3.11: Regla de la Cadena

Con una regla adicional, tendremos el poder de tomar la derivada de cualquier función que podamos anotar. ¿Cuál es esta regla asombrosa? Por qué, se llama la regla de la cadena. La regla de la cadena es\(\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Si dejamos caer el\((x)\) en cada función (tenga en cuenta que todavía está ahí, solo está implícito), tenemos una versión un poco más corta:

\(\boxed{\cfrac{d}{dx} f(g) = f'(g) \cdot g'}\)

Aquí,\(f(g)\) se llama composición de funciones. No significa\(f\) tiempos\(g\). ¡Significa que nos estamos metiendo\(g\) dentro de\(f\)! ¡Como\(f\) es comer\(g\)! Eso en realidad es canibalismo si lo piensas — así que no lo pienses demasiado de cerca. Pero recuerden cómo hacer la composición de funciones.

¿Por qué funciona esto? No voy a hacer una prueba formal, pero vamos a repasar una idea detrás de ella. Recordemos que la derivada es la pendiente o cuán empinada es la gráfica de una función. Esto es mucho más fácil de pensar si estamos hablando de líneas. Por ejemplo, supongamos\({\color{red}f = 6x - 10}\), y\({\color{blue}g = \frac{1}{2}x + 3}\). Como sabemos por álgebra, la pendiente de la\({\color{red}f}\) línea es\({\color{red}6}\), y la pendiente de la\({\color{blue}g}\) línea es\({\color{blue} \frac{1}{2}}\).

Entonces, ¿de qué es la pendiente\({\color{red}f}({\color{blue}g})\)? Lo que esto significa es que estamos poniendo\({\color{blue}g}\) dentro de\({\color{red}f}\). Entonces si\({\color{red}f = 6x - 10}\), y\({\color{blue}g = \frac{1}{2}x + 3}\), tomamos el azul\({\color{blue}\frac{1}{2}x + 3}\) y lo usamos para reemplazar el rojo\({\color{red}x}\). Aquí está lo que se vería como:

\[\begin{align*} {\color{red}f}({\color{blue}g}) & = {\color{red}6{\color{blue}\left(\frac{1}{2}x + 3\right)}-10} \\ & = 6\left(\frac{1}{2}x + 3\right)-10 \\ & = 3x + 18 - 10 \\ & = 3x - 8 \end{align*}\]

Entonces otra vez, ¿de qué es la pendiente\({\color{red}f}({\color{blue}g})\)? Podemos ver a partir de este cálculo que es\(3\), el producto de las dos pendientes\({\color{red}6}\) y\({\color{blue} \frac{1}{2}}\). Por eso tienes\(f' \cdot g'\) en la fórmula.

Bien, pero ¿qué pasa con el\((g)\) después del\(f'\) en la fórmula? Una forma de pensar sobre la composición de la función\(f(g)\) es que estamos mirando la\(f\) curva en la\(x\) -ubicación de\(g\). Cuando tomas la derivada, sigues mirando esa misma ubicación (ahora en la\(f'\) curva), así que aún necesitas eso\((g)\) ahí para especificar esa ubicación.

Regla de cadena con\(\ln(x^2 + x)\)

Encuentra\(\frac{d}{dx} \ln(x^2 + x)\).

Debemos identificar una función “inside” (g) y “outside” (f) para poder usar la regla de la cadena. A menudo, la función “inside” estará entre paréntesis (aunque no siempre). Eso funciona en este caso, por lo que la función “inside” es\(x^2 + x\), así\(g = x^2 + x\). La función externa es\(\ln\), y por lo tanto\(f =\ln(x)\). También sabemos\(f' = \frac{1}{x}\) y\(g' = 2x + 1\). Ahora para usar la regla de la cadena, primero necesitamos\(f'(g)\). ¿Qué es esto? Bueno, recuerda que esto no es multiplicación, sino que está pegando una función dentro de otra. En este caso, lo estamos tomando\(g = x^2 + x\) y pegando en la función\(f' = \frac{1}{x}\). Esto significa que reemplazamos el\(x\) in\(\frac{1}{x}\), reemplazándolo con\(x^2 + x\), y obtenemos\(f'(g) = \frac{1}{x^2 + x}\). De ahí que tengamos

\[\begin{align*} \frac{d}{dx} \ln(x^2 + x) & = f'(g) \cdot g' \\ & = \frac{1}{(x^2 + x)} \cdot (2x + 1) \\ & = \boxed{\frac{2x + 1}{x^2 + x}}. \end{align*}\]

¡Ahí lo tienes!

Regla de cadena con\((3x + 1)^2\)

Encuentra de dos\(\frac{d}{dx} (3x + 1)^2\) maneras diferentes: usando la regla de poder y usando la regla de cadena.

Usando la regla de poder, primero multiplicamos\((3x + 1)^2 = (3x + 1)(3x + 1) = 9x^2 + 3x + 3x + 1 = 9x^2 + 6x + 1\). En esta forma, es fácil encontrar el derivado:\(\frac{d}{dx} 9x^2 + 6x + 1 = 18x + 6\).

Usando la regla de la cadena, identificamos la\(g\) función interna como\(3x + 1\), y la función externa como\(x^2\). Entonces tenemos

\[\begin{align*} \frac{d}{dx} (3x + 1)^2 & = f'(g) \cdot g' \\ & = 2(3x + 1)(3) \\ & = 6(3x + 1) \\ & = \boxed{18x + 6}. \end{align*}\]

De nuevo, ¡las matemáticas simplemente funcionan!

Las cosas pueden complicarse bastante con la regla de la cadena.

Regla de cadena complicada

Encuentra\(\frac{d}{dx} \sqrt[4]{ x^2 + 2e^x}\).

Aquí no hay paréntesis explícitos, pero la raíz cuadrada actúa como paréntesis, y designa una función interna de\(g = x^2 + 2e^x\). Por lo tanto, la función externa es\(f = \sqrt[4]{x}\). Si reescribimos\(\sqrt[4]{x}\) como\(g' = 2x + 2e^x\). De ahí que la regla de la cadena da

Eso es lo más simplificado que podemos conseguir que sea la respuesta.

Un ejemplo más rápido.

Comprobante de\(a^x\) rule

Demostrar la regla\(\frac{d}{dx} \ a^x = \ln(a) \cdot a^x\).

Recordemos eso\(e^{\ln(a)} = a\). Para probar esta regla, reescribimos\(a^x = (e^{\ln(a)})^x = e^{x \ln(a)}\). Entonces estamos computando

\(\frac{d}{dx} \ a^x = \frac{d}{dx} \ e^{x \ln(a)}\)

Para calcular esta derivada, establecemos\(f = e^x\) y\(g = x \ln(a)\). Nos encontramos\(f' = e^x\) y\(g' = \ln(a)\), así por la regla de la cadena

\[\begin{align*} \frac{d}{dx} \ a^x & = \frac{d}{dx} \ e^{x \ln(a)} \\ & = f'(g) \cdot g' \\ & = e^{x \ln(a)} \cdot \ln(a) \\ \end{align*}\]

Ya lo hemos demostrado\(a^x = e^{x \ln(a)}\), así que esto se simplifica a\(a^x \cdot \ln(a)\), como se desee.