3.12: Tear-Regla de la Cadena

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Mira este video de Khan Academy: Definición y ejemplo de regla de
cadena
Tomar la derivada de las siguientes funciones, cada una de las cuales involucra la regla de la cadena.
1. \(a(x) = (x^2 + 5)^{20}\)
  \(40 x (x^2 + 5)^{19}\)
  ans
2. \(b(x) = e^{x^2}\)
  \(2x e^{x^2}\)
  ans
3. \(c(x) = (kx + r)^n\)para constantes\(k\),\(r\),\(n\).
  \(k n (kx + r)^{n-1}\)
  ans
4. \(d(x) = (\ln(x))^3 + \ln(x^3)\)
  \(\frac{3 (\ln(x))^2}{x} + \frac{3}{x}\)
  ans
5. \(e(x) = \sin(\cos(x))\)
  \(-\sin(x) \cos(\cos(x))\)
  ans
6. \(f(x) = e^{\sin(x) + \cos(x)}\)
  \((\cos(x) - \sin(x)) e^{\sin(x) + \cos(x)}\)
  ans
7. \(g(x) = \sqrt{3x^2 - 5x + 6}\)
  \(\frac{6x - 5}{2 \sqrt{3x^2 - 5x + 6}}\)
  ans
8. \(h(x) = e^{-x}\)
  \(-e^{-x}\)
  ans
Para cada problema, intente simplificar primero el logaritmo, luego tomando la derivada.
1. \(\frac{d}{dx} \ln(x^3)\)
  \(\frac{3}{x}\)
  ans
2. \(\frac{d}{dx} \ln(x e^x)\)
  \(\frac{1}{x} + 1\)
  ans
Utilice reglas de logaritmo para explicar por qué\(\frac{d}{dx} \ln(e^5 \cdot x) = \frac{d}{dx} \ln(x)\).
Usando reglas de logaritmo, tenemos eso\(ln(e^5 \cdot x) = \ln(x) + \ln(e^5) = \ln(x) + 5\). Esto tiene el mismo derivado\(\ln(x)\) que ya que apenas estamos agregando una constante.
ans
Recordemos que\(\ln(x)\) y\(e^x\) son funciones inversas. Esto significa que\(\ln(e^x) = x\), y\(e^{\ln(x)} = x\) (es decir, la\(e\) y la\(\ln\) cancelación si haces una justo después de la otra). Este hecho nos permite computar\(\frac{d}{dx} 2^x\).
1. Simplificar\(e^{\ln(2)}\)
  \(=2\)
  ans
2. Simplificar\(\ln(e^2)\).
  \(=2\)
  ans
3. Simplificar\(e^{\ln(2) + x}\)
  \(2e^x\)
  ans
4. Simplificar\((e^{\ln(2) x})\)
  \(2^x\)
  ans
5. Utilice la parte (d) para calcular\(\frac{d}{dx} 2^x\).
  \(\ln(2) 2^x\)
  ans