7.1: Reglas de potencia, exponencial, trigonometría y logaritmo
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Ya hemos visto la regla de potencia inversa, pero aquí está otra vez:
\(\boxed{\int x^mdx = \frac{x^{m + 1}}{m+1} + C}\)
Tenga en cuenta que esto solo funciona si\(m \neq -1\). Sin embargo, aún no hemos visto cómo funciona esto con potencias fraccionarias y negativas. Haremos algunos ejemplos de esto.
También podemos “deshacer” las derivadas para funciones exponenciales, logarítmicas o trigonométricas.
\(\boxed{\int e^xdx = e^x + C}\)
\(\boxed{\int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C}\)
\(\boxed{\int \sin(x)dx = -\cos(x) + C}\)
\(\boxed{\int \cos(x)dx = \sin(x) + C}\)
A los ejemplos. Recordemos eso\(x^{-m} = \frac{1}{x^m}\) y.
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Encuentra.
Los poderes negativos y fraccionarios funcionan de la misma manera que los poderes positivos con los que hemos estado trabajando. Vemos
En este punto, vamos a escribirlo en una calculadora para obtener una respuesta aproximada. Vemos que se trata de la integral\(\boxed{23.36}\).
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Encuentra\(\int_1^2 \frac{1}{x^4}dx\).
Este problema se convierte en un problema de regla de potencia inversa si lo notamos\(\frac{1}{x^4} = x^{-4}\). Vemos
\[\begin{align*} \int_1^2 \frac{1}{x^4}dx & = \int_1^2 x^{-4}dx \\ & = \frac{x^{-5}}{-5} \Big|_1^2 \\ & = -\frac{1}{5x^5} \Big|_1^2 \\ & = \left( -\frac{1}{5(2)^5} \right) - \left( -\frac{1}{5(1)^5} \right) \\ & = -\frac{1}{160} + \frac{1}{5} \\ & = -\frac{1}{160} + \frac{32}{160} \\ & = \boxed{\frac{31}{160}}. \end{align*}\]
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Encuentra\(\int_{25}^{100} \sqrt{x}dx\).
Si lo recordamos, este es un problema de regla de poder.
Ahora para funciones logarítmicas y exponenciales.
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Encuentra\(\int_1^5 \frac{2}{x}dx\).
Para este problema, puede tener la tentación de escribir esto como\(2x^{-1}\) y usar la regla de potencia inversa. Buenos instintos, pero en este caso no va a funcionar (pruébalo: ¡lleva a la división por cero!). Entonces, en cambio, invertiremos la derivada del logaritmo natural.
*** QuickLaTeX cannot compile formula: \begin{align*} \int_1^5 \frac{2}{x}dx & = 2 \int_1^5 \frac{1}{x}dx \\ & = 2 \left( \ln(x) \right) \Big|_1^5 \\ & = (2 \ln(5)) - (2 \ln(1)) \\ & = 2 \ln(5) - 0 \\ & = 2 \ln(5) \approx \boxed{3.2}. \end{align*} *** Error message: Error: get_image_size(): -1
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Encuentra\(\int_{-2}^2 7 e^{x}dx\).
\(e^x\)es la mejor función para el cálculo. ¡No cambia con la integración!
\[\begin{align*} \int_{-2}^2 7 e^xdx & = 7 \int_{-2}^2 e^xdx \\ & = 7 (e^x) \Big|_{-2}^2 \\ & = (7 e^{2}) - (7 e^{-2}) \end{align*}\]
No hay mucho que hacer para simplificar esto, pero podemos obtener una aproximación decimal:\(\approx \boxed{50.78}\).