1: Curvas

Ejemplo 1.0.1. Parametrización de\(x^2+y^2=a^2\)

Si bien a menudo usaremos\(t\) como parámetro en una curva parametrizada no\(\vecs{r} (t)\text{,}\) hay necesidad de llamarla\(t\text{.}\) A veces es natural usar un nombre diferente para el parámetro. Por ejemplo, considera el círculo\(x^2+y^2=a^2\text{.}\) Es natural usar el ángulo\(\theta\) en el boceto de abajo para etiquetar el punto\(\big(a\cos\theta\,,\,a\sin\theta\big)\) en el círculo.

Es decir,

\[ \vecs{r} (\theta) = \big(a\cos\theta\,,\,a\sin\theta\big)\qquad 0\le \theta\lt 2\pi \nonumber \]

es una parametrización del círculo\(x^2+y^2=a^2\text{.}\) Con solo mirar la figura de arriba, queda claro que, como\(\theta\) corre de\(0\) a\(2\pi\text{,}\)\(\vecs{r} (\theta)\) traza el círculo completo.

Sin embargo, ten en cuenta que solo saber que\(\vecs{r} (t)\) se encuentra en una curva especificada no garantiza que, como\(t\) varía,\(\vecs{r} (t)\) cubra toda la curva. Por ejemplo, como\(t\) corre sobre toda la línea real,\(\frac{2}{\pi}\arctan(t)\) corre sobre el intervalo\((-1,1)\text{.}\) For all\(t\text{,}\)

\[ \vecs{r} (t) = \big(x(t),y(t)\big) = a\left(\frac{2}{\pi}\arctan(t)\,,\, \sqrt{1-\frac{4}{\pi^2}\arctan^2(t)}\,\right) \nonumber \]

está bien definido y obedece\(x(t)^2+y(t)^2=a^2\text{.}\) Pero esto\(\vecs{r} (t)\) no cubre todo el círculo porque siempre\(y(t)\) es positivo.

Ejemplo 1.0.2. Parametrización de\((x-h)^2+(y-k)^2=a^2\)

Podemos ajustar la parametrización del Ejemplo 1.0.1 para obtener una parametrización del círculo de radio en el\(a\) que se centra\((h,k)\text{.}\) Una forma de hacerlo es redibujar el boceto del Ejemplo 1.0.1 con el círculo traducido para que su centro esté en\((h,k)\text{.}\)

Vemos por el boceto que

\[ \vecs{r} (\theta) = \big(h+a\cos\theta\,,\,k+a\sin\theta\big)\qquad 0\le \theta\lt 2\pi \nonumber \]

es una parametrización del círculo\((x-h)^2+(y-k)^2=a^2\text{.}\)

Una segunda forma de llegar a esta parametrización es observar que podemos convertir la identidad trigonométrica\(\cos^2 t + \sin^2 t=1\) en la ecuación\((x-h)^2+(y-k)^2=a^2\) del círculo mediante

• multiplicando la identidad trigonométrica por\(a^2\) para obtener\((a\cos t)^2 +(a\sin t)^2 =a^2\) y luego
• ambientación\(\ a\cos t=x-h\ \) y\(\ a\sin t=y-k\ \text{,}\) que se\((a\cos t)^2 +(a\sin t)^2 =a^2\) convierte en\((x-h)^2+(y-k)^2=a^2\text{.}\)

Ejemplo 1.0.3. Parametrización de\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) and of \(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\)

Podemos construir parametrizaciones de las curvas\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) y\(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\) a partir de la identidad\(\cos^2 t + \sin^2 t=1\text{,}\) trigonométrica como hicimos en la segunda parte del último ejemplo.

• Ajuste\(\ \cos t=\frac{x}{a}\ \) y\(\ \sin t=\frac{y}{b}\ \) se\(\cos^2 t +\sin^2 t =1\) convierte en\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\text{.}\)
• Ajuste\(\ \cos t= \big(\frac{x}{a}\big)^{\frac{1}{3}}\ \) y\(\ \sin t=\big(\frac{y}{a}\big)^{\frac{1}{3}}\ \) se\(\cos^2 t +\sin^2 t =1\) convierte en\(\frac{x^{2/3}}{a^{2/3}}+\frac{y^{2/3}}{a^{2/3}}=1\text{.}\)

Entonces

\[\begin{alignat*}{2} \vecs{r} (t) &= \big(a\cos t\,,\,b\sin t\big)\qquad &0\le t\lt 2\pi\\ \vecs{r} (t) &= \big(a\cos^3 t\,,\,a\sin^3 t\big) &0\le t\lt 2\pi \end{alignat*}\]

dar parametrizaciones de\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) y\(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\text{,}\) respectivamente. Para ver que correr\(t\) de\(0\) a\(2\pi\) corre\(\vecs{r} (t)\) una vez alrededor de la curva, mira las figuras a continuación.

La curva\(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\) se llama astroide. De su ecuación, esperaríamos que su boceto pareciera un círculo deformado. Pero probablemente no sea tan obvio que tendría los trozos puntiagudos de la figura de la mano derecha. No vamos a explicar aquí por qué surgen. El astroide se estudia con cierto detalle en el Ejemplo 1.1.9. En particular, allí se desarrolla cuidadosamente el boceto anterior.

Ejemplo 1.0.4. Parametrización de\(e^y=1+x^2\)

Un método muy fácil que a menudo puede crear parametrizaciones para una curva es usar\(x\) o\(y\) como parámetro. Porque podemos resolver\(e^y=1+x^2\) para\(y\) como una función de\(x\text{,}\) saber\(y=\ln\big(1+x^2\big)\text{,}\) podemos usar\(x\) como parámetro simplemente configurando\(t=x\text{.}\) Esto da la parametrización

\[ \vecs{r} (t) = \big(t\,,\,\ln(1+t^2)\big)\qquad -\infty\lt t\lt \infty \nonumber \]

Ejemplo 1.0.5. Parametrización de\(x^2+y^2=a^2\text{,}\) again

También es bastante común que se pueda usar cualquiera\(x\) o\(y\) para parametrizar parte de, pero la totalidad de, una curva. Un ejemplo sencillo es el círculo\(x^2+y^2=a^2\text{.}\) Para cada uno\(-a\lt x\lt a\text{,}\) hay dos puntos en el círculo con ese valor de\(x\text{.}\) Así no se puede usar\(x\) para parametrizar todo el círculo. De igual manera, para cada uno\(-a\lt y\lt a\text{,}\) hay dos puntos en el círculo con ese valor de\(y\text{.}\) Así que no se puede usar\(y\) para parametrizar todo el círculo. Por otro lado

\[\begin{alignat*}{2} \vecs{r} (t) &= \big(t\,,\,\sqrt{a^2-t^2}\big)\qquad &-a\lt t\lt a \\ \vecs{r} (t) &= \big(t\,,\,-\sqrt{a^2-t^2}\big)\qquad &-a\lt t\lt a \end{alignat*}\]

proporcionar parametrizaciones de la mitad superior y la mitad inferior, respectivamente, del círculo utilizando\(x\) como parámetro, y

\[\begin{alignat*}{2} \vecs{r} (t) &= \big(\sqrt{a^2-t^2}\,,\,t\big)\qquad &-a\lt t\lt a \\ \vecs{r} (t) &= \big(-\sqrt{a^2-t^2}\,,\,t\big)\qquad &-a\lt t\lt a \end{alignat*}\]

proporcionar parametrizaciones de la mitad derecha y la mitad izquierda, respectivamente, del círculo utilizando\(y\) como parámetro.

Ejemplo 1.0.6. Unparametrización de\(\vecs{r} (t)=(\cos t, 7-t)\)

En este ejemplo, desharemos la parametrización\(\vecs{r} (t)=(\cos t, 7-t)\) y encontraremos la ecuación cartesiana de la curva en cuestión. Podemos reescribir la parametrización como

\[\begin{align*} x&=\cos t \\ y&=7-t \end{align*}\]

Tenga en cuenta que podemos eliminar el parámetro\(t\) simplemente usando la segunda ecuación para resolver para\(t\) como una función de Saber\(y\text{.}\)\(t=7-y\text{.}\) Sustituir esto en la primera ecuación nos da la ecuación cartesiana

\[ x=\cos(7-y) \nonumber \]

Ejemplo 1.0.7

El conjunto de todos\((x,y,z)\) obedeciendo

\[\begin{alignat*}{2} x^3&-e^{3y} &&=0\\ x^2&-e^{y} +z &&=0 \end{alignat*}\]

es una curva. Podemos elegir usar\(y\) como parámetro y pensar en

\[\begin{alignat*}{2} x^3& &&=e^{3y}\\ x^2&+z &&=e^{y} \end{alignat*}\]

como un sistema de dos ecuaciones para las dos incógnitas\(x\) y\(z\text{,}\) con\(y\) ser tratado como una constante dada, más que como una desconocida. Ahora podemos resolver la primera ecuación para\(x\text{,}\) sustituir el resultado en la segunda ecuación, y finalmente resolver para\(z\text{.}\)

\[\begin{alignat*}{4} x^3& &&=e^{3y} &&\implies x=e^y\\ x^2&+z &&=e^{y} && &&\implies e^{2y}+z=e^y \implies z=e^y-e^{2y} \end{alignat*}\]

Entonces

\[ \vecs{r} (y) = \big(e^y\,,\,y\,,\,e^y-e^{2y}\big) \nonumber \]

es una parametrización para la curva dada.

Ejemplo 1.0.8

El ejemplo anterior fue amañado para que fuera fácil de resolver para\(x\) y\(z\) como funciones de\(y\text{.}\) En la práctica no siempre es fácil, o incluso posible, hacerlo. Un ejemplo más realista es el conjunto de todos\((x,y,z)\) obedeciendo

\[\begin{alignat*}{1} x^2+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{3}&=1\\ x^2+2y^2&=z \end{alignat*}\]

que es la curva azul en la figura anterior. Sustituir\(x^2=z-2y^2\) (de la segunda ecuación) en la primera ecuación da

\[ -\frac{3}{2}y^2+z+\frac{z^2}{3}=1 \nonumber \]

o, completando la plaza,

\[ -\frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{3}\Big(z+\frac{3}{2}\Big)^2 = \frac{7}{4} \nonumber \]

Si, por ejemplo, nos interesan los puntos\((x,y,z)\) en la curva con\(y\ge 0\text{,}\) esto se puede resolver para dar\(y\) en función de\(z\text{.}\)

\[ y=\sqrt{\frac{2}{9}\Big(z+\frac{3}{2}\Big)^2-\frac{14}{12}} \nonumber \]

Entonces\(x^2=z-2y^2\) también da\(x\) como una función de\(z\text{.}\) Si\(x\ge 0\text{,}\)

\[\begin{align*} x&=\sqrt{z-\frac{4}{9}\Big(z+\frac{3}{2}\Big)^2+\frac{14}{6}}\\ &=\sqrt{\frac{4}{3}-\frac{4}{9}z^2-\frac{1}{3}z} \end{align*}\]

Los otros signos de\(x\) y se\(y\) pueden obtener mediante el uso de las raíces cuadradas apropiadas. En este ejemplo,\((x,y,z)\) está en la curva, es decir, satisface las dos ecuaciones originales, si y sólo si todas\((\pm x,\pm y, z)\) están también en la curva.