3.9: Regla del cociente

¿Y qué pasa\(\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{e^x} \right)\)? ¿Podemos simplemente tomar la derivada de la parte superior e inferior por separado, y juntarlas? No, necesitamos una regla de cociente.

\(\boxed{\cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{f}{g} \right) = \frac{g f' - f g'}{g^2}}\)

¿De dónde vino esta extraña fórmula? Algún álgebra elegante te llevará ahí como muestra el siguiente ejemplo.

Prueba de la regla del cociente

Demostrar la regla del cociente\(\cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{a}{b} \right) = \frac{b a' - ab'}{b^2}\).

Tenga en cuenta que estoy usando\(a\) y\(b\) en vez de\(f\) y\(g\) ahora mismo porque vamos\(g\) a necesitar\(f\) y para significar otra cosa en sólo un segundo.

Entonces, ¿qué podemos hacer? De una manera es usar la regla del producto de una manera extraña. Vamos a aplicarlo a\(\frac{d}{dx} \left( b \cdot \frac{a}{b}\right)\). Nos fijamos\(f = b\), y\(g = \frac{a}{b}\). Vemos

\[\begin{align*} \frac{d}{dx} \left( b \cdot \frac{a}{b} \right ) & = f g' + g' f \\ & = b \left( \frac{d}{dx} \frac{a}{b} \right) + \left(\frac{a}{b} \right) \left( \frac{d}{dx} b \right) \\ & = b \left( \frac{d}{dx} \frac{a}{b} \right) + \frac{a b'}{b} \end{align*}\]

Pero fíjense en eso\(\frac{d}{dx} \left(b \cdot \frac{a}{b}\right) = \frac{d}{dx} a = a'\). Por lo tanto, tenemos

\(a' = b \left( \frac{d}{dx} \frac{a}{b}\right) + \frac{a b'}{b}\)

Ahora solo tenemos que resolver\(\frac{d}{dx} \frac{a}{b}\), ¡y tenemos una fórmula para derivados de cocientes!

\[\begin{align*} a' & = b \left( \frac{d}{dx} \frac{a}{b} \right) + \frac{a b'}{b} \\ a' - \frac{a b'}{b} & = b\left( \frac{d}{dx} \frac{a}{b} \right) \\ \frac{1}{b} \left( a' - \frac{a b'}{b} \right) & = \frac{d}{dx} \frac{a}{b} \\ \frac{a'}{b} - \frac{a b'}{b^2} & = \frac{d}{dx} \frac{a}{b} \\ \frac{b a'}{b^2} - \frac{a b'}{b^2} & = \frac{d}{dx} \frac{a}{b} \\ \frac{b a' - a b'}{b^2} & = \frac{d}{dx} \frac{a}{b} \\ \end{align*}\]

Si damos la vuelta a esta ecuación, da la misma regla de cociente que mencioné anteriormente:

\(\boxed{\cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{a}{b} \right) = \frac{b a' - ab'}{b^2}}\)

Esto tiene una rima linda: “low dee high menos high dee low, over the square of what is below”. El “bajo dee alto” significa\(b a'\), ya que\(b\) es el “bajo” y\(a'\) es el “dee alto”. Entonces “menos alta dee baja” es\(- a b'\). Por último, “sobre la plaza de lo que hay abajo” está\(b^2\).

Veamos cómo se ve aplicando la regla del cociente.

Regla de cociente con\(\frac{x}{e^x}\)

Encontrar\(\frac{d}{dx} \left ( \frac{x}{e^x} \right)\).

Nos fijamos\(a = x\) y\(b = e^x\). Vemos\(a' = 1\),\(b' = e^x\). Usando la fórmula\(\cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{a}{b} \right) = \frac{b a' - ab'}{b^2}\), tenemos

\[\begin{align*} \frac{d}{dx} \left ( \frac{x}{e^x} \right) & = \frac{b a' - ab'}{b^2} \\ & = \frac{(e^x)(1) - (x)(e^x)}{(e^x)^2} \\ & = \frac{e^x (1 - x)}{(e^x)^2} \\ & = \boxed{\frac{1 - x}{e^{x}}} \end{align*}\]

Regla de cociente con\(\frac{x^2}{x}\)

Encuentra\(\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{x} \right)\) usando la regla del cociente y la regla de poder.

Si simplificamos y nos\(\frac{x^2}{x}\) convertimos en justos\(x\), entonces tenemos\(\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{x} \right) = \frac{d}{dx} x = \boxed{1}\). Bastante fácil.

Usando la regla del cociente, establecemos\(a = x^2\) y\(b = x\), con\(a' = 2x\) y\(b = 1\). Tenemos

\[\begin{align*} \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{x} \right) & = \frac{b a' - a b'}{b^2} \\ & = \frac{(x)(2x) - x^2(1)}{(x)^2} \\ & = \frac{2x^2 - x^2}{x^2} \\ & = \frac{x^2}{x^2} \\ & = \boxed{1} \end{align*}\]

¡Lo mismo que teníamos antes!

Regla de más cociente

Encontrar\(\frac{d}{dx} \frac{(x^2 + 2x)}{\ln(x)}\).

En este caso,\(a = x^2 + 2x\) y\(b = \ln(x)\). Tenemos\(a' = 2x + 2\),\(b' = \frac{1}{x}\). De ahí que tengamos

\[\begin{align*} \frac{d}{dx} \frac{(x^2 + 2x)}{\ln(x)} & = \frac{b a' - a b'}{b^2} \\ & = \frac{(\ln(x)) (2x + 2) - (x^2 + 2x) \left( \frac{1}{x} \right)}{(\ln x)^2} \\ & = \boxed{\frac{\ln(x)(2x + 2) - (x + 2)}{(\ln x)^2}} \end{align*}\]

Esto realmente no simplifica más, así que esa es nuestra respuesta.

Con un seno esta vez

Encontrar\(\frac{d}{dx} \frac{\sin(x)}{x}\).

En este caso\(a = \sin(x)\) y\(b = x\), así\(a' = \cos(x)\) y\(b' = 1\). De ahí

\[\begin{align*} \frac{d}{dx} \frac{\sin(x)}{x} & = \frac{b a' - a b'}{b^2} \\ & = \boxed{\frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2}}. \end{align*}\]