7.1: Reglas de potencia, exponencial, trigonometría y logaritmo

Ya hemos visto la regla de potencia inversa, pero aquí está otra vez:

\(\boxed{\int x^mdx = \frac{x^{m + 1}}{m+1} + C}\)

Tenga en cuenta que esto solo funciona si\(m \neq -1\). Sin embargo, aún no hemos visto cómo funciona esto con potencias fraccionarias y negativas. Haremos algunos ejemplos de esto.

También podemos “deshacer” las derivadas para funciones exponenciales, logarítmicas o trigonométricas.

\(\boxed{\int e^xdx = e^x + C}\)

\(\boxed{\int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C}\)

\(\boxed{\int \sin(x)dx = -\cos(x) + C}\)

\(\boxed{\int \cos(x)dx = \sin(x) + C}\)

A los ejemplos. Recordemos eso\(x^{-m} = \frac{1}{x^m}\) y.

Regla de potencia con potencias fraccionarias y negativas

• Encuentra.

  Los poderes negativos y fraccionarios funcionan de la misma manera que los poderes positivos con los que hemos estado trabajando. Vemos

  

  En este punto, vamos a escribirlo en una calculadora para obtener una respuesta aproximada. Vemos que se trata de la integral\(\boxed{23.36}\).

• Encuentra\(\int_1^2 \frac{1}{x^4}dx\).

  Este problema se convierte en un problema de regla de potencia inversa si lo notamos\(\frac{1}{x^4} = x^{-4}\). Vemos

  \[\begin{align*} \int_1^2 \frac{1}{x^4}dx & = \int_1^2 x^{-4}dx \\ & = \frac{x^{-5}}{-5} \Big|_1^2 \\ & = -\frac{1}{5x^5} \Big|_1^2 \\ & = \left( -\frac{1}{5(2)^5} \right) - \left( -\frac{1}{5(1)^5} \right) \\ & = -\frac{1}{160} + \frac{1}{5} \\ & = -\frac{1}{160} + \frac{32}{160} \\ & = \boxed{\frac{31}{160}}. \end{align*}\]

• Encuentra\(\int_{25}^{100} \sqrt{x}dx\).

  Si lo recordamos, este es un problema de regla de poder.

  

Ahora para funciones logarítmicas y exponenciales.

Funciones logarítmicas y exponenciales e integración

• Encuentra\(\int_1^5 \frac{2}{x}dx\).

  Para este problema, puede tener la tentación de escribir esto como\(2x^{-1}\) y usar la regla de potencia inversa. Buenos instintos, pero en este caso no va a funcionar (pruébalo: ¡lleva a la división por cero!). Entonces, en cambio, invertiremos la derivada del logaritmo natural.

  *** QuickLaTeX cannot compile formula:
  \begin{align*}
  \int_1^5 \frac{2}{x}dx & = 2 \int_1^5 \frac{1}{x}dx \\
  & = 2 \left( \ln(x) \right) \Big|_1^5 \\
  & = (2 \ln(5)) - (2 \ln(1)) \\
  & = 2 \ln(5) - 0 \\
  & = 2 \ln(5) \approx \boxed{3.2}.
  \end{align*}
  
  *** Error message:
  Error: get_image_size(): -1
  

• Encuentra\(\int_{-2}^2 7 e^{x}dx\).

  \(e^x\)es la mejor función para el cálculo. ¡No cambia con la integración!

  \[\begin{align*} \int_{-2}^2 7 e^xdx & = 7 \int_{-2}^2 e^xdx \\ & = 7 (e^x) \Big|_{-2}^2 \\ & = (7 e^{2}) - (7 e^{-2}) \end{align*}\]

  No hay mucho que hacer para simplificar esto, pero podemos obtener una aproximación decimal:\(\approx \boxed{50.78}\).