7.3: sustitución en U

Recordemos la regla de la cadena:

\(\boxed{\cfrac{d}{dx} f(g) = f'(g) \cdot g'}\)

El método de “\(u\)-sustitución” es una forma de hacer problemas integrales que deshacen la regla de la cadena. También ayuda a lidiar con las constantes que surgen.

\(u\)-sustitución:

1. Identificar una función “interior” cuya derivada se multiplica en el exterior, posiblemente con una constante diferente. Llama a esta función “interior”\(u\).
2. Compute\(\frac{du}{dx}\) y resuelva para\(dx\).
3. Utilice la sustitución para reemplazar\(x \to u\) y\(dx \to du\), y cancelar los\(x\) términos restantes si es posible.
4. Integrar con respecto a\(u\). Si en este punto aún tienes alguna\(x\) s en tu problema, o cometiste un error o el método de\(u\) -sustitución no funcionará para este problema.
5. Sustituir la\(x\) s de nuevo en la respuesta antes de evaluar la integral definida.

Hagamos algunos ejemplos.

\(u\)-substitution

Encuentra\(\int_0^3 e^{(-5x)}dx\).

Seguiremos los pasos de\(u\) sustitución.

1. En este caso, la “función interior” es\(u = -5x\).
2. Si calculamos\(\frac{du}{dx}\), vemos la derivada de\(-5x\) is\(-5\). De ahí\(\frac{du}{dx} = -5,\) y tenemos solución para\(dx\)

   \[\begin{align*} \frac{du}{dx} & = -5 \\ du & = -5 dx \\ -\frac{1}{5} du & = dx \end{align*}\]

3. Volviendo al problema original y usando sustitución\(u = -5x\) y\(dx = -\frac{1}{5} du\), así tenemos:

   \[\begin{align*} \int_0^3 e^{-5x}dx & \int_0^3 e^u dx \\ & = \int_0^3 e^u \left(- \frac{1}{5} du\right) \\ & = \int_0^3 -\frac{1}{5} e^udu. \end{align*}\]

4. Integrar con respecto a\(u\),

   \[\begin{align*} \int_0^3 - \frac{1}{5} e^udu & = -\frac{1}{5} \int_0^3 e^udu \\ & = -\frac{1}{5} e^u \Big|_0^3 \end{align*}\]

5. Ahora sustituimos\(u = -5x\). Tenemos

   \[\begin{align*} -\frac{1}{5} e^u \Big|_0^3 & = -\frac{1}{5}e^{-5x} \Big|_0^3 \\ & = \left(-\frac{1}{5}e^{-15}\right) - \left(-\frac{1}{5}e^{-5(0)} \right) \\ & = -\frac{e^{-15}}{5} + \frac{1}{5} \\ & = \frac{1 - e^{-15}}{5}\\ & \approx \boxed{0.2} \end{align*}\]

   Ahí vamos.

\(u\)-substitution

Encuentra la integral indefinida\(\int x(x^2 + 1)^7dx\).

Nuevamente, pasaremos por los pasos de\(u\) -sustitución.

1. La función interior en este caso es\(x^2 + 1\). Podemos ver que la derivada es\(2x\), y esto es bueno ya que hay una salida\(x\) multiplicada al frente (la\(2\) es solo una constante con la que podemos lidiar). Set\(u = x^2 + 1\).
2. Vemos\(\frac{du}{dx} = 2x\), y de ahí resolviendo\(dx\) porque tenemos\(\frac{du}{2x} = dx\).
3. Subbing en\(u = x^2 + 1\) y\(dx = \frac{du}{2x}\), tenemos

   \[\begin{align*} \int x (x^2 + 1)^7dx & = \int x u^7dx \\ & = \int x u^7 \left( \frac{du}{2x} \right) \\ & = \int \frac{x}{2x} u^7du \\ & = \int \frac{1}{2} u^7du \end{align*}\]

   Genial, los\(x\) s se han ido!

4. Ahora podemos integrarnos con respecto a\(u\).

   \[\begin{align*} \int \frac{1}{2} u^7du & = \frac{1}{2} \int u^7du \\ & = \frac{1}{2} \frac{u^8}{8} \\ & = \frac{u^8}{16} \end{align*}\]

5. Por último, volvemos a sub en la\(x\) s usando\(u = x^2 + 1\).

   \[\begin{align*} \frac{u^8}{16} & = \boxed{\frac{(x^2 + 1)^8}{16} + C} \end{align*}\]

   Al tratarse de una integral indefinida, sumamos la constante de integración.

\(u\)-substitution

Encuentra la integral indefinida\(\int \frac{8(\ln(x))^3}{x}dx\).

Nuevamente, pasaremos por los pasos de\(u\) -sustitución.

1. La función interior en este caso es\(\ln(x)\). Podemos ver que el derivado es\(\frac{1}{x}\), y esto es bueno ya que hay una\(x\) división del resto del problema. Set\(u = \ln(x)\).
2. Vemos\(\frac{du}{dx} =\frac{1}{x}\), y de ahí resolviendo\(dx\) porque tenemos\(\frac{du}{\frac{1}{x}} = dx\).
3. Subbing en\(u =\ln(x)\) y\(dx = \frac{du}{\frac{1}{x}}\), tenemos

   \[\begin{align*} \int \frac{8 (\ln(x))^3}{x}dx & = \int \frac{8 u^3}{x} \cdot \frac{du}{\frac{1}{x}} \\ & = \int \frac{8 u^3}{x \cdot \frac{1}{x}}du \\ & = \int \frac{8 u^3}{1}du \\ & = \int 8 u^3du \\ \end{align*}\]

   Genial, los\(x\) s se han ido!

4. Ahora podemos integrarnos con respecto a\(u\).

   \[\begin{align*} \int 8 u^3du & = 8 \cdot \frac{1}{4} u^4 \\ & = 2 u^4 \end{align*}\]

5. Por último, volvemos a sub en la\(x\) s usando\(u = \ln(x)\).

   \[\begin{align*} \int \frac{8(\ln(x))^3}{x}dx & = \boxed{2 (\ln(x))^4 + C}. \end{align*}\]

Si la función interior es lineal, la\(u\) -sustitución es mucho más simple, e incluso hay una fórmula para ella (al igual que en el\(\int e^{-5x}dx\) ejemplo anterior). Por la regla de la cadena con\(g = mx + b\) y\(g' = m\), tenemos

\[\begin{align*} \frac{d}{dx} \frac{1}{m} f(mx + b) & = \frac{1}{m} \frac{d}{dx} f(mx + b) \\ & = \frac{1}{m} \left( f'(g) \cdot g' \right) \\ & = \frac{1}{m} f'(mx + b) \cdot m \\ & = \frac{m}{m} f'(mx + b) \\ & = f'(mx + b) \end{align*}\]

Si integramos ambos lados de esta ecuación, tenemos la siguiente regla útil a la que llamo el “atajo de regla de cadena”:

\(\boxed{\int f'(mx + b)dx = \frac{1}{m} f(mx + b)}\)

Esto es especialmente importante si\(f(x) = e^{mx}\). En este caso, tenemos

\(\boxed{\int e^{mx}dx = \frac{1}{m} e^{mx}}\)

En otras palabras, integras igual que lo normal sin ninguna\(u\) sustitución, y luego agregas un\(\frac{1}{m}\) factor por el hecho de que tienes\(mx + b\) dentro de la función en lugar de solo una\(x\).

Veamos un par de ejemplos de esto:

Atajo de regla de cadena

• Encuentra\(\int (6x - 3)^4dx\).

  Usando la regla de potencia inversa, vemos que esto se vuelve\(\frac{(6x - 3)^5}{5}\). No obstante, necesitamos ese\(\frac{1}{m}\) factor ya que el problema tiene un\(6x - 3\) en él. Entonces la respuesta final es

  \(\frac{1}{6} \frac{(6x - 3)^5}{5} = \frac{(6x - 3)^5}{30} + C.\)

  Obtendrías lo mismo haciendo una\(u\) sustitución completa con\(u = 6x - 3\). De esta manera, sin embargo, ahorras algo de tiempo simplemente multiplicando por\(\frac{1}{6}\).

• Encuentra\(\int_{-2}^{-1} (3x + 5)^7dx\).

  Nuevamente, usamos el atajo\(u\) -sub —solo necesitamos hacer regla de poder y recordar un\(\frac{1}{m}\) factor, que en este caso lo es\(\frac{1}{3}\).

  \[\begin{align*} \int_{-2}^{-1} (3x + 5)^7dx & = \frac{1}{3} \frac{(3x + 5)^8}{8} \Big|_{-2}^{-1} \\ & = \frac{(3x + 5)^8}{24} \Big|_{-2}^{-1} \\ & = \left( \frac{(3(-1) + 5)^8}{24} \right) - \left( \frac{(3(-2) + 5)^8}{24} \right) \\ & = \frac{256}{24} - \frac{1}{24} \\ & = \frac{255}{24} \\ & = \frac{83}{8} \end{align*}\]

• Encuentra\(\int e^{0.05t}dt\).

  El antiderivado aquí es justo\(\frac{1}{0.05} e^{0.05t}\). Podemos enchufar\(20\), entonces la respuesta es\(\boxed{20 e^{0.05t} + C}\).