4.5: Opcional — ¿Qué campos vectoriales obedecen? × F = 0

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 119077

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Ya sabemos que si un campo vectorial$\vecs{F} $ pasa la prueba de cribado$\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} =0$ en todos$\mathbb{R}^2$ o$\mathbb{R}^3\text{,}$ entonces hay una función$\varphi$ con Es$\vecs{F} =\vecs{ \nabla} \varphi\text{.}$ decir,$\vecs{F} $ es conservadora. Ahora vamos a echar un primer vistazo a lo que sucede ¹ cuando$\vecs{F} $ pasa la prueba de cribado$\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} =0$ solo en algún subconjunto adecuado$\mathcal{D}$ de$\mathbb{R}^n\text{,}$$n=2$ o Simplemente$3\text{.}$ rayaremos la superficie de este tema — hay toda una subrama de las Matemáticas (cohomología teoría, que forma parte de la topología algebraica) se ocupa de una forma general de esta cuestión. Imaginaremos que se nos da un campo vectorial$\vecs{F} $ que solo se define en$\mathcal{D}$ y asumiremos

que$\mathcal{D}$ es un subconjunto conectado y abierto de$\mathbb{R}^n$ con$n=2$ o$n=3$ (ver Definición 4.5.1, a continuación)
que todas las derivadas de primer orden de todos los campos vectoriales y funciones que consideramos son continuas y
que todas las curvas que consideramos son lisas por partes. Una curva es lisa por tramos si es una unión de un número finito de curvas suaves$\mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2,\cdots,\mathcal{C}_m$ con el punto final de$\mathcal{C}_i$ ser el punto inicial de$\mathcal{C}_{i+1}$ para cada curva$1\le i \lt m\text{.}$ A es suave ² si tiene una parametrización$\vecs{r} (t)\text{,}$$a\le t\le b\text{,}$ cuya primera derivada$\vecs{r} '(t)$ existe, es continuo y es distinto de cero en todas partes.

$pSmooth.svg$

Definición 4.5.1

Dejar$n\ge 1$ ser un entero.

Let$\textbf{a}\in\mathbb{R}^n$ y$\varepsilon \gt 0\text{.}$ La bola abierta de radio$\varepsilon$ centrada en$\textbf{a}$ es
\[ B_\varepsilon(\textbf{a})=\big\{\ \textbf{x}\in\mathbb{R}^n\ \big|\ |\textbf{x}-\textbf{a}| \lt \varepsilon\ \big\} \nonumber \]
Tenga en cuenta la estricta desigualdad en$|\textbf{x}-\textbf{a}| \lt \varepsilon\text{.}$
$\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^n$Se dice que un subconjunto es un “subconjunto abierto de$\mathbb{R}^n$” si, para cada punto$\textbf{a}\in\mathcal{O}\text{,}$ hay un$\varepsilon \gt 0$ tal que$B_\varepsilon(\textbf{a})\subset\mathcal{O}\text{.}$ Equivalentemente,$\mathcal{O}$ está abierto si y sólo si se trata de una unión de bolas abiertas.
$\mathcal{D}\subset\mathbb{R}^n$Se dice que un subconjunto está conectado (por ruta) si cada par de puntos en se$\mathcal{D}$ puede unir mediante una curva suave por tramos en$\mathcal{D}\text{.}$

Aquí hay algunos ejemplos para ayudar a explicar esta definición.

Ejemplo 4.5.2

El rectángulo abierto$\mathcal{O}=\big\{\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\ \big|\ 0 \lt x \lt 1,\ 0 \lt y \lt 1\ \big\}$ es un subconjunto abierto de$\mathbb{R}^2$ porque cualquier punto$\textbf{a}=(x_0,y_0)\in\mathcal{O}$ es una distancia distinta de cero, es decir,$d=\min\big\{x_0,1-x_0,y_0,1-y_0\big\}$ lejos del límite de$\mathcal{O}\text{.}$ Entonces la bola abierta$B_{d/2}(\textbf{a})$ está contenida en$\mathcal{O}\text{.}$
El rectángulo cerrado no$\mathcal{C}=\big\{\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\ \big|\ 0\le x \le 1,\ 0 \le y \le 1\ \big\}$ es un subconjunto abierto de$\mathbb{R}^2\text{.}$ Por ejemplo,$\vecs{0}=(0,0)$ es un punto en$\mathcal{C}\text{.}$ No importa lo que$\varepsilon \gt 0$ escojamos, la bola abierta no$B_\varepsilon(\vecs{0})$ está contenida en$\mathcal{C}$ porque$B_\varepsilon(\vecs{0})$ contiene el punto$(-\frac{\varepsilon}{2},0)\text{,}$ que no está en$\mathcal{C}\text{.}$

$openSquare.svg$

$closedSquare.svg$

$xAxis.svg$
El$x$ eje -axis,$\mathcal{X}=\big\{\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\ \big|\ y=0\ \big\}\text{,}$ in no$\mathbb{R}^2$ es un subconjunto abierto de$\mathbb{R}^2$ porque para cualquier punto$(x_0,0)\in\mathcal{X}$ y cualquiera$\varepsilon \gt 0\text{,}$ la bola$B_\varepsilon\big((x_0,0)\big)$ contiene puntos con$y$ coordenadas distintas de cero y por lo tanto no está contenida en$\mathcal{X}\text{.}$
La unión de bolas abiertas
\[\begin{align*} &B_1\big((0,0)\big)\cup B_1\big((2,0)\big)\\ &\hskip1in=\left \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\big|x^2+y^2 \lt 1\text{ or }(x\!-\!2)^2+y^2 \lt 1 \right \} \end{align*}\]
no está conectado, ya que cualquier camino continuo desde, por ejemplo,$(2,0)$ hasta$(0,0)$ debe abandonar la unión. En la figura de abajo a la izquierda, se ha bosquejado un “disco vacío”$(1,0)$ solo para hacer hincapié en que el punto no$(1,0)$ está en la unión.
Por otro lado la unión de “bolas cerradas”
\[ \left \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\big|x^2+y^2\le 1\text{ or }(x-2)^2+y^2\le 1 \right \} \nonumber \]

está conectado. Por ejemplo, el segmento de línea recta de$(2,0)$ a$(0,0)$ permanece en la unión.

$openUnion.svg$ $closedUnion.svg$

Muchos, pero no todos, de los hechos básicos que desarrollamos, en §2.4.1, sobre los campos conservadores en$\mathbb{R}^n$ también se aplica (con las mismas pruebas) a los campos en$\mathcal{D}\text{.}$

Teorema 4.5.3

Para un campo vectorial$\vecs{F} $ en$\mathcal{D}\subset\mathbb{R}^n\text{,}$

\[\begin{align*} \vecs{F} \text{ is conservative on $\mathcal{D}$} &\iff \vecs{F} =\vecs{ \nabla} \varphi\text{ on $\mathcal{D}$, for some function $\varphi$}\\ &\iff \text{for each $P_0,P_1\in\mathcal{D}$, the integral }\int_\mathcal{C} \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \text{ takes}\\ &\hskip 0.5in \text{the same value for all curves $\mathcal{C}$ from $P_0$ to $P_1$}\\ &\iff \oint_\mathcal{C} \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =0\ \text{ for all closed curves $\mathcal{C}$ in $\mathcal{D}$}\\ &\ \Longrightarrow \vecs{ \nabla} \times \vecs{F} =0\ \text{ on $\mathcal{D}$} \end{align*}\]

Obsérvese que la última línea de este teorema contiene sólo una implicación unidireccional.

Combinar esto con el Teorema de Stokes 4.4.1 (cuando$n=3\text{,}$ o el Teorema de Green 4.3.2 cuando$n=2$) nos da las siguientes dos consecuencias.

Teorema 4.5.4

Si$\mathcal{D}$ tiene la propiedad que
\[ \begin{split} &\text{every closed curve $\mathcal{C}$ in $\mathcal{D}$ is the boundary} \\ &\text{of a bounded oriented surface, $\mathcal{S}$, in $\mathcal{D}$} \end{split} \tag{H} \nonumber \]
entonces
\[ \vecs{F} \text{ is conservative on $\mathcal{D}$} \iff \vecs{ \nabla} \times \vecs{F} =0\text{ on $\mathcal{D}$} \nonumber \]
Para cualquiera$\mathcal{D}\text{,}$ si está$\vecs{ \nabla} \times \vecs{F} =0$ encendido$\mathcal{D}\text{,}$ entonces$\vecs{F} $ es localmente conservador. Esto significa que para cada punto$\textbf{x}_0\in\mathcal{D}\text{,}$ hay una$\varepsilon \gt 0$ y una función$\varphi$ tal que$\vecs{F} =\vecs{ \nabla} \varphi$ en$B_\varepsilon(\textbf{x}_0)\text{.}$

Prueba

(a) Esto es simplemente porque si está$\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} =0$ encendido$\mathcal{D}$ y si la curva$\mathcal{C}=\partial\mathcal{S}\text{,}$ con$\mathcal{S}$ una superficie orientada en$\mathcal{D}\text{,}$ entonces el teorema de Stokes da

\[ \int_\mathcal{C} \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =\int_{\partial\mathcal{S}} \vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =\iint_\mathcal{S} \vecs{ \nabla} \times \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S=0 \nonumber \]

Así$\vecs{F} $ es conservador por el Teorema 4.5.3.

(b) Esto es cierto simplemente porque$B_\varepsilon(\textbf{x}_0)$ satisface la propiedad (H).

Ejemplo 4.5.5

Aquí hay algunos ejemplos de$\mathcal{D}$'s que violan (H).

Cuando$\mathcal{D}=\mathcal{D}_1=\big\{\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\ \big|\ 0 \lt |(x,y)| \lt 3\big\}$ (una bola abierta con su centro eliminado), entonces el círculo$x^2+y^2=4$ es una curva en$\mathcal{D}$ que no es el límite de una superficie en$\mathcal{D}\text{.}$ El círculo$x^2+y^2=4$ es el límite del disco$x^2+y^2 \lt 4\text{,}$ pero el disco no$x^2+y^2 \lt 4$ está contenido$\mathcal{D}$ porque el punto$(0,0)$ está en el disco y no en$\mathcal{D}\text{.}$ Ver la figura de abajo a la izquierda.
Cuando$\mathcal{D}=\mathcal{D}_2 =\big\{\ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ \big|\ |(x,y,z)| \lt 2, |(x,y)| \gt 0\big\}$ (una bola abierta con el$z$ eje -eje eliminado), entonces el círculo$x^2+y^2=1\text{,}$$z=0$ es una curva en$\mathcal{D}$ que no es el límite de una superficie en$\mathcal{D}\text{.}$ El círculo es el límite de muchas superficies diferentes en$\mathbb{R}^3\text{,}$ pero cada una contiene un punto en el$z$ eje y así es no contenida en$\mathcal{D}\text{.}$ Ver la figura en el centro a continuación.

$pDisk.svg$ $lSphere.svg$ $pSphere.svg$

Por otro lado, aquí hay un ejemplo que sí satisface (H).

Dejar$\mathcal{D}=\mathcal{D}_3=\big\{\ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ \big|\ 0 \lt |(x,y,z)| \lt 2\big\}$ (una bola abierta con su centro retirado). Por ejemplo el círculo$x^2+y^2=1\text{,}$$z=0$ es el límite de la superficie$\big\{\ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ \big|\ x^2+y^2+z^2=1, z \gt 0\big\}\subset\mathcal{D}\text{.}$ Ver la figura a la derecha arriba.

Esto deja la pregunta de qué sucede cuando se viola (H). Solo veremos un ejemplo, que sin embargo da el sabor de la teoría general.

El disco perforado es

$pDisk2.svg$

\[ \mathcal{D}=\big\{\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\ \big|\ 0 \lt |(x,y)| \lt 1\ \big\} \nonumber \]

Empezaremos por mirar un campo vectorial en particular, que pasa la prueba de cribado, pero que no puede ser conservador. El campo, que vimos en el Ejemplo 2.3.14, es

\[ \vecs{T} h =-\frac{y}{x^2+y^2}\hat{\pmb{\imath}} + \frac{x}{x^2+y^2}\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]

con dominio de definición Primero$\mathcal{D}\text{.}$ verificaremos que pase la prueba de cribado:

\[\begin{align*} \vecs{ \nabla} \times\vecs{T} h &=\Big\{\frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{x}{x^2+y^2}\Big) -\frac{\partial }{\partial y}\Big(-\frac{y}{x^2+y^2}\Big)\Big\}\hat{\mathbf{k}}\\ &=\Big\{\Big(\frac{1}{x^2+y^2}-\frac{2x^2}{(x^2+y^2)^2}\Big) +\Big(\frac{1}{x^2+y^2}-\frac{2y^2}{(x^2+y^2)^2}\Big)\Big\}\hat{\mathbf{k}}\\ &=0 \end{align*}\]

A continuación comprobaremos que no puede ser conservadora. Denote por$\mathcal{C}_\varepsilon$ el círculo$x^2+y^2=\varepsilon^2\text{,}$ con orientación en sentido antihorario. Parametrizar$\mathcal{C}_\varepsilon$$\vecs{r} (\theta)=\varepsilon\cos\theta\,\hat{\pmb{\imath}}+\varepsilon\sin\theta\,\hat{\pmb{\jmath}}$ con$0\le\theta\le2\pi\text{.}$ Then

\[\begin{align*} &\int_{\mathcal{C}_\varepsilon}\vecs{T} h\cdot \text{d}\vecs{r} =\int_0^{2\pi} \vecs{T} h\big(\vecs{r} (\theta)\big)\cdot\frac{\text{d}\vecs{r} }{d\theta}(\theta)\ d\theta\\ &\hskip0.25in=\int_0^{2\pi} \Big(-\frac{1}{\varepsilon}\sin\theta\,\hat{\pmb{\imath}} +\frac{1}{\varepsilon}\cos\theta\,\hat{\pmb{\jmath}}\Big) \cdot\big(-\varepsilon\sin\theta\,\hat{\pmb{\imath}}+\varepsilon\cos\theta\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\ d\theta \tag{E1}\\ &\hskip0.25in=\int_0^{2\pi} \!\! d\theta\\ &\hskip0.25in=2\pi \end{align*}\]

no es cero. Por Teorema 4.5.3,$\vecs{T} h$ no puede ser conservador en el disco perforado ya que la integral$\int_{\mathcal{C}_\varepsilon}\vecs{T} h\cdot \text{d}\vecs{r} $ alrededor de la curva cerrada$\mathcal{C}_\varepsilon$ es distinta de cero.

A continuación comprobaremos que es localmente conservadora. Es decir, se puede escribir en la forma$\vecs{ \nabla} \theta(x,y)$ cerca de cualquier punto$(x_0,y_0)$ de su dominio. $\theta(x,y)$Definir para ser el ángulo polar de$(x,y)$ con, por ejemplo,$-\pi \lt \theta \lt \pi\text{.}$ Esto$\theta$ se define en todos$\mathcal{D}\text{,}$ excepto para el eje real negativo. El dominio de la definición,$\mathcal{D}_\pi\text{,}$ se esboza a la izquierda de abajo.

$pDiskPi.svg$ $pDisk0.svg$

Si$(x_0,y_0)$ pasa a estar sobre el eje real negativo, simplemente reemplace$-\pi \lt \theta \lt \pi$ por un intervalo diferente de longitud$2\pi\text{,}$ como$0 \lt \theta \lt 2\pi\text{.}$ El dominio de definición de entonces$\theta$ cambiaría al$\mathcal{D}_0\text{,}$ bosquejado a la derecha arriba.

Ahora es un asunto sencillo verificar eso$\vecs{ \nabla} \theta(x,y)=\vecs{T} h(x,y)$ en el dominio de definición de$\theta\text{.}$ Si$x\ne 0\text{,}$ entonces, de la siguiente figura,

$triangleTh.svg$

tenemos eso$\tan\theta(x,y)=\frac{y}{x}\text{,}$ y$\cos\theta(x,y) = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\text{,}$ para que

\[\begin{alignat*}{3} \frac{\partial }{\partial x}\tan\theta(x,y) &=-\frac{y}{x^2} & &\quad\implies\quad& &\Big[\frac{\partial }{\partial x}\theta(x,y)\Big]\ \sec^2\theta(x,y) =-\frac{y}{x^2}\\ & & & \quad\implies\quad& &\frac{\partial }{\partial x}\theta(x,y) =-\frac{y}{x^2}\cos^2\theta(x,y)\\ & & & & &\hskip0.25in=-\frac{y}{x^2}\ \frac{x^2}{x^2+y^2}=-\frac{y}{x^2+y^2}\\ \frac{\partial }{\partial y}\tan\theta(x,y) &=\frac{1}{x} & &\quad\implies\quad& &\Big[\frac{\partial }{\partial y}\theta(x,y)\Big]\ \sec^2\theta(x,y) =\frac{1}{x}\\ & & &\quad\implies\quad& & \frac{\partial }{\partial y}\theta(x,y) =\frac{1}{x}\cos^2\theta(x,y)\\ & & & & &\hskip0.25in=\frac{1}{x}\ \frac{x^2}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2} \end{alignat*}\]

Si$x=0\text{,}$ entonces debemos tener$y\ne 0$ (ya que no$(0,0)$ está en el dominio de la definición a$\theta$), y podemos usar$\cot\theta(x,y)=\frac{x}{y}$ en su lugar y llegar al mismo resultado.

Hasta el momento acabamos de mirar un campo vectorial en Ahora$\mathcal{D}\text{.}$ estamos listos para considerar cualquier campo vectorial$\vecs{F} $ en$\mathcal{D}$ que pase la prueba de cribado$\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} =0$ en$\mathcal{D}\text{.}$ Afirmamos que hay una función$\varphi$ en$\mathcal{D}$ tal que

\[ \vecs{F} =\alpha_\vecs{F} \,\vecs{T} h+\vecs{ \nabla} \varphi\qquad\text{where}\qquad \alpha_\vecs{F} = \frac{1}{2\pi}\oint_{\mathcal{C}_\varepsilon}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \tag{E2} \nonumber \]

El significado de esta afirmación es que dice que si un campo vectorial en$\mathcal{D}$ pasa la prueba de cribado$\mathcal{D}\text{,}$ entonces, o es conservador (ese es el caso si y solo si$\alpha_\vecs{F} =0$) o, si no es conservador, entonces difiere de un campo conservador (es decir$\vecs{ \nabla} \varphi$) solo por un constante (es decir$\alpha_\vecs{F} $) veces el campo vectorial fijo Es$\vecs{T} h\text{.}$ decir, solo hay un campo vectorial no conservador en el$\mathcal{D}$ que pasa la prueba de cribado, hasta multiplicar por constantes y adición de campos conservadores. Esta es una agradable sorpresa sencilla.

Observe que en la definición de no$\alpha_\vecs{F} \text{,}$ especificamos el radio$\varepsilon$ del círculo$\mathcal{C}_\varepsilon$ a utilizar para la curva de integración. Eso es porque la respuesta a la integral no depende de la elección de$\varepsilon\text{.}$ Para ver esto, toma alguna$0 \lt \varepsilon' \lt \varepsilon \lt 1$ y considera la superficie$S=\big\{\ (x,y)\in\mathbb{R}^2\ \big|\ \varepsilon' \lt |(x,y)| \lt \varepsilon\big\}\text{.}$

$pDisk3.svg$

Está completamente contenido en$\mathcal{D}\text{.}$ El límite de$S$ consta de dos partes. La parte exterior está$\mathcal{C}_\varepsilon\text{,}$ orientada en sentido antihorario como de costumbre. La parte interior está$\mathcal{C}_{\varepsilon'}\text{,}$ pero orientada hacia la derecha. Por lo general se denota$-\mathcal{C}_{\varepsilon'}\text{.}$ Así, por el teorema de Stokes,

\[\begin{align*} \oint_{\mathcal{C}_\varepsilon}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} -\oint_{\mathcal{C}_{\varepsilon'}}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} &=\oint_{\mathcal{C}_\varepsilon}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} +\oint_{-\mathcal{C}_{\varepsilon'}}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} =\oint_{\partial S}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} \\ &=\iint_S \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S =0 \end{align*}\]

Finalmente para verificar la afirmación (E2), comprobamos que el campo vectorial$\textbf{G}=\vecs{F} -\alpha_\vecs{F} \vecs{T} h$ es conservador en$\mathcal{D}\text{.}$ Para hacerlo, basta con verificar eso$\oint_{\mathcal{C}}\textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} =0$ para cualquier curva cerrada$\mathcal{C}$$\mathcal{D}\text{.}$ en De hecho podemos restringir nuestra atención a curvas$\mathcal{C}$ que sean simples, cerradas, orientadas en sentido antihorario curvas en$\mathcal{D}\text{.}$ Una curva se llama simple si no se cruza. Las curvas cerradas que no son simples se pueden dividir en simples subcurvas cerradas. Y cambiar la orientación de$\mathcal{C}$ solo cambia el signo de$\oint_{\mathcal{C}}\textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} =0\text{,}$ lo cual no afecta si es cero o no.

Así que deja$\mathcal{C}$ ser una curva simple, cerrada, orientada en sentido antihorario en$\mathcal{D}\text{.}$ Necesitamos verificar que$\oint_\mathcal{C}\textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} =0\text{.}$ Cualquier curva cerrada simple en$\mathbb{R}^2$ se$\mathbb{R}^2$ divide en tres subconjuntos mutuamente disjuntos ³ —$\mathcal{C}$ sí mismo, el conjunto de puntos dentro$\mathcal{C}$ y el conjunto de puntos afuera$\mathcal{C}\text{.}$ Ya que no$(0,0)$ está en$\mathcal{C}\text{,}$ él debe ser ya sea afuera$\mathcal{C}\text{,}$ como en la figura de la izquierda de abajo, o dentro$\mathcal{C}$ como en la figura de la derecha de abajo.

$pDisk4.svg$ $pDisk5.svg$

Caso 1:$(0,0)$ afuera$\mathcal{C}\text{.}$ En este caso$\mathcal{C}$ se encuentra el límite de un conjunto,$S\text{,}$ que está completamente contenido en es$\mathcal{D}\text{,}$ decir, todos los puntos dentro de So,$\mathcal{C}\text{.}$ por el teorema de Stokes,
\[\begin{align*} \oint_{\mathcal{C}}\textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} &=\oint_{\partial S}\big(\vecs{F} -\alpha_\vecs{F} \vecs{T} h\big)\cdot \text{d}\vecs{r} \\ &=\iint_S \vecs{ \nabla} \times\vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S -\alpha_\vecs{F} \iint_S \vecs{ \nabla} \times\vecs{T} h\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S =0-\alpha_\vecs{F} 0\\ &=0 \end{align*}\]
Caso 2:$(0,0)$ dentro$\mathcal{C}\text{.}$ Ya que no$(0,0)$ está encendido$\mathcal{C}\text{,}$ podemos elegir lo suficientemente$\varepsilon$ pequeño como para que el círculo$\mathcal{C}_\varepsilon$ quede completamente dentro$\mathcal{C}\text{.}$ Entonces la curva$\mathcal{C}-\mathcal{C}_\varepsilon$ es el límite de un conjunto,$S\text{,}$ que está completamente contenido en$\mathcal{D}\text{,}$ a saber la parte de$\mathcal{D}$ eso es entre$\mathcal{C}_\varepsilon$ y$\mathcal{C}\text{.}$ Así, por el teorema de Stokes,
\[\begin{align*} \oint_{\mathcal{C}}\textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} -\oint_{\mathcal{C}_\varepsilon}\textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} &=\oint_{\mathcal{C}-\mathcal{C}_\varepsilon}\textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} =\oint_{\partial S}\textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} =\iint_S \vecs{ \nabla} \times\textbf{G}\cdot\hat{\textbf{n}}\ \text{d}S\\ &=0 \end{align*}\]
desde$\vecs{ \nabla} \times\textbf{G}=\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} -\alpha_\vecs{F} \vecs{ \nabla} \times\vecs{T} h=0$ en Por$\mathcal{D}\text{.}$ lo tanto
\[ \oint_{\mathcal{C}}\textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} =\oint_{\mathcal{C}_\varepsilon}\textbf{G}\cdot \text{d}\vecs{r} =\oint_{\mathcal{C}_\varepsilon}\vecs{F} \cdot \text{d}\vecs{r} -\alpha_\vecs{F} \oint_{\mathcal{C}_\varepsilon}\vecs{T} h\cdot \text{d}\vecs{r} =2\pi\alpha_\vecs{F} -\alpha_\vecs{F} (2\pi)=0 \nonumber \]
por la definición, (E2), de$\alpha_\vecs{F} $ y (E1).

Así$\textbf{G}$ es conservador$\mathcal{D}$ y$\vecs{F} $ es de la forma (E2) en$\mathcal{D}\text{.}$

Las ideas que hemos explorado aquí se pueden generalizar bastante. Por ejemplo, si tuviéramos un disco con$n \gt 1$ pinchazos, podríamos usar argumentos como los anteriores para mostrar que cualquier campo vectorial$\vecs{F} $ que pase la prueba de cribado tiene que ser de la forma

\[ \vecs{F} =\vecs{ \nabla} \varphi + \sum_{\ell=1}^n \alpha_\ell\,\vecs{T} h_\ell \nonumber \]

con$\vecs{T} h_\ell$ simplemente ser lo anterior$\vecs{T} h$ traducido para estar centrado en la$\ell^{\rm th}$ punción.

Russell Crowe planteó una pregunta relacionada en la película A Beautiful Mind. La película está basada en la vida del matemático estadounidense John Nash, quien ganó el Premio Nobel de Economía.
La palabra “suave” no tiene un significado universal en matemáticas. Se utiliza con diferentes significados en diferentes contextos. Estamos aquí usando una de las definiciones estándar. Otra definición estándar requiere que todos los derivados de todos los pedidos sean continuos.
Este resultado, intuitivamente obvio, pero difícil de probar, se llama el teorema de la curva de Jordan. Lleva el nombre del matemático francés Camille Jordan (1838—1922), quien primero lo demostró.