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# 1: Curvas

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Ahora vamos a estudiar funciones vectoriales de una variable real. Es decir, vamos a estudiar funciones que asignen a cada número real$$t$$ (típicamente en algún intervalo) un vector 1$$\vecs{r} (t)\text{.}$$ Por ejemplo

$\vecs{r} (t) = \big( x(t), y(t), z(t)\big) \nonumber$

podría ser la posición de una partícula en el tiempo$$t\text{.}$$ Como$$t$$ varía,$$\vecs{r} (t)$$ barre una curva.

Si bien en algunas aplicaciones efectivamente$$t$$ será “tiempo”, no tiene por qué serlo. Puede ser simplemente un parámetro que se usa para etiquetar los diferentes puntos de la curva que$$\vecs{r} (t)$$ barre. Entonces decimos que$$\vecs{r} (t)$$ proporciona una parametrización de la curva.

##### Ejemplo 1.0.1. Parametrización de$$x^2+y^2=a^2$$

Si bien a menudo usaremos$$t$$ como parámetro en una curva parametrizada no$$\vecs{r} (t)\text{,}$$ hay necesidad de llamarla$$t\text{.}$$ A veces es natural usar un nombre diferente para el parámetro. Por ejemplo, considera el círculo$$x^2+y^2=a^2\text{.}$$ Es natural usar el ángulo$$\theta$$ en el boceto de abajo para etiquetar el punto$$\big(a\cos\theta\,,\,a\sin\theta\big)$$ en el círculo.

Es decir,

$\vecs{r} (\theta) = \big(a\cos\theta\,,\,a\sin\theta\big)\qquad 0\le \theta\lt 2\pi \nonumber$

es una parametrización del círculo$$x^2+y^2=a^2\text{.}$$ Con solo mirar la figura de arriba, queda claro que, como$$\theta$$ corre de$$0$$ a$$2\pi\text{,}$$$$\vecs{r} (\theta)$$ traza el círculo completo.

Sin embargo, ten en cuenta que solo saber que$$\vecs{r} (t)$$ se encuentra en una curva especificada no garantiza que, como$$t$$ varía,$$\vecs{r} (t)$$ cubra toda la curva. Por ejemplo, como$$t$$ corre sobre toda la línea real,$$\frac{2}{\pi}\arctan(t)$$ corre sobre el intervalo$$(-1,1)\text{.}$$ For all$$t\text{,}$$

$\vecs{r} (t) = \big(x(t),y(t)\big) = a\left(\frac{2}{\pi}\arctan(t)\,,\, \sqrt{1-\frac{4}{\pi^2}\arctan^2(t)}\,\right) \nonumber$

está bien definido y obedece$$x(t)^2+y(t)^2=a^2\text{.}$$ Pero esto$$\vecs{r} (t)$$ no cubre todo el círculo porque siempre$$y(t)$$ es positivo.

##### Ejemplo 1.0.2. Parametrización de$$(x-h)^2+(y-k)^2=a^2$$

Podemos ajustar la parametrización del Ejemplo 1.0.1 para obtener una parametrización del círculo de radio en el$$a$$ que se centra$$(h,k)\text{.}$$ Una forma de hacerlo es redibujar el boceto del Ejemplo 1.0.1 con el círculo traducido para que su centro esté en$$(h,k)\text{.}$$

Vemos por el boceto que

$\vecs{r} (\theta) = \big(h+a\cos\theta\,,\,k+a\sin\theta\big)\qquad 0\le \theta\lt 2\pi \nonumber$

es una parametrización del círculo$$(x-h)^2+(y-k)^2=a^2\text{.}$$

Una segunda forma de llegar a esta parametrización es observar que podemos convertir la identidad trigonométrica$$\cos^2 t + \sin^2 t=1$$ en la ecuación$$(x-h)^2+(y-k)^2=a^2$$ del círculo mediante

• multiplicando la identidad trigonométrica por$$a^2$$ para obtener$$(a\cos t)^2 +(a\sin t)^2 =a^2$$ y luego
• ambientación$$\ a\cos t=x-h\$$ y$$\ a\sin t=y-k\ \text{,}$$ que se$$(a\cos t)^2 +(a\sin t)^2 =a^2$$ convierte en$$(x-h)^2+(y-k)^2=a^2\text{.}$$
##### Ejemplo 1.0.3. Parametrización de$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ and of $$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$$

Podemos construir parametrizaciones de las curvas$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ y$$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$$ a partir de la identidad$$\cos^2 t + \sin^2 t=1\text{,}$$ trigonométrica como hicimos en la segunda parte del último ejemplo.

• Ajuste$$\ \cos t=\frac{x}{a}\$$ y$$\ \sin t=\frac{y}{b}\$$ se$$\cos^2 t +\sin^2 t =1$$ convierte en$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\text{.}$$
• Ajuste$$\ \cos t= \big(\frac{x}{a}\big)^{\frac{1}{3}}\$$ y$$\ \sin t=\big(\frac{y}{a}\big)^{\frac{1}{3}}\$$ se$$\cos^2 t +\sin^2 t =1$$ convierte en$$\frac{x^{2/3}}{a^{2/3}}+\frac{y^{2/3}}{a^{2/3}}=1\text{.}$$

Entonces

\begin{alignat*}{2} \vecs{r} (t) &= \big(a\cos t\,,\,b\sin t\big)\qquad &0\le t\lt 2\pi\\ \vecs{r} (t) &= \big(a\cos^3 t\,,\,a\sin^3 t\big) &0\le t\lt 2\pi \end{alignat*}

dar parametrizaciones de$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ y$$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\text{,}$$ respectivamente. Para ver que correr$$t$$ de$$0$$ a$$2\pi$$ corre$$\vecs{r} (t)$$ una vez alrededor de la curva, mira las figuras a continuación.

La curva$$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$$ se llama astroide. De su ecuación, esperaríamos que su boceto pareciera un círculo deformado. Pero probablemente no sea tan obvio que tendría los trozos puntiagudos de la figura de la mano derecha. No vamos a explicar aquí por qué surgen. El astroide se estudia con cierto detalle en el Ejemplo 1.1.9. En particular, allí se desarrolla cuidadosamente el boceto anterior.

##### Ejemplo 1.0.4. Parametrización de$$e^y=1+x^2$$

Un método muy fácil que a menudo puede crear parametrizaciones para una curva es usar$$x$$ o$$y$$ como parámetro. Porque podemos resolver$$e^y=1+x^2$$ para$$y$$ como una función de$$x\text{,}$$ saber$$y=\ln\big(1+x^2\big)\text{,}$$ podemos usar$$x$$ como parámetro simplemente configurando$$t=x\text{.}$$ Esto da la parametrización

$\vecs{r} (t) = \big(t\,,\,\ln(1+t^2)\big)\qquad -\infty\lt t\lt \infty \nonumber$

##### Ejemplo 1.0.5. Parametrización de$$x^2+y^2=a^2\text{,}$$ again

También es bastante común que se pueda usar cualquiera$$x$$ o$$y$$ para parametrizar parte de, pero la totalidad de, una curva. Un ejemplo sencillo es el círculo$$x^2+y^2=a^2\text{.}$$ Para cada uno$$-a\lt x\lt a\text{,}$$ hay dos puntos en el círculo con ese valor de$$x\text{.}$$ Así no se puede usar$$x$$ para parametrizar todo el círculo. De igual manera, para cada uno$$-a\lt y\lt a\text{,}$$ hay dos puntos en el círculo con ese valor de$$y\text{.}$$ Así que no se puede usar$$y$$ para parametrizar todo el círculo. Por otro lado

\begin{alignat*}{2} \vecs{r} (t) &= \big(t\,,\,\sqrt{a^2-t^2}\big)\qquad &-a\lt t\lt a \\ \vecs{r} (t) &= \big(t\,,\,-\sqrt{a^2-t^2}\big)\qquad &-a\lt t\lt a \end{alignat*}

proporcionar parametrizaciones de la mitad superior y la mitad inferior, respectivamente, del círculo utilizando$$x$$ como parámetro, y

\begin{alignat*}{2} \vecs{r} (t) &= \big(\sqrt{a^2-t^2}\,,\,t\big)\qquad &-a\lt t\lt a \\ \vecs{r} (t) &= \big(-\sqrt{a^2-t^2}\,,\,t\big)\qquad &-a\lt t\lt a \end{alignat*}

proporcionar parametrizaciones de la mitad derecha y la mitad izquierda, respectivamente, del círculo utilizando$$y$$ como parámetro.

##### Ejemplo 1.0.6. Unparametrización de$$\vecs{r} (t)=(\cos t, 7-t)$$

En este ejemplo, desharemos la parametrización$$\vecs{r} (t)=(\cos t, 7-t)$$ y encontraremos la ecuación cartesiana de la curva en cuestión. Podemos reescribir la parametrización como

\begin{align*} x&=\cos t \\ y&=7-t \end{align*}

Tenga en cuenta que podemos eliminar el parámetro$$t$$ simplemente usando la segunda ecuación para resolver para$$t$$ como una función de Saber$$y\text{.}$$$$t=7-y\text{.}$$ Sustituir esto en la primera ecuación nos da la ecuación cartesiana

$x=\cos(7-y) \nonumber$

Las curvas a menudo surgen como la intersección de dos superficies. Por ejemplo, la intersección del elipsoide$$x^2+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{3}=1$$ con el paraboloide$$z=x^2+2y^2$$ es la curva azul en la siguiente figura.

Una forma de parametrizar tales curvas es elegir una de las tres coordenadas$$x\text{,}$$$$y\text{,}$$$$z$$ como parámetro, y resolver las dos ecuaciones dadas para las dos coordenadas restantes, como funciones del parámetro. Aquí hay dos ejemplos.

##### Ejemplo 1.0.7

El conjunto de todos$$(x,y,z)$$ obedeciendo

\begin{alignat*}{2} x^3&-e^{3y} &&=0\\ x^2&-e^{y} +z &&=0 \end{alignat*}

es una curva. Podemos elegir usar$$y$$ como parámetro y pensar en

\begin{alignat*}{2} x^3& &&=e^{3y}\\ x^2&+z &&=e^{y} \end{alignat*}

como un sistema de dos ecuaciones para las dos incógnitas$$x$$ y$$z\text{,}$$ con$$y$$ ser tratado como una constante dada, más que como una desconocida. Ahora podemos resolver la primera ecuación para$$x\text{,}$$ sustituir el resultado en la segunda ecuación, y finalmente resolver para$$z\text{.}$$

\begin{alignat*}{4} x^3& &&=e^{3y} &&\implies x=e^y\\ x^2&+z &&=e^{y} && &&\implies e^{2y}+z=e^y \implies z=e^y-e^{2y} \end{alignat*}

Entonces

$\vecs{r} (y) = \big(e^y\,,\,y\,,\,e^y-e^{2y}\big) \nonumber$

es una parametrización para la curva dada.

##### Ejemplo 1.0.8

El ejemplo anterior fue amañado para que fuera fácil de resolver para$$x$$ y$$z$$ como funciones de$$y\text{.}$$ En la práctica no siempre es fácil, o incluso posible, hacerlo. Un ejemplo más realista es el conjunto de todos$$(x,y,z)$$ obedeciendo

\begin{alignat*}{1} x^2+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{3}&=1\\ x^2+2y^2&=z \end{alignat*}

que es la curva azul en la figura anterior. Sustituir$$x^2=z-2y^2$$ (de la segunda ecuación) en la primera ecuación da

$-\frac{3}{2}y^2+z+\frac{z^2}{3}=1 \nonumber$

o, completando la plaza,

$-\frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{3}\Big(z+\frac{3}{2}\Big)^2 = \frac{7}{4} \nonumber$

Si, por ejemplo, nos interesan los puntos$$(x,y,z)$$ en la curva con$$y\ge 0\text{,}$$ esto se puede resolver para dar$$y$$ en función de$$z\text{.}$$

$y=\sqrt{\frac{2}{9}\Big(z+\frac{3}{2}\Big)^2-\frac{14}{12}} \nonumber$

Entonces$$x^2=z-2y^2$$ también da$$x$$ como una función de$$z\text{.}$$ Si$$x\ge 0\text{,}$$

\begin{align*} x&=\sqrt{z-\frac{4}{9}\Big(z+\frac{3}{2}\Big)^2+\frac{14}{6}}\\ &=\sqrt{\frac{4}{3}-\frac{4}{9}z^2-\frac{1}{3}z} \end{align*}

Los otros signos de$$x$$ y se$$y$$ pueden obtener mediante el uso de las raíces cuadradas apropiadas. En este ejemplo,$$(x,y,z)$$ está en la curva, es decir, satisface las dos ecuaciones originales, si y sólo si todas$$(\pm x,\pm y, z)$$ están también en la curva.

1. Vamos a usar letras negritas, como$$\vecs{r} \text{,}$$ para designar vectores. Al escribir a mano, es más claro usar flechas, como$$\vec r\text{,}$$ en cambio.

Siendo este un texto de Cálculo, una de nuestras principales operaciones es la diferenciación. Ahora nos interesan las parametrizaciones$$\vecs{r} (t)\text{.}$$ Es muy fácil y natural extender nuestra definición de derivado de la$$\vecs{r} (t)$$ siguiente manera.
• 1.2: Reparametrización
Hay invariablemente muchas formas de parametrizar una curva dada. Algo así trivialmente, siempre se puede sustituir$$t$$ por, por ejemplo,$$3u\text{.}$$ Pero también hay formas más sustanciales de reparametrizar curvas.
• 1.3: Curvatura
Hasta el momento, cuando hemos querido aproximar una curva complicada por una curva simple cerca de algún punto, dibujamos la línea tangente a la curva en el punto. Eso es bastante crudo. En particular, las líneas tangentes son rectas, no se curvan. Tendremos una idea mucho mejor de cómo es la curva complicada si la aproximamos, localmente, por una “curva curvilínea” muy simple en lugar de por una línea recta.
• 1.4: Curvas en Tres Dimensiones
Hasta el momento, hemos desarrollado fórmulas para la curvatura, vector tangente unitario, etc., en un punto$$\vecs{r} (t)$$ de una curva que se encuentra en el$$xy$$ plano. Ahora extendemos nuestra discusión a las curvas en$$\bbbr^3\text{.}$$
• 1.5: Un Compendio de Fórmula Curva
A continuación$$\vecs{r} (t)=\big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)$$ se presenta una parametrización de alguna curva.
• 1.6: Integración a lo largo de una curva
Supongamos que tenemos una curva$$\mathcal{C}$$ que está parametrizada como$$\vecs{r} (t)$$ con$$a\le t\le b\text{.}$$ Supongamos además que en realidad$$\mathcal{C}$$ es un trozo de alambre y que la densidad (es decir, masa por unidad de longitud) del alambre en el punto$$\vecs{r}$$ es$$\rho(\vecs{r} )\text{.}$$ ¿Cómo averiguamos la masa$$\mathcal{C}\text{?}$$ de Por supuesto que utilizar la estrategia estándar de Dividir y conquistar Cálculo.
• 1.7: Deslizamiento sobre una Curva
Vamos a investigar el movimiento de una partícula de masa que se$$m$$ desliza sobre una curva suave y sin fricción que se encuentra en un plano vertical. Consideraremos tres escenarios:
• 1.8: Opcional — Coordenadas polares
Hasta ahora siempre hemos escrito vectores en dos dimensiones en cuanto a los vectores base$$\hat{\pmb{\imath}}$$ y$$\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}$$ Esto no siempre es conveniente.
• 1.9: Opcional — Fuerzas Centrales
Uno de los grandes triunfos de la mecánica newtoniana fue la explicación de las leyes de Kepler, que decía
• 1.10: Opcional — Movimiento Planetario
Volvemos ahora a la afirmación, hecha en §1.9 sobre las fuerzas centrales, de que si$$\vecs{r} (t)$$ obedece la ley cuadrada inversa de Newton
• 1.11: Opcional — El Astroide
Imagina una bola de radio$$a/4$$ rodando alrededor del interior de un círculo de radio$$a\text{.}$$ La curva trazada por un punto$$P$$ pintado en el círculo interno (esa es la curva azul en las figuras de abajo) se llama astroide. Encontraremos su ecuación.
• 1.12: Opcional — Círculos parametrizantes
Ahora discutimos una estrategia simple para parametrizar círculos en tres dimensiones, comenzando por el círculo en el$$xy$$ plano -que tiene radio$$\rho$$ y está centrado en el origen. Esto es fácil de parametrizar:

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