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7.1: Reglas de potencia, exponencial, trigonometría y logaritmo

  • Page ID
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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

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    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

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    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Ya hemos visto la regla de potencia inversa, pero aquí está otra vez:

    \(\boxed{\int x^mdx = \frac{x^{m + 1}}{m+1} + C}\)

    Tenga en cuenta que esto solo funciona si\(m \neq -1\). Sin embargo, aún no hemos visto cómo funciona esto con potencias fraccionarias y negativas. Haremos algunos ejemplos de esto.

    También podemos “deshacer” las derivadas para funciones exponenciales, logarítmicas o trigonométricas.

    \(\boxed{\int e^xdx = e^x + C}\)

    \(\boxed{\int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C}\)

    \(\boxed{\int \sin(x)dx = -\cos(x) + C}\)

    \(\boxed{\int \cos(x)dx = \sin(x) + C}\)

    A los ejemplos. Recordemos eso\(x^{-m} = \frac{1}{x^m}\) y.

    Regla de potencia con potencias fraccionarias y negativas
    • Encuentra.

      Los poderes negativos y fraccionarios funcionan de la misma manera que los poderes positivos con los que hemos estado trabajando. Vemos

      En este punto, vamos a escribirlo en una calculadora para obtener una respuesta aproximada. Vemos que se trata de la integral\(\boxed{23.36}\).

    • Encuentra\(\int_1^2 \frac{1}{x^4}dx\).

      Este problema se convierte en un problema de regla de potencia inversa si lo notamos\(\frac{1}{x^4} = x^{-4}\). Vemos

      \[\begin{align*} \int_1^2 \frac{1}{x^4}dx & = \int_1^2 x^{-4}dx \\ & = \frac{x^{-5}}{-5} \Big|_1^2 \\ & = -\frac{1}{5x^5} \Big|_1^2 \\ & = \left( -\frac{1}{5(2)^5} \right) - \left( -\frac{1}{5(1)^5} \right) \\ & = -\frac{1}{160} + \frac{1}{5} \\ & = -\frac{1}{160} + \frac{32}{160} \\ & = \boxed{\frac{31}{160}}. \end{align*}\]

    • Encuentra\(\int_{25}^{100} \sqrt{x}dx\).

      Si lo recordamos, este es un problema de regla de poder.

    Ahora para funciones logarítmicas y exponenciales.

    Funciones logarítmicas y exponenciales e integración
    • Encuentra\(\int_1^5 \frac{2}{x}dx\).

      Para este problema, puede tener la tentación de escribir esto como\(2x^{-1}\) y usar la regla de potencia inversa. Buenos instintos, pero en este caso no va a funcionar (pruébalo: ¡lleva a la división por cero!). Entonces, en cambio, invertiremos la derivada del logaritmo natural.

      *** QuickLaTeX cannot compile formula:
      \begin{align*}
      \int_1^5 \frac{2}{x}dx & = 2 \int_1^5 \frac{1}{x}dx \\
      & = 2 \left( \ln(x) \right) \Big|_1^5 \\
      & = (2 \ln(5)) - (2 \ln(1)) \\
      & = 2 \ln(5) - 0 \\
      & = 2 \ln(5) \approx \boxed{3.2}.
      \end{align*}
      
      *** Error message:
      Error: get_image_size(): -1
      
    • Encuentra\(\int_{-2}^2 7 e^{x}dx\).

      \(e^x\)es la mejor función para el cálculo. ¡No cambia con la integración!

      \[\begin{align*} \int_{-2}^2 7 e^xdx & = 7 \int_{-2}^2 e^xdx \\ & = 7 (e^x) \Big|_{-2}^2 \\ & = (7 e^{2}) - (7 e^{-2}) \end{align*}\]

      No hay mucho que hacer para simplificar esto, pero podemos obtener una aproximación decimal:\(\approx \boxed{50.78}\).


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