4: Teoremas Integrales
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- “Gradiente, divergencia y rizo”, comúnmente llamado “grad, div y curl”, se refieren a una familia muy ampliamente utilizada de operadores diferenciales y notaciones relacionadas a las que llegaremos en breve. Posteriormente veremos que cada uno tiene un significado “físico”. Pero aunque solo fueran taquigrafía, valdría la pena usarlas.
- 4.2: El teorema de la divergencia
- El resto de este capítulo se refiere a tres teoremas: el teorema de la divergencia, el teorema de Green y el teorema de Stokes. Superficialmente, se ven bastante diferentes entre sí. Pero, de hecho, todos están muy estrechamente relacionados y las tres son generalizaciones del teorema fundamental del cálculo
- 4.3: Teorema de Green
- Nuestra siguiente variante del teorema fundamental del cálculo es el teorema 1 de Green, que relaciona una integral, de una derivada de una función (valorada por vector), sobre una región en el\(xy\) plano, con una integral de la función sobre la curva que delimita la región. Primero necesitamos definir algunas propiedades de las curvas.
- 4.4: Teorema de Stokes
- Nuestra última variante del teorema fundamental del cálculo es el teorema 1 de Stokes, que es como el teorema de Green, pero en tres dimensiones. Se relaciona una integral sobre una superficie finita\(\mathbb{R}^3\) con una integral sobre la curva que delimita la superficie.
- 4.5: Opcional — ¿Qué campos vectoriales obedecen? × F = 0
- Ya sabemos que si un campo vectorial\(\vecs{F} \) pasa la prueba de cribado\(\vecs{ \nabla} \times\vecs{F} =0\) en todos\(\mathbb{R}^2\) o\(\mathbb{R}^3\text{,}\) entonces hay una función\(\varphi\) con\(\vecs{F} =\vecs{ \nabla} \varphi\text{.}\)
- 4.6: Realmente Opcional — Más Interpretación de Div y Curl
- Ahora vamos a determinar, con mucho más detalle que antes, qué nos dice la divergencia y el rizo de un campo vectorial sobre el flujo de ese campo vectorial.
- 4.7: Opcional — Un teorema generalizado de Stokes
- Como hemos visto, el teorema fundamental del cálculo, el teorema de divergencia, el teorema de los Verdes y el teorema de Stokes comparten una serie de características comunes. De hecho, existe un marco único que los engloba y generaliza a todos ellos, y hay un solo teorema del que todos son casos especiales.
Miniaturas: Diagrama de un volumen arbitrario dividido en varias partes, ilustrando que el flujo del volumen original es igual a la suma del flujo de los volúmenes componentes. (CC0; Chetvorno vía Wikipedia)