2.1: La regla del producto

La regla del producto es una regla que se aplica cuando hay más de una variable (es decir, cosa que puede cambiar) involucrada en la determinación del resultado final.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Considera el ejemplo de comprar café en una cafetería que vende cuatro variedades y tres tamaños. Al elegir su café, debe elegir tanto la variedad como el tamaño. Una forma de averiguar cuántas opciones tienes en total, sería hacer una mesa. Podrías etiquetar las columnas con los tamaños, y las filas con las variedades (o viceversa, no importa). Cada entrada en tu mesa será una combinación diferente de variedad y tamaño:

	Pequeño	Mediano	Grande
Latte	Latte pequeño	Latte Medio	Latte Grande
Moca	Moca Pequeña	Moca Mediano	Moca Grande
Espresso	Espresso Pequeño	Espresso Medio	Espresso Grande
Cappucino	Cappucino Pequeño	Cappucino Medio	Cappucino Grande

Como puede ver, una combinación diferente de variedad y tamaño aparece en cada espacio de la mesa, y cada combinación posible de variedad y tamaño aparece en alguna parte. Así, el número total de opciones posibles es el número de entradas en esta tabla. Si bien en un pequeño ejemplo como este podríamos simplemente contar todas las entradas y ver que hay doce, será más útil notar que la aritmética elemental nos dice que el número de entradas en la tabla será el número de filas por el número de columnas, que es cuatro por tres.

En otras palabras, para determinar el número total de opciones que tiene, multiplicamos el número de opciones de variedad (es decir, el número de filas en nuestra tabla) por el número de opciones de tamaño (es decir, el número de columnas en nuestra tabla). Este es un ejemplo de lo que llamaremos la regla del producto.

Ahora estamos listos para declarar la regla del producto en toda su generalidad.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Product Rule

Supongamos que al determinar el número total de resultados, se pueden identificar dos aspectos diferentes que pueden variar. Si hay\(n_1\) posibles resultados para el primer aspecto, y para cada uno de esos posibles resultados, hay\(n_2\) posibles resultados para el segundo aspecto, entonces el número total de resultados posibles será\(n_1n_2\).

En el ejemplo anterior, podemos pensar en los aspectos que pueden cambiar como ser la variedad de café, y el tamaño. Hay cuatro resultados (elecciones) para el primer aspecto, y tres resultados (elecciones) para el segundo aspecto, por lo que el número total de resultados posibles es\(4 \cdot 3 = 12\).

A veces parece claro que hay más de dos aspectos que van variando. Si esto sucede, podemos aplicar la regla del producto más de una vez para determinar la respuesta, identificando primero dos aspectos (uno de los cuales puede ser “el resto”), y luego subdividiendo uno o ambos de esos aspectos. Un ejemplo de esto es el problema planteado anteriormente de comprar una dona para ir con tu café.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Kyle quiere comprar café y una dona. La tienda de donas local cuenta con cinco tipos de donas a la venta y vende cuatro variedades de café en tres tamaños (como en el Ejemplo 2.1.1). ¿Cuántos pedidos diferentes podría hacer Kyle?

Solución

Una forma natural de dividir las opciones de Kyle en dos aspectos que pueden variar es considerar por separado su elección de donas, y su elección de café. Hay cinco opciones para el tipo de donas que ordena, entonces\(n_1 = 5\). Para elegir el café, ya hemos utilizado la regla del producto en el Ejemplo 2.1.1 para determinar que el número de opciones de café es\(n_2 = 12\).

Así el número total de diferentes órdenes que Kyle podría hacer es\(n_1n_2 = 5 \cdot 12 = 60\).

Repasemos por un ejemplo que implica más claramente aplicaciones repetidas de la regla del producto.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Chlöe quiere fabricar playeras infantiles. Generalmente hay tres tallas de playeras para niños: pequeñas, medianas y grandes. Ella quiere ofrecer las playeras en ocho colores diferentes (azul, amarillo, rosa, verde, morado, naranja, blanco y negro). Las playeras pueden tener una imagen en la parte delantera, y un eslogan en la parte posterior. A ella se le han ocurrido tres imágenes, y cinco consignas.

Para abastecer su show room, Chlöe quiere producir una sola muestra de cada tipo de camisa que estará ofreciendo a la venta. Las camisas le costaron $4 cada una para producir. ¿Cuánto le van a costar las muestras (en total)?

Solución

Para resolver este problema, observe que para determinar cuántas camisas de muestra producirá Chlöe, podemos considerar el tamaño como un aspecto, y el estilo (incluyendo color, imagen y eslogan) como el otro. Hay\(n_1 = 3\) tallas. Por lo que el número de muestras será tres veces\(n_2\), donde\(n_2\) está el número de estilos posibles.

Ahora\(n_2\) desglosamos más: para determinar cuántos estilos posibles hay disponibles, puedes dividirlo en dos aspectos: el color y la decoración (imagen y eslogan). Hay\(n_{2,1} = 8\) colores. Por lo que el número de estilos será ocho veces\(n_{2,2}\), donde\(n_{2,2}\) está el número de decoraciones posibles (combinaciones de imagen y eslogan) que están disponibles.

Podemos\(n_{2,2}\) desglosar aún más: para determinar cuántas decoraciones posibles hay disponibles, se divide esto en los dos aspectos de imagen y eslogan. Hay\(n_{2,2,1} = 3\) posibles imágenes, y\(n_{2,2,2} = 5\) posibles eslóganes, por lo que la regla del producto nos dice que hay\(n_{2,2} = 3 \cdot 5 = 15\) posibles combinaciones de imagen y eslogan (decoraciones).

Armando todo esto, vemos que Chlöe tendrá que crear playeras de\(3(8(3 \cdot 5)) = 360\) muestra. Como cada uno cuesta $4, su costo total será de $1440.

Observe que encontrar exactamente dos aspectos que varían puede ser bastante artificial. El Ejemplo 2.1.3 sirve como una buena demostración para una generalización de la regla del producto tal y como la señalamos anteriormente. En ese ejemplo, hubiera sido más natural haber considerado desde el inicio que había cuatro aspectos aparentes en las playeras que pueden variar: tamaño, color, imagen y eslogan. El número total de camisetas que necesitaba para producir fue producto del número de posibles resultados de cada uno de estos aspectos:\(3 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 5 = 360\).

Teorema\(\PageIndex{2}\): Product Rule For Many Aspects

Supongamos que cuando estás determinando el número total de resultados, puedes identificar\(k\) diferentes aspectos que pueden variar. Si para cada uno\(i\) entre\(1\) y\(k\) hay\(n_i\) posibles resultados para el\(i^{\text{th}}\) aspecto, entonces el número total de posibles resultados será\(\prod_{i=1}^{k} n_i\) (es decir, el producto como\(i\) va de\(1\) a\(k\) de la\(n_i\)).

Ahora veamos un ejemplo donde estamos tratando de evaluar una probabilidad. Dado que este curso se trata de contar en lugar de probabilidad, limitaremos nuestra atención a ejemplos donde todos los resultados sean igualmente probables. Bajo este supuesto, para determinar una probabilidad, podemos contar el número de resultados que tienen la propiedad que estamos buscando, y dividirlos por el número total de resultados.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Pedro y María tienen dos hijas. ¿Cuál es la probabilidad de que sus próximos dos hijos también sean niñas?

Solución

Para responder a esto, consideramos a cada niño como un aspecto diferente. Hay dos sexos posibles para su tercer hijo: niño o niña. Para cada uno de estos, hay dos opciones posibles para su cuarto hijo: niño o niña. Entonces, en total, la regla del producto nos dice que existen\(2 \cdot 2 = 4\) posibles combinaciones para los sexos de su tercer y cuarto hijos. Este será el denominador de la probabilidad.

Para determinar el numerador (es decir, el número de formas en que ambos niños pueden ser niñas), nuevamente consideramos a cada niño como un aspecto diferente. Solo hay una manera posible para que el tercer hijo sea niña, y luego solo hay una manera posible para que el cuarto hijo sea niña. Entonces, en total, sólo una de las cuatro posibles combinaciones de sexos implica que ambos niños sean niñas.

La probabilidad de que sus próximos dos hijos también sean niñas es\(\dfrac{1}{4}\).

Observe que en este ejemplo, el hecho de que los dos primeros hijos de Pedro y María fueran niñas fue irrelevante para nuestros cálculos, porque ya era un resultado conocido, una y otra vez hecho con, así es cierto sin importar lo que pueda pasar con sus hijos posteriores. Si Pedro y María aún no hubieran tenido hijos y pedimos la probabilidad de que sus primeros cuatro hijos sean todos niñas, entonces nuestros cálculos tendrían que incluir ambas opciones posibles para el sexo de cada uno de sus dos primeros hijos. En este caso, la probabilidad final sería\(\dfrac{1}{16}\) (hay 16 combinaciones posibles para los sexos de cuatro hijos, de los cuales sólo uno implica que los cuatro sean femeninos).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Utilice solo la regla del producto para responder a las siguientes preguntas:

1. El auto que Jack quiere comprar viene en cuatro colores; con o sin aire acondicionado; con cinco opciones diferentes para sistemas estéreo; y una opción de ninguno, dos o cuatro tapetes para piso. Si el concesionario que visita tiene tres autos en el lote, cada uno con diferentes opciones, ¿cuál es la probabilidad de que uno de los autos que tienen en stock tenga exactamente las opciones que quiere?
2. Candyce está escribiendo un libro “Elige tu propia aventura” en el que quiere que todas las opciones posibles den como resultado un final diferente. Si hay cuatro puntos en los que se deben tomar decisiones en cada historia, y hay tres opciones la primera vez pero dos cada vez después de eso, ¿cuántos finales necesita escribir Candyce?
3. William está comprando cinco libros. Para cada libro tiene opción de versión: tapa dura, rústica o electrónica. ¿De cuántas maneras diferentes puede hacer su selección?