2.5: Límites

En la Sección 1A, vimos cómo pasar de una gráfica de posición a una gráfica de velocidad. Sin embargo, las gráficas que estábamos tratando eran lineales por tramos, lo que facilitaba mucho encontrar las velocidades, o las pendientes. Si las gráficas de posición no son lineales por tramos, es más difícil encontrar la pendiente en un punto dado de la gráfica.

Hay una manera muy agradable de hacer esto para muchas funciones, pero si no tenemos cuidado, ¡requerirá división por cero! ¿Qué implica tener cuidado? ¡Significa conocer tus límites!

Límites numéricos

Supongamos que quería evaluar la función\(f(x) = \frac{x^3 - 8}{x - 2}\) en\(x = 2\). Enchufar\(x = 2\) en la\(f(x)\) fórmula da

\(\frac{2^3 - 8}{2 - 2} = \frac{0}{0}\)

Pero hay un problema —hemos dividido por cero.

(crédito de la imagen: Jaggery)

Ojalá en realidad no hicieras la división por cero. ¿Qué podemos hacer en su lugar? Hagamos una mesa para ver qué pasa cuando nos acercamos a poner en dos, sin realmente hacerlo.

x	f (x)
1.5	9.25
1.9	11.41
1.99	11.9401
1.999	11.994
1.9999	11.9994
2.0001	12.0006
2.001	12.006
2.01	12.0601
2.1	12.61
2.5	15.25

Si miras la mesa, parece que\(f(x)\) DEBE ser igual a\(12\) at\(x = 2\). No podemos enchufar\(x = 2\) por división por cero, pero realmente debería serlo\(12\) si tiene un valor. ¿Podemos decir que son 12 y llamarlo un día? Bueno, no del todo, ya que queremos distinguir entre funciones que en realidad son iguales a 12, y las que simplemente deberían serlo. Ahí es donde entran los límites.

Decimos que\(f(2)\) es indefinido, pero podemos escribir\(\lim_{x \to 2} f(x) = 12\), lo que leemos como “el límite\(f\) de\(x\) como se\(x\) acerca a dos es doce”. Ese ejemplo es la idea detrás de un límite.

Más técnicamente, un límite es un valor que\(L\) el\(y\) -valor de una función\(f(x)\) se acerca a medida que el\(x\) -valor se acerca a un cierto valor\(a\), ya sea desde la derecha, la izquierda o ambos. Notacionalmente,\(\lim_{x \to a^-} f(x) = L\) es el límite de la mano izquierda,\(\lim_{x \to a^+} f(x) = L\) es el límite de la mano derecha, y\(\lim_{x \to a} f(x) = L\) es el límite de dos lados. Echemos un vistazo a algunas fotos para que esto sea más intuitivo.

Límites gráficos

Considera lo siguiente\(f(x)\).

Para encontrar el valor de una función, recuerde que observa qué tan alta es esa función en un\(x\) valor dado. Por ejemplo,\(f(1)\) se trata de\(2\), y\(f(3)\) se trata\(10\).

¿Qué está pasando en\(x = 2\), o\(f(2)\)? El círculo rellenado muestra el valor de la función. El círculo blanco indica que el valor no forma parte de la función. Entonces\(f(2) = 8\).

Sin embargo, hay algo gracioso pasando en\(x = 2\). A saber, la función parece “saltar desde\(4\), detenerse\(8\) momentáneamente, luego finalmente saltar hacia\(12\) y continuar. Esto se llama discontinuidad, y suele ser algo malo, o al menos algo con lo que puede ser difícil de tratar. Aquí es donde los límites pueden ser útiles. La notación\(\lim_{x \to 2^-} f(x)\) indica el\(y\) -valor de la función a medida que\(x\) se acerca al valor de\(2\) desde la izquierda. Aquí está la imagen:

En otras palabras,\(\lim_{x \to 2^-} f(x)\) es el valor que\(f(x)\) debería estar en\(2\), si te acercáis desde la izquierda. En este caso,\(f(x)\) debería ser 4 si todo estuviera bien en el mundo. Por lo tanto,\(\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4\). El límite nos permite rellenar cuál debería ser la función, aunque no sea así.

El límite diestro\(\lim_{x \to 2^+} f(x)\) es de la misma manera, pero se acerca desde la derecha.

Aquí, la función se acerca a\(12\) medida que nos acercamos\(2\) desde la derecha, y por lo tanto escribimos\(\lim_{x \to 2^+} = 12\).

Existe un límite de dos caras si\(\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)\). Es decir, si los límites izquierdo y derecho son los mismos. La notación para esto es\(\lim_{x \to a} f(x)\). Ya que los límites izquierdo y derecho son diferentes, así que simplemente escribimos “No existe” o “DNE”. Entonces\(\lim_{x \to 2} f(x) = \text{DNE}\).

Otros Ejemplos

Por cada valor de\(a\), encontrar\(f(a)\),\(\lim_{x \to a^-} f(x)\),\(\lim_{x \to a^+} f(x)\),\(\lim_{x \to a} f(x)\).

1. \(a = -5\)
2. \(a = -3\)
3. \(a = -1\)
4. \(a = 1\)
5. \(a = 3\)
6. \(a = 5\)
7. \(a = \infty\)
8. \(a = -\infty\)

1. Estamos viendo la función en\(x = -5\). El valor real aquí es\(f(-5) = 3\). No obstante, el valor que debería ser si veníamos\(-5\) por la izquierda es\(-2\), así\(\lim_{x \to -5^-} f(x) = -2\). Viniendo de la derecha, debería ser\(3\), entonces\(\lim_{x \to -5^+} f(x) = 3\). Por último\(\lim_{x \to -5} f(x) = \text{DNE}\),, ya que los límites izquierdo y derecho no son iguales.
2. Estamos viendo la función en\(x = -3\). Tenemos\(f(-3) = -1\), ya que ahí es donde está el punto negro. Pero el valor DEBE ser\(2\), ya sea que nos acerquemos desde la derecha o la izquierda. Entonces\(\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^+} f(x) = 2\). Ya que los límites izquierdo y derecho son iguales, tenemos\(\lim_{x \to -3} f(x) = 2\).
3. Tenemos\(f(-1) = 5\),\(\lim_{x \to -1^-} f(x) = 4\),\(\lim_{x \to -1^+} f(x) = 1\), y\(\lim_{x \to -1} f(x) = \text{DNE}\).
4. Todo es agradable y feliz — aquí no hay discontinuidades. Por lo tanto\(f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} f(x) = 0\).
5. Tenemos lo que se llama asíntota vertical, y la función básicamente se apaga infinitamente lejos en ambas direcciones. Aquí, decimos\(f(3) = \text{DNE}\), ya que no hay un valor obvio al que hacer\(f(3)\) igual. Decimos\(\lim_{x \to 3^-} f(x) = \infty\), ya que sube infinitamente alto (el\(\infty\) símbolo significa “infinito”). De igual manera\(\lim_{x \to 3^+} f(x) = -\infty\),, ya que baja infinitamente bajo. Por lo tanto, podemos ver\(\lim_{x \to 3} f(x)\) que no existe.
6. Tenemos\(f(5) = 3\),\(\lim_{x \to 5^-} f(x) = 3\),\(\lim_{x \to 5^+} f(x) = -2\), y\(\lim_{x \to 5} f(x)= \text{DNE}\).
7. Tenemos\(x = \infty\). Lo que estamos preguntando aquí es qué sucede a\(f(x)\) medida que\(x\) se vuelve realmente grande. En otras palabras, ¿qué pasa con la función como\(x\) va al infinito? Bueno, parece que tal vez sólo\(f(x)\) se está dirigiendo hacia cero. Así decimos\(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\). No existe tal cosa como un límite de mano derecha o de dos lados en este caso, ni tiene sentido hablar de ello\(f(\infty)\). Entonces solo lo dejamos como\(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\). Esto es lo mismo que una asíntota horizontal.
8. De igual manera estamos viendo lo que sucede\(f(x)\) cuando\(x\) va cada vez más negativo. Parece que tal vez\(f(x)\) se dirige hacia\(1\), entonces escribimos\(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1\).