adentro\(m^2\)), y el costo total sea\(C\) (en dólares). Finalmente, deje que el volumen encerrado sea\(V m^3\text{.}\)
• Alguna geometría simple nos dice que

  \ begin {alinear*} a_B &= b^2\\ a_s &= 4 bh + b^2\\ V &= b^2h\\ C &= 5\ cdot a_B + 1\ cdot a_S = 5b^2+4bh+b^2 = 6b^2+4bh. \ end {align*}

• Para eliminar una de las variables utilizamos el hecho de que el costo total es de $72.

  \ begin {align*} C &= 6b^2+4bh = 72 &\ texto {reorganizar}\\ 4bh &= 72-6b^2 &\ texto {aislar} h\\ h &=\ frac {72-6b^2} {4b} =\ frac {3} {2}\ cdot\ frac {12-b^2} * {b}\ end {align*}

  Sustituyendo esto en el volumen da

  \ begin {alinear*} V&= b^2 h =\ frac {3b} {2} (12-b^2) = 18b -\ frac {3} {2} b^3\ end {align*}

  Ahora tenga en cuenta que como\(b\) es un largo no puede ser negativo, así que\(b \geq 0\text{.}\) además ya que el volumen no puede ser negativo, también debemos tener

  \ comenzar {reunir*} 12-b^2\ geq 0\ end {reunir*}

  y así\(b \leq \sqrt{12}\text{.}\)
• Ahora podemos aplicar el Corolario 3.5.13 sobre la expresión anterior para el volumen con\(0 \leq b \leq \sqrt{12}\text{.}\) Los puntos finales dan:

  \ begin {align*} V (0) &= 0\\ V (\ sqrt {12}) &= 0\ end {align*}

  El derivado es

  \ begin {align*} V' (b) &= 18 -\ frac {9b^2} {2}\ end {align*}

  Al tratarse de un polinomio no hay puntos singulares. Sin embargo podemos resolver\(V'(b) = 0\) para encontrar puntos críticos:

  \ begin {align*} 18 -\ frac {9b^2} {2} &= 0 &\ text {divide por 9 y multiplica por 2}\\ 4 - b^2 &= 0\ end {align*}

  Por\(b = \pm 2\text{.}\) lo tanto, el único punto crítico en el dominio es\(b=2\text{.}\) El volumen correspondiente es

  \ begin {align*} V (2) &= 18\ tiempos2 -\ frac {3} {2}\ times 2^3\\ &= 36 - 12 = 24. \ end {align*}

  Entonces por Corolario 3.5.13, el volumen máximo es cuando 24 cuando\(b=2\) y

  \ begin {align*} h &=\ frac {3} {2}\ cdot\ frac {12-b^2} {b} =\ frac {3} {2}\ frac {12-4} {2} = 6. \ end {align*}

• Todas nuestras cantidades tienen sentido; longitudes, áreas y volúmenes no son negativos.
• Comprobando nuevamente la pregunta, vemos que se nos piden las dimensiones del contenedor (en lugar de su volumen) para que podamos responder con

  El contenedor con dimensiones\(2 \times 2 \times 6m\) será el más grande posible.

Ejemplo 3.5.16 Construyendo otra caja.

Una hoja rectangular de cartón mide 6 pulgadas por 9 pulgadas. Cuatro cuadrados idénticos se cortan de las esquinas del cartón, como se muestra en la figura de abajo, y la pieza restante se pliega en una caja rectangular abierta. ¿Cuál debe ser el tamaño de los cuadrados recortados para maximizar el volumen de la caja?

Solución Esta es bastante similar a la anterior, así que quizás no necesitemos entrar en tantos detalles.

• Después de leer detenidamente producimos la siguiente imagen:

  

• Deje que la altura de la caja sea\(x\) pulgadas, y la base sea\(\ell \times w\) pulgadas. El volumen de la caja es entonces pulgadas\(V\) cúbicas.
• Alguna geometría simple nos dice eso\(\ell = 9-2x, w=6-2x\) y así

  \ begin {alinear*} V &= x (9-2x) (6-2x)\ text {pulgadas cúbicas}\\ &= 54x-30x^2+4x^3. \ end {align*}

  Observe que dado que todas las longitudes deben ser no negativas, debemos tener

  \ comenzar {reunir*} x,\ ell, w\ geq 0\ end {reunir*}

  y así\(0 \leq x \leq 3\) (si\(x \gt 3\) entonces\(w \lt 0\)).
• Ya podemos aplicar Corolario 3.5.13. Primero los puntos finales del intervalo dan

  \ begin {align*} V (0) &= 0 & V (3) &= 0\ end {align*}

  El derivado es

  \ begin {align*} V' (x) &= 54 - 60x +12x^2\\ &= 6 (9-10x+2x^2)\ end {align*}

  Al tratarse de un polinomio no hay puntos singulares. Para encontrar puntos críticos resolvemos\(V'(x) = 0\) para obtener

  \ begin {align*} x_\ pm &=\ frac {10\ pm\ sqrt {100 - 4\ tiempos2\ tiempos9}} {4}\\ &=\ frac {10\ pm\ sqrt {28}} {4} =\ frac {10\ pm 2\ sqrt {7}} {4} =\ frac {5\ pm\ sqrt {7}} {2}\ end {alinear*}

  Luego podemos usar una calculadora para aproximar

  \ begin {align*} x_+ &\ approx 3.82 & x_- &\ approx 1.18. \ end {align*}

  Así\(x_-\) es dentro del dominio, mientras que\(x_+\) yace afuera.

  Alternativamente ⁵, podemos obligarnos\(x_\pm\) señalando primero que\(2 \leq \sqrt{7} \leq 3\text{.}\) De esto sabemos que

  \ begin {alinear*} 1=\ frac {5-3} {2} &\ leq x_- =\ frac {5 -\ sqrt {7}} {2}\ leq\ frac {5-2} {2} = 1.5\\ 3.5=\ frac {5+2} {2} &\ leq x_+ =\ frac {5 +\ sqrt {7}} {2}\ leq\ frac {5+3} {2} = 4\ final {alinear*}

• Ya que el volumen es cero cuando\(x=0,3\text{,}\) debe darse el caso de que el volumen se maximice cuando\(x = x_- = \frac{5 - \sqrt{7}}{2}\text{.}\)
• Observe que ya que\(0 \lt x_- \lt 3\) sabemos que las otras longitudes son positivas, entonces nuestra respuesta tiene sentido. Además, la pregunta sólo pide la longitud\(x\) y no el volumen resultante por lo que hemos respondido a la pregunta.

Hay una nueva arruga en los siguientes dos ejemplos. Cada uno implica encontrar el valor mínimo de una función\(f(x)\) con\(x\) atropellar todos los números reales, en lugar de solo sobre un intervalo finito como en Corolario 3.5.13. Tanto en el Ejemplo 3.5.18 como en el Ejemplo 3.5.19 la función\(f(x)\)\(x\) tiende a\(+\infty\) como tiende a cualquiera\(+\infty\) o\(-\infty\text{.}\) Así el valor mínimo de se\(f(x)\) logrará para algún valor finito del\(x\text{,}\) cual será un mínimo local así como un mínimo global.

Teorema 3.5.17.

Dejar\(f(x)\) ser definido y continuo para todos\(-\infty \lt x \lt \infty\text{.}\) Dejar\(c\) ser un número real finito.

1. Si\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)=+\infty\)\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)=+\infty\) y si\(f(x)\) tiene un mínimo global en\(x = c\text{,}\) entonces hay 2 posibilidades. O bien
   • \(f'(c) = 0\text{,}\)o
   • \(f'(c)\)no existe

   Es decir, un mínimo global debe ocurrir ya sea en un punto crítico o en un punto singular.

2. Si\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)=-\infty\)\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)=-\infty\) y si\(f(x)\) tiene un máximo global en\(x = c\text{,}\) entonces hay 2 posibilidades. O bien
   • \(f'(c) = 0\text{,}\)o
   • \(f'(c)\)no existe

   Es decir, un máximo global debe ocurrir ya sea en un punto crítico o en un punto singular.

Ejemplo 3.5.18 Qué tan lejos de un punto a una línea.

Encuentra el punto en la línea\(y=6-3x\) que está más cerca del punto\((7,5)\text{.}\)

Solución En este problema

• Una imagen simple

  

• Ya se nos ha dado alguna notación. Que un punto en la línea tenga coordenadas\((x,y)\text{,}\) y no necesitamos unidades. Y deja\(\ell\) ser la distancia del punto\((x,y)\) al punto\((7,5)\text{.}\)
• Dado que los puntos están en la línea las coordenadas\((x,y)\) deben obedecer

  \ begin {reunir*} y=6-3x\ end {reunir*}

  Observe eso\(x\) y no\(y\) tenga más restricciones. La distancia\(\ell\) viene dada por

  \ begin {align*}\ ell^2 &= (x-7) ^2 + (y-5) ^2\ end {align*}

• Ahora podemos eliminar la variable\(y\text{:}\)

  \ begin {alinear*}\ ell^2 &= (x-7) ^2 + (y-5) ^2\\ &= (x-7) ^2 + (6-3x-5) ^2 = (x-7) ^2 + (1-3x) ^2\\ &= x^2-14x+49 + 1-6x+9x^2 = 10x^2-20x+50\\ &= 10 (x^2-2x+5)\\\ ell &=\ sqrt {10}\ cdot\ sqrt {x^2-2x+5}\ end {alinear*}

  Observe que como\(x \to \pm \infty\) la distancia\(\ell \to +\infty\text{.}\)
• Ya podemos aplicar Teorema 3.5.17
  • Ya que la distancia está definida para todos los reales no\(x\text{,}\) tenemos que verificar los endpoints del dominio — no hay ninguno.
  • Formar el derivado:

    \ begin {alinear*}\ dfrac {d\ ell} {dx} &=\ sqrt {10}\ frac {2x-2} {2\ sqrt {x^2-2x+5}}\ end {alinear*}

    Es cero cuando\(x=1\text{,}\) e indefinido si\(x^2-2x+5 \lt 0\text{.}\) Sin embargo, ya que

    \ begin {alinear*} x^2-2x+5 &= (x^2-2x+1) +4 =\ underbrackets {(x-1) ^2} _ _ {\ geq0} +4\ end {alinear*}

    sabemos que\(x^2-2x+5 \geq 4\text{.}\) Así la función no tiene puntos singulares y el único punto crítico ocurre en\(x=1\text{.}\) El valor de la función correspondiente es entonces

    \ begin {align*}\ ell (1) &=\ sqrt {10}\ sqrt {1-2+5} = 2\ sqrt {10}. \ end {align*}

  • Así, el valor mínimo de la distancia es\(\ell=2\sqrt{10}\) y ocurre en\(x=1\text{.}\)
• Esta respuesta tiene sentido — la distancia no es negativa.
• La pregunta pregunta por el punto que minimiza la distancia, no esa distancia mínima. De ahí que la respuesta sea\(x=1, y=6-3 = 3\text{.}\) I.e.

  El punto que minimiza la distancia es\((1,3)\text{.}\)

Observe que podemos facilitar el análisis observando que el punto que minimiza la distancia también minimiza la distancia cuadrada. Para que en lugar de minimizar la función solo\(\ell\text{,}\) podamos minimizar\(\ell^2\text{:}\)

\ begin {align*}\ ell^2 &= 10 (x^2-2x+5)\ end {alinear*}

El álgebra resultante es un poco más fácil y no tenemos que buscar puntos singulares.

Ejemplo 3.5.19 Qué tan lejos de un punto a una curva.

Encuentra la distancia mínima desde\((2,0)\) la curva\(y^2=x^2+1\text{.}\)

Solución Esto es muy parecido a la pregunta anterior.

• Después de leer el problema cuidadosamente podemos dibujar una imagen

  

• En este problema no necesitamos unidades y\(x,y\) se suministran las variables. Definimos la distancia a ser\(\ell\) y viene dada por

  \ begin {alinear*}\ ell^2 &= (x-2) ^2+y^2. \ end {align*}

  Como se señaló en el problema anterior, minimizaremos la distancia cuadrada ya que eso también minimiza la distancia.
• Desde\(x,y\) satisfacer\(y^2=x^2+1\text{,}\) podemos escribir la distancia en función de\(x\text{:}\)

  \ begin {alinear*}\ ell^2 &= (x-2) ^2 + y^2 = (x-2) ^2 + (x^2+1)\ end {align*}

  Observe que como\(x \to \pm \infty\) la distancia cuadrada\(\ell^2 \to +\infty\text{.}\)
• Dado que la distancia cuadrada es un polinomio no tendrá ningún punto singular, solo puntos críticos. El derivado es

  \ begin {align*}\ dfrac {d} {dx}\ ell^2 &= 2 (x-2) + 2x = 4x-4\ end {align*}

  por lo que el único punto crítico ocurre en\(x=1\text{.}\)
• Cuándo\(x=1, y=\pm \sqrt{2}\) y la distancia es

  \ begin {align*}\ ell^2 &= (1-2) ^2 + (1+1) = 3 &\ ell=\ sqrt {3}\ end {align*}

  y por lo tanto la distancia mínima desde la curva a\((2,0)\) es\(\sqrt{3}\text{.}\)

Ejemplo 3.5.20 Construyendo una artesa.

Un canal de agua se va a construir a partir de una lámina metálica de ancho\(45\) cm doblando un tercio de la lámina en cada lado a través de un ángulo\(\theta\text{.}\) ¿Qué\(\theta\) permitirá que el canal lleve la cantidad máxima de agua?

Solución Claramente\(0 \leq \theta \leq \pi\text{,}\) así estamos de vuelta en el dominio ⁶ del Corolario 3.5.13.

• Después de leer detenidamente el problema debemos darnos cuenta de que realmente nos está pidiendo maximizar el área transversal. Una figura realmente ayuda.
  

  

• A partir de esto nos llevan a definir la altura\(h\)\(cm\) y el área transversal\(A\)\(cm^2\text{.}\) Ambas son funciones de\(\theta\text{.}\)

  \ comenzar {alinear*} h &= 15\ sin\ theta\ final {alinear*}

  mientras que el área se puede calcular como la suma del\(15 \times h\) rectángulo central, más dos triángulos. Cada triángulo tiene altura\(h\) y base\(15 \cos \theta\text{.}\).

  \ begin {align*} A &= 15h + 2\ cdot\ frac {1} {2}\ cdot h\ cdot 15\ cos\ theta\\ &= 15h\ izquierda (1 +\ cos\ theta\ derecha)\ end {alinear*}

• Ya que\(h = 15\sin \theta\) podemos reescribir el área en función de solo\(\theta\text{:}\)

  \ begin {align*} A (\ theta) &= 225\ sin\ theta\ izquierda (1 +\ cos\ theta\ derecha)\ end {align*}

  donde\(0 \leq \theta \leq \pi\text{.}\)
• Ahora usamos Corolario 3.5.13. Los extremos del intervalo dan

  \ begin {align*} A (0) &= 225\ sin 0 (1 +\ cos 0) = 0\\ A (\ pi) &= 225\ sin\ pi (1+\ cos\ pi) = 0\ end {align*}

  El derivado es

  \ begin {align*} A' (\ theta) &= 225\ cos\ theta\ cdot (1+\ cos\ theta) + 225\ sin\ theta\ cdot (-\ sin\ theta)\\ &= 225\ left [\ cos\ theta +\ cos^2\ theta -\ sin^2\ theta\ derecha]\ qquad\ text {recordar}\ sin^2\ theta = 1 -\ cos^2\ theta\\ &= 225\ izquierda [\ cos\ theta +2\ cos^2\ theta -1\ derecha]\ final {alinear*}

  Esta es una función continua, por lo que no hay puntos singulares. Sin embargo todavía podemos buscar puntos críticos resolviendo\(A'(\theta) = 0\text{.}\) Eso es

  \ begin {alinear*} 2\ cos^2\ theta +\ cos\ theta -1 &= 0 &\ text {factor cuidadosamente}\\ (2\ cos\ theta -1) (\ cos\ theta+1) &= 0\ end {alinear*}

  De ahí que debamos tener\(\cos \theta =-1\) o\(\cos\theta = \frac{1}{2}\text{.}\) En el dominio\(0\leq \theta \leq \pi\text{,}\) esto significa\(\theta = \pi/3\) o\(\theta = \pi\text{.}\)

  \ begin {align*} A (\ pi) &= 0\\ A (\ pi/3) &= 225\ sin (\ pi/3) (1 +\ cos (\ pi/3))\\ & = 225\ cdot\ frac {\ sqrt {3}} {2}\ cdot\ izquierda (1 +\ frac {1} {2}\ derecha)\\ &= 225\ cdot\ frac {3\ sqrt {3}} {4}\ aprox 292.28\ final {alinear*}

• Así, el área de la sección transversal se maximiza cuando\(\theta = \dfrac{\pi}{3}\text{.}\)

Ejemplo 3.5.21 Puntos más cercanos y lejanos en una curva a un punto dado.

Encuentra los puntos en la elipse\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\) que están más cerca y más alejados del punto\((1,0)\text{.}\)

Solución Si bien este es otro problema de distancia, los posibles valores de\(x,y\) están acotados, por lo que necesitamos Corolario 3.5.13 en lugar del Teorema 3.5.17.

• Empezamos dibujando un cuadro:
  

  

• \(\ell\)Sea la distancia desde\((x,y)\) el punto de la elipse hasta el punto\((1,0)\text{.}\) Como fue el caso anterior, maximizaremos la distancia al cuadrado.

  \ begin {align*}\ ell^2 &= (x-1) ^2 + y^2. \ end {align*}

• Ya que se\((x,y)\) encuentran en la elipse tenemos

  \ begin {reunir*}\ frac {x^2} {4} +y^2=1\ end {reunir*}

  Tenga en cuenta que esto también demuestra que\(-2 \leq x \leq 2\) y\(-1 \leq y \leq 1\text{.}\)

  Aislar\(y^2\) y sustituir esto en nuestra expresión por\(\ell^2\) da

  \ begin {alinear*}\ ell^2 &= (x-1) ^2 +\ underbrackets {1-x^2/4} _ {=y^2}. \ end {align*}

• Ahora podemos aplicar Corolario 3.5.13. Los puntos finales del dominio dan

  \ begin {alinear*}\ ell^2 (-2) &= (-2-1) ^2 + 1 - (-2) ^2/4 = 3^2+1-1 = 9\\\ ell^2 (2) &= (2-1) ^2 + 1 - 2^2/4 = 1+1-1 = 1\ end {align*}

  El derivado es

  \ begin {align*}\ dfrac {d} {dx}\ ell^2 &= 2 (x-1) - x/2 =\ frac {3x} {2} - 2\ end {align*}

  Así no hay puntos singulares, pero hay un punto crítico en\(x = 4/3\text{.}\) La distancia cuadrada correspondiente es

  \ begin {align*}\ ell^2 (4/3) &=\ left (\ frac {4} {3} -1\ right) ^2 +1 -\ frac {(4/3) ^2} {4}\\ &= (1/3) ^2 + 1 - (4/9) = 6/9 = 2/3. \ end {align*}

• Para resumir (y dar distancias y coordenadas de puntos):

  \(x\)	\((x,y)\)	\(\ell\)
  \(-2\)	\((-2,0)\)	\(3\)
  \(\frac{4}{3}\)	\(\big(\frac{4}{3},\pm\frac{\sqrt{5}}{3}\big)\)	\(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
  \(2\)	\((2,0)\)	\(1\)

  El punto de distancia máxima es\((-2,0)\text{,}\) y el punto de distancia mínima es\(\left(\frac{4}{3},\pm\frac{\sqrt{5}}{3}\right)\text{.}\)

Ejemplo 3.4.22 Rectángulo más grande dentro de un triángulo.

Encuentra las dimensiones del rectángulo de mayor área que se puede inscribir en un triángulo equilátero de lado\(a\) si un lado del rectángulo se encuentra en la base del triángulo.

Solución Dado que el rectángulo debe asentarse dentro del triángulo, sus dimensiones están acotadas y terminaremos usando Corolario 3.5.13.

• Dibuja con cuidado una imagen:

  

  

  Hemos dibujado (a la izquierda) el triángulo en el\(xy\) plano -con su base en el\(x\) eje -eje. La base ha sido dibujada corriendo de\((-a/2,0)\) a\((a/2,0)\) por lo que su centro se encuentra en el origen. Un poco de Pitágoras (o un poco de trigonometría) nos dice que la altura del triángulo es

  \ begin {alinear*}\ sqrt {a^2- (a/2) ^2} &=\ frac {\ sqrt {3}} {2}\ cdot a = a\ cdot\ sin\ frac {\ pi} {3}\ end {align*}

  Así, el vértice en la parte superior del triángulo se encuentra en\(\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a\right)\text{.}\)

• Si construimos un rectángulo que no toque los lados del triángulo, entonces podemos aumentar las dimensiones del rectángulo hasta que toque el triángulo y así hacer su área más grande. Así podemos suponer que las dos esquinas superiores del rectángulo tocan el triángulo tal como se dibuja en la figura de arriba a la derecha.
• Ahora deja que el rectángulo sea\(2x\) ancho y\(y\) alto. Y vamos a\(A\) denotar su área. Claramente

  \ begin {align*} A &= 2xy. \ end {align*}

  dónde\(0 \leq x \leq a/2\) y\(0\leq y\leq \frac{\sqrt{3}}{2}a\text{.}\)
• Nuestra construcción significa que la esquina superior derecha del rectángulo tendrá coordenadas\((x,y)\) y estará en la línea que une el vértice superior del triángulo en\((0,\sqrt{3}a/2)\) al vértice inferior derecho\((a/2,0)\text{.}\) en Para escribir el área como una función de\(x\) solo, necesitamos la ecuación para esta línea ya que nos dirá cómo escribir\(y\) en función de\(x\text{.}\) La línea tiene pendiente

  \ begin {align*}\ text {pendiente} &=\ frac {\ sqrt {3} a/2 - 0} {0-a/2} = -\ sqrt {3}. \ end {align*}

  y pasa por el punto\((0,\sqrt{3}a/2)\text{,}\) para que cualquier punto\((x,y)\) en esa línea satisfaga:

  \ begin {align*} y &= -\ sqrt {3} x +\ frac {\ sqrt {3}} {2} a.\ end {align*}

• Ahora podemos escribir el área en función de\(x\) solo

  \ begin {alinear*} A (x) &= 2x\ izquierda (-\ sqrt {3} x +\ frac {\ sqrt {3}} {2} a\ derecha)\\ &=\ sqrt {3} x (a-2x). \ end {align*}

  con\(0\leq x \leq a/2\text{.}\)
• Los extremos del dominio dan:

  \ begin {align*} A (0) &= 0 y A (a/2) &= 0. \ end {align*}

  El derivado es

  \ begin {alinear*} A' (x) &=\ sqrt {3}\ izquierda (x\ cdot (-2) + 1\ cdot (a-2x)\ derecha) =\ sqrt {3} (a-4x). \ end {align*}

  Como este es un polinomio no hay puntos singulares, pero hay un punto crítico en\(x=a/4\text{.}\) Hay

  \ begin {align*} A (a/4) &=\ sqrt {3}\ cdot\ frac {a} {4}\ cdot (a - a/2) =\ sqrt {3}\ cdot\ frac {a^2} {8}.\\ y &= -\ sqrt {3}\ cdot (a/4) +\ frac {\ sqrt {3}} 2} a =\ sqrt {3}\ cdot\ frac {a} {4}. \ end {align*}

• Volviendo a revisar la pregunta, vemos que nos piden las dimensiones en lugar del área, por lo que la respuesta es\(2x \times y\text{:}\)

  El rectángulo más grande de este tipo tiene dimensiones\(\frac{a}{2} \times \frac{\sqrt{3} a}{4}\text{.}\)

Este siguiente es un buen ejemplo de física. En ella derivaremos la Ley ⁷ de Snell del principio ⁸ de Fermat.

Ejemplo 3.5.23 Ley de Snell.

Considera la siguiente figura que muestra la trayectoria de un rayo de luz a medida que pasa por dos medios distintos (digamos aire y agua).

Dejar\(c_a\) ser la velocidad de la luz en el aire y\(c_w\) ser la velocidad de la luz en el agua. El principio de Fermat establece que un rayo de luz siempre recorrerá un camino que minimice el tiempo empleado. Entonces, si un rayo de luz viaja de\(P\) (en el aire) a\(Q\) (en el agua) entonces “elegirá” el punto\(O\) (en la interfaz) para minimizar el tiempo total tomado. Usa esta idea para mostrar la ley de Snell,

\ begin {align*}\ frac {\ sin\ theta_i} {\ sin\ theta_r} &=\ frac {c_a} {c_w}\ end {align*}

donde\(\theta_i\) está el ángulo de incidencia y\(\theta_r\) es el ángulo de refracción (como se ilustra en la figura anterior).

Solución Este problema es un poco más abstracto que los otros que hemos examinado, pero aún podemos aplicar el Teorema 3.5.17.

• Se nos da una cifra en el enunciado del problema y ésta contiene todos los puntos y ángulos relevantes. Sin embargo simplificará las cosas si decidimos por un sistema de coordenadas. Supongamos que el punto\(O\) se encuentra en el\(x\) eje -eje, en coordenadas\((x,0)\text{.}\) El punto\(P\) entonces se encuentra por encima del eje en\((X_P,+Y_P)\text{,}\) mientras\(Q\) se encuentra por debajo del eje en\((X_Q,-Y_Q)\text{.}\) Esto se dibuja abajo.
  

  

• El enunciado de la ley de Snell contiene términos\(\sin \theta_i\) y\(\sin \theta_r\text{,}\) por lo que es una buena idea que veamos cómo expresarlos en términos de las coordenadas que acabamos de introducir:

  \ begin {align*}\ sin\ theta_i &=\ frac {\ text {opuesto}} {\ text {hipotenusa}} =\ frac {(x-x_p)} {\ sqrt {(x_p-X) ^2 + Y_P^2}}\\\ sin\ theta_r &=\ frac {\ texto {opuesto}} {\ texto {hipotenusa} =\ frac {(x_q-x)} {\ sqrt {(x_q-x) ^2 + Y_Q^2}}\ end {align*}

• Vamos a\(\ell_P\) denotar la distancia\(PO\text{,}\) y\(\ell_Q\) denotar la distancia\(OQ\text{.}\) Entonces tenemos

  \ begin {alinear*}\ ell_p &=\ sqrt {(x_p-X) ^2+Y_P^2}\\\ ell_q &=\ sqrt {(x_q-x) ^2+Y_Q^2}\ end {alinear*}

  Si entonces denotamos el tiempo total tardado para\(T\text{,}\) entonces

  \ begin {alinear*} T &=\ frac {\ ell_p} {c_a} +\ frac {\ ell_q} {c_w} =\ frac {1} {c_a}\ sqrt {(x_p-x) ^2+Y_P^2} +\ frac {1} {c_w}\ sqrt {(x_q-x) ^2+Y_Q^^^^2__Q^2}\ final {alinear*}

  que se escribe en función de\(x\) ya que todos los demás términos son constantes.
• Observe que como\(x \to +\infty\) o\(x\to-\infty\) el tiempo total\(T \to \infty\) y así podemos aplicar el Teorema 3.5.17. El derivado es

  \ begin {align*}\ dfrac {dT} {dx} &=\ frac {1} {c_a}\ frac {-2 (x_p-x)} {2\ sqrt {(x_p-X) ^2+Y_P^2}} +\ frac {1} {c_w}\ frac {-2 (x_q-x)} {2\ sqrt {(x_Q-x) ^2+Y_Q^2}}\ end {align*}

  Observe que los términos dentro de las raíces cuadradas no pueden ser cero o negativos ya que ambos son sumas de cuadrados y\(Y_P,Y_Q \gt 0\text{.}\) Así que no hay puntos singulares, pero hay un punto crítico cuando es\(T'(x) = 0\text{,}\) decir cuando

  \ begin {alinear*} 0 &=\ frac {1} {c_a}\ frac {x_p-x} {\ sqrt {(x_p-x) ^2+Y_P^2}} +\ frac {1} {c_w}\ frac {x_q-x} {\ sqrt {(x_q-x) ^2+Y_Q^2}}\\ &= frac ac {-\ sin\ theta_i} {c_a} +\ frac {\ sin\ theta_r} {c_w}\ end {align*}

  Reorganice esto para obtener

  \ begin {align*}\ frac {\ sin\ theta_i} {c_a} &=\ frac {\ sin\ theta_r} {c_w}\\\ end {align*}

  mover los senos hacia un lado

  \ begin {align*}\ frac {\ sin\ theta_i} {\ sin\ theta_r} &=\ frac {c_a} {c_w}\ end {align*} que es exactamente la ley de Snell.

Ejemplo 3.5.24 Encontrar el mejor ángulo de visión.

La Estatua de la Libertad tiene altura\(46\) m y se encuentra sobre un pedestal de\(47\) m de altura. ¿Qué tan lejos de la estatua debe pararse un observador para maximizar el ángulo subtendido por la estatua a los ojos del observador, que está\(1.5\) m por encima de la base del pedestal?

Solución Obviamente si nos paramos demasiado cerca entonces todo lo que ve el observador es el pedestal, mientras que si se paran demasiado lejos entonces todo es diminuto. El mejor lugar para tomar una fotografía es algún punto intermedio.

• Dibuja una imagen cuidadosa ⁹

  

  y podemos poner en las longitudes y ángulos relevantes.

• La altura de la estatua es\(h = 46\) m, y la altura del pedestal (por encima del ojo) es\(p = 47-1.5 = 45.5\) m. La distancia horizontal de la estatua al ojo es\(x\text{.}\) Hay dos ángulos relevantes. Primero\(\theta\) está el ángulo subtendido por la estatua, mientras que\(\varphi\) es el ángulo subtendido por la porción del pedestal sobre el ojo.
• Algo de trigonometría nos da

  \ begin {align*}\ tan\ varphi &=\ frac {p} {x}\\\ tan (\ varphi+\ theta) &=\ frac {p+h} {x}\ end {align*}

  Así

  \ begin {align*}\ varphi &=\ arctan\ frac {p} {x}\\\ varphi+\ theta &=\ arctan\ frac {p+h} {x}\ end {align*}

  y así

  \ begin {align*}\ theta &=\ arctan\ frac {p+h} {x} -\ arctan\ frac {p} {x}. \ end {align*}

• Si permitimos que el espectador se ponga de pie en cualquier punto frente a la estatua, luego observe\(0\le x \lt \infty\text{.}\) además eso como\(x \rightarrow \infty\) o\(x \rightarrow 0\) el ángulo\(\theta \rightarrow 0\text{,}\) desde

  \ begin {align*}\ lim_ {x\ rightarrow 0}\ arctan\ frac {p+h} {x} &=\ frac {\ pi} {2}\\ lim_ {x\ rightarrow 0}\ arctan\ frac {p} {x} &=\ frac {\ pi} {2}\ end {align*}

  Claramente el mayor valor de\(\theta\) será estrictamente positivo y por lo tanto hay que tomar para algunos\(0 \lt x \lt \infty\text{.}\) (Tenga en cuenta las estrictas desigualdades.) Este\(x\) será un máximo local así como un máximo global. Como no\(\theta\) es singular en ningún solo\(0 \lt x \lt \infty\text{,}\) necesitamos buscar puntos críticos.

  Una aplicación cuidadosa de la regla de la cadena muestra que la derivada es

  \ begin {align*}\ dfrac {d\ theta} {dx} &=\ frac {1} {1+ (\ frac {p+h} {x}) ^2}\ cdot\ izquierda (\ frac {- (p+h)} {x^2}\ derecha) -\ frac {1} {1+ (\ frac {p} {x}) ^2}\ cdot\ izquierda (\ frac {-p} {x^2}\ derecha)\\ &=\ frac {- (p+h)} {x^2+ (p+h) ^2} +\ frac {p} {x^2+p^2}\ end {align*}

  Entonces ocurre un punto crítico cuando

  \ begin {align*}\ frac {(p+h)} {x^2+ (p+h) ^2} &=\ frac {p} {x^2+p^2} &\ text {cruzar multiplicar}\\ (p+h) (x^2+p^2) &= p (x^2+ (p+h) ^2) &\ texto {recoger $x$ términos}\ x^2 (p+h-p) &= p (p+h) ^2 - p^2 (p+h) &\ text {limpiar}\\ h x^2 &= p (p+h) (p+h-p) = ph (p+h)\\ &\ hskip1in\ text {cancelar factores comunes}\ \ x^2 &= p (p+h)\\ x &=\ pm\ sqrt {p (p+h)}\ approx\ pm 64.9m\ final {alinear*}

• De esta manera el mejor lugar para pararse aproximadamente\(64.9\) m delante o detrás de la estatua. En ese punto\(\theta \approx 0.348\) radianes o\(19.9^\circ\text{.}\)

Ejemplo 3.5.25 Mover objetos alrededor de las esquinas.

Encuentra la longitud de la varilla más larga que puede transportarse horizontalmente (no se permite inclinación) desde un corredor de\(3\) m de ancho hacia un corredor de\(2\) m de ancho. Los dos corredores son perpendiculares entre sí.

Solución

• Supongamos que estamos llevando la varilla a la vuelta de la esquina, entonces si la varilla es lo más larga posible debe tocar la esquina y las paredes exteriores de ambos corredores. Una imagen de esto se muestra a continuación.

  

  Se puede ver que esto da lugar a dos triángulos similares, uno dentro de cada corredor. También la longitud máxima de la varilla cambia con el ángulo que hace con las paredes del corredor.

• Supongamos que el ángulo entre la varilla y la pared interna del corredor\(3\) m es\(\theta\text{,}\) como se ilustra en la figura anterior. Al mismo tiempo hará un ángulo de\(\frac{\pi}{2}-\theta\) con la pared exterior del corredor de 2m. Denote por\(\ell_1(\theta)\) la longitud de la parte de la varilla que forma la hipotenusa del triángulo superior en la figura anterior. De igual manera, denotan por\(\ell_2(\theta)\) la longitud de la parte de la varilla que forma la hipotenusa del triángulo inferior en la figura anterior. Entonces

  \ begin {reunir*}\ ell_1 (\ theta) =\ frac {3} {\ sin\ theta}\ qquad\ ell_2 (\ theta) =\ frac {2} {\ cos\ theta}\ end {reunir*}

  y la longitud total es

  \ begin {reunir*}\ ell (\ theta) =\ ell_1 (\ theta) +\ ell_2 (\ theta) =\ frac {3} {\ sin\ theta} +\ frac {2} {\ cos\ theta}\ end {reunir*}

  donde\(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\text{.}\)
• La longitud de la varilla más larga que podemos mover por el pasillo de esta manera es el mínimo de\(\ell(\theta)\text{.}\) Aviso que no\(\ell(\theta)\) está definido en\(\theta = 0, \frac{\pi}{2}\text{.}\) Indeed nos encontramos con que como\(\theta \rightarrow 0^+\) o\(\theta\rightarrow \frac{\pi}{2}^-\text{,}\) la longitud\(\ell\rightarrow +\infty\text{.}\) (Deberías poder imaginarte lo que sucede con nuestra vara en esos dos límites). Claramente el mínimo permitido\(\ell(\theta)\) va a ser finito y se logrará para algunos\(0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}\) (tenga en cuenta las estrictas desigualdades) y así será un mínimo local así como un mínimo global. Así que solo necesitamos encontrar ceros de\(\ell'(\theta)\text{.}\)

  Diferenciar\(\ell\) da

  \ begin {alinear*}\ dfrac {d\ ell} {d\ theta} &= -\ frac {3\ cos\ theta} {\ sin^2\ theta} +\ frac {2\ sin\ theta} {\ cos^2\ theta} =\ frac {-3\ cos^3\ theta +2\ sin^3\ theta} {\ sin^2\ theta eta\ cos^2\ theta}. \ end {align*}

  Esto no existe en\(\theta = 0, \frac{\pi}{2}\) (que ya hemos analizado) pero sí existe en todos\(0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}\) y es igual a cero cuando el numerador es cero. A saber, cuando

  \ begin {align*} 2\ sin^3\ theta &= 3\ cos^3\ theta &\ text {dividir por $\ cos^3\ theta$}\\ 2\ tan^3\ theta &= 3\\\ tan\ theta &=\ sqrt [3] {\ frac {3} {2}}\ end {align*}

• De esto podemos recuperarnos\(sin\theta\) y\(cos\theta\text{,}\) sin tener que\(\theta\) calcularse a sí mismo. Podemos, por ejemplo, construir un triángulo de ángulo recto con longitud adyacente\(\sqrt[3]{2}\) y longitud opuesta\(\sqrt[3]{3}\) (de modo que\(\tan\theta=\sqrt[3]{3/2}\)):
  

  Tiene hipotenusa\(\sqrt{ 3^{2/3} + 2^{2/3}}\text{,}\) y así

  \ begin {align*}\ sin\ theta &=\ frac {3^ {1/3}} {\ sqrt {3^ {2/3} +2^ {2/3}}}\\ cos\ theta &=\ frac {2^ {1/3}} {\ sqrt {3^ {2/3} +2^ {2/3}}}\ end {align*}

  Alternativamente podría usar las identidades:

  \ begin {alinear*} 1 +\ tan^2\ theta &=\ sec^2\ theta & 1+\ cot^2\ theta &=\ csc^2\ theta\ end {align*}

  para obtener expresiones para\(1/\cos\theta\) y\(1/\sin\theta\text{.}\)

• Usando las expresiones anteriores para\(\sin\theta, \cos\theta\) encontramos el mínimo de\(\ell\) (que es la varilla más larga que podemos mover):

  \ begin {align*}\ ell &=\ frac {3} {\ sin\ theta} +\ frac {2} {\ cos\ theta} =\ frac {3} {\ frac {\ raíz 3\ de 3} {\ sqrt {2^ {\ frac {2} {3}} +3^ {\ frac {2} {3}}} +\ frac {2} {\ frac {\ frac {\ raíz 3\ de 2} {\ sqrt {2^ {\ frac {2} {3}} +3^ {\ frac {2} {3}}}}\ & =\ sqrt {2^ {\ frac {2} {3}} +3^ {\ frac {2} {3}}}\ grande [3^ {frac {2} {3}} +2^ {\ frac {2} {3}}\ grande]\\ & ; = {\ grande [2^ {\ frac {2} {3}} +3^ {\ frac {2} {3}}\ grande]} ^ {\ frac {3} {2}}\ aproximadamente 7.02\ texto {m}\ end {alinear*}

Ejercicios

Ejercicios para § 3.5.1

Etapa 1

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Identificar cada punto crítico y cada punto singular que\(f(x)\) se muestra en la gráfica de abajo. ¿Cuáles corresponden a los extremos locales?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Identifica cada punto crítico y cada punto singular de\(f(x)\) la gráfica a continuación. ¿Cuáles corresponden a los extremos locales? ¿Cuáles corresponden a los extremos globales sobre el intervalo mostrado?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Dibuja una gráfica\(y=f(x)\) donde a\(f(2)\) sea un máximo local, pero no sea un máximo global.

Etapa 2

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Supongamos\(f(x)=\dfrac{x^2-10}{x-5}\text{.}\)

1. Encuentra todos los puntos críticos.
2. Encuentra todos los puntos singulares.
3. ¿Cuáles son los posibles puntos donde\(f(x)\) pueden existir los extremos locales?

Etapa 3

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

A continuación se muestran una serie de curvas, todas las cuales tienen un punto singular en\(x=2\text{.}\) Para cada una, etiquetar si\(x=2\) es un máximo local, un mínimo local, o ninguna.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Dibuja una gráfica\(y=f(x)\) donde\(f(2)\) esté un máximo local, pero no\(x=2\) sea un punto crítico.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

\[ f(x)=\sqrt{\left|(x-5)(x+7)\right|} \nonumber \]

Encuentra todos los puntos críticos y todos los puntos singulares de No\(f(x)\text{.}\) tienes que especificar si un punto es crítico o singular.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Supongamos que\(f(x)\) es la función constante\(f(x)=4\text{.}\) Cuáles son los puntos críticos y los puntos singulares de\(f(x)\text{?}\) ¿Cuáles son sus máximos y mínimos locales y globales?

Ejercicios para § 3.5.2

Etapa 1

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Dibuja una función de\(f(x)\) tal manera que:

• \(f(x)\)se define sobre todos los números reales
• \(f(x)\)tiene un máximo global pero no mínimo global.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Dibuja una función de\(f(x)\) tal manera que:

• \(f(x)\)se define sobre todos los números reales
• \(f(x)\)siempre es positivo
• \(f(x)\)no tiene un máximo global y no mínimo global.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Dibuja una función de\(f(x)\) tal manera que:

• \(f(x)\)se define sobre todos los números reales
• \(f(x)\)tiene un mínimo global en\(x=5\)
• \(f(x)\)tiene un mínimo global en\(x=-5\text{,}\) también.

Etapa 2

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

\(f(x)=x^2+6x-10\text{.}\)Encuentra todos los extremos globales en el intervalo\([-5,5]\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

\(f(x)=\dfrac{2}{3}x^3-2x^2-30x+7\text{.}\)Encuentra todos los extremos globales en el intervalo\([-4,0]\text{.}\)

Ejercicios para § 3.5.3

Etapa 1

Para las Preguntas 3.5.4.1 a 3.5.4.3, la cantidad a optimizar ya se le da en función de una sola variable.

Para las preguntas 3.5.4.4 y 3.5.4.5, puedes decidir si un punto crítico es un extremo local considerando la derivada de la función.

Para las Preguntas 3.5.4.6 a 3.5.4.13, tendrás que encontrar una expresión para la cantidad que deseas optimizar en función de una sola variable.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\) (✳)

Encuentra el máximo global y el mínimo global para\(f(x)=x^5 - 5x + 2\) en el intervalo\([-2,0]\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\) (✳)

Encuentra el máximo global y el mínimo global para\(f(x)=x^5 - 5x - 10\) en el intervalo\([0,2]\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\) (✳)

Encuentra el máximo global y el mínimo global para\(f(x)=2x^3 - 6x^2 - 2\) en el intervalo\([1,4]\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\) (✳)

Considerar la función\(h(x)=x^3-12x+4\text{.}\) Cuáles son las coordenadas del máximo local de\(h(x)\text{?}\) Cuáles son las coordenadas del mínimo local de\(h(x)\text{?}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\) (✳)

Considerar la función\(h(x)=2x^3-24x+1\text{.}\) Cuáles son las coordenadas del máximo local de\(h(x)\text{?}\) Cuáles son las coordenadas del mínimo local de\(h(x)\text{?}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\) (✳)

Estás en un buggy de dunas en un punto\(P\) del desierto, a 12 km al sur del punto más cercano\(A\) en una carretera recta este-oeste. Quieres llegar a un pueblo\(B\) por carretera\(18\) km al este de\(A\text{.}\) Si tu buggy de duna puede viajar a una velocidad promedio de 15 km/hr por el desierto y 30 km/hr por la carretera, hacia qué punto de la\(Q\) carretera debes dirigirte para minimizar tu tiempo de viaje de\(P\) a\(B\text{?}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\) (✳)

Se va a construir una caja tridimensional cerrada de tal manera que su volumen sea de 4500 cm\({}^3\text{.}\) También se especifica que la longitud de la base es 3 veces la anchura de la base. Encuentre las dimensiones de la caja que satisfaga estas condiciones y tenga la mínima superficie posible. Justifica tu respuesta.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\) (✳)

Un contenedor rectangular cerrado con base cuadrada debe estar hecho de dos materiales diferentes. El material para la base cuesta $5 por metro cuadrado, mientras que el material para los otros cinco lados cuesta $1 por metro cuadrado. Encuentre las dimensiones del contenedor que tenga el mayor volumen posible si el costo total de los materiales es de $72.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\) (✳)

Encontrar un punto\(X\) en el\(x\) eje positivo y un punto\(Y\) en el\(y\) eje positivo tal que (tomando\(O=(0,0)\))

1. El triángulo\(XOY\) contiene la primera porción de cuadrante del círculo unitario\(x^2+y^2=1\) y
2. el área del triángulo\(XOY\) es lo más pequeña posible.

Se requiere una justificación matemática completa y cuidadosa de la propiedad 3.5.4.9.i.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\) (✳)

Un rectángulo se inscribe en un semicírculo de radio de\(R\) manera que un lado del rectángulo se encuentra a lo largo de un diámetro del semicírculo. Encuentra el perímetro más grande posible de dicho rectángulo, si existe, o explica por qué no lo hace. Haz lo mismo para el perímetro más pequeño posible.

Ejercicio\(\PageIndex{11}\) (✳)

Encontrar el volumen máximo posible de un cilindro con área de superficie\(A\text{.}\) ¹⁰

Ejercicio\(\PageIndex{12}\) (✳)

¿Cuál es el área más grande posible de una ventana, con perímetro\(P\text{,}\) en forma de rectángulo con un semicírculo en la parte superior (por lo que el diámetro del semicírculo es igual al ancho del rectángulo)?

Ejercicio\(\PageIndex{13}\) (✳)

Considera una bandeja para hornear rectangular abierta con dimensiones de base\(x\)\(y\) centímetros por centímetros y\(z\) centímetros de altura que está hecha de centímetros\(A\) cuadrados de hojalata. Supongamos que\(y = px\) para alguna constante fija\(p\text{.}\)

1. Encuentra las dimensiones de la bandeja para hornear con la capacidad máxima (es decir, volumen máximo). Demuestra que tu respuesta rinde la bandeja para hornear con capacidad máxima. Tu respuesta dependerá del valor de\(p\text{.}\)
2. Encuentra el valor de la constante\(p\) que rinde el molde para hornear con capacidad máxima y dale las dimensiones del molde para hornear resultante. Demuestra que tu respuesta rinde la bandeja para hornear con capacidad máxima.

Etapa 3

Ejercicio\(\PageIndex{14}\) (✳)

Let\(f(x)=x^x\) for\(x \gt 0\text{.}\)

1. Encuentra\(f'(x)\text{.}\)
2. ¿A qué valor de\(x\) la curva\(y=f(x)\) tiene una línea tangente horizontal?
3. ¿La función\(f\) tiene un máximo local, un mínimo local, o ninguno de estos en el punto que\(x\) se encuentra en la parte 3.5.4.14.b?

Ejercicio\(\PageIndex{15}\) (✳)

Un trozo de alambre se corta en dos piezas, una de las cuales se dobla para formar un círculo, la otra para formar un cuadrado. ¿Cómo se debe cortar el cable si se maximiza el área encerrada por las dos curvas? ¿Cómo se debe cortar el cable si se minimiza el área encerrada por las dos curvas? Justifica tus respuestas.