2.2: La regla de la suma

La regla de suma es una regla que se puede aplicar para determinar el número de posibles resultados cuando hay dos cosas diferentes que podrías elegir hacer (y varias formas en las que puedes hacer cada una de ellas), y no puedes hacer ambas. A menudo, se aplica cuando existe una forma natural de desglosar los resultados en casos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Recordemos el ejemplo de comprar un bagel o una rosquilla en una tienda de donas que vende cinco tipos de donas y tres tipos de bagels. Solo estás eligiendo una u otra, así que una forma de determinar cuántas opciones tienes en total sería anotar todos los tipos posibles de donas en una lista, y todos los tipos posibles de bagel en otra lista:

Donas	Bagels
glaseado de chocolate	arándano
helado de chocolate	canela y pasas
cruller de miel	llano
relleno de natillas
esmaltado original

El número total de opciones posibles es el número de entradas que aparecen en las dos listas combinadas, que es de cinco más tres.

En otras palabras, para determinar el número de opciones que tiene, agregamos el número de opciones de donas (es decir, el número de entradas en la primera lista) y el número de opciones de bagel (es decir, el número de entradas en la segunda lista). Este es un ejemplo de la regla de suma.

Ahora estamos listos para declarar la regla de la suma en toda su generalidad.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Sum Rule

Supongamos que al determinar el número total de resultados, puede identificar dos casos distintos con la propiedad de que cada resultado posible se encuentra exactamente en uno de los casos. Si hay\(n_1\) posibles resultados en el primer caso, y\(n_2\) posibles resultados en el segundo, entonces el número total de resultados posibles será\(n_1 + n_2\).

Es difícil hacer mucho con la regla de la suma por sí sola, pero cubriremos un par de ejemplos más y luego en la siguiente sección, entraremos en algunos ejemplos más desafiantes donde combinamos las dos reglas.

A veces el problema se divide naturalmente en más de dos casos, con cada resultado posible yace exactamente en uno de los casos. Si esto sucede, podemos aplicar la regla de suma más de una vez para determinar la respuesta. Primero identificamos dos casos (uno de los cuales puede ser “todo lo demás”) y luego subdividimos uno o ambos casos. Veamos un ejemplo de esto.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

María y Pedro planean no tener más de tres hijos. ¿Cuáles son las posibles combinaciones de niñas y niños con los que podrían terminar, si no estamos haciendo un seguimiento del orden de los niños? (Al no hacer un seguimiento del orden de los niños, quiero decir que consideraremos que tener dos niñas seguidas de un niño es lo mismo que tener dos niñas y un niño en cualquier otro orden).

Solución

Para responder a esta pregunta, vamos a romper el problema en casos. Primero dividiremos el problema en dos posibilidades: María y Pedro no tienen hijos; o tienen al menos un hijo. Si María y Pedro no tienen hijos, esto puede suceder de una sola manera (ni niños ni niñas). Si María y Pedro tienen al menos un hijo, entonces tienen entre uno y tres hijos. Tendremos que desglosar esto más para saber cuántos resultados están involucrados.

Rompemos el caso en el que María y Pedro tienen entre uno y tres hijos en dos casos: podrían tener un hijo, o podrían tener más de un hijo. Si tienen un hijo, ese niño podría ser un niño o una niña, por lo que hay dos posibles resultados. Si tienen más de un hijo, nuevamente necesitaremos subdividir aún más este caso.

El caso en el que María y Pedro tienen dos o tres hijos naturalmente se descompone en dos casos: podrían tener dos hijos, o podrían tener tres hijos. Si tienen dos hijos, el número de niñas que tienen podría ser cero, uno o dos, por lo que hay tres posibles resultados (los hijos restantes, si los hay, deben ser todos niños). Si tienen tres hijos, el número de niñas que tienen podría ser cero, uno, dos o tres, por lo que hay cuatro posibles resultados (nuevamente, los hijos restantes deben ser niños).

Ahora juntamos todos estos resultados con la regla de la suma. Concluimos que en total, existen\(1 + (2 + (3 + 4)) = 10\) diferentes combinaciones de niñas y niños con las que podrían terminar María y Pedro.

Observe que era artificial dividir repetidamente este ejemplo en dos casos a la vez. Así, el Ejemplo 2.2.2 sirve como una buena demostración para una generalización de la regla de la suma como la señalamos anteriormente. Habría sido más natural haber dividido el problema de los hijos de María y Pedro en cuatro casos desde el principio, dependiendo de si terminan con cero, uno, dos o tres hijos. El número total de combinaciones de niñas y niños con las que podrían terminar María y Pedro, es la suma de las combinaciones con las que pueden terminar en cada uno de estos casos; es decir,\(1 + 2 + 3 + 4 = 10\).

Teorema\(\PageIndex{2}\): Sum Rule For Many Cases

Supongamos que al determinar el número total de resultados, puede identificar\(k\) distintos casos con la propiedad de que cada resultado posible se encuentra exactamente en uno de los casos. Si para cada uno\(i\) entre\(1\) y\(k\) hay\(n_i\) posibles resultados en el\(i^{th}\) caso, entonces el número total de resultados posibles será\(\prod_{i=1}^{k} n_i\) (es decir, la suma como\(i\) va de\(1\) a\(k\) de la\(n_i\)).

Hay otra forma importante de usar la regla de suma. Esta aplicación es un poco más sutil. Supongamos que conoce el número total de resultados y desea saber el número de resultados que no incluyen un evento en particular. La regla de suma nos dice que el número total de resultados está compuesto por los resultados que sí incluyen ese evento, junto con los que no lo hacen, así que si es fácil averiguar cuántos resultados incluyen el evento que le interesa, entonces puede restarlo del número total de resultados para determinar cómo muchos resultados excluyen ese evento. He aquí un ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Hay 216 diferentes resultados posibles de enrollar un dado blanco, un dado rojo y un dado amarillo. (Puedes resolverlo usando la regla del producto). ¿Cuántos de estos resultados implican rodar uno contra dos o menos de los dados?

Solución

Abordando este problema directamente, podría estar inclinado a dividirlo en tres casos: resultados que implican rodar a nadie, aquellos que implican rodar exactamente uno, y aquellos que implican rodar exactamente dos. Si intentas esto, el análisis será largo y bastante involucrado, e incluirá tanto la regla del producto como la regla de la suma. Si tienes cuidado, podrás encontrar la respuesta correcta de esta manera.

Usaremos un enfoque diferente, primero contando los resultados que no queremos: los que implican obtener uno en los tres dados. Solo hay una manera de que esto suceda: ¡los tres dados tienen que tirar unos! Por lo que el número de resultados que implican rodar unos en dos o menos de los dados, será\(216 − 1 = 215\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Utilice solo la regla de suma para responder a las siguientes preguntas:

1. Tengo cuatro marcadores en mi escritorio: uno azul y tres negros. Todos los días camino a clase, agarro tres de los marcadores sin mirar. Hay cuatro marcadores diferentes que podrían dejarse atrás, así que hay cuatro combinaciones de marcadores que podría llevar conmigo. ¿Cuál es la probabilidad de que tome el marcador azul?
2. Maple está pensando en una letra, o en un dígito. ¿En cuántas cosas diferentes podría estar pensando?
3. ¿Cuántos de los 16 números binarios de cuatro bits tienen como máximo un 1 en ellos?