1.10: Opcional — Movimiento Planetario

Volvemos ahora a la afirmación, hecha en §1.9 sobre las fuerzas centrales, de que si\(\vecs{r} (t)\) obedece la ley cuadrada inversa de Newton

\[ \frac{\mathrm{d}^{2}\vecs{r}}{\mathrm{d}t^{2}} = -\frac{GM}{r^3}\vecs{r} = -\frac{GM}{r^2}\hat{\textbf{r}} \nonumber \]

entonces la curva obedece las leyes de Kepler

1. \(\vecs{r} (t)\)corre sobre una elipse que tiene un foco en el origen y
2. \(\vecs{r} (t)\)barre áreas iguales en tiempos iguales y
3. el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del eje mayor de la elipse.

Acabamos de mostrar, en §1.9, que el hecho de que\(-\frac{GM}{r^3}\vecs{r} \) sea paralelo a\(\vecs{r} \) implica que\(\vecs{r} (t)\) yace en un plano a través del origen y barre igual área en tiempos iguales. Ahora verificamos las leyes restantes de Kepler.

Comenzamos con solo reescribir las leyes de Newton arriba en coordenadas polares. Vimos en Lemma 1.8.2.c, que si escribimos\(\vecs{r} (t) = r(t)\,\hat{\textbf{r}}(t)\text{,}\) entonces

\[\begin{align*} \frac{\mathrm{d}^{2}\vecs{r}}{\mathrm{d}t^{2}} &= \left(\frac{\mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}}-r\ \left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2\right) \hat{\textbf{r}} +\left(r\ \frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}t^{2}} + 2 \dfrac{dr}{dt}\ \dfrac{d\theta}{dt}\right)\hat{\boldsymbol{\theta}}\\ &= -\frac{GM}{r^3}\vecs{r} = -\frac{GM}{r^2}\hat{\textbf{r}} \end{align*}\]

Los\(\hat{\boldsymbol{\theta}}\) componentes\(\hat{\textbf{r}}\) y de esta ecuación son

\[\begin{align*} \frac{\mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}}-r\ \left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2 &= -\frac{GM}{r^2}\\ r\ \frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}t^{2}} + 2 \dfrac{dr}{dt}\ \dfrac{d\theta}{dt} &= 0 \end{align*}\]

La segunda de estas dos ecuaciones sólo nos dice que

\[ \dfrac{d\ }{dt}\left\{r^2\,\dfrac{d\theta}{dt}\right\} = r\left\{ r\ \frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}t^{2}} + 2 \dfrac{dr}{dt}\ \dfrac{d\theta}{dt}\right\} = 0 \implies r^2\,\dfrac{d\theta}{dt} = h,\quad\text{a constant} \nonumber \]

que ya sabíamos. Sustituir\(\dfrac{d\theta}{dt} =\frac{h}{r^2}\) en la primera ecuación da

Ecuación 1.10.1

\[ \frac{\mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}}-\frac{h^2}{r^3} = -\frac{GM}{r^2} \nonumber \]

Estas ecuaciones contienen muchos de\(\frac{1}{r}\). Así que vamos a establecer\(u=\frac{1}{r}\text{.}\) Además, para la primera de las leyes de Kepler, realmente queremos\(r\) como una función de\(\theta\) en lugar de\(t\text{.}\) Así que hagamos\(u\) una función de\(\theta\) y escribamos

\[ r(t) = \frac{1}{u(\theta(t))} \nonumber \]

Entonces

\[\begin{align*} \dfrac{dr}{dt}(t) &= -\frac{1}{u^2} \dfrac{du}{d\theta}\big(\theta(t)\big)\dfrac{d\theta}{dt}(t) = - h\dfrac{du}{d\theta}\big(\theta(t)\big)\qquad \text{since } \dfrac{d\theta}{dt} = \frac{h}{r^2}=hu^2\\ \frac{\mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}}(t) &= -h\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}\big(\theta(t)\big)\dfrac{d\theta}{dt}(t) = -h^2 u\big(\theta(t)\big)^2 \frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}\big(\theta(t)\big) \end{align*}\]

y nuestra ecuación se convierte

Ecuación 1.10.2

\[ -h^2u^2\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}} -h^2u^3= -GM u^2\qquad\text{or}\qquad \frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}} + u = \frac{GM}{h^2} \nonumber \]

Se trata de una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, lineal, con coeficientes constantes. Recordemos ¹ que la solución general de tal ecuación es la suma de una “solución particular” (es decir, cualquier solución, que en este caso podemos tomar como la función constante\(\frac{GM}{h^2}\)) más la solución general de la ecuación homogénea\(u'+u=0\text{,}\) que a menudo se escribe como

\[ A\cos\theta +B\sin\theta \nonumber \]

con\(A\) y constantes\(B\) arbitrarias. En esta aplicación particular es más conveniente escribir la solución en una forma diferente, estándar pero menos utilizada. A saber, podemos usar el triángulo

escribir\(A= C\cos\alpha\) y para\(B=C\sin\alpha\) que la solución general de la ecuación homogénea\(u'+u=0\) se convierta

\[ C\cos\alpha\cos\theta +C\sin\alpha\sin\theta =C\cos(\theta-\alpha) \nonumber \]

con\(C\) y\(\alpha\) siendo constantes arbitrarias. Entonces la solución general a 1.10.2 es

\[ u(\theta) = \frac{GM}{h^2} + C\cos(\theta-\alpha) \nonumber \]

y la solución general a 1.10.1 es

\[ r(t) = \frac{1}{\frac{GM}{h^2} + C\cos(\theta(t)-\alpha)} \nonumber \]

El ángulo\(\alpha\) simplemente desplaza el punto cero de nuestra coordenada\(\theta\text{.}\) Al rotar nuestro sistema de coordenadas\(\alpha\text{,}\) podemos organizar eso\(\alpha=0\) y luego

\[ r(t) = \frac{1}{\frac{GM}{h^2} + C\cos(\theta(t))} = \frac{\ell}{1+\varepsilon\cos\theta} \qquad\text{with}\quad \ell=\frac{h^2}{GM},\ \varepsilon=\frac{Ch^2}{GM} \nonumber \]

Como vimos en el Ejemplo 1.8.4, esta es exactamente la ecuación de una sección cónica con excentricidad\(\varepsilon\text{.}\)

Eso deja sólo la última de las leyes de Kepler, relacionando el periodo con el semieje mayor. Como estamos hablando de planetas, cuyas órbitas permanecen delimitadas, nuestra sección cónica debe ser un círculo o elipse, más que una parábola o hipérbola. Mirando hacia atrás en el Ejemplo 1.8.5, vemos que los ejes semi-mayor y semi-menor de nuestra elipse son

\[\begin{gather*} a=\frac{\ell}{1-\varepsilon^2} \qquad b=\frac{\ell}{\sqrt{1-\varepsilon^2}} \end{gather*}\]

El periodo\(T\) de nuestra órbita es solo el tiempo que tarda el vector\(\vecs{r} (t)\) de radio en barrer el área de la elipse ², que es A\(\pi ab\text{.}\) medida que la velocidad a la que el vector de radio está barriendo el área es que\(\frac{1}{2} r^2\dfrac{d\theta}{dt} = \frac{h}{2}\text{,}\) tenemos

\[\begin{gather*} T^2 = \Big(\frac{\pi a b}{h/2}\Big)^2 =\frac{4\pi^2 a^2 b^2}{h^2} =\frac{4\pi^2 a^2 b^2}{GM\ell} =\frac{4\pi^2}{GM}\ a^3\qquad \text{since }\ell=\frac{b^2}{a} \end{gather*}\]

 

1. Ver Apéndice A.9.
2. Probablemente calculaste el área de una elipse en el cálculo del primer año. Si no, deberías poder hacerlo ahora en pocas líneas.